极限的四则运算1

1、 （第一课时）（第一课时） 古浪五中古浪五中-姚祺鹏姚祺鹏 w 同学们，我们可以从图象分析一些简单的同学们，我们可以从图象分析一些简单的 函数，当自变量趋近于无穷大或者某个点时，函数，当自变量趋近于无穷大或者某个点时， 它的极限主要看自变量的值按某种规定无限它的极限主要看自变量的值按某种规定无限 变化相应的函数值的变化趋势变化相应的函数值的变化趋势但是但是一些一些 复杂函数，图象不一定能画出来，函数值的复杂函数，图象不一定能画出来，函数值的 变化趋势也不一定能看出来那么这类函数变化趋势也不一定能看出来那么这类函数 极限如何去求呢？极限如何去求呢？ w 例如例如 导 语 (3x +2x+1) x

2、1 lim 2.4 极限的四则运算极限的四则运算 一一 知识回顾知识回顾 1函数的极限函数的极限 2求下列极限求下列极限 （3） （4） （1） （2）x x1 lim x x 2 1 lim 1 )12(lim 2 1 x x x x 2lim 1 1 2 3 2 1 x x x 2 12 lim 2 1 3如何求如何求 x x 2 12 2 考察下表考察下表 2 3 观察该极限与上题极限之间存在关系吗观察该极限与上题极限之间存在关系吗? x x x x xxx 2 1 limlim 2 12 lim 11 2 1 x x x x x x x 2lim )12(lim 2 12 lim 1

3、2 1 2 1 就说就说当当x 趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大时， 函数函数 的极限是的极限是a ，记作，记作 axf x )(lim )(xf 一般地，当自变量一般地，当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数取正值并且无限增大时，如果函数 )(xf无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数 a ， 也可记作也可记作:当当axfx)(时，时， 当当也可记作也可记作:axfx)(时，时， 就说就说当当x 趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大时， 函数函数 的极限是的极限是a ，记作，记作axf x )(lim 当自变量当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数取负值并且绝对值无限增大时，如果函数

4、 )(xf无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a ， )(xf 如果如果 = =a a, ,且且 = =a a, ,那么就说当那么就说当 x x 趋向于趋向于 无穷大时无穷大时,f(x),f(x)的极限是的极限是a,a,记作记作 axf x )( lim )x(f lim x )x(f lim x 也可记作也可记作: 当当axfx)(时， CC x lim特别地：特别地： （C C为常数）为常数） 函数极限的定义函数极限的定义 返回返回 2.4极限的四则运算极限的四则运算 二二 新授课新授课 如果如果 ，那么，那么 函数极限的四则运算法则：函数极限的四则运算法则： bxgaxf xxxx )(

5、lim,)(lim 00 baxgxf xx )()(lim 0 baxgxf xx )()(lim 0 )0( )( )( lim 0 b b a xg xf xx （1） （C为常数）为常数） 特别地特别地 )(lim)(lim 00 xfCxfC xxxx （3）这些法则对）这些法则对 的情况仍然成立的情况仍然成立 x )N()(lim)(lim * 00 nxfxf n xx n xx （2） 2.4 极限的四则运算极限的四则运算 三三 典型例题典型例题 例例1 求求 12 12 lim 23 2 1 xx xx x 2 1121 1112 23 2 1lim2limlim 1liml

6、im2lim 1 2 1 3 1 11 2 1 xxx xxx xx xx )12(lim )12(lim 12 12 lim 23 1 2 1 23 2 1 xx xx xx xx x x x 解：解： 注意注意:本题目中本题目中, 我们把我们把X=1代入代入 函数的解析式函数的解析式 就可以了就可以了, 这叫这叫 做做 : 代入法代入法. 2.4 极限的四则运算极限的四则运算 三三 例题讲解例题讲解 例例2 求求 12 1 lim 2 2 1 xx x x 本题还能用代入值求其极限值吗？为什么？本题还能用代入值求其极限值吗？为什么？ 3 2 112 11 解：解： 12 1 lim 2 2

7、 1 xx x x )12)(1( )1)(1( lim 1 xx xx x 12 1 lim 1 x x x )12(lim )1(lim 1 1 x x x x 分析：如果分析：如果 把把x=1直接代直接代 入式，入式，那么那么 分子、分母分子、分母 都为都为0。及当。及当 x趋向于趋向于1时时 分子分母都分子分母都 为为0.所以不能所以不能 用代入法来用代入法来 求这个极限。求这个极限。 变式：变式：若若 ，求，求a,b的值的值.2 2 lim 2 2 2 xx baxx x 令令 ，则：，则：)(2( 2 cxxbaxx cxcxbaxx2)2( 22 cbca2, 2 解：解： 时，

8、分式的分母时，分式的分母 ，同时分母，同时分母 中有因式中有因式 .又由于分式的极限值是常数又由于分式的极限值是常数2，所以，所以 分子中也应该有因式分子中也应该有因式 ，需约去公因式，需约去公因式 后，后， 其极限值才有可能是常数其极限值才有可能是常数. 2x02 2 xx 2x 2x2x 原式原式 3 2 ) 1( )( lim ) 1)(2( )(2( lim 22 c x cx xx cxx xx . 42 3 2 c c 8, 2ba 例例3、计算：、计算： 2 31 lim 8 x x x 3 解：原式解：原式 33 33 )31)(42)(2( )42)(31)(31( lim

9、2 2 8 xxxx xxxx x 3 33 )31)(8( )42)(8( lim 2 8 xx xxx x 33 4)2(24 3 )31( )42( lim 2 8 x xx x 3 2。 若用代入法，分子分母都为时，可对分若用代入法，分子分母都为时，可对分 子分母因式分解，约去公因式来求极限也子分母因式分解，约去公因式来求极限也 就是要对原来的函数进行恒等变形，我们把就是要对原来的函数进行恒等变形，我们把 它称为它称为因式分解法因式分解法 巩固练习：巩固练习：(1) lim(3x2-2x+1) x 1 x2+ax+3 x3+3 lim x 1 (4) =2 则则a=? (2)lim (x+3)(2x-1) (x+5)(x-6) x 1 (3) (2004年全国年全国)lim x2+x-2 x2+4x-5x 1 (5) x x x 11 lim 0 2.4 极限的四则运算极限的四则运算 四四 课堂小结课堂小结 同学们同学们我们这节课学到了我们这节课学到了什么？什么？ 本节课主要学习了函数极限的四则运算法则，本节课主要学习了函数极限的四则运算法则， 其实质是化繁为简，将复杂函数的极限运算转其实质是化繁为简，将复杂函数的极限运算转