控制网的优化设计毕业论文设计

1、- 1 - 控制网的优化设计 摘要 优化设计是最优化理论和方法在设计中的应用，力求以最低的 成本、最高的效率达到最优的目标。本文通过一系列的分析，对 控制网的优化方法进行分析，说明可行性。gps 为了解决控制网优化设计问题，本论文分两大部分，gps 网的 优化设计和 gps 网的精度和可靠性，在 gps 网形设计中，首先根据 工程的特点和 gps 网设计规范的要求，大致确定网的规模，用图论 和树的有关算法推导出 gps 网形中点、边、异步环之间的关系，然 后给出一种生成网形的算法，自动生成初步网形，并用模拟法在顾 及精度和可靠性准则下对初步网形进行优化设计，确定最终网形， 并按最小路径方法生成

2、观测方案。 关键词：关键词： gpsgps 控制网，优化设计，精度，可靠性控制网，优化设计，精度，可靠性 - 2 - 目录目录 摘要.2 abstract.3 1 绪论 .5 1.1 控制网优化设计的发展历史 .5 1.2 gps 控制网的发展历史.7 1.3 gps 网形的特点.8 1.4 gps 系统的应用前景.9 2 gps 网的精度和可靠性 .11 2.1 gps 网平差的数学模型.11 2.2 误差的传递与转换 .12 2.3 相对点位精度的合理评定 .14 2.4 gps 控制网的可靠性.18 3 gps 控制网优化设计 .22 3.1 gps 网优化设计的数学模型.22 3.2

3、一阶段优化设计 .24 3.3 三阶段优化设计 .27 结论.30 参考文献.31 致谢.32 - 3 - 前言 全球定位系统（global positioning system-gps）是美国从 20 世纪 70 年 代开始研制，历时 20 年，耗资 200 亿美元，于 1994 年全面建成，具有在海、 陆、空、进行全方位实时三位导航与定位能力的新一代卫星导航与定位系统。 最近十年我国测绘等部门的使用表明，gps 以全天候，高精度，自动化，高效 益等显著特点，赢得广大测绘工作者的信赖，并成功的应用于大地测量、工程 测量、航空摄影测量、运载工具导航和管制、地壳运动监测、工程变形监测， 资源勘探

4、、地壳运动学等多种学科，从而给测绘领域带来了一场深刻的技术变 革。 随着全球定位系统的不断改进，硬、软件的不断完善，应用领域正在不断 的开拓，目前已遍及国名经济各不呢不，并开始逐步深入人们的日程生活。 1 绪论 1.1 控制网优化设计的发展历史 最优化问题是一个具有很久的研究历史和广阔的应用前景的领域，早在 公元前 500 年毕达哥拉斯就发现了黄金长方形，即长方形的长与宽的最佳比率 为 1.61 8， 称为黄金分割比，在建筑或绘画中应用这个比例将使建筑和艺术最 优美、协调。在微积分出现以前，己有许多人开始应用代数的或几何的方法来 解决最优化问题;在微积分出现以后，利用求导法、变分法和拉格朗日乘

5、数法， 有效地解决了可导函数的极值问题，这类方法也称为古典最优化问题。近 30 年 来，由于科学技术发展的需要，实践中许多最优化问题已无法用古典方法来解 决，因此，许多新的最优化技术应运而生，为解决各种优化设计问题提供了有 效的方法。目前最优化设计己普遍应用于国民经济的各个领域，如生产管理、 运输调度、服务系统、信息系统等等。 在测绘学科方面，高斯所创立的最小二乘法至今仍是应用最广的数据处理 方法。18 年 helmert 发表了关于“测量的合理性研究” 的论文，1882 年 shreibe : 曾提出过著名的“线网最适当权分配”的方法，对基线扩大网的测角 观测方案进行了优化设计，这可以看作是

6、对测量控制网的优化设计所做的开创 性工作。但是在相当长的一段时间内，这一问题未得到深入而系统的研究。直 到六十年代，由于整个科学技术的发展和电子计算机的应用，测量控制网的优 化设计问题引起了测绘学者的重视，尤其是近 2 0 年来，控制网的优化设一直 是人们感兴趣的课题之一。值得提及的是 baarada 对控制网的质量标准问题进 行了入的研究，提出了评价控制网质量的三项标准，即精度、可靠性(即抵抗观 - 4 - 测粗差即其影响的能力)和经济性，并于 1971 年首先引入了准则矩阵的概念， 提供了一种更为全面和密的精度标准。grafarend 对控制网优化设计问题作了广 泛的理论研究，提出了现已为

7、国际上所公认的四阶段优化分类概念，系统地应 用了各种数学规划方法来解决控制网优化设计问题。在 1972 年 grafarend、schaffin 导出了具有均匀和各向同精度结构的准则矩阵，即著名的 taylor - karman 结构，简称 tk 结构。他们的工作为控制网的优化设计奠定了 理论基础。 在 gps 技术广泛应用于测量工作以前，控制网的优化设计理论与方法主要 应用于传统的二角网、边角网、导线网以及变形监测网，其内容涉及:各种准则 矩阵的构成，网形优化设计、观测权优化设计和附加观测值的优化设计，其目 标函数主要有精度(包括整体精度与局部精度)、可靠性(内部可靠性和外部可靠 性)、经济

8、性、灵敏度等。采用的主要方法主要有解析法( analytical method)和 机助模拟法(computer aided simulative method)，解析法设计的原理为在各阶段 设计中根据固定参数及有关的约束条件，对待定参数求最优解，其函数模型可 表示如下: llvxd ssxb rrxa l s , 2 , 1 2 , 1min , 2 , 1max 1 r 约束条件： ：目标函数： 式中( )表示不等式或不等式或等式 求待定参数的方法主要是线性规划法，但由于实际的控制网约束条件 复杂，不确定因素很多，很难计算出可行解，因此解析法主要用于小范围的精 密工程控制网。 模拟法是指对

9、于初步确定的网形与观测精度，模拟一组起始数据与观 测值，输入计算机，然后根据平差原理计算出未知参数及其函数的精度，估算 成本，或进一步计算观测值的可靠性、敏感性等信息，与预定的精度要求、成 本约束、可靠性约束等相比较;根据计算机所提供的信息与设计者的经验，对控 制网的基准、网形、观测精度等进行修正;然后重复计算，直至获得符合各项设 计要求的较理想的设计方案。其工作流程可示如下: - 5 - 显然，模拟法由于所得的最后结果会受到设计者经验的影响.只是一种相对 的最优，而非严格最优方案，但是这种方法的数学模型不需建立。可以用于任 何类型的设计优化问题，同时，它的最后结果一定是满足要求的、切实可行的

10、 近似最优方案。 1.2 gps 控制网的发展历史 近十年来，随着 gps 技术的出现，由于其具有控制点间不需要相互通视、 测量速度快、精度高、能全天侯作业等常规测量方法无法比拟的优点，在城市 或工程控制网的测量中，它基本己取代了常规的测量方法，因此对 gps 网的设 计与优化进行研究具有较强的现实意义和广阔的应用前景。目前，人们对 gps 网形设计主要形成了以外一些观点，一些人认为 gps 网的图形矩阵 a 类似于水 准网，而在水准网中的设计矩阵 a 与网的点位无关，也就是说 gps 网的优化设 计类似于相应的水准网的优化设计，也有文章认为 gps 网的网形，即点位的分 布， 则主要考虑点的

11、观测条件及未来扩展的方便，观测权的优化设计对 gps 网 意义不大，也有一些人主张加测 gps 基线以增加网的图形强度。但还未和常规 控制网的优化设计一样，对 gps 网的优化设计进行系统的研究，其主要原因在 于和常规的测量方法相比较，gps 观测具有以下特点： 具有更为复杂的函数、随机模型，这些模型的先验信息在设计阶段难于 获取和准确估计，即在实测前，各基线观测向量的误差(权逆阵)与模型误差一 样属于非参数估计； 基线观测问题不受或几乎不受)通视条件限制，因而 gps 网具有更为 灵活，多样的布网形式，为优化设计提供了更为确实可行的条件。 这些特点决定了 gps 网优化设计与实测方案难于完全

12、吻合，即“最优”设 计仅有理论上的意义而并非能在实测中完全准确实现，对 gps 网的优化不仅对 - 6 - 网形进行优化，而且还应对基线向量的观测时段、每时段的观测长度、地面点 的几何精度因子(gdop)等指标进行优选，因而导致了 gps 网优化设计的复杂性。 1.3 gps 网形的特点 (1) gps 网的同步环与异步环 gps 同步观测是指使用台 gps 接收机，同时在相同的时段内连续2mm 跟踪接收相同的卫星组信号。通常称同步观测的时间段为时段或测段，台m gps 接收机在一个时段内同步观测，可以由软件算得各点间的 gps 基线向量(或 简称 gps 边)，这些 gps 边可以构成一个完

13、全图，图形中包括的 gps 边的边数为: （1-3-1）2/1mmnb 但其中仅有 m-1 条是独立的 gps 边，其余的都是非独立的 gps 边，非独 立的 gps 边可以由独立的 gps 边推算得到。 当同步观测的 gps 接收机数时，独立的 gps 边和非独立的 gps 边将3m 构成闭合的多边形环，称为多边形闭合环，同步闭合环的最少个数为: （1-3-2） 2/211mmmnn br 理论上，同步闭合环中各 gps 边的坐标差之和（即闭合差）应为 0，但 因为有时各 gps 接收机并不是严格同步和各种误差的影响，使得同步闭合环的 闭合差并不等于零，只要同步闭合环的闭合差不超过限差，则认

14、为此测段的 gps 观测是合格的，但并不能说明 gps 边的观测精度较高，也不能发现接收机 的信号受到干扰而产生的粗差。 为了确定 gps 观测效果的可靠性，有效地发现观测值的粗差，必须使 gps 网的独立边构成一定的几何图形，这种几何图形可以由数条 gps 独立边构成非 同步多边形 （或称为非同步闭合环、异步环） ，如四边形、五边形等，gps 网中的图形设计，就是根据所布设的 gps 网的精度、可靠性及其它方面的要求， 设计出由独立 gps 边构成的多边形网（ 简称为 gps 网） 。 (2)gps 网中各要素之间的关系 gps 网形可以由图论来描述，从其组成要素上来看，它类似于 gis 空

15、间数 据的构成要素，也是由点、线、面构成的，这里的点是指已选定位置的 gps 点， 线表示两点之间存在独立的 gps 边，面指由独立的 gps 边构成的异步环。 gps 网形是靠一定数量的 gps 接收机在野外观测一定数量的时段而实现的， 因此在设计网形、编制观测纲要时一定要建立这些量之间的关系。设为 gps p n 点的个数，为整个网中的独立边数，为异步环的个数。在 gps 测量规范 b n r n 中，有的要求网中异步环的边数小于某个给定的整数值，有的要求每个点上至 - 7 - 少应设站两次，实际上这两个规定有其一致性。 （）当要求 gps 网由 m 边形组成时，存在以下关系: （1-3-

16、3） 1 1 21 pbr b nnn kmkn 其中： 2 2 int 1 m n k p 0 2 2 1 0 2 2 2 2 2 mod 2 m n m n m n k p pp int( )表示取整数，mod ( )表示取余数，对于不同的和 m ，按上式 p n 计算出相应的和，从上式可以看出，在根据测区范围和精度要求确定 b n r n 和 m 以后，可以由上式求出需 要观测的独立的 gps 边数和，从而对 p n b n r n 布设 gps 网的工作量有一个恰当的估计。 （）当要求每个点上至少设站次时:2tt 对于一个有个点的控制网，如果在每个点上至少设站 t 次，则共应 p n

17、设站次，如果用于观测的 gps 接收机有 m 台，则需要观测的总时段数 k 为: p tn （2-3-4） m tn m tn m tn m tn m tn m tn k ppp ppp int1int intint ， ， 此时，独立的 gps 边和网中闭合环数为: （2-3-5） 11 1 pr b nmkn mkn 1.4 gps 系统的应用前景 当初，设计 gps 系统的主要目的是用于导航、手机情报等军事目的。但是， 后来的应用开发表明，gps 系统不仅能够达到尚书目的，而且用 gps 卫星发来 的导航定位信号能够进行厘米级甚至毫米级精度的静态相对定位，米级至亚米 级精度的动态定位，亚

18、米级至厘米级精度的速度测量和毫微秒级精度的时间测 量。应此 gps 系统展现了极其广阔的应用前景。 其主要应用有： (1)在控制测量中的应用； - 8 - (2)在精密工程测量及变形监测中的应用 (3)在航空摄影测量中的应用 (4)在线路勘测及隧道贯通测量中的应用 (5)在地形、地籍及房地产测量中的应用 (6)在海洋测绘中的应用 (7)在智能交通系统中的应用 (8)在地球动力学及地震研究中的应用 (9)在气象信息测量中的应用 (10)在航海航空导航中的应用 - 9 - 2 gps 网的精度和可靠性 2.1 gps 网平差的数学模型 大地测量控制网的优化设计是通过调整观测点的位置及观测方案来达到

19、使 目标函数最优的目的，为此，首先要建立起观测量、未知参数、观测量的权以 及未知参数的方差、协方差矩阵之间的函数关系。 gps 接收机的初始观测量是瞬时载波相位差.而未知参数包括卫星坐标的改 正量、地面点的坐标以及一些系统误差参数 (卫星钟差、接收机钟差、电离层、 对流层的折射延迟以及整周模糊度等)，作为第一步，首先要解出基线向量，文 献2对 gps 基线向量的解算已有详细叙述，本文不再述及。而以基线向量作 为观测值的网平差的数学模型和随机模型正是本文所关心的。 “基线选择法”是 gps 控制网平差最常用的方法，它通过选择独立基线来组 成平差网形，分为两个过程，首先解算出同一时段的基线向量，然

20、后从基线向 量中选取独立的基线向量进行网平差。在网平差阶段，将地面点在的三维坐标 当成待求的未知参数，从而得到以下的 gauss-markov 模型: axre )( (2-1-1) r crd )( 这里 a 是由 0，1 组成的图形矩阵，x 是待定点的近似坐标改正数向量，而r 则由下式给出 : （2-1-2）)( 21 t n tt rrrr (2-1-3) i i i k k k j j j kji z y x z y x z y x rrr 获得 (3-1-1)式基线向量方差的方式有两种，第一种方法是采用基线 向量解算时计算出的方差和协方差阵作为验前协方差阵，第二种方法是在基线 向量的

21、经验公式。的基础上采用验后最小范数二次无偏估 2222 sba i 计(minque 估计)得到，其中常数 a、b 分别为接收机的固定误差和比例误差系 数，s 为基线长度。 在 gps 网的优化设计中，由于没有实际观测值，采用以下的经验公式作为 基线向量各分量的近似精度: (2-1-4) 2222222 3/ izyx sba iii 若某 gps 网有 n 条基线，并不考虑同一基线各坐标分量之间的相关性，则 所有基线分量的方差、协方差阵可表示为: - 10 - （2-1-5） iirr idiagcdiagc j 2 ni2 , 1 其中 diag是一个由 n 个的单位矩阵所组成的对角阵。

22、ii i 2 33 2.2 误差的传递与转换 gps 网精度估算是指在选定的基准条件下，通过误差传播律来近似计算待 定点的方差和协方差、各点之间的相对中误差、或边长、方位角误差等。若以 表示 gps 网中所有点的协方差阵，由于其它量 (如边长、方位角等)均为坐 xx q 标未知数的函数，因此也可以用误差传播律来求坐标未知数函数的协方差( ),因此 gps 网的精度评定主要是计算精度估算与网平差的区fqfq xx t ff xx q 别在于:精度估算中作为观侧值的基线向量是一个未知量，其先验的协方差未知， 而在网平差中，基线向量的协方差阵己在基线解算中获得，其次，网平差中常 数项可以准确地计算出

23、，而在设计阶段，其值未知。在精度估算中，基线向量 各分量的先验精度采用 (3-1-4)式的计算方法获得，在网形设计阶段，我们最 关心的是在独立坐标系下的精度，因此误差要经过以下一系列的计算和传播过 程。 1 gps 网的三维平差 设任意两点 i, j 的 gps 基线向量观测值为(),它门是 wgs- ijijij zyx, 84 坐标系中的空间直角坐标差，又设待定点在 wgs-84 坐标系中的空间直角坐 标为未知参数并记为: （2-2-1） i i i z y x i i i i i i z y x z y x 0 0 0 其中，()为坐标近似值，()为坐标平差值，(,)为 000 , ii

24、i zyx iii zyx , , i x i y i z 坐标改正数，容易得出 gps 基线向量观测值()与未知参数存在以 ijijij zyx , , 下关系: (2-2-2) i i i j j j zij yij xij ij ij ij z y x z y x vz vy vx z y x y y y _ 式中，()表示为()的改正值，从而写成 ijijij zyx vvv, ijijij zyx , , 误差方程的形式: - 11 - （2-2-3） 设某 gps 网中共有 m 个点，观测了 n 条基线，则上式写成矩阵的形式为: （2-2-4）lxav v: 3n 1 阶矩阵，表示

25、基线向量的改正数 a: 3n 3m 阶矩阵，称为系数矩阵或图形矩阵，与网形有关 :3m 1 阶矩阵，坐标未知数的改正数:x l:常数项向量。 (2-2-4)式是不包含基准条件的误差方程，其系数矩阵是秩亏的，无法求解， 对于三维控制网而言，本应包含三个位置基准，一个尺度基准，三个方位基准， 在网平差时可以通过以下约束条件来获得网的基准: (1)固定约束 (即固定点的坐标值): (2)条件约束 (即通过使某些未知参数之间满足给定的条件); (3)权值约束 通过给某些观测量或未知量分配很大或很小的权)。 对于 gps 网，作为观测值的 gps 基线向量包含了尺度和方位信息，因此， 在 wgs-84

26、坐标系中平差时，可以取 gps 基线向量提供的尺度基准和方位基准， 在此，我们取 b 点的单点定位的三维坐标作为固定值，从而可以写出基准方程: （2-2-5） 0 0 0 b b b z y x 写成矩阵形式为:0 1 xgt （2-2-6） 00000 00100 00010 1 t g (2-2-4), (2-2-6)式联立，即为附加基准条件的 gm 模型，在最小二乘准则 下求解得: (2-2-7)plaqplaggpaax tttt 1 1 11 (2-2-8) 11 paqaqq t xx 需要说明的是，在城市或大型工程控制网中，经常采用分级布网的方案， 对于分级布设的 gps 网，首

27、级网一般采用只固定一个位置基准的无约束条件的 0 0 0 _ ijij ijij ijij z y x z y x z y x zz yy xx v v v i i i j j j ij ij ij - 12 - 三维平差，而次级网是在固定多个首级网点的情况下的有约束条件的三维平差， 很明显，次级网的误差也包含首级网的误差，在次级网点的精度评定时，一定 要考虑首级网的误差，具体的估算方法将在以后的章节中详细述及。 2 gps 网空间直角坐标的协方差阵转换成大地坐标协方差阵 gps 网在空间直角坐标系下进行三维平差之后，需要在椭球下(wgs-84 椭球、国家椭球或地方区域椭球) 将空间直角坐标(

28、 x y z ) 转换成大地坐 标 ( b l h)，有以下熟知的公式: （2-2-9） nbyxh yxbnezarctgb xyarctgl cos/ /sin / 22 222 其中 为椭球的第一偏心率，n 为卯酉面的曲率半径，对 e be a w a n 22 sin1 上式微分，得出大地坐标与空间直角坐标的微分关系: t xyzblh rqrq 11 3 gps 网大地坐标协方差阵转换为高斯坐标协方差阵: gps 的大地坐标要变换成平面坐标，要通过高斯投影来得到，而高斯 投影要先选择中央子午线，中央子午线可以按国家坐标系的 3 度、6 度带来选 择，也可以选择任意的中央子午线，如在城

29、市独立坐标系中，一般选择过城市 中心区域的经线做为中央子午线。通过高斯投影的正算可以得到各网点的高斯 坐标及其协方差阵。其协方差计算可以采用如下: dl db r d d g y x b l bnblm blbnb l m rg 2 2 2 2 sin21 2 1cossin cossinsin21 2 1 其中: m , n 分别为子午面和卯酉面的曲率半径，经差(为 中 0 lll 0 l 央子午线经度),按误差传播公式，存在下式: t gblhgxy rqrq 2.3 相对点位精度的合理评定 普通的( 绝对)点位精度是指控制点相对于一组起算数据(包括起算点 的坐标、起算方位角和起算边长)的

30、精度，而传统的相对点位精度评定方法是利 - 13 - 用坐标差来确定两点之间的相对点位精度: (2-3-1) kjj kkjkkjjjkjj yykyy yxyxyxyxxxkxx yxy yxx ddd ddddddd dd dd 2 2 对称 这种相对点位精度的评定方法与绝对点位精度相比较，仅仅是改变了起算 点的位置，而没有改变起算方位角和起算边长的位置，因而理论上是不严密的 训，不能合理地评定两点之间的相对精度，而在实际工作中，有时需要根据不 同位置的起算数据来分析控制网的精度。例如在工程控制网中，为确定离起算 数据较远的控制点是否满足精度要求，有时并不要求这些点相对于原起算数据 有很高

31、的精度，而只要求它们相对于邻近某个点、某个方位和边长的相对精度， 为了便于合理地评定相对点位精度，我们把平差基准分为坐标基准和方差基准。 1 坐标基准 在平差问题中，待估的未知参数往往不是观测值，例如在 gps 网平差中， 观测值更准确地说应该是伪观测值)为基线向量，而取点的坐标为参数，如果 没有足够的基准条件，这种坐标参数是无法确定的，这种起算数据称为平差问 题的基准。为了便于和后面提出的方差基准区分，我们称此基准为坐标基准。 gps 测量的基准条件可统一表示成为下式: (2-3-2)0xgt 若在基准条件为的条件下，则附基准条 件的 guass-markov 模型表示为: 1 g (2-3

32、-3) 0 11 1 xg lxav t 在最小二乘准则下组成法方程:( 其中: k 为附加的参数向量): (2-3-4) 0 11 11 xg plakgxn t t 上式中由于 n 秩亏，令， 对上面两个方程进行矩阵的初等 t ggnn 11 变 换，可以证明 n 是满秩的，按文献的分块矩阵求逆公式，可得到(3-3-5) ， 这与文献的附参数条件的间接平差计算结果是一致的。 = 000 2212 1211 1 11 pla qq qqpla g gn k x tt t (2-3-5) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 11 pla gn

33、gnggng gnggnggnggnn t ttt ttt - 14 - 即： (2-3-6)plarplanggnggnnx t n ttt ) ( 1 1 1 1 1 11 1 11 (2-3-7) nnx nrrq 1 在只固定一个基准点的情况下，上式可简化为： (2-3-8)plaggnx tt 1 111 (2-3-9) 1 11 1 111 tt x ggnnggnq 但在城市控制网的首级网和工程控制网中，一般只取 gps 基线的尺度基准， 采用固定一个地面网的基准点和一个起始方位的无约束条件的三维平差，因此， 在 wgs-84 坐标系中对基线向量进行三维平差时应加入方位角信息。若

34、以为 0 p 基 准点，以的大地方位角为方位基准，由 gps 三维坐标差求得的大地坐 10,p p 标方位角为: (2-3-10) 0100100100 010010 01 cossincossin cossin zbylxlb ylxl arctga g 令 ， 0100100100100100 cossin,cossincossinylxlvzlylxlbu 对上式线性化，得 （2-3- 22 000100010133 22 00010010122 22 00010010111 /coscoscossin/ /coscossin/ /cossinsin/ 1 1 1 vublybbxdda

35、a vublzbxddaa vublzbyddaa z g y g x g 11） 在加入方位角条件下，基准变为： （2-3- 332211 2 000 000100 000010 000001 aaa g 12） 为方便计算，可以将基准条件中的方位角条件作为伪观测值，取其权值为 无穷大，在有 m 条基线的情况下，在附加第 3 m + 1 个条件方程(3-3-13) ，从 而仍可以沿用(3-3-8)和(3-3-9)式: (2-3-13) 1313 mm lxav 2 方差基准 在选定的坐标基准下，若同时默认起始数据的方差为零，即可得出重 - 15 - 合于坐标基准的协方差基准，在此基准条件下得

36、出的平差后网点坐标的协方差 阵就是通常所说的相对于起算数据的绝对点位精度(绝对点位精度) 。如图，设 4,7 点 为某隧道控制网的两个洞口点，设所选定的坐标基准条件为固定 1 点即 1 g 1-2 方位，而我们所关心的并非洞口点的绝对点位精度，而是在固定 7 号点和 7 -3 方位条件下(称为)4 号点的点位精度。在测量控制网中，我们关心的是平 2 g 面坐标系 f 的点位精度，由于大地方位角和地面独立坐标系的起始方位角只差 一个极小量的旋转角，因此在空间三维直角坐标系中固定大地方位角与在平面 上固定坐标方位角是等价的，完全可以在二维的独立坐标系下对控制网进行协 方差基准变换，若以点为墓准点，

37、两点的方位角为起算方位角,(2-3-12)的 0 p 10,p p 三维基准条件与下面的二维基准条件是一致的: （2-3-14） 00cossincossin 000010 000001 01010101 1 t g 故在三维平差中，由三维基准条件与二维基准条件的一致性，将空间三维 直角坐标下的坐标协方差阵转换成平面坐标协方差阵后.再沿用文献列出的 19 协方差基准的性质和转换公式，并由这些性质检验协方差基准的正确性，具体 的公式在此不再推导。 3 在不同的方差基准下求相对点位梢度的实用公式 设在给定的坐标基准条件下，未知点的协方差阵经过三维平差以后，经过 前已述及的一系列变换，得到了其高斯坐

38、标的协因数阵，设新的方差基准 1 x q 条件 为固定 点及之间的坐标方位角，取： 2 giji, （2-3-15） 2 2 1 1 101010 010101 mm t xyxyxy g - 16 - 式中，。 ij il l s xx x ij il l s yy y mi1 条件也可写为: 2 g （2-3-16） 0cossincossin00 0001000 0000100 2 ijijijij t g 如果求出所有点在新方差基准下的协因数阵，其计算量会相当庞大，也会 占用较多的内存，而在实际工作中，我们只需要评定某两个点的相对点位精度， 即某个点如 k 点)在新的方差基准下的点位精

39、度，故可对式简化。 2.4 gps 控制网的可靠性 控制网的可靠性概念是为研究模型误差 (土要是粗差和系统误差)而提出来 的，用来描述网本身发现某一模型误差的能力的指标称为网的内部可靠性，控 制网抵抗模型误差的能力称为网的外部可靠性。 在工程实践中，人们往往倾向于注重控制网的精度，而忽略了控制网的可 靠性，实际上可靠性与精度同样重要，而且_者不是等价的，高精度的控制网不 一定有好的可靠性，而可靠性好的控制网也不一定具有较高的精度，因此在网 的设计阶段一定要考虑到网的可靠性。对于 gps 网而言，gps 网的原始观测值 转换成为平差中的基线向量经过了若干次转换，也包含了较常规测量更多的系 统误差

40、源，在网形设计阶段充分考虑可靠性指标更有其必耍性。 和常规网相比，gps 基线向量网的数据的平差处理由两个阶段组成，一是 对相位观测值进行基线向量解算，二是以基线向量为观测值进行网平差计算。 第一阶段，可靠性研究侧重于如何通过残差分析剔除劣质相位观测值，包括消 除小的周跳，确定好整周模糊度的偏差值等。第二阶段，主要研究以基线向量 为观测值的可靠性问题。 1 网的可靠性矩阵 以 gauss-markov 模型为例，在最小二乘准则下，未知参数的解为 （2-4-1）plaqplapaax t xx tt 1 （2-4-2）rlplqlipaaqv t x （2-4-3） nnnn n n vv rr

41、r rrr rrr pqr 21 22221 11211 - 17 - 若观测值中有一模型误差，则对改正数的影响为 t n 21 （2-4-4）rv 由式 (3-4-3), (3-4-4)可以看出，任何一个模型误差一般对每一个改正 数均有影响，其影响系数为矩阵 r 的元素，r 的对角线上的元素为 的模型误 ii r i l 差对 本身改正数的影响系数，非对角线元素表示的模型误差对 的 i i l i v ij r j l j i l 改正数的影响函数，因此，矩阵 r 反映了模型误差对改正数的作用程度，而 i v 改正数是用来探测模型误差的主要依据，所以 r 矩阵包含了控制网的可靠性信 息，称之

42、为可靠性矩阵，对于常规的测量控制网和 gps 网上式同样适用。 2 gps 网的内部可靠性 当某一观测值包含模型误差式中 h 为系数矩阵，s 为 p 维模型 1 1 ppn n sh 误差系数向量，则 gm 模型变为带模型误差的扩展模型: （2-4-5）lshxav 在最小二乘准则下，解出得： （2-4-6） 1 1 1 1 ahhhhahaaq shaqplapaax phpqhq pvhqs tttt vv t vv tt vv t ss t ss 为了检查模型误差是否存在，提出以下的原假设和备选假设： 原假设: （2-4-7） 0 , | 00 sxahleh或 备选假设： （2-4-8

43、）0 , | 11 sshxahleh或 在有多个粗差的情况下，能以一定的检验功效，通过显著水平为的统 0 计检验可发现的(s 为的单位向量)方向可发现粗差的下界值为:ss （2-4- spsss ss t /| 000 9） 式中是 单 位 权中 误 差，为 非中 心 化 参 数 0 s 0 。 针对 gps 基线向量为观测值的 g p s 网，设基线向量的粗phpqhp vv t ss 差向量的单位向量部分为: , （2-4- t x s001 t y s100 t z s100 10） 在网形设计阶段，我们讨论的是单基线的可靠性问题，其特点是各个 单基线向量之间不相关，而一条基线的三个分

44、量之间相关。因此 g p s 基线向 量观测值的权阵是一个分块对角阵。根据这一特点，对于 gps 网，可以得出下 - 18 - 式: （2-4- ivivv t ss pqpphpqhp ii 11） 式中，和分 别 是 权 阵和阵的第 个 三 阶 主 子 块 。 由( 2 i p ii v q v qi - 4 - 9 ) 式 可 求 得 某 一 基 中 式线向量的三个坐标分量方向上的内可 靠性为: （2-4-12） z zsszlz y yssyly x xssxlx rsps rsps rsps 00000 00000 00000 / / / 式中： （2-4-13） x xk ixki

45、kxivi xrppqpr ii 0 0 1 001 （2-4-15） x xk i yk i yk yrpr i （2-4-16） x xk i ykixk yrpr i 上式中的为第 i 条基线向量三个坐标分量的多余分量主子块阵， 在无 i r 需 顾及方向的前提下，可按下式来求出单条基线向量可发现粗差的下界值: （2-4-17） 2 0 2 0 2 00 lzlylxl 它是一种平均意义下的定义，即假设某条基线在空间各方向上可发现 的粗差的下界值是相等的，因此单条基线向量可发现粗差的下界域也是一个球 形域。若假设某基线向量的各分量是等权的，则 ( 2-4-12 )式可以变为: （2-4-

46、 xiiilx rr / 0 18） 为了比较各种不同精度的观测值之间发现粗差能力的差别，将上式中 的观测精度口去掉，得到的无量纲的内部可靠性指标与文献的内部可靠性指 i 标完全等价，这说明若将基线观测分量作为观测值，可以得到与常规网一样的 内部可靠性指标。 3 gps 网的外部可靠性 外可靠性是指不可发现的最大模型误差对平差结果的影响，一般将这种 模型误差对平差未知数的影响长度定义为外部可靠性指标。在 ( 2-4-5 )的数 学模型下，外部可靠性可表述如下: - 19 - （2-4-19） sps spps ssxs ss t ssss t 00 | 式 中 :类似于内部可靠性的讨论,可求得

47、一个基线向量在三个phhp t ss 坐标分量方向上的外部可靠性指标为: （2-4-20） 1 1 1 00 00 00 z zz z y yy y x xx x r p r p r p 式中，分别是该基线向量的权阵中的对角元素， 同样， zzyyxx ppp , 定义一个基线向量平均意义下的外部可靠性指标为: 2 0 2 0 2 00zyxb 4 控制网可靠性的一些性质 矩阵为可靠性矩阵，内部可靠性和外部可靠性都由其决定，panair t 通过对它的分析，可以得到以下一些性质: (1)tr(r)=r 二其中 r 为多余观测数，对于有 m 个点，n 条基线的 gps 网， 则；nmr33 (2

48、)r 的对角元素满足: ；10 , ii n li ii rrr (3)对于某个观测值 而言，其可靠性权阵与自身的精度权阵成反比， i l i r i p 而与其它观测值的权阵成正比； j l i p (4)增加新观测值，既能提高其它原有观测值的可靠性，又能提高网的总 体可靠性； (5)衡量网的可靠性的准则，不仅取决于多余观测数值，也取决于各观测 值的可靠性权阵分配是否均匀。 - 20 - 3 gps 控制网优化设计 3.1 gps 网优化设计的数学模型 (1) 常规网的优化设计模型 我们做任何一项工作时，总是希望在所有可行的方案中选择一种某种意义 上最优的方案，这就是最优化设计问题，数学上的

49、优化设计可以用以下的函数 模型来表示: （3-1） nixh pjxg exxf i j n , 2 , 10 , 2 , 10 min 式中为设计变量，可以由设计人员调整，其不同的取 t n xxxx, 21 值 表示 不同的设计方案，是优化设计问题中最终要确定的变量。 为设计变量的函数，称为目标函数，其函数值的大小决定了设计方案 f 的好坏，也称为优化设计的准则矩阵;不等式约束条件，为 等式 xgj xh j 约束条件，统称为约束条件。约束条件是为了确保设计方案能够满足使用上的 要求而建立的，以使设计方案最终是确实可行的。满足约束条件的所有设计变 量组成的集合称为可行域，可行域内的每一个点

50、所代表的方案都是可行的。 数学最优模型应用到测量控制网中，用数学语言可以描述如下， （3-2） xhnmpast erp ，或, min 其中分别为精度、可靠性、经济指标，分别为图形矩阵和权矩erp,pa, 阵， 分别为未知数个数和观测值个数，限制条件函数，为常nm, xh、 数。(3 - 2)即顾及精度、可靠性、经济性等综合指标的大地控制网优化设计的 数学模型。按照提出的，目前国际上广泛采用的分类方法，控制网的grafraend 优化设计分为以下几个阶段: (1)零阶段设计问题(或称基准选择问题)，对一个已知图形结构和观测计划 的自由网，为控制网点的坐标及其方差阵选择一个最优的坐标系。即在己

51、知设 计矩阵 a 和观测值权阵 p 的条件下，确定网点的坐标向量 x 及其协因数阵， xx q 使 x 的目标函数达到极值，因此，零阶段设计问题就是一个平差问题； - 21 - (2) 一阶段设计问题(或称图形设计问题)，即在已知观测值的权阵 p 的条 件下，确定设计矩阵 a，使网中某些元素的精度达到预定值或最高精度，或者 使坐标的协因数阵最佳逼近某个给定的矩阵(准则矩阵)； xx q (3)二阶段设计问题(或称观测值权的分配问题),即已知设计矩阵 a，确定 观测值的权阵 p，使网的精度(整体精度或局部精度)达到预定值或最高精度； (4)三阶段设计(或称为网的改造或加密方案的设计问题)，通过增

52、加新点 和新的观测值，以改善网的质量。在给定的改善质量前提下，使改造测量工作 量最小。或者在改造费用一定的条件下，使改造方案的效果最佳。 以上各阶段的设计既相互区别，义是相互联系的，如三阶段设计问题可 以看成是一阶段和二阶段设计问题的混合，各阶段设计问题的己 知量与设计量 之间的变换关系可以用下表来表示: 类 别已知量设计变量 零阶段设计pa, xx qx, 一阶段设计 xx qp, a 二阶段设计 xx qa, p 三阶段设计 xx qpa, 2 gps 网的优化设计 具体到 gps 控制网,其数学模型与常规大地测量控制网一样采用(3- 2)式， 其优化设计步骤也可以按上述的四个阶段逐步优化

53、，但是，应该和常规网有所 区别: gps 网平差广泛采用的方法是在 wgs-84 空间直角坐标系中进行无约束条 件的平差，然后将平差后的坐标及其协因数阵转换到高斯平面上，再在平面上 建立坐标转换模型，根据 gps 网和地面网的公共点的坐标及坐标约束条件。求 解转换参数，然后将 gps 点坐标及相关的精度信息，根据转换模型一次性转换 到国家或地方坐标系下。若只固定一个点和一个已知方位，这称为无约束条件 的 gps 网平差，若固定点的个数在两个以上，则称为约束条件的 gps 网平差。 前者最大限度地保留了 gps 技术高精度的特点，但地面公共点的坐标发生了变 化，后者虽然可保持约束点的坐标不变，但

54、约束平差后 g p s 网的尺度保持了 常规网的尺度，其度可能是虚假的，特别是当约束点中存在较大误差或显著位 - 22 - 移时。选择哪种平差法应根据建网的目的来考虑，当对城市控制网进行新建或 大规模地扩建时，应选择无约束条件的网平差模型，当对原有地面网局部加密 时。应采用约束转换。而对于工程控制网，大多采用无约束条件的网平差，以 保持网的较高精度，如隧道网，它一般选择洞口点作为基准点，桥梁控制网， 则选择其主轴线作为基准方向，轴线的某一端点作为基准点，对于变形监测 51 网一般采用自由网平差或拟稳基准。故对于基准条件的选取受网的用途和目的 的限制，其选择的自由度不大，故对于零阶段优化设计没有

55、多大的实际意义， 但要注意基准的选择引起 gps 网点位误差变化的规律。 控制网优化设计的方法有许多种，目前广泛采用的方法主要是解析法 (analyticalmethod )和机助模拟法(computer aided simulative method ) ， 解析法是通过建立优化设计的数学模型，包括目标函数和约束条件.选择一种优 算法,求出问 题的最优解;机助模拟法则是将电子计算机的计算功能和判别能力 同设计者的知识和经验结合起来，通过一个凭经验拟订的初始观测方案，进行 分析计算，求出各项质量指标，并对设计方案进行不断的修改，直到满足设计 者的要求为止的一种方法。 对于 gps 控制网，由于

56、解析法优化设计模型比较复杂，难以解出可行解， 目前编制出的控制网的优化设计软件一般都采用模拟法，需要指出的是模拟法 的最终结果相对于解析法而言，在严格的数学意义上并非最优，而只是一种相 对最优，下面将模拟一小型 gps 网，在顾及精度和可靠性的准则下，对 gps 网 的优化设计进行探讨。 3.2 一阶段优化设计 1 点位的移动及异步环的数盆对精度和可靠性的影响 一阶段设计即 gps 网形设计，主要是指在控制点的个数。多余观测数大致 确定的情况下，设计出最优的网形，以使整个控制网具有较好的精度和可靠性。 在常规测量中，点位的位置移动对精度和可靠性的影响较大，主要原因是 点位的移动将改变传递三角形

57、的角度，从而会改变点位误差椭圆的大小和方向， 如三角网布网时就规定传递三角形的角度一般不得小于 30 度。而 gps 观测类似 于水准测量，只要不改变点间的连接方式，其误差方程就不会改变(即图形矩阵 a 不变)，点位的移动对权阵 p 会不会有影响呢?gps 基线向量的精度估算公式 (3-2 -1)对基线长度微分得: (3-2-1) iii dssbd 22 2 在上式中，取 s=20km ,ds=1km ,b=2ppm，计算出，在进行08 . 0 / 2 0 2 ii d - 23 - 精 度估算时其变化量完全可以忽略，对于采用厂商提供的类似的标称精度公式: 来估算基线标准差的情况，同样可以证

58、明由点位移动而引起基kmsba i 线标准差的变化量将会更小,所以，在不改变 gps 边的连接关系的情况下，仅对 点的平面位置进行小范围的调节是不会改变网的精度和可靠性的. 控制网网点的个数固定的情况下，异步环个数的改变是否会对网的精度和 可靠性产生影响。规范中没有明确规定异步环中独立边长的数目，但在城市控 制网的技术设计中一般说明异步环最多不能超过 6 条边，下面将以实例来分析: 如图 3-1 、图 3-2 为某模拟的 gps 控制网，采用单频接收机观测(10m m+2ppm )， 平均边长约 20 公里，在相同的基准条件下(以 228 号点为固定点，以 228-227 的方向为起始方向)，

59、而异步环基线向量数不同的情况下，得出的各点的误差如 表 4 -1 所示. 图图 3-13-1 图图 3-23-2 网形一网形二 点名 mx(cm)my(cm) m（cm） mx(cm)my(cm) m（cm） 2111.591.812.411.691.922.56 2130.850.971.290.961.091.46 2161.011. 151.531.281.461.94 2181.842.092.781.862.122.82 2201.932.192.921.962.232.97 2261.411.602.141.832.072.76 2270.730.831.110.790.901.1

60、9 2491.561.772.361.922.172.90 2441.411.602.142.062.343.12 2451.011.151.531.411.602.1 3 2471.001 .141.521.131.281.70 2280.000.000.000.000.000.00 2 gps 网平差基本观测 a 的选取对精度的影响 作为网平差观测值的基线向量既包括独立的基线向量，也包括和独立基线 向量相关的基线向量，原则上都可以参与平差计算，基本观测量的选取是否会 对网点的精度产生影响?设整个网有 n 个观测值 l，其中有个为函数独立的 1 n 2 l - 24 - 观测值，个与函数相关