材料力学培训讲稿

1、注册工程师执业资格考试培训讲稿基础考试：上午4小时 120道题 每题1分 其中材料力学15道题 平均每道题用时2分钟。根据考试特点复习时应：基本概念要清楚，基本公式和定义要记牢，解题方法要熟练，要培养快速反应能力一、 基本概念内力：构件在外力作用下发生变形，引起构件内部各质点之间产生的附加内力（简称内力）。应力：截面内一点处内力的分布集度。单位是：N/m2（Pa）、N/mm2（MPa）等。应力可分为正应力s和剪应力t（剪应力）。位移：构件内任一点由其原来位置到其新位置的连线称为该点的线位移。构件内某一线段（或平面）由原始位置所转过的角度称为该线段（或平面）的角位移。变形：构件形状的改变。应变：

2、构件内任一点处的变形程度。应变又可分为线应变e和剪应变g ，均为无量纲量。线应变e 表示变形前构件内任一点处的一条微线段,变形后的长度改变量与其原始长度之比。例题0图剪应变g 表示过构件内任一点的两个互相垂直的微线段，变形后两个微线段的角度改变量。例题0 单元体变形后的形状如图中虚线所示，则A点的剪应变是( )。(A) O，2， (B) ，(C) ， (D) O，答案： D 二、四种基本变形的内力、应力及强度、变形1、 内力拉压内力：轴力N 扭转内力 MT 弯曲内力 Q、M关键点 内力的正负号，内力图的画法重点 弯曲内力（因拉压、扭转内力较简单） 熟练利用剪力、弯矩与分布力的微分关系及其图形的

3、规律判断内力图的正确性。（1）利用剪力Q、弯矩M与荷载集度q之间的微分关系,可得到下述结论:a）q0段，Q图为水平直线，M图为斜直线；当Q 0，M图 （上升），Q 0，Q图，M图 ；当q () 0，Q图 ，M图 。c)在Q = 0的点处，M图有极值；在Q 突变处，M图有一个折角。（2）Q图、M图的一般规律：a）集中力作用处，Q有突变，突变量等于集中力值，突变方向与集中力作用方向一致。M斜率有突变，出现折角。b）在集中力偶作用处，Q图无变化。M图有突变，突变量等于该集中力偶矩值。c）在分布力的起点和终点，Q图有拐点; M图为直线与抛物线的光滑连接。d)当梁的简支端或自由端无集中力偶时, M为零。

4、e）梁的最大弯矩通常发生在剪力Q=0处或集中力、集中力偶作用点处。f）对称结构承受对称荷载作用时，剪力图是反对称的（剪力指向仍是对称的），弯矩图是对称的。对称结构承受反对称荷载时，剪力图是对称的，弯矩图是反对称的。以上剪力图与载荷之间关系可以推广到拉压轴力N、扭转内力MT中。图2例1根据梁的受力分析Q、M图图形图1例题2图例2 悬臂梁受载如图，弯矩图有三种答案：图(A)、图(B)、和图(C)。其中正确的为( )。答案 C例题3图例3 梁的弯矩图如图所示，则梁上的最大剪力为( )。(A) (B)/2 (C)/2 (D)/2答案： D例题4图例4 连续梁两种受力情况如图所示，力F非常靠近中间铰链。

5、则下面四项中正确结论为( )。(A)两者的Q图和M图完全相同(B)两者的Q图相同，M图不同(C)两者的Q图不同，M图相同(D)两者的Q图和M图均不相同答案 AN1530151.5m1m154545q=15q=30q=15q=30q=1522.522.5例题5 图（A）（D）（C）（B）例5 已知图示杆的轴力图，请选择该杆相应的载荷图。答案 D例题 作图示梁的弯矩图和剪力图解题关键:为求出全部约束反力, 将两梁在铰界处拆开2、应力及强度图（1）拉伸（或压缩）正应力： A为横截面积。拉压斜截面上的应力k-k斜截面的法线与x轴夹角为a，则该面上的正应力和剪应力为： 角a以逆时针为正，反之为负。图（2

6、）圆截面轴扭转剪应力公式： 式中Ip称为截面的极惯性矩，Wp称为抗扭截面模量。实心圆截面（直径为d）外径为D，内径为d的空心圆截面式中a = d/D。例5 在图示受扭圆轴横截面上的剪应力分布图中，正确的结果是( )。例题5图 例题6图例6 图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起。扭转变形时，横截面上剪应力分布有图示四种答案。其中正确的一种为( )。答案 B图（3）弯曲应力1）弯曲正应力公式 最大正应力在上下缘处图矩形截面： 圆形截面 空心圆截面： 式中 。图5.7-42）弯曲剪应力公式 剪应力最大值在中性轴处。 例7 T字形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图5.7-8(a)示，C为T形截面的形心，

7、惯矩Iz6013104mm4，材料的许可拉应力st40MPa，许可压应力sc160MPa，试校核梁的强度。例题7图解：梁弯矩图如图5.7-8(b)所示。绝对值最大的弯矩为负弯矩，发生于B截面上，应力分布如图5.7-8 (c)所示。此截面最大拉、压应力分别发生于截面上、下边缘各点处36.2MPast78.6MPasc虽然A截面弯矩的绝对值|MA|y2因此，全梁最大拉应力究竟发生在哪个截面上，必须经计算才能确定。A截面最大拉应力为39.3MPast 最大压应力在B截面下边缘处，最大拉应力在A截面下边缘处，都满足强度条件。例8 直径为d的等直圆杆，在外力偶作用下发生纯弯曲变形，已知变形后中性层的曲率

8、为，材料的弹性模量为E，则该梁的弯矩M为多少？解：由，有例题9图例9 矩形截面混凝土梁，为提高其抗拉强度，在梁中配置钢筋。若梁弯矩如图示，则梁内钢筋(虚线所示)的合理配置是( )。答案 D例题、求图示梁横截面的剪应力。提示：利用剪应力互等定律例题、问图示梁横截面有无剪应力。提示：利用剪应力互等定律3) 弯曲中心的概念 (a) (b) (c)图5.7-6当横向力作用平面平行于形心主惯性平面并通过某一特定点时，杆件只发生弯曲而无扭转，则称该点为弯曲中心。弯曲中心实际上是横截面上弯曲剪应力的合力作用点，因此弯曲中心又称为剪切中心。薄壁截面梁横截面上的剪应力沿壁厚均匀分布，作用线平行于截面边缘的切线方

9、向，形成“剪应力流”。4） 弯曲中心的特征（1）弯曲中心的位置仅取决于横截面的形状与尺寸，与外力无关。（2）若截面具有一个对称轴时，弯曲中心必位于该对称轴上；若截面具有两个对称轴，两轴交点必是弯曲中心；由两个狭长矩形组成的截面，如T形，L形，十形等，弯曲中心必位于该两个狭长矩形中线的交点。5) 发生平面弯曲的条件为：（1）外力偶作用平面与梁的形心主惯性平面平行；（2）横向外力作用平面与梁的形心主惯性平面平行并通过截面的弯曲中心。图（4）剪切强度的实用计算名义剪应力： 式中A为剪切面的面积；名义挤压应力：关键在于正确确定剪切面AQ、挤压面Abs及相应的剪力Q和挤压力Fbs。剪切计算面积为实际受剪

10、面积；挤压面计算面积，如挤压面是平面，按实际挤压面积计算。当挤压面为曲面时取挤压面在挤压力方向的投影面积。对挤压面为半圆柱面，如铆钉等，其挤压计算面积为直径乘被连接件厚度：dt 。例题10图例10 正方形截面的混凝土柱，其横截面边长为200mm，其基底为边长a=1m的正方形混凝土板。柱受轴向压力P100kN，如图所示。假设地基对混凝土板的支反力均匀分布，混凝土的许可剪应力1.5MPa，则使柱不致穿过板，而混凝土板所需的最小厚度t为( )。(A) 83mm (B) 100mm (C) 125mm (D)80mm解： 3、变形1）拉压 2）扭转 单位长度的扭转角： 对于变内力、变截面的杆件应分段计

11、算变形，再求和得变形；3）弯曲：挠曲线曲率与弯矩有以下关系 在小变形条件下挠曲线近似微分方程为例题11图利用积分法求弯曲变形时需注意确定积分常数的条件：挠曲线、转角方程连续，满足约束条件。例题11 选择图示梁确定积分常数的条件为( )。(A) v，v，vD左vD右，D左D右，v，(B) v，v，vD左vD右，D左D右，v(C) v/，v左vB右，B左右，vD左vD右，v0，例题12图(D) v/，v左vB右，D左D右，vD左vD右，v，答案 D例题12 图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将( )。(A)平动 (B)转动 (C)不动 (D)平动加转动例题13图答案 D例题13 已知图

12、示杆1、2的E、A相同，横梁AB的变形不计，试求两杆应力比。解： 例题14图例题14 已知图示杆1、2的E、A相同，横梁AB的变形不计，300试求两杆应力比。解：例题 15 在等直梁平面弯曲的挠曲线上，曲率最大值发生在下列何项的截面上？（A） 挠度最大 （B）转角最大 例题15图（C）弯矩最大 （D）剪力最大 答案 C例题15 图示超静定梁，错误的静定基为（A） 图（b） （B）图（c） （C）图（d）(D) 上图均无错误答案：B例题16图例题16图示梁的正确挠曲线大致形状为( )。答案B例题17图例题17图示梁的正确挠曲线大致形状为( )。(A) (b)(d) (B)(b)(c) (C)(a

13、)(c) (D) (a)(d)答案 C提高承载能力的措施：合理布置荷载和支座使Mmax尽量小。p+LM+M图5.5-1二、 截面的几何性质1、静矩与形心(1) 静矩截面对x、y轴的静矩（面积矩）为： 同一截面对不同轴的静矩可能为正、负值或为零。（2）形心设截面形心C在任意参考坐标系xOy中的坐标为xC、yC， 由上式可知：若截面对某轴的静矩为零，则该轴必通过截面形心；截面对任一形心轴的静矩为零。图5.5-22、 惯性矩 惯性积（1）截面对x、y轴的惯性矩 （2）截面对坐标原点O点的极惯性矩 （3）截面对x、y轴的惯性积 3、形心主惯性轴与形心主惯性矩主轴：若截面图形对任意一对正交坐标轴（x、y

14、）的惯性积Ixy=0，则该对坐标轴称为主惯性轴，简称主轴。若该对坐标轴通过截面形心，则称该对主轴为形心主轴。主惯性矩：截面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。形心主惯性矩：截面图形对一对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。形心主惯性矩是截面图形对通过形心C点所有轴的惯性矩中的最大值（Imax）和最小值（Imin）。图5.5.4截面图形对于过形心C点的任意一对直角坐标轴x、y的两个惯性矩之和为常数，即 4、平行移轴公式任意截面图形，面积为A，形心为C，xC、yC为形心轴，如图5.5-4所示，截面对形心轴xC、yC的惯性矩、惯性积分别为IxC、IyC、IxCyC。设x、y轴分别与形心轴xC、yC平行，相

15、距分别为a、b，截面对x、y轴的惯性矩、惯性积Ix、Iy、Ixy分别为 5、惯性矩、惯性积的性质1）惯性矩、极惯性矩恒为正值。惯性积值可能为正，可能为负，也可能为零。2）若一对坐标轴中有一轴为截面的对称轴，则截面对这对坐标轴的惯性积必为零；但截面对某一对坐标轴的惯性积为零，这对坐标中却不一定是截面的对称轴。（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小；但其惯性积不一定最小。（4）通过截面形心C，至少存在一对形心主轴。（5）若截面有两根对称轴，此两轴即为形心主轴。若截面有一根对称轴，则该轴必为形心主轴，另一形心主轴为通过截面形心且与该轴垂直的轴。例题18图（6）若截面有三根（或以上

16、）对称轴时，则通过形心的任一根轴均为形心主轴，且形心主惯矩均相等（如正方形截面等）。重点：利用平行移轴公式计算惯性矩。注意必须以截面对形心轴的惯性矩为基础进行计算。例题18 图示矩形截面，Z轴过形心C，则该截面关于Z、Z1及Z2轴的惯性矩关系为( )。(A) I12 (B)21例题19图(C)21 (D)12答案：C例题19 图示截面，其惯性矩的关系为 (A) I12 (B)12(C)21 (D)不能确定答案：B例题20图例题20 在边长为2a的正方形中挖去一个边长为a的正方形，如图示，则该图形对Z轴的惯性矩I为( )。(A)a4/4 (B)a4/3 (C)a4/5 (D)a4/答案：D例题2

17、1图例题21 圆形截面如图，其中C为形心，K为圆上不与形心重合的任一点，则过C点和K点主轴的有几对主轴?( )。(A)过C点有两对正交的形心主轴，过K点有一对正交主轴(B)过C点有无数对，过K点有一对(C)过C点有无数对，过K点有两对(D)过C点和K点均有一对主轴答案 B三、 应力状态和强度理论1、应力状态的概念（1）一点处的应力状态通过受力构件内部一点的所有斜截面上的应力情况称为该点处的应力状态。（2）单元体围绕所研究点处切取的边长为无穷小的正六面体，称为单元体。三对平面上的应力均为直接已知或能通过计算得到的单元体，称为原始单元体。（3）主平面、主应力及主单元体定义剪应力为零的截面称为主平面

18、，主平面的法线方向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。主应力通常按代数值的大小，依次用s1，s2与a3表示，即s 1s 2 s 3。受力构件内任意一点均可找到三个互相正交的主平面和主应力，由三对互相垂直的主平面所构成的单元体，称为主单元体。（4）应力状态的分类1）单向应力状态：只有一个主应力不为零的应力状态。2）平面应力状态（二向应力状态）：有二个主应力不为零的应力状态。3）空间应力状态（三向应力状态）：三个主应力均不为零的应力状态。图5.9-22、平面应力状态分析的解析法（1）任意斜截面上的应力ef面上的正应力sa和剪应力ta: 角a规定以x轴为始边，逆时针转向为正。单元体的两个互相垂直

19、的截面上的正应力之和是一常量，剪应力互等（剪应力互等定律）。（2）主平面主应力正应力的极值即主应力： 所得应力极值与另一个为零的主应力按大小排列，分别记为s1，s2与a3。主平面的方向角 平面应力状态下有两个主方向，其最大主应力作用线所在的象限一定是两相互垂直截面上剪应力箭头所对应的象限。由主平面构成的单元体称为主单元体。（3）主剪应力主剪应力即剪应力的极值： 位于法线与s1、s3均成45的斜截面上。 2、平面应力状态分析的图解法（1）应力圆将斜截面应力公式sa和ta中的参数2a消去，得：该方程为圆的方程，圆心坐标为：，圆的半径为：对于图示单元体，应力圆如下：图5.9-4（3）三个特殊的应力圆

20、1）单向拉伸（或压缩）应力圆图5.9-5上图（a）为的单向拉伸应力状态单元体，应力圆如图(b)所示。从应力圆图可知剪应力极值在法线与x轴成斜截面上，相应斜面的正应力，如图5.9-5(c)内的斜单元体所示。2）纯剪剪应力圆图5.9-6如图(a)为纯剪剪应力状态单元体。纯剪切的应力圆如图(b)所示，从单元体图中很容易得到：主应力，第一主方向由x轴顺时针转45。主单元体见图(c)中的斜单元体。3）等拉或等压应力状态的应力圆图5.9-7图（a）所示的双向等拉应力状态，其应力圆成为一个几何点。对于图（b）所示三向等拉应力状态，应力圆也如图(c)所示。因此，对于等拉或等压应力状态，其任意斜截面上的正应力均

21、为常数s ,剪应力均为零。题103 矩形截面简支梁受力如图示，其上各点的应力状态见图示，关于它们的正确性有四种答案，其中正确的一个是( )。(A) 1、2 (B) 1、5 (C) 3、5 (D) 2、4 答案：B例题22题101 图示四种应力状态中属于单向应力状态的是( )。例题22图解：作应力圆（A）圆心为0，半径为(B) 圆心为10，半径为（C）圆心为0，半径为（D）圆心为20，半径为答案： D例题23 三种平面应力状态如图，他们之间的关系是：（A）全部等价 （B）（a）与(b)等价 （C）（a）与(c)等价 (D)都不等价答案：C例题24 图示受拉板，A点为凸起处的最高点，A点应力状态的

22、应力圆有图示四种可能，正确的答案为( )。例题24图答案 B3、广义胡克定律（记住公式）对于各向同性材料，在小变形线弹性条件下，广义胡克定律为：平面应力状态下胡克定律： 主应力与主应变间关系： 主应力s1、s2、s3与主应变e 1、e 2、e 3方向分别一致。4、强度理论记住四个强度理论的表达式和适用范围第一强度理论（最大拉应力理论）： （脆性）第二强度理论（最大拉应变理论）： （脆性）第三强度理论（最大剪应力理论）： （塑性）第四强度理论（最大形状改变比能理论） （塑性）例题25图例题25 根据构件内三点处应力状态所画应力圆分别如图(a)、(b)、(c)所示，按第三强度理论比较它们的危险程度

23、，有( )。(A)(a)最危险，其次为(b) (B)(a)最危险，(b)、(c)危险程度一样(C)(c)最危险，其次为(a)(D)(c)最危险，其次为(b)答案： A 因A的剪应力最大五、组合变形处理组合变形问题的基本方法是叠加法。对组合变形构件的强度分析计算方法，可概括为： 1) 按引起的变形类型分解外力，通常是将荷载向杆件的轴线和形心主惯轴简化，把组合变形分解为几个基本变形。2) 分别绘出各基本变形的内力图，确定危险截面位置，再根据各种变形应力分布规律，确定危险点。弯扭组合变形应力状态3) 分别计算危险点处各基本变形引起的应力。4) 叠加危险点的应力，叠加通常是在应力状态上的叠加。然后选择

24、适当的强度理论进行强度计算。常见组合变形：斜弯曲 拉（压）弯组合 弯扭组合注意：圆轴在弯扭组合变形下，第三、第四强度理论表达式： 在上式中代入应力计算公式，注意到圆轴抗扭截面模量WT是抗弯截面模量W的2倍。用内力表示的弯扭组合变形下的强度条件为 题6 等边角钢制成的悬臂梁如图示，外力P垂直于梁轴线，其作用线与形心轴y重合，该梁所发生的变形是( )(A) 平面弯曲 (B)两个相互垂直平面(xy面和xz面)内的平面弯曲(C)扭转和斜弯曲 (D)斜弯曲答案：C例题26悬臂梁的截面如图所示，C为形心，小圆圈为弯心位置，虚线表示垂直于轴线的横向力作用线方向。试问各梁发生什么变形？例题26图解：（a）、(

25、c)横截面有两对对称轴，且对任一对对称轴的惯性矩均相等，横向力又过形心（与弯心重合），因此任意方向的横向力均只引起平面弯曲。(b)、(d)图的横向力虽然过弯曲中心，但与形心主轴不平行，故是斜弯曲变形。(e)图的横向力不通过弯曲中心，且与形心主轴不平行，故是斜弯曲与扭转组合变形。例题27图(f)图的横向力过弯曲中心，且与形心主轴平行，是平面弯曲变形。例题27 斜支梁AB如图示，确定梁的变形，有( )(A) AB梁只发生弯曲变形(B) AC段发生弯曲变形，CB段发生拉伸与弯曲组合变形(C) AC段发生压缩与弯曲组合变形，BC段发生拉伸与弯曲组合变形(D) AC段发生压缩与弯曲组合变形，BC段发生弯

26、曲变形例题28图例题28 图示结构中，杆的AC部分将发生的变形为( )。(A)弯曲变形 (B)压弯变形 (C)拉弯变形 (D)压缩变形答案 C例题29图例题29 正方形受压短柱如图(A)所示，若将短柱中间部分挖去一槽，如图(B)所示，则开槽后柱的最大压应力比未开槽时增加( )。(A) 8倍 (B) 7倍 (C) 2倍 (D) 5倍题125 圆杆横截面积为A，截面惯性矩为W，同时受到轴力N、扭矩MT和弯矩M的共同作用，则按第四强度理论的相当应力为( )。答案:截面核心简介：围绕截面形心有一个封闭区域，当偏心压缩荷载作用在作用在这个区域之内时，截面上只出现压应力。该区域称为截面核心，它仅与横截面的

27、形状与尺寸有关。1）截面核心是一个围绕形心的外凸封闭图形。任意形状实心截面的核心，与外缘相同的空心截面的核心是相似形。截面核心是仅与横截面形状与尺寸有关的量形。图5.10-4（2）截面核心有如下规律：由直线构成的截面边界上的一条直线，可确定相应的核心边界的一个点，该点位于形心另一侧，如矩形截面，由四条边界可确定四个点，核心形状是由这四个点组成的菱形四边形；外凸多边形截面的核心的边数等于截面的边数。对于周边有凹进的截面，不能用凹进的边线作为中性轴来确定核心边界。例题30-2图例题30-1图例题30试确定图示各截面的截面核心大致形状。例题31 下列截面的核心如图中阴影所示。其中错误的截面核心为(

28、)。例题31图答案： 均对四、 能量方法1、 基本变形杆件的应变能轴向拉压应变能为： 比能（应变能密度）：单位体积内的应变能，用u表示。轴向拉压杆的弹性比能：扭转应变能 梁平面弯曲的应变能为 从以上公式可看出，在载荷相同情况下，杆件的刚度越大应变能越小。注意：应变能不能简单叠加如图，由P1或P2单独作用时任一截面x的弯矩为M1或M2，P1和P2同时作用时有MM1M2，应变能上式右方第一、第二两项分别表示P1、P2单独作用时的应变能。所以P1、P2单独作用时的应变能之和并不等于两力同时作用时的应变能。故一般说来，应变能不能叠加。如果构件上有两种载荷，其中任一种载荷在另一种载荷引起的位移上如不作功，则此两种载荷单独作用时的应变能可以叠加，例题32图例题32 两根圆截面直杆材料相同，尺寸如图，则两杆应变能的比值( )。(A) (B) (C) (D) 解：得 （2）卡氏第二定理卡氏（Castigliano）第二定理 式中，Pi为广义力，di为表示Pi所在截面沿Pi方向的广义位移。广义力P可以是一个力或一个力偶，相应的广义位移是线位移或角位移。 用卡氏第二定理计算杆或结构上任一点的广义位移时，在该点必须作用有与广义位移相应的