缓冲包装动力学计算题

1、河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO 例例1.有三个完全相同的缓冲垫装置，若已测出它们叠有三个完全相同的缓冲垫装置，若已测出它们叠 置在一起后，每压缩置在一起后，每压缩1cm需施加需施加1kN，求每个缓冲垫的，求每个缓冲垫的 系数？系数？ 由已知得由已知得k1=k2=k3 ，假设叠置后的等效刚度为，假设叠置后的等效刚度为k。 k=F/X=1kN/cm=100kN/m。 由公式得由公式得 则则k1=k2=k3 =300kN/m。 321 1111 kkkk 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO 例例2. 有有3个缓冲垫如图排列，个缓冲垫如图排列，k1=17

2、5N/cm , k2=87.5 N/cm , k3=657N/cm ,求等效弹簧刚度？求等效弹簧刚度？ mkNmN kkk kkk k /561174.187/187561174. 0 5 .919 4625.172 6575 .262 6575 .262 657)5 .87175( 657)5 .87175( )( )( 321 321 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO3 例例1. 有很多产品是不允许倾翻的。如图示为用传送带有很多产品是不允许倾翻的。如图示为用传送带 或汽车运输电冰箱。已知电冰箱宽为或汽车运输电冰箱。已知电冰箱宽为b，高为，高为h，假定，假定 电冰箱均

3、质，为保证电冰箱不致翻倒，问起动时加速电冰箱均质，为保证电冰箱不致翻倒，问起动时加速 度度a最大不得超过多少？最大不得超过多少？ 冰箱 a b h 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO4 例例1解：解：以冰箱为研究对象，进行受力分析。以冰箱为研究对象，进行受力分析。 当加速度当加速度a达到冰箱欲翻而又未倾翻达到冰箱欲翻而又未倾翻 的临界值时，传送带或汽车车厢地板对的临界值时，传送带或汽车车厢地板对 冰箱冰箱B点的反力点的反力NB=0，只有，只有NA，及重，及重 力力W两个作用于冰箱上的真实力。应用达朗贝尔原理，在冰箱重两个作用于冰箱上的真实力。应用达朗贝尔原理，在冰箱重 心

4、上加入假想惯性力心上加入假想惯性力Fg = -ma = aW/g。 利用利用A点的力矩平衡方程：点的力矩平衡方程： 可知加速度可知加速度a需满足如下关系：需满足如下关系： a b h W g F A N BA 0 22 0)( h a g Wb W FmA g h b a 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO5 例例2. 图示为一根钢制矩形截面的悬臂梁，横截面宽图示为一根钢制矩形截面的悬臂梁，横截面宽 b=10mm，厚度，厚度h=5mm，梁的长度，梁的长度l=6cm，钢的弹性，钢的弹性 模量模量E=200GPa，梁的自由端固定有一物块，其质量，梁的自由端固定有一物块，其质量

5、 m=0.5kg，试求物块在垂直方向作自由振动的固有频，试求物块在垂直方向作自由振动的固有频 率与固有周期。率与固有周期。 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO6 例例2解：解：可简化为一个单自由度无阻尼系统。悬臂梁自由端在物可简化为一个单自由度无阻尼系统。悬臂梁自由端在物 块重力作用下的挠度相当于弹簧的静变形。块重力作用下的挠度相当于弹簧的静变形。 1) 梁的截面惯性矩：梁的截面惯性矩： 2) 悬臂梁自由端在物块重力作用下的挠度：悬臂梁自由端在物块重力作用下的挠度： )(10104)(104 12 510 12 4124 33 mmm bh I )(10017. 0 10

6、104102003 1068 . 95 . 0 3 3 129 633 m EI mgl s 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO7 例例2解：解：(续完续完) 3) 物块在垂直方向自由振动的固有频率：物块在垂直方向自由振动的固有频率： 4) 物块在垂直方向自由振动的周期：物块在垂直方向自由振动的周期： )/(759 10017.0 8 .9 3 srad g s n )(8 .120 2 759 2 Hzf n n )(0083. 0 759 22 sT n 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO8 例例3. 下左图示为由两根弹簧并联而组成的振动系统。右

7、图为由两根弹簧串联下左图示为由两根弹簧并联而组成的振动系统。右图为由两根弹簧串联 而组成的振动系统。试求这两种系统的固有频率。而组成的振动系统。试求这两种系统的固有频率。 m kk f m kk m k kkk n n n 21 21 21 2 1 2 ) 1 ( 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO )(2 1 2 )( )2( 21 21 21 21 21 21 kkm kk f kkm kk m k kk kk k n n n 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO10 例例4. 木箱内悬挂有一个物块弹簧系统，如下图示。设木箱自高木箱内悬挂有一个物块

8、弹簧系统，如下图示。设木箱自高 度度H处自由跌落，木箱落地后静止不动，不计木箱与地板的变形，处自由跌落，木箱落地后静止不动，不计木箱与地板的变形， 试求木箱落地后箱内物块的运动规律。试求木箱落地后箱内物块的运动规律。 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO11 4. 例题。 例例5. 同课本同课本P26页例页例3-1。已知单自由度小阻尼系统在第三个峰。已知单自由度小阻尼系统在第三个峰 值时间值时间t3= 3.2s时对应的振幅比第二个峰值时间时对应的振幅比第二个峰值时间t2= 3.1s时对应的时对应的 振幅降低振幅降低20%。试计算该系统的阻尼因子和固有频率。试计算该系统的阻尼

9、因子和固有频率。 例例5解解：由已知条件得：由已知条件得： 1) 振幅对数衰减率：振幅对数衰减率： 2) 阻尼因子：阻尼因子： 22 32 lnln0.2231 0.8 AA AA 035503. 0 4 22 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO12 例例5解解：(续完续完) 3) 此阻尼系统振动周期：此阻尼系统振动周期： 4) 此阻尼系统的固有频率：此阻尼系统的固有频率： 5) 无阻尼下的固有频率：无阻尼下的固有频率： )/(832.62 1 .0 22 srad Td d )(1.01.32.3 23 sttTd )/(872.62 035503.01 832.62

10、1 22 srad d n 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO13 例例6. 图示振动系统中，若弹簧刚度图示振动系统中，若弹簧刚度K=245N/cm，系统线性阻尼，系统线性阻尼 系数系数C=5.9NS/cm，产品重量，产品重量W=98N。设将物体从平衡位置拉。设将物体从平衡位置拉 下下1cm 后，无初速度地自由释放。后，无初速度地自由释放。 求此后物体的运动。求此后物体的运动。 如果阻尼系数减小到如果阻尼系数减小到c=0.98 NS/cm，求对数衰减率，并，求对数衰减率，并 估计振幅减小到初始值的估计振幅减小到初始值的1%时所需要的振动次数和振动时间。时所需要的振动次数和

11、振动时间。 W k c 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO14 例例6解解: (一一)由已知条件可知，此系统为单自由度包装系统的有阻由已知条件可知，此系统为单自由度包装系统的有阻 尼自由振动。尼自由振动。 1) 时间时间t=0时，时，x0=1cm，v0=0。 2) 阻尼因子：阻尼因子： 3) 系统无阻尼下的固有频率：系统无阻尼下的固有频率： 4) 有阻尼下的圆频率：有阻尼下的圆频率： 596. 0 9 . 9 9 . 5 95. 42 9 . 5 5 .242 9 . 5 1008 . 9 98 2452 9 . 5 2 mk c c c cr 5.492450 98 1

12、008.9245 m k n 75.39)596. 0(15 .491 22 nd 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO15 例例6解解:(续续)(一一) 5) 有阻尼下的振幅：有阻尼下的振幅： 6) 系统初始相位角：系统初始相位角： 7) 此后物体的运动为此后物体的运动为 2 0 2 0 )( d onx v xA 42.5335.1arctan) 5.29 75.39 arctan( ) 15.49596.00 175.39 arctan()arctan( 00 0 xv x n d )42.5375.39sin(245. 1 )sin()( 5 .29 te tAet

13、x t d t n 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO16 例例6解解:(续续) (二二) 1) 振幅对数衰减率：振幅对数衰减率： 2) 设振动设振动n次振动后振幅衰减至次振动后振幅衰减至1% ，则，则 2 1 2 11 13 2 2 1 1 1 %1AA e A A A A A A A A n n n n n 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO17 例例6解解:(续完续完) (二二) 3) 整理，解得：整理，解得： 4) 振幅衰减到振幅衰减到1%所需要的时间所需要的时间t： )(? 100ln 近似值向上取整 n d d nTnt 2 河北联合大学

14、机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO18 例例7. 有一振动系统，其阻尼因子有一振动系统，其阻尼因子=0.05，该系统受初干扰后作，该系统受初干扰后作 自由振动，第一次振动的振幅为自由振动，第一次振动的振幅为A，试问振动多少次后的振幅少，试问振动多少次后的振幅少 于于A的的5%？ 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO19 五、例题五、例题 例例8 8. (. (课本课本P28P28页例页例3-23-2) )已知单自由度有阻尼强迫振动系统的弹簧刚度已知单自由度有阻尼强迫振动系统的弹簧刚度 k=4.38N/mmk=4.38N/mm，物体质量，物体质量m=18.2kgm=

15、18.2kg，阻尼系数，阻尼系数=0.149 N=0.149 NS/mmS/mm，激振力幅值，激振力幅值 F F0 0=44.5N=44.5N，激振频率，激振频率=15rad/s=15rad/s。试求物体的强迫振动响应。试求物体的强迫振动响应。 解：系统的固有频率为：解：系统的固有频率为： 激振幅值激振幅值 临界阻尼因子临界阻尼因子 阻尼比阻尼比 srad m k n/5 .15 2 .18 4380 mmkFA16.1038. 4/5 .44/0 mmsNmsN kmCc /565. 0/68.564 2 .18438022 264. 0565. 0/149. 0/cCc 河北联合大学机械工

16、程学院 包装工程系 Lijie CAO 频率比频率比 传递率传递率 强迫振动的振幅强迫振动的振幅 968. 05 .15/15/n 94. 1 515. 0 1 )968. 0264. 02()968. 01 ( 1 )2()1 ( 1 222 222 rT mmATXr7 .1916.1094. 1 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO rad45. 111. 8tan 1 2 tan 1 2 1 mmttAtx)45. 115cos(7 .19)cos()( 相位差相位差 于是，物体强迫振动的响应为于是，物体强迫振动的响应为 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lij

17、ie CAO22 例例1010. . 仪器中的某零件是一根具有集中质量的外伸梁，如下图仪器中的某零件是一根具有集中质量的外伸梁，如下图 示。集中质量示。集中质量m=0.4kgm=0.4kg，阻尼，阻尼C=44NC=44Ns/ms/m，根据材料力学公式计算，根据材料力学公式计算 得出其固有频率得出其固有频率f fn n=88Hz=88Hz，仪器的底座受到简谐激励，其频率，仪器的底座受到简谐激励，其频率 f fy y=100Hz=100Hz，振幅，振幅y ym m=0.2mm=0.2mm，试求试零件的振幅。，试求试零件的振幅。 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO23 例例10

18、10解解：由已知条件得：由已知条件得： 零件的阻尼因子零件的阻尼因子： 频率比频率比： 零件的传递率零件的传递率T Tr r： 1 . 0 884 . 04 44 42 nn mf c m c 14. 1 88 100 n y n f f 72. 2 )14. 11 . 02()14. 11 ( )14. 11 . 02(1 )2()1 ( )2(1 222 2 222 2 r T 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO24 例例1010解解( (续完续完) )： 零件的振幅零件的振幅X X： )(54. 072. 22 . 0mmTyX rm 河北联合大学机械工程学院 包装

19、工程系 Lijie CAO25 例例1111. . 铁路车厢减振弹簧的静压缩为铁路车厢减振弹簧的静压缩为s s=50mm=50mm。每根铁轨的长度。每根铁轨的长度 L=12mL=12m。每当车轮行驶到轨道接头处都受到冲击，因而当车厢速。每当车轮行驶到轨道接头处都受到冲击，因而当车厢速 度达到某一数值时，将发生激烈颠簸，这一速度称为临界速度。度达到某一数值时，将发生激烈颠簸，这一速度称为临界速度。 试求此临界速度。试求此临界速度。 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO26 例例1212. . 某产品自重引起包装衬垫产生某产品自重引起包装衬垫产生1cm1cm的变形。假设该产品包

20、装在运输过程的变形。假设该产品包装在运输过程 中，受到外界位移激励的频率为中，受到外界位移激励的频率为20Hz20Hz，且位移激励的最大加速度为，且位移激励的最大加速度为0.1g0.1g，不，不 计阻尼。试求产品包装的加速度和产品包装的隔振效果。计阻尼。试求产品包装的加速度和产品包装的隔振效果。 例例1212解解：由已知条件得：由已知条件得： 1) 1) 求产品包装的固有频率求产品包装的固有频率n n： 2) 2) 无阻尼下分辨率无阻尼下分辨率T Tr r： )/(32.31 1 10081. 9 srad g n 0662.0 ) 2 (1 1 1 1 2 2 n r f T 河北联合大学机

21、械工程学院 包装工程系 Lijie CAO27 例例1212解解( (续完续完) )： 3) 3) 产品包装的加速度幅值产品包装的加速度幅值X Xm m： 4) 4) 产品包装的隔振效果产品包装的隔振效果E Ef f ： ： 从计算结果看，在外部激励频率为从计算结果看，在外部激励频率为20Hz20Hz，加速度幅值为，加速度幅值为 0.1g0.1g时，此产品的包装设计是比较满意的。时，此产品的包装设计是比较满意的。 gaTX mrm 3 1062. 61 . 00662. 0 %4 .93%100)0662. 01 (%100|)|1 ( rf TE 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lij

22、ie CAO28 例例1313. . 建立人用扁担肩挑物品进行运输时的力学模型，并分析建立人用扁担肩挑物品进行运输时的力学模型，并分析 运输过程中的振动情况。假设物品的总重量为运输过程中的振动情况。假设物品的总重量为W W，扁担的刚度系，扁担的刚度系 数为数为k k，某人的行走速度为，某人的行走速度为v v，跨步的长度为，跨步的长度为L L。 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO29 例例1313提示提示：1) 1) 力学模型如下所示：力学模型如下所示： 2) 2) 用用Z Zmax max表示人的跨步和地面不平度引起的人肩振动的幅 表示人的跨步和地面不平度引起的人肩振动的

23、幅 值，则人肩的运动值，则人肩的运动z z可表示为：可表示为： 3) 3) 不考虑扁担的阻尼时，物品的振动方程不考虑扁担的阻尼时，物品的振动方程x(t)x(t)为：为： ) 2 sin( max vt l Zz 0)( 2 max Zxkx g W 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO30 例例1313提示提示( (续续) )：4) 4) 物品的强迫振动为：物品的强迫振动为： 5) 5) 式中，式中， 6) 6) 欲使产品的强迫振动小，须使欲使产品的强迫振动小，须使1.4141.414，即，即2 222，即使得以下条件成立：，即使得以下条件成立： 7) 7) 上式表明，欲使

24、上式表明，欲使产品振动小，产品平稳产品振动小，产品平稳，必须，必须采用软的扁担，行走速度大，采用软的扁担，行走速度大， 跨步长度和高度小及行走在平坦的地面上跨步长度和高度小及行走在平坦的地面上。 ) 2 sin( 1 2 max vt l Z x 2 22 2 2 kl v g W 2 2 2 22 2 kl v g W 2 22 l v g W k 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO31 例例1313提示提示( (续续) )： 8) 8) 讨论人肩上受到的力讨论人肩上受到的力F F。 人肩上受到的力人肩上受到的力F F有两部分，一是原来产品的重量有两部分，一是原来产品的

25、重量W W，一是人肩，一是人肩 运动和产品振动引起的力。运动和产品振动引起的力。 ) 2 sin( 1 2 )(2 max 2 2 vt l ZkWF xzkWF 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO32 例例1313提示提示( (续续) )： 9) 9) 人肩的受力人肩的受力F F与产品重量与产品重量W W的比值与扁担的刚度系数的比值与扁担的刚度系数k k间间 的关系如下图示。的关系如下图示。 河北联合大学机械工程学院 包装工程系 Lijie CAO33 例例1313提示提示( (续完续完) )： 10) 10) 欲减轻人肩受力，须使扁担的刚度系数欲减轻人肩受力，须使扁担的刚度系数k k满足：满足： 即采用软的扁担。即采用软的扁担。 11) 11) 扁担运输物品，人肩受