第四章测量误差分析_机械工程测试技术

1、机械工程测试技术机械工程测试技术 测量误差分析（测量误差分析（4） 第四章第四章 内容内容 n概述概述 n误差分类误差分类 n系统误差的消除系统误差的消除 n随机误差分析随机误差分析 n测量结果的误差估计测量结果的误差估计 n粗大误差的消除粗大误差的消除 n有效数字有效数字 n最小二乘法最小二乘法 问题问题 1、什么叫、什么叫“误差公理误差公理”？ 2、测量误差可以分为几类？、测量误差可以分为几类？ 3、常见的随机误差有什么分布？、常见的随机误差有什么分布？ 4、如何减小随机误差的大小？、如何减小随机误差的大小？ 5、剔除粗大误差有几种方法？、剔除粗大误差有几种方法？ 6、A类不确定度与类不确

2、定度与B类不确定度获得的方法有无区别？类不确定度获得的方法有无区别？ 7、误差合成与组成误差的分量项数有无关系？、误差合成与组成误差的分量项数有无关系？ 8、测量方案的选取原则是什么？、测量方案的选取原则是什么？ 重点：重点：系统误差的典型消除方法，以及随机误差分析方法；系统误差的典型消除方法，以及随机误差分析方法；A类和类和 B类不确定度的评定方法与不同测量方案的误差估计方法，类不确定度的评定方法与不同测量方案的误差估计方法， 以及粗大误差的判定与剔除方法以及粗大误差的判定与剔除方法 测量测量 用一定的测量工具或仪器，通过一定的方法，用一定的测量工具或仪器，通过一定的方法， 直接或间接地得到

3、所需要的量值的过程直接或间接地得到所需要的量值的过程 测量条件测量条件：人、仪器和外界条件人、仪器和外界条件。 测量者：仪器安置、调试、读数测量者：仪器安置、调试、读数 测量仪器、方法：具有一定限度的精密程度的工具测量仪器、方法：具有一定限度的精密程度的工具 外界条件：如温度、湿度、电磁、噪声等外界条件：如温度、湿度、电磁、噪声等 1、概述、概述 测量分类：测量分类：按方法按方法 直接测量直接测量 无需无需对被测的量与其它实测的量进行对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计函数关系的辅助计 算算而可直接得到被测量值的测量而可直接得到被测量值的测量 温度、压力、流量、位移、振动、转速温度、压

4、力、流量、位移、振动、转速 单个测量量单个测量量 间接测量间接测量 利用直接测量的量与被测量之间的已知利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系函数关系经过计经过计 算从而得到被测量值的测量算从而得到被测量值的测量 机组的功率、效率、热耗机组的功率、效率、热耗 直接测量量直接测量量(x1,x2,xn) 间接测量量间接测量量x 1、概述、概述 测量分类：测量分类：按方法按方法 组合测量组合测量 测量两个或两个以上相关的未知数时，通过测量两个或两个以上相关的未知数时，通过改变测量条改变测量条 件件而获得一组含有测量读数和未知数的方程组，经过而获得一组含有测量读数和未知数的方程组，经过求求 解解而获

5、得测量结果的方法。而获得测量结果的方法。 例如例如：温度传感器的：温度传感器的输出函数输出函数VVo o、A A、B B t t0 0，测量输出值，测量输出值0 改变测量条件改变测量条件t t值，测量输出值值，测量输出值 多次测量多次测量 求出求出、 1、概述、概述 ).1( 2 0 tBtAVVt 测量分类：测量分类：按条件按条件 等精度测量等精度测量 测量条件相同的各次观测测量条件相同的各次观测 观测者、测试设备和方法、测试环境观测者、测试设备和方法、测试环境 等精度测量仪器：等精度测量仪器：测量精度测量精度不随被测信号的变化而变化不随被测信号的变化而变化 等精度频率测量仪：等精度频率测量

6、仪：全频段内等精度测量全频段内等精度测量 克服测量精度随被测信号频率的下降而降低克服测量精度随被测信号频率的下降而降低 非等精度测量非等精度测量 测量条件不相同的各次观测测量条件不相同的各次观测 1、概述、概述 测量分类：测量分类：按性质按性质 时域测量、瞬态测量时域测量、瞬态测量 测量被测量随时间变化的规律测量被测量随时间变化的规律 被测量波形的被测量波形的瞬态瞬态包括：包括： 上升沿、下降沿、过冲、平顶跌落、脉冲宽度上升沿、下降沿、过冲、平顶跌落、脉冲宽度 周期、峰值、有效值、相位、平均值周期、峰值、有效值、相位、平均值 频域测量、稳态测量频域测量、稳态测量 测量被测量随频率变化的规律测量

7、被测量随频率变化的规律 反映一个单元的动态特性，包括：反映一个单元的动态特性，包括： 幅频特性、相频特性幅频特性、相频特性 1、概述、概述 测量分类：测量分类：按性质按性质 数据域测量、逻辑量测量数据域测量、逻辑量测量 设备控制系统开关量监测设备控制系统开关量监测 测量系统的数字电路逻辑测量测量系统的数字电路逻辑测量 测量系统的模数混合电路测试测量系统的模数混合电路测试 测试内容：测试内容： 逻辑状态逻辑状态高、低高、低 电平电平 时序时序时间顺序（分辨时间）时间顺序（分辨时间） 1、概述、概述 测量误差测量误差 误差公理误差公理 误差始终存在于一切科学实验和测量之中误差始终存在于一切科学实验

8、和测量之中 测量设备不准确测量设备不准确 测量方法测量方法/ /手段不完善、测量程序不规范手段不完善、测量程序不规范 测量环境不可控测量环境不可控 测量人员能力有限测量人员能力有限 目的：原因、规律目的：原因、规律减小的途径、方法减小的途径、方法 误差极限误差极限 测量误差可以控制到很小，但误差绝对不可能为零测量误差可以控制到很小，但误差绝对不可能为零 1、概述、概述 测量误差测量误差 真值真值 在一定条件下，被测量的在一定条件下，被测量的真实值真实值 客观存在、不可测量的、可不断逼近客观存在、不可测量的、可不断逼近 约定真值约定真值 特定的、有时是约定所取得值，用法律形式指定特定的、有时是约

9、定所取得值，用法律形式指定 高一级测量仪器所得的和修正的测量高一级测量仪器所得的和修正的测量平均值平均值 误差可以忽略误差可以忽略 1、概述、概述 x o x 米：光在真空中米：光在真空中1/299 792 4581/299 792 458秒的时间间隔内所经过的距离秒的时间间隔内所经过的距离19831983 氪氪8686原子从能量原子从能量2P102P10至至5D55D5跳跃时幅射线波长的跳跃时幅射线波长的1650763.731650763.73倍（真空中）倍（真空中）19601960 地球子午线地球子午线1/41/4长度的一千万分之一长度的一千万分之一 17911791 测量误差测量误差 标

10、称值标称值 测试设备上标注的特殊量值测试设备上标注的特殊量值 如校准值（自动校准）、标准输出值、砝码、电池 如校准值（自动校准）、标准输出值、砝码、电池 标称值不一定等于它的实际值，要有误差范围或精度等级标称值不一定等于它的实际值，要有误差范围或精度等级 测量值测量值 由测量仪器给出的量值，也称仪器示值由测量仪器给出的量值，也称仪器示值 1、概述、概述 N x 测量误差测量误差 绝对误差绝对误差 评价评价相同被测量相同被测量测量精度高低测量精度高低 绝对误差可正可负绝对误差可正可负 绝对误差有明确单位：绝对误差有明确单位：1mm1mm、0.1mm0.1mm、0.050.05、和被测量大小有关和

11、被测量大小有关 相对误差相对误差/ /示值相对误差示值相对误差相对被测量相对被测量 评价评价不同被测量不同被测量测量精度高低测量精度高低 真值相对误差真值相对误差 示值相对误差示值相对误差 没有单位，用来评价测量结果：没有单位，用来评价测量结果：0.1%0.1%、和被测量大小无关和被测量大小无关 1、概述、概述 o x-x %100 x/r 0 %100 x/r 测量万公里距离，误差测量万公里距离，误差1 1，相对误差，相对误差0.020.02ppmppm 测量测量m m长度物体，误差长度物体，误差0.010.01，相对误差，相对误差 测量误差测量误差 引用误差引用误差 绝对误差与测量仪器绝对

12、误差与测量仪器量程量程A A之比之比 不能全面反映不能全面反映测量仪器测量仪器的准确度的准确度 测量不同量时的绝对误差测量不同量时的绝对误差有大有小有大有小 最大引用误差最大引用误差 取用仪器测量中的取用仪器测量中的最大绝对误差最大绝对误差maxmax 评价测量设备的准确度等级评价测量设备的准确度等级最为严格的指标最为严格的指标 1、概述、概述 %100/rA %100/r maxmax A 测量误差测量误差 最大引用误差最大引用误差 国家标准国家标准GB776GB7767676规定测量仪器准确度等级指数规定测量仪器准确度等级指数为：为： 0.1, 0.2, 0.5, 1.0 0.1, 0.2

13、, 0.5, 1.0，1.5, 2.5, 5.01.5, 2.5, 5.0 工业等级工业等级 仪器的仪器的最大引用误差最大引用误差不能超过仪器准确度指数的百分数不能超过仪器准确度指数的百分数 实际使用中，仪器的实际使用中，仪器的最大可能误差最大可能误差为为 量程量程A A的选择和测量值的选择和测量值x x关系关系：量程和被测量相差越小越好：量程和被测量相差越小越好2/32/3 1、概述、概述 % max ar %./%. max axAraA 测量误差测量误差 残余误差（残差）残余误差（残差） 重复重复测量测量X X，得到一组数据列，得到一组数据列xxi i ，测量列算术平均值为：，测量列算术

14、平均值为： 测量列中某数据测量列中某数据x xi i与其算术平均值之差与其算术平均值之差 测量到的量值与模型期望测量到的量值与模型期望/ /预测值之差预测值之差 1、概述、概述 x-xi i v n _ 12n i i 1 1xxx Xx nn 测量误差测量误差 容许误差容许误差 测量仪器在使用条件下可能产生的测量仪器在使用条件下可能产生的最大误差范围最大误差范围 表征了测试仪器准确度、稳定度等指标表征了测试仪器准确度、稳定度等指标 表示方式：工作误差（影响误差、稳定性误差）、固有误差表示方式：工作误差（影响误差、稳定性误差）、固有误差 与测量值有关的相对项误差与测量值有关的相对项误差与量程、

15、分辨率有关的固定项误差与量程、分辨率有关的固定项误差 1、概述、概述 )%.%.(个字nAx 测量误差测量误差 示例：示例：4 4位半的位半的位移测量仪位移测量仪2mm2mm量程的工作误差为量程的工作误差为 现在测量现在测量0.0012mm0.0012mm和和1.9888mm1.9888mm时的绝对误差是多少？时的绝对误差是多少？ 4 4位半表位半表2mm2mm量程下显示范围量程下显示范围0 01.9999mm1.9999mm，分辩率，分辩率0.0001mm0.0001mm 测量测量0.0012mm0.0012mm时绝对误差和相对误差时绝对误差和相对误差 测量测量1.9888mm1.9888m

16、m时绝对误差和时绝对误差和相对误差相对误差 示例：示例：某某1.01.0级电压表，量程为级电压表，量程为300V300V，当测量值分别为，当测量值分别为300V300V、100V100V时时, , 求出测量值的最大绝对误差和示值相对误差求出测量值的最大绝对误差和示值相对误差. . 最大绝对误差最大绝对误差: : 最大最大示值相对误差：示值相对误差： 1、概述、概述 个字1%.025.0 x %36.8%1000012.0/100030.1%100/ 100030.1)0001.010012.0%025.0( 4 4 xr mm %03. 0109720. 5 4 rmm VaA3%)0.130

17、0(%. max 100%0.3%100 100 3 300%0.1%100 300 3 %100 max U U U r 2、误差分类、误差分类 真值真值 仪器误差仪器误差 理论误差理论误差 观测误差观测误差 环境误差环境误差 随机误差随机误差 人为失误人为失误 系统误差系统误差 随机误差随机误差 粗大误差粗大误差 + + + 测量值：测量值： 误差误差 2、误差分类、误差分类 误差表达误差表达 一般情况：误差系统误差随机误差一般情况：误差系统误差随机误差 工业测量：工业测量：系统误差系统误差远远大于随机误差远远大于随机误差 精密测量：系统误差已经消除或者可忽略精密测量：系统误差已经消除或者

18、可忽略 rs s r 2、误差分类、误差分类 系统误差系统误差 定义：相同的定义：相同的测量条件测量条件下，多次重复测量同一下，多次重复测量同一 被测量时，误差的被测量时，误差的大小和符号保持不变大小和符号保持不变，或，或按按 照一定的规律变化照一定的规律变化 保持定值保持定值 规律变化：随时间、温度等规律变化：随时间、温度等 对测量结果影响对测量结果影响严重严重 恒定系统误差（恒定系统误差（a a） 变化系统误差（变化系统误差（b b、c c、d d） 线性系统误差线性系统误差 周期系统误差周期系统误差 复杂系统误差复杂系统误差 2、误差分类、误差分类 系统误差系统误差 产生原因产生原因 仪

19、器误差：仪器本身缺陷、零位校准仪器误差：仪器本身缺陷、零位校准 仪器有一定限度的精密程度，因而测量精确度也不高仪器有一定限度的精密程度，因而测量精确度也不高 0.1级级 0.2级级 制造本身缺陷，制造本身缺陷，如结构设计、安装调整等如结构设计、安装调整等 零位调整零位调整 2、误差分类、误差分类 系统误差系统误差 产生原因产生原因 理论误差：依据的理论不完善、模型上的近似理论误差：依据的理论不完善、模型上的近似 例如：温度传感器例如：温度传感器 例如：涡流效应例如：涡流效应 位移位移涡流涡流电感电感电压电压 涡流传感器涡流传感器 被被 测测 体体 传传 感感 头头 金属导体金属导体 涡流涡流

20、).1 ( 2 0 tBtAVVt 2、误差分类、误差分类 系统误差系统误差 产生原因产生原因 观察误差：观察着主观判断不当观察误差：观察着主观判断不当 感觉器官鉴别能力有一定的局限性感觉器官鉴别能力有一定的局限性 技术水平、工作态度及状态技术水平、工作态度及状态 环境误差：使用条件不满足或变化环境误差：使用条件不满足或变化 温度、湿度、气压、振动、电场、磁场、噪声温度、湿度、气压、振动、电场、磁场、噪声 2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差 定义：相同的定义：相同的测量条件测量条件下，多次重复测量同一下，多次重复测量同一 被测量时，其误差的大小和符号以不可预见的被测量时，其误差的大小和符

21、号以不可预见的 方式变化方式变化 随机性，就随机性，就个体个体而言无规律可循而言无规律可循 总体总体上服从统计规律上服从统计规律 2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差 产生原因产生原因 独立的、微小的、偶然的大量因素独立的、微小的、偶然的大量因素 只要仪器灵敏度足够高，随机误差总是不可避免只要仪器灵敏度足够高，随机误差总是不可避免 测量的分散性测量的分散性 2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差 误差处理误差处理 既不能用实验方法既不能用实验方法消除消除，也不能修正，也不能修正 根据总体上的统计规律，可以控制和减小对测量根据总体上的统计规律，可以控制和减小对测量 结果的影响结果的影响 2

22、、误差分类、误差分类 随机误差随机误差 误差统计误差统计 有限有限n次重复测量同一值次重复测量同一值x得到的得到的随机误差随机误差 测量次数测量次数n358 误差范围误差范围2424 半区间半区间8 8等分等分 进行落入每个区间的进行落入每个区间的 误差次数误差次数k k统计统计 误差发生的频率误差发生的频率k/nk/n 正负误差频率基本一正负误差频率基本一 致致 2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差 误差统计误差统计 n次重复测量同一值次重复测量同一值x得到的随机误差得到的随机误差 n k 特点特点 具有一定的范围具有一定的范围 绝对值小的误差出现概率大绝对值小的误差出现概率大 绝对值相

23、等的正、负误差出现的概率相同绝对值相等的正、负误差出现的概率相同 随机误差的平均值随着观测次数的增加而随机误差的平均值随着观测次数的增加而 趋于零趋于零正负对称正负对称 2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差 误差统计误差统计 统计特性统计特性 无系统误差等精度无系统误差等精度n次重复测量的随机误差次重复测量的随机误差具有具有 有界性有界性 随机误差的绝对值不超过一定的界限随机误差的绝对值不超过一定的界限 单峰性单峰性 绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的 概率大概率大多数情况下是准确的多数情况下是准确的 对称性对称性 等值反号的随机误差出

24、现的概率接近相等等值反号的随机误差出现的概率接近相等 低偿性低偿性 当当n n趋向无穷时，随机误差的代数和为零，即趋向无穷时，随机误差的代数和为零，即 n k 0 1 lim n i i n 2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差 正态分布正态分布 多次重复测量多次重复测量同一值同一值x得到的数据近似服从正态分布（得到的数据近似服从正态分布（n） 定义：定义：分布密度分布密度 表示表示 x x 出现概率最大的值，也即数学期望出现概率最大的值，也即数学期望均值均值 称为标准差称为标准差测量数据的离散程度测量数据的离散程度 2 2 2 1 exp 2 1 ),( x xp x P (x) 小小

25、大大 n x n x i n i n 2 lim lim 2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差 正态分布正态分布 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均值所在的位置集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均值所在的位置 对称性：正态曲线以对称性：正态曲线以均值均值为中心，左右对称为中心，左右对称 正态分布有两个参数（随机变量），即均值正态分布有两个参数（随机变量），即均值和标准差和标准差 均值均值决定正态曲线的中心位置决定正态曲线的中心位置 标准差标准差决定正态曲线的陡峭或扁平程度。决定正态曲线的陡峭或扁平程度。越小，测量数据越小，测量数据 越集中，曲线越陡峭；越集中，曲线越陡峭；越大，曲线越

26、扁平越大，曲线越扁平 大多数情况下，随机误差的概率都服从或接近正态分布大多数情况下，随机误差的概率都服从或接近正态分布，要，要 求求n n大（大于大（大于3030） P (x) x 小，陡峭小，陡峭 大，扁平大，扁平 2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差 正态分布正态分布 置信概率：随机变量置信概率：随机变量 x x 在在x1x1，x2x2区间出现的概率区间出现的概率P P 测量值出现在测量值出现在K K倍标准差区间内的倍标准差区间内的概率为概率为 随机误差的极限误差随机误差的极限误差：33 “ “3”3”准则常用来作为质量控制的依据准则常用来作为质量控制的依据 2 1 2 2 1 d 2

27、 1 d )( )( 2 1 21 x x x x x xexxpxxxP 0.683 20.954 30.997 xP xP xP 3 2 0 1 23 2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差 t分布分布 有限有限n次重复测量次重复测量同一值同一值x得到的数据近似服从得到的数据近似服从t分布分布 定义定义: t t分布自由度，计算残差时所具有的独立项个数，分布自由度，计算残差时所具有的独立项个数，n-1n-1 伽马函数伽马函数 对于对称的对于对称的t t分布分布 x x xp 2 1 2 2 2 1 1 )( )(1 ),( 2 2 0 dxexz xz 0 1. )( 2、误差分类、误差

28、分类 随机误差随机误差 均匀分布均匀分布 在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在该区在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在该区 域外则为零域外则为零 概率密度函数概率密度函数 应用：应用： 只知大概范围，不知分布规律的误差可用均匀分布只知大概范围，不知分布规律的误差可用均匀分布 量化误差、舍入误差、刻度盘误差量化误差、舍入误差、刻度盘误差等等 2 12 1 2 1 )()(. )(0 )( 1 )( abbadxpx bxorax bxa abxp 0 a b x P (x) 1/(b-a) 3 0 2 a 2、误差分类、误差分类 粗大误差粗大误差 定义：定义：明显歪曲明显歪曲

29、测量结果的误差称作粗大误差，测量结果的误差称作粗大误差， 又称过失误差，其测量值称为坏值或异常值又称过失误差，其测量值称为坏值或异常值 超出规定条件下的预期值超出规定条件下的预期值 大大超过系统误差大大超过系统误差 不属于误差范畴不属于误差范畴 2、误差分类、误差分类 粗大误差粗大误差 产生原因产生原因 人为因素造成（例如读数错误、记录错误、计算人为因素造成（例如读数错误、记录错误、计算 错误）错误） 测量方法不恰当测量方法不恰当 测量条件意外的突然变化测量条件意外的突然变化 使用有缺陷的仪器使用有缺陷的仪器 误差处理误差处理 按一定的判据识别后剔除按一定的判据识别后剔除 2、误差分类、误差分

30、类 误差关系图误差关系图 真值真值X0 X0 测量值测量值Xi残差残差Vi 测量值测量值X 测量值概测量值概 率分布曲线率分布曲线 Xi 数学期望数学期望 算术平均值算术平均值 误差分布误差分布 （、） 真值真值 数学期望数学期望 平均值平均值 测量值测量值 系统误差系统误差 随机误差随机误差 3、系统误差的消除、系统误差的消除 系统误差对测量结果的影响往往比随机误差严重得多系统误差对测量结果的影响往往比随机误差严重得多 通过多次测量同一被测量的方法并不能减小其影响通过多次测量同一被测量的方法并不能减小其影响 研究系统误差的特征和规律，用一定的方法研究系统误差的特征和规律，用一定的方法 发现和

31、消除系统误差的影响发现和消除系统误差的影响 实验对比法实验对比法主要用于发现不变系统误差主要用于发现不变系统误差 残余误差观察法残余误差观察法发现有规律变化的系统误差发现有规律变化的系统误差 马利科夫判据马利科夫判据主要发现线性误差主要发现线性误差 Abbe-HelmertAbbe-Helmert判据判据主要发现周期性系统误差主要发现周期性系统误差 3、系统误差的消除、系统误差的消除 含有系统误差的测量列含有系统误差的测量列 (a)(a)不存在系统误差不存在系统误差 (b) (b) 有线性系统误差存在有线性系统误差存在 (c)(c)有周期性系统误差存在有周期性系统误差存在 (d)(d)复杂系统

32、误差存在复杂系统误差存在 3、系统误差的消除、系统误差的消除 从根源上消除从根源上消除 选择高准确度等级的仪器设备选择高准确度等级的仪器设备 减小仪器减小仪器基本误差基本误差对测量结果的影响对测量结果的影响 保证工作条件，遵照操作步骤保证工作条件，遵照操作步骤 放置、顺序、时间放置、顺序、时间 消除仪器的附加误差消除仪器的附加误差 选择合理的测量方法选择合理的测量方法 提高测量人员的测量素质、选用智能化程度高提高测量人员的测量素质、选用智能化程度高 的测量设备的测量设备 3、系统误差的消除、系统误差的消除 从根源上消除从根源上消除 利用系统误差的利用系统误差的修正值修正值C，则测量结果为，则测

33、量结果为 修正值的获取修正值的获取 仪器相关资料（技术仪器相关资料（技术鉴定鉴定书）中书）中 理论推导求取理论推导求取 试验求取：修正曲线、表格试验求取：修正曲线、表格 Cx 3、系统误差的消除、系统误差的消除 可预见性的误差可预见性的误差 零点零点 调零点调零点 扣除零点扣除零点 零点零点满度满度 环境环境 满足要求满足要求 电源、温度、噪声电源、温度、噪声 补偿修正：补偿修正：0.005%FS/0.005%FS/、1 1F.S/ 10%ACF.S/ 10%AC 3、系统误差的消除、系统误差的消除 可预见性的误差可预见性的误差 观测观测 观测规范观测规范 稳定、末位稳定、末位 （稳定位（稳定

34、位+1个变动位）个变动位） 正确选择量程正确选择量程 在量程的在量程的2/3以上测量以上测量 3、系统误差的消除、系统误差的消除 代替法代替法 在测量条件不变的情况下，用在测量条件不变的情况下，用已知量已知量替换替换被测量被测量， 达到消除系统误差的目的达到消除系统误差的目的 相同条件下：相同条件下：输出基本上不变输出基本上不变 被测量被测量X X，输出为，输出为x x 标准量标准量N N，输出为，输出为n n 测量误差只取决于标准量的测量误差只取决于标准量的准确度等级准确度等级，与测量装置无关与测量装置无关 测试系统测试系统 输入输入X N 输出输出x n N NN X NX r XXX r

35、 nxNNX nx . )( 可以忽略小量可以忽略小量 3、系统误差的消除、系统误差的消除 抵消法：抵消法：某些因素可能使测量结果产生某些因素可能使测量结果产生单一方向的系统误差单一方向的系统误差 改变测量中的某些条件改变测量中的某些条件( (如测量方向如测量方向) )，使前后两次，使前后两次 测量结果的测量结果的误差符号相反误差符号相反，取其平均值以消除系统，取其平均值以消除系统 误差（如寄生电势）误差（如寄生电势） 相同条件下：相同条件下： 被测量被测量 X X，输出为，输出为Y1Y1 被测量被测量-X-X，输出为，输出为Y2Y2 2 21 2 1 YY X XY XY 测试系统测试系统

36、输入输入 X X 输出输出Y1 Y2 补偿法：补偿法：环境条件的变化引入系统误差。可将环境环境条件的变化引入系统误差。可将环境 参数（如温度、气压等）变化考虑到测试系统中，采参数（如温度、气压等）变化考虑到测试系统中，采 取补偿措施，自动消除系统误差。取补偿措施，自动消除系统误差。 例如，热电偶测温，对冷端温度变化补偿例如，热电偶测温，对冷端温度变化补偿 3、系统误差的消除、系统误差的消除 在在0 0C C时，电桥平衡，输出为时，电桥平衡，输出为U=0U=0 如果环境温度上升，热电偶输出热电如果环境温度上升，热电偶输出热电 势数值要降低势数值要降低 电桥中桥臂电阻电桥中桥臂电阻RcuRcu随温

37、度上升而增随温度上升而增 大，使电桥输出电压增加大，使电桥输出电压增加 e U t0 t0 t b d a R1 c Rs RCut e R3 R2 算术平均值算术平均值 定义：有限定义：有限n次的测量数据为次的测量数据为xi，则则 最可靠的数值最可靠的数值、最接近被测真值，有时可代替真值最接近被测真值，有时可代替真值 数学期望数学期望的的估值估值，反映测量数据分布中心的位置，反映测量数据分布中心的位置 4、随机误差分析、随机误差分析 n xxx x n 1 x n21 n 1i i _ 标准偏差估值标准偏差估值 定义：有限定义：有限n次的测量数据为次的测量数据为xi ，则，则 反映测量数据的

38、分布反映测量数据的分布/散程度，也即测量的散程度，也即测量的精密度精密度 3误差区间误差区间 标准偏差估值和标准偏差估值和n有关有关 4、随机误差分析、随机误差分析 n 1i 2 i 2 n 1i _ i v 1-n 1 )x-(x 1-n 1 x S 衡量精度的指标衡量精度的指标 测量的准确度测量的准确度 测量结果与被测量真值之间的测量结果与被测量真值之间的一致程度一致程度 精密精密度度 重复测量所得各测量值的离散程度重复测量所得各测量值的离散程度 反映随机误差的大小反映随机误差的大小 正确正确度度 测量值偏离真值的程度测量值偏离真值的程度 反映系统误差的大小反映系统误差的大小 涉及真值，多

39、作定性描述涉及真值，多作定性描述 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 随机误差随机误差系统误差系统误差 理想情况理想情况 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 衡量精度的指标衡量精度的指标 测量的不确定度测量的不确定度 测量结果测量结果不能肯定不能肯定的程度、被测量之值的程度、被测量之值x的分散性的分散性范围范围 被测量的真值被测量的真值x以一定概率落在某个量值范围内以一定概率落在某个量值范围内 置信区间，如：置信区间，如： -u, u 不确定区间，不确定区间，X为最佳估值为最佳估值 表征被测量的表征被测量的真值真值X所处范围所处范围的评定的评定 真值落在【真值落在【9.510mm,

40、 9.520mm9.510mm, 9.520mm】区间内】区间内 (xx)xuuoru mmx005.0515.9 测量值测量值X和不确定度和不确定度 单位单位 uxx 衡量精度的指标衡量精度的指标 测量的不确定度测量的不确定度 测量结果所应有的指标测量结果所应有的指标 不确定度越小，测量结果的可信度越高不确定度越小，测量结果的可信度越高 不确定度分为不确定度分为两类两类 A类不确定度：用类不确定度：用统计统计方法求出方法求出多次测量多次测量 B类不确定度：用其他方法得出类不确定度：用其他方法得出单次测量单次测量 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 不确定度的评定不确定度的评定 A类不确

41、定度的评定类不确定度的评定 用用有限次数有限次数测量数据测量数据的的标准差估值标准差估值来度量测量结果的不来度量测量结果的不 确定性确定性 算术平均值的标准差估值算术平均值的标准差估值 最佳估值取其最佳估值取其算术平均值算术平均值，则置信区间为，则置信区间为 有限次数有限次数n：不宜超过：不宜超过10 (等精度测量难度随等精度测量难度随n增加增加) 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 n u A _ (xx) AAA uuxu n 1i 2 i 2 n 1i _ i v 1-n 1 )x-(x 1-n 1 x S 不确定度的评定不确定度的评定 A类不确定度的评定类不确定度的评定 测量结果

42、测量结果 对于有限次测量，其测量结果可直接表达为对于有限次测量，其测量结果可直接表达为 近年来国内推行的方式近年来国内推行的方式 测量结果取决于样本平均值、标准差估值，测量次数测量结果取决于样本平均值、标准差估值，测量次数 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 n xx 不确定度的评定不确定度的评定 B类不确定度的评定类不确定度的评定 确定确定工程工程上大多上大多单次测量单次测量x x的不确定度的不确定度 根据经验或资料及假设的概率分布估计的标准差来表征根据经验或资料及假设的概率分布估计的标准差来表征 a a为误差区间的半宽度，即被测量误差可能值的区间为误差区间的半宽度，即被测量误差可能值

43、的区间(-a(-a，a)a) k k为测量值落在为测量值落在a a区间内概率分布的置信因子区间内概率分布的置信因子 测量结果的置信区间测量结果的置信区间 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 k a u B _ (xx) BBB uuxu 不确定度的评定不确定度的评定 B类不确定度的评定类不确定度的评定 根据误差分布规律确定根据误差分布规律确定k 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 概概率率分分布布 适适应应范范围围 置置信信因因子子 k k 三三角角分分布布 两两个个值值的的差差或或和和等等引引起起的的不不确确定定度度 6 6 1 1/ /2 2 均均匀匀分分布布 数数据据的的舍舍

44、入入、数数字字仪仪表表的的分分辨辨力力、仪仪表表的的最最 大大允允许许误误差差、回回差差、调调零零等等引引起起的的不不确确定定度度 3 3 1 1/ /2 2 反反正正弦弦分分布布 度度盘盘偏偏心心、无无线线电电失失配配等等与与相相角角有有关关的的不不确确 定定度度 2 2 1 1/ /2 2 正正态态分分布布 置置信信区区间间有有确确定定的的置置信信水水平平 P P( (如如 9 95 5% %或或 9 99 9% %) ) P P= =9 99 9% %时时，k k= =2 2. .5 58 8 P P= =9 99 9. .7 73 3% %时时，k k= =3 3 P(%) 50 68

45、.27 90 95.45 99 99.73 K 0.67 1 1.645 1.960 2.576 3 Pkx 不确定度的评定不确定度的评定 B类不确定度的评定类不确定度的评定 示例：示例： 引用误差引用误差 已知仪表满度已知仪表满度A和精度等级和精度等级r，则最大允许误差为，则最大允许误差为 根据均匀分布，置信因子及标准不确定度为根据均匀分布，置信因子及标准不确定度为 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 rAa. max 3 . / 3 max rA ku k B 不确定度的评定不确定度的评定 B类不确定度的评定类不确定度的评定 示例：示例： 仪器的基本误差仪器的基本误差 仪器在指定条件

46、下对某量测量时，可能达到的最大误差界仪器在指定条件下对某量测量时，可能达到的最大误差界 限值为限值为a，按均匀分布假设，置信因子及标准不确定度，按均匀分布假设，置信因子及标准不确定度 若已知分布，则按实际分布计算。若已知分布，则按实际分布计算。 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 3 / 3 a kau k B 不确定度的评定不确定度的评定 B类不确定度的评定类不确定度的评定 示例：示例： 仪器的分辨力仪器的分辨力 数字式仪器的指示装置或数字式仪器的指示装置或A/D的分辨力为的分辨力为x，其区间半宽，其区间半宽 由均匀分布假设，置信因子及标准不确定度为由均匀分布假设，置信因子及标准不确定

47、度为 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 2/ x a 12 / 3 x B kau k 不确定度的评定不确定度的评定 B类不确定度的评定类不确定度的评定 示例：示例： 未给出仪器误差时估计未给出仪器误差时估计最大允许误差最大允许误差a 连续可读仪器连续可读仪器 最小分度最小分度/2/2 非连续可读仪器非连续可读仪器 最小分度最小分度/2/2 可按均匀分布假设，置信因子及标准不确定度为可按均匀分布假设，置信因子及标准不确定度为 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 3 / 3 a kau k B 连续可读连续可读 最小分度最小分度1m1m mmmm 最大误差最大误差0.005mm0.

48、005mm 不确定度的评定不确定度的评定 B类不确定度的评定类不确定度的评定 示例：示例： 正态分布变量正态分布变量 测量量以测量量以2/3即即67%的概率落在的概率落在a-a+的区间，则最佳估的区间，则最佳估 值为（值为（a-+a+）/2，而区间半宽，而区间半宽 置信因子及标准不确定度为置信因子及标准不确定度为 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 2/)( aaa akau k B / 1 不确定度的评定不确定度的评定 合成标准不确定度的评定合成标准不确定度的评定 测量误差是测量过程中所有因素及环节引起误差的综合结果测量误差是测量过程中所有因素及环节引起误差的综合结果 传感器的非线性、

49、迟滞、分散性、环境等传感器的非线性、迟滞、分散性、环境等 定义：定义：n个个影响量影响量独立引起测量结果的不确定度独立引起测量结果的不确定度ui 的几何合成的几何合成 ui既可为既可为A类标准不确定度，也可为类标准不确定度，也可为B类标准不确定度类标准不确定度 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 n i inC uuuuuu 1 222 3 2 2 2 1 间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计 间接测量量的估计值间接测量量的估计值 间接测量量间接测量量y是是n个直接测量量个直接测量量xi的单值函数，即的单值函数，即 间接测量量的最佳估值间接测量量的最佳估值 各直接测量量各直接测量

50、量x xi i的算术平均值的函数值的算术平均值的函数值 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 ),( 21n xxxfy ),( 21nxxxfy 间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计 间接测量量的估计值间接测量量的估计值 合成误差合成误差：通过函数传递的误差：通过函数传递的误差 直接测量量直接测量量x xi i的测量绝对误差为的测量绝对误差为x xi i，是一个微小变化量，则间，是一个微小变化量，则间 接测量量接测量量y y的绝对误差为的绝对误差为 近似：泰勒级数展开，略去高阶小量近似：泰勒级数展开，略去高阶小量 误差传播系数误差传播系数 直接量的误差直接量的误差间接量误差间接量

51、误差 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 n i iin n xcx x f x x f x x f y 1 2 2 1 1 i i x f c ),( 21n xxxfy 间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计 间接测量量的估计值间接测量量的估计值 合成误差：通过函数传递的误差合成误差：通过函数传递的误差 间接测量量间接测量量y y的的相对误差相对误差为为 泰勒级数展开，略去高阶小量泰勒级数展开，略去高阶小量 相对误差传播系数相对误差传播系数 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 111 1ln . nnn yi ii ii ii i fyf rx yx dx yx i i

52、x f d ln 间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计 间接测量量的估计值间接测量量的估计值 工程处理工程处理 偏导数处理：防止偏导数处理：防止负数负数导致测量误差的不合理导致测量误差的不合理 N3时计算误差偏大，修正为时计算误差偏大，修正为 结果表示结果表示 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 n i ii xcy 1 n i ii xcy 1 22 yyy 间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计 间接测量量的估计值间接测量量的估计值 工程处理工程处理 示例：示例： 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 2 122 123 2 3 22 1 22 121122 123

53、 223 333 34 (,) 63468 n ii i y yy xxx yfxxx x ycx x xxxxx ccc xxx yyy r 间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计 间接测量量的估计值间接测量量的估计值 误差传播系数误差传播系数意义意义 确定最大误差项，作为提高测量精度方向确定最大误差项，作为提高测量精度方向 确定最小误差项，降低测量精度要求确定最小误差项，降低测量精度要求 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计 22 1 n ii i yxc i i x f c 间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计 间接测量量的估计值间接测量量的估计值 合成标准不确定度合成

54、标准不确定度 函数函数y y的合成不确定度由直接测量量的合成不确定度由直接测量量x xi i的标准不确定度的标准不确定度u uxi xi确定 确定 n3n10n10）, ,符合下式的的数据符合下式的的数据x xi i含粗大误差含粗大误差 33法则不适应测量次数法则不适应测量次数n=10n 33=3=3* *0.065=0.1950.065=0.195 n格罗布斯准则格罗布斯准则: : ViVi T(n,T(n,).).2.412.41* *0.065=0.1570.065=0.157 6、粗大误差的消除粗大误差的消除 n i i 1 2 n _ i i 1 1 x0.20 1 (x - x )

55、0.065 n-1 x n 有效数字组成有效数字组成 无论测量仪器如何精密，其最后一位数总是估计出来的，无论测量仪器如何精密，其最后一位数总是估计出来的， 因此所谓有效数字就是保留末一位不准确数字，其余数因此所谓有效数字就是保留末一位不准确数字，其余数 字均为准确数字。字均为准确数字。 有效数字是由准确数字（若干位）和可疑数字（一位）有效数字是由准确数字（若干位）和可疑数字（一位） 构成。构成。 有效位数：从该数左方第一个非零数字算起到最末一个有效位数：从该数左方第一个非零数字算起到最末一个 数字（包括零）的个数，数字（包括零）的个数，它不取决于小数点的位置它不取决于小数点的位置 7、有效数字

56、有效数字 5158.129 有效数字有效数字 准确数字准确数字 + + 可疑数字可疑数字 有效数字组成有效数字组成 “0”0”的意义的意义 表示小数表示小数位数位数的的“0”0”不是有效数字；数字中间和不是有效数字；数字中间和尾部尾部的的 “0”0”是有效数字是有效数字 在在0.01200.0120中，中，“1”1”前面的两个前面的两个“0”0”都是定值用的，而在末尾的都是定值用的，而在末尾的 “0”0”是有效数字，所以它有是有效数字，所以它有3 3位有效数字位有效数字 7、有效数字有效数字 加速度（）加速度（）. . .0.0.21042104 0.00.01212 0 0 有效数字位数有效

57、数字位数位位5 5位位4 4位位3 3位位 有效数字组成有效数字组成 “0”0”的意义的意义 推荐用科学记数法：推荐用科学记数法：K K1010 n n ， ，1K1K1010 很大或很小的数，常用很大或很小的数，常用1010的乘方表示的乘方表示 当有效数字确定后，在书写时一般只当有效数字确定后，在书写时一般只保留一位可疑数字保留一位可疑数字，多余数，多余数 字按数字修约规则处理字按数字修约规则处理 7、有效数字有效数字 8 5 1025.1125000000 1025.10000125.0 有效数字组成有效数字组成 “0”0”的意义的意义 有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即有效数字的位

58、数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关与小数点的位置无关 用以表示小数点位置的用以表示小数点位置的“0”0”不是有效数字不是有效数字 由于由于单位变换单位变换在由测量所得到的数字后面的在由测量所得到的数字后面的0 0也不是有效数字也不是有效数字 采用科学计数法就不会产生这个问题采用科学计数法就不会产生这个问题 7、有效数字有效数字 0125.000125.0000125.0 7575000m mm mmm 52 1075.01075.0 有效位数的确定有效位数的确定 根据根据不确定度不确定度 根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应取几位根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应

59、取几位 有效位数有效位数 不确定度末位在小数点后第二位，所以测量结果的最后一不确定度末位在小数点后第二位，所以测量结果的最后一 位也取到小数点后第二位位也取到小数点后第二位 7、有效数字有效数字 mmx u x x 08.045.9 08.0 447.9 有效位数的确定有效位数的确定 根据根据不确定度不确定度 不确定度的有效位数不确定度的有效位数1212位位 最佳值或测量值末位与不确定度对齐最佳值或测量值末位与不确定度对齐 尾数按数字修约规则处理尾数按数字修约规则处理 7、有效数字有效数字 08.045.9 45.9447.9 08.0 x xx u x 有效位数的确定有效位数的确定 根据分析

60、方法与仪器的准确度根据分析方法与仪器的准确度 有效数字也反映测量的准确度有效数字也反映测量的准确度 数显仪表一般应直接读取仪表的示值数显仪表一般应直接读取仪表的示值 7、有效数字有效数字 有效位数的确定有效位数的确定 根据分析方法与仪器的准确度根据分析方法与仪器的准确度 有效数字也反映测量的准确度有效数字也反映测量的准确度 指针式仪表，读数时估读到仪器最小分度的指针式仪表，读数时估读到仪器最小分度的1/21/10 一般使测得的数值中只有一般使测得的数值中只有最后一位是可疑的最后一位是可疑的 7、有效数字有效数字 0.20.2 0.5+0.40.5+0.4 数字修约规则数字修约规则 “四舍六入四