计算方法_微分方程数值解

1、第6章 常微分方程初值问题数值解法 6.1 问题的描述和基本概念1、常微分方程初值问题l 一般形式 式中已知，称为初值条件.l 初值问题的数值方法和数值解求函数在若干离散点上的近似值的方法称为初值问题的数值方法，而称为初值问题的数值解.2. 建立数值解法的思想与方法用离散化方法将初值问题化为差分方程, 然后再求解.设节点为距离称为步长.求数值解一般是从开使逐次顺序求出.初值问题的解法有单步法和多步法两种：l 单步法：计算时只用到一个值；l 多步法：计算时要用多个值。数值解法还有显格式和隐格式之分。l 微分方程离散化方法主要有数值微分法，数值积分法和Taylor展开法1) 数值微分法由，用数值微

2、分的2点前差公式代替，得近似离散化方程记，做，“”，得差分方程即 （Euler公式）由初值条件及Euler公式可求出数值解.Euler公式是显式单步法.2）数值积分法在上对两边取定积分，得右端积分用左矩形公式（数值积分公式）得于是得到求初值问题的Euler方法 右端积分用右矩形公式（数值积分公式）得于是得到求初值问题的后退Euler方法 后退Euler方法是隐式的.右端积分用梯形公式（数值积分公式）得近似离散化方程：于是得到求初值问题的梯形方法 该公式是隐式单步法.3）Taylor展开法因为初值问题中函数是已知函数，由，可以计算，于是有函数在处的Taylor展式取上式右端前若干项，得近似离散化

3、方程.例如取前两项有于是又得到Euler公式：.3. 数值解法的误差、阶与绝对稳定性单步法数学描述为显式： 其中称为增量函数.l 显式单步法的一些概念定义1 称为单步法在节点的整体截断误差，而称 为在点的局部截断误差。表示解在的值，是准确值，没有误差；表示由数值解公式得出的近似值，是数值解，有截断误差.l 局部截断误差的理解假设在计算时没有误差（）下,计算出的（）与的误差(计算一步的误差）.定义2 如果数值解法的局部截断误差为则称该方法具有p阶精度或该方法是p阶方法.方法的阶越高，方法越好.l 局部截断误差的主项如果某方法是p阶方法，按可展为则称为局部截断误差的主项.在同阶方法中，局部截断误差

4、的主项越小，方法越好. 对Euler方法，有 将在点展开，有 故有Euler方法是一阶方法. 例1 试求梯形方法的阶和局部截断误差主项. 解 该单步公式的局部截断误差是 故局部截断误差主项是，方法是二阶的. 定义3 设某种数值方法在上大小为的扰动，于以后各上产生的偏差均不超过，则称该数值方法是稳定的。通常用试验方程 （为复数）来讨论求解数值方法绝对稳定性.Euler方法稳定性将Euler公式用于试验方程，得到 设计算时有误差则有得要想，只须，因此Euler方法在时是绝对稳定的，其绝对稳定域为复平面上以(-1,0)为中心的单位圆盘.绝对稳定区间为 6.2 Runge-Kutta方法称为级R-K方

5、法.增量函数是 构造过程以来说明Runge-Kutta方法的构造方法和过程，对一般的Runge-Kutta方法可类似处理.的Runge-Kutta公式为 式中 ，.由，可得在处做Taylor展开，有 对在做二元Taylor展开，有 由 ，有 选 有局部截断误差，这样可得到二阶Runge-Kutta公式.取，则式（6.13）的解为，取不同的可得出不同的二阶Runge-Kutta公式.如取时，得到改进的Euler公式 时，得到中点公式l 经典Runge-Kutta公式 四阶方法.例1 设初值问题为 分别用Euler方法（），改进Euler方法（）和经典Runge-Kutta方法（）计算。解 Eul

6、er方法计算格式（）为改进的Euler方法计算格式（）为经典Runge-Kutta方法计算格式（）为它们的初值，计算结果及准确解列于下表Euler方法改进Euler方法经典R-K法 000000.10.096 3120.095 1230.095 162500.095 162 580.20.183 3480.181 1930.181 269 100.181 269 250.30.262 0010.259 0850.259 181 580.259 181 780.40.333 0790.329 5630.329 679 710.329 679 95例2 给定初值问题1）分析求解公式的局部截断误差，

7、指出它是几阶公式；2）证明用上面求解公式计算初值问题的数值解成立极限 本题中的节点是等距节点，h为步长，n为由节点分割区间a,b的份数.解 由题意有1）局部截断误差将在点做Taylor展开到项，将在点做二元Taylor展开到项，则有得所用公式是2阶的.2）显然所给初值问题的准确解为。由给出的数值解计算公式有故 式中6.3 线性多步法线性多步法的一般计算格式为 式中均为常数,，为等距节点，步长为h.若不同时为零，计算一个需要用到前个值,方法称为线性步法.当n1时就称为线性多步方法.构造线性多步法有基于数值积分方法和Taylor展开方法两种手段.局部截断误差和精度 线性多步法在的局部截断误差为若 则称方法是阶的.1. 基于Taylor展开的构造方法 例1 设求初值问题的线性3步公式具有如下形式h为步长，试求系数a,b,c使该公式的阶数尽可能高，并写出其局部截断误差. 解 局部截断误差为因为有3个待定系数，选择截断误差的前3项的系数为零，得关于待定系数的线性方程组该方程组有唯一解 ，用此值代入第四项的系数，有故有当时，所给公式的阶数达到最高，其值为3，对应的局部截断误差为2.基于数值积分的构造方法l Adams方法给出构造过程。 以为节点构造的Lagrange插值多项式 可有，因此因