多电机速度同步的全滑模控制

1、多电机速度同步的全滑模控制ZHAO De-zong1,*, LI Chun-wen1,2, REN Jun11、 清华大学自动化系，北京100084 ，中国2、 河南省，郑州450002 ，中国信息电器重点实验室摘要：通过采用全滑模控制，对基于相邻交叉耦合控制结构的多电机实施速度同步控制策略。提出这种控制策略是为了使每个感应电动机的跟踪转速稳定的同时，使其他感应电机之间的速度同步误差收敛到零。利用李亚普诺夫方法证明了所设计的控制器的稳定性和收敛性。仿真结果表明，所提出的方法是有效的。关键词：多重感应电机；速度同步；总滑模控制；相邻交叉耦合控制1 介绍随着现代制造业的快速发展，用同步的方式控制多

2、台电机的运动在现代感应电机控制领域中是一个具有挑战性的问题。例如分布式造纸机，连轧机，印刷工程，纺纱工程。同步控制的性能严重影响产品的可靠性和精确度1。在多电机领域中，同步系统性能的降低可能会由许多因素引起，诸如环境变化导致系统负载和参数的变化【2-3】，因此，多个感应电机的高性能同步控制在实际中是很重要的.速度同步研究中已经提出了许多控制策略。在主从结构4-5 ，输入的从属电机是主电机的输出，但负载转矩的干扰可能导致大的速度跟踪误差。科伦提出了采用并行交叉耦合控制，即通过共享两个控制回路的反馈信息来解决这个问题。但是，当同步电动机的数量n 2时，平行交叉耦合控制是不适用的，因为控制结构是难以

3、确定的。佩雷斯7-8 提出了适用的数量同步电机n 2相对的交叉耦合控制方法。不方便的是，为了设计上述控制器，在线计算需要一个n维的方阵，这毫无疑问增加了计算的工作量。如果系统n的规模大，则控制结构是复杂的，并且难以计算。为了简化控制结构，sun提出了相邻交叉耦合控制，并将其应用于机器人同步与自适应控制相结合，使简单的控制结构和高同步性能得以实现。在这篇文章中，采用滑模相邻交叉耦合控制结构，实现速度多个感应电机的同步。速度同步策略是为了稳定在一个电机和其他两个电机之间的同步误差为零。跟踪误差控制器和同步误差控制器都包含一个等效控制律和鲁棒控制律，这确保了跟踪性能和同步性能的稳定，以此来防止系统的

4、不确定性。通过对四步电机的仿真，对一些在典型的工作状态下的控制策略性能进行了研究。2 感应电机模型四阶非线性状态空间模型的感应电机转子磁场定向坐标如图：ddtdridsiqs=driqs BJTLJ-dr + Mids-ids + dr +npiqs+Miqs2dr-iqs + npdr npiqs Miqsidsdr+1/(Ls)00udsuqsT (1) 图2 电机i的速度控制器示意图图1 相邻交叉耦合控制示意图 表示转子机械速度，直轴转子磁通用dr 表示，定子电流分别用ids, idq表示，Uds和Uqs分别表示相应施加的定子电压，定子和转子的电阻分别用Rs，Rr表示，Ls和Lr分别表示

5、定子和转子自感。定子 - 转子互感用M表示，摩擦系数用B表示，电机负载的转动惯量用J表示，负载转矩用TL表示，np表示极对数。转子时间常数的倒数是 = Rr/Lr，泄漏因数是=1-M2/(LsLT). 其他参数的定义在（1）中为：=M2RTLSLT2+RSLS, = M/(LsLr), = npM/JLr。感应电动机可分为两个子系统：机械系统和电磁系统。第一个感应模型的方程式是机械系统，其他的公式构造的是电磁系统。使用奇异扰动理论，机械系统可以被认为是慢的子系统，电磁系统被认为是快变子系统。电磁系统的变量dr，ids, idq很快收敛到稳定值，接下来我们的目标是控制输出速度收敛到参考速度。感应

6、电动机的机械方程可以被改写为J (t) + B(t) + Tl =Te （2） 电磁转矩是Te=KTiqs* 转矩常数被定义为：KT=3np2(Lm2Lrids*),ids*,iqs*表示磁通和转矩电流。3 相邻交叉耦合控制结构考虑到多电机系统，包括正感应电机，电机的跟踪误差i被定义为eit=i*t-t(t),其中i*t和t(t)表示参考速度和输出速度.在同步运动中，要保证ei(t) 0,时，它的目的还在于调节跟踪的多个电机的运动之间的关系，使e1t=eit=ent （3） 取任意n个电机中的两个定义同步误差：1t=e1t-e2(t)2t=e2t-e3(t)nt=ent-e1(t) （4）如果

7、it=0,i = 1n成立，则（3）成立。相关电机同步误差是i-1(t)和 i(t),我们用电机(i-1)和电机（i+1）来定义同步电机i.耦合速度误差用ei*表示，在这里介绍10e1*=1t-nte2*=2t-1ten*=nt-n-1t （5）当满足e1*t=ei*t=en*t=0可以得到1t=it=nt。设计该同步误差控制器的目的是使得ei*当i=10时趋近于0。相邻的交叉耦合控制如图1所示。同步转速控制器包括两个子控制器：一个是跟踪误差控制器，它是用来精确地跟踪参考速度值，一个是同步错误的控制器，它是用来驱动控制电机与其相邻的电机之间的同步误差为零。控制器内部结构如图2 所示，Ui1 和

8、Ui2表示输出的跟踪误差控制器和同步误差控制器。Ui是完整的电机i控制律。在我们的控制方案中，每个控制回路只考虑自己的和这些其他两个电动机的运动响应，并非所有其他电机的同步响应。对于相邻交叉耦合控制多电机系统有n个感应电机，需要2n控制器，而相对交叉耦合控制要求N2控制器，因此相邻交叉耦合控制，大大简化了操作当电机数量很大的时候。3 转速控制器设计感应电动机模型的力学方程可以表示为Xt=AmXt+Bmt+CmTL （6）其中X(t) = (t),Am = -B/J, Bm = -KT /J,Cm = -1/J， Ut=iqs*假设控制系统的参数是已知的，外部负载干扰是不存在的，改写为标准模型：

9、Xt=AmNXt+BmnUt (7)AmN=-BJ，BmN=-KTJ是Am和Bm的标称值。考虑到参数偏差的负载转矩的干扰，动态控制式机械子系统被改写为：Xt=(AmN +A)X(t) + (BmN +B)U(t) +(CmN +C)TL= AmNX(t) + BmNU(t) +W(t) (8)CmN = -1/ J是Cm的标称值，A，B，C表示不确定性。W（t）是不确定集，表示为：W(t) = AX(t) + BU(t) + (CmN +CTL) (9) 4.1 跟踪误差控制器定义的控制系统的参考模型XRt=ARXR(t) + BRUR(t) （10） 其中UR是速度指令; XR是输出基准速度

10、; AR和BR是根据系统参数给定的系数。在参考模型和标称模型之间的速度误差是：e(t) = XR(t) - X(t) （11） 速度误差的差被表示为： et=XRt-Xt=AR(t)e(t) + (AR - AmN)X(t) +BRUR(t) - BmNU(t) （12） 定义跟踪误差滑模面： St=et+0te()d-e(0) (13)其中，是正的常数。 对（13）求导，我们得到：St=(AR + )S(t) - (AR + )0te()d+(AR + )e(0) + (AR - AmN)X(t) +BRUR(t) - BmNU(t) (14)因此，相应的控制律设计为：UEt=BmE-1(-

11、0te()d+ (AR + )e(0)+(AR - AmN)X(t) + BRUR(t) (15) （15）代入式（14） ，然后衍生滑模面：St=(AR + )S(t) (16)在传统的滑模控制11 ，如果AR + Am + 和kb |W(t)|进行控制，速度跟踪误差轨迹总是可以保持跟踪误差上滑模表面并且控制系统的渐近收敛性可以得到保证。证明：由（13）和（17）对时间求导，我们可以得到：St=(AR + )S(t) - (AR + )0te()d+(AR + )e(0) + (AR - AmN)X(t) +BRUR(t) - BmNU(t)-W(t)(20) 控制器（22）代入式（23）

12、，我们得到：St=(AR + )S(t) - kaS(t) -kbsgn(S(t) -W(t) (21)定义一个正定函数为：VT=12S2(t) 对时间求导：Vt=StSt=AR + - kaS2t-kb|S(t)| -W(t)S(t) (AR + - ka)S2t+ (|W(t)| - kb)|S(t)|如果选择ka和kb使得满足ka Am + 和kb |W(t)|,，从而实现了VT 0。根据李雅普诺夫定理，控制系统是渐近稳定的。4.2 同步误差控制器定义电机的同步误差滑模面为：Si*t=ei*t+0te()d-ei*(0) (22) 即：Si*t=2Si(t) - Si+1(t) - Si

13、-1(t) (23) 其中Si(t)表示跟踪误差电机i的滑模面。电机的速度同步误差控制器被定义为：Ui*t=2UTit-BmN(i+1)BmNUT(i+1)(t)-BmN(i-1)BmNUT(i-1)(t) (24)其中电机BmNi是电机i的系数，UTi是电机 i的误差跟踪控制律。定理二 对于机械子系统（8） ，这是控制器（24）在ka Am + 和kb |W(t)|）的情况下进行控制，然后速度同步误差轨迹可以始终保持同步并且在滑模面上，控制系统可以实现渐近收敛。证明 对时间求微分，我们可以得到：Si*t=ARei*t+2(AR - AmNi)Xi(t) -(AR - AmN(i+1)Xi+1

14、(t)） -(AR - AmN(i-1)Xi-1(t) +ei*t-Wi*t- BmNiUi*t其中AmN是电机i的系数，Wi*t表示电机i的不确定性，其表达式为 ：Wi*t= 2Wi(t) -Wi+1(t) -Wi-1(t) (25)将(24)代入（25）可知：Si*t=ARei*t+2(AR - AmNi)Xi(t) -(AR - AmN(i+1)Xi+1(t) -(AR - AmN(i-1)Xi-1(t) +ei*t-Wi*t- BmNiUi*t -BmN(i+1)UT(i+1)(t) BmN(i-1)UT (i-1)(t)(26)考虑到（20）和（21）式，（27）可以表示为：Si*t

15、=2Sit-Si+1t-Si-1t (27) 如果设计了电机i,i+1,i-1的误差跟踪控制器，那么可以得到 limtSi*(t)=limtSi(t)=limtSi-1(t)=limtSi+1(t)我们可以断定：即使存在不确定性同步误差渐近稳定滑模表面仍可以被确定，且在整个周期滑模面得到控制。跟踪误差控制器和同步误差控制器构造完整的控制器的电机i：Uit=UTit+Ui*(t) (28)4.3 抖振技术我们使用滑模控制理论设计的速度控制器时提到抖振现象，为了减缓抖动，符号函数符号（）可以被饱和函数代替（）。饱和函数设计： (29)5 稳定性分析引理1 假设f(x)是定义在区间I,如果f(x)是

16、可微并且f(x)是有限的,那么f(x)是一致连续。引理2(Barbalat引理) 如果 limxf(t)有界，f(x)一致有界，那么limtf(x)=0。引理3(拉萨尔的不变性原理)假设 有一个在0边界有邻域D和一个连续可微的正定函数V，DR其轨迹导数V是负半定,H为所有值域的集合，其包含在xD|Vx=0，那么就有0的邻域U, 对于任何x0 U,(x0) H .定理三 提出的滑模交叉耦合控制器（29保证跟踪误差和同步错误的渐近收敛到0,i.e. (30)证明 定义正定函数为Vt=i=1n(12Si2(t),其导数为Vt=i=1n(Si(t)si(t) =i=1n(AR+-kaSi2t+(|Wi

17、(t)| - kb)|Si(t)|如果满足ka = Am+，kb |W(t)|那么可以保证V(t) 0，根据（21），滑模面求导为St= kbsignSit-Wit i = 1, , n. (31)因为当L2是规范性的时候Wit是有界的,那么St也有界的。利用引理1, Sit一致连续。利用引理2, limtSi(t)=0也可以被证明。集合中的控制系统的不变集xi,xi:Vt=0包含滑模表面的平衡点。使用引理Stt=0全局渐近稳定。考虑到（13）和（22）ei(t)和ei*(t) ，即系统同步误差收敛到0。eit=ei(0)e-tei*t=ei*0e-t (32)由（32）可知limteit=0

18、，limtei*t=0。当ei*t=0，可以得到1(t) = i(t) = = n(t)。因为（4）和eit=0，那么可以得到1t= it= = nt=06 仿真在本节中，计算机模拟进行了一个多电机系统，包括4个感应电机来验证所提出的控制方法的有效性。电机内的多个电机控制子系统的示意性结构图，如图3所示。4个电机参数见表1。图4表示了在具有很高的参考速度的控制下的系统性能。四台电机的参数都是以标称值给出。转速设定为*=1000r/m四个电机的负载转矩是TL1 = 2Nm,TL2 = 3Nm,TL3 = 1Nm,TL4 = 4Nm。我们可以看到四个电机的跟踪误差和同步误差在1s之内都收敛到零。

19、响多电机系统的快速响应是高精度的。 为了证明了控制系统的鲁棒性,在3s时负载扭矩发生变化,同时将转速设置为*=1000r/m 。负载力矩的值如表2所示。 图5演示了负载扭矩变化时的系统性能。响应曲线略有在3s的时候略有衰减，快速收敛到所需的值。图6显示了参考速度发生变化时的响应曲线。 设定速度在3秒之内从*=1000r/m 变到*=-1000r/m，而负载扭矩和其他点击参数均保持在正常范围内。跟踪错误和同步误差显著偏离了零,但最后很快趋于零。图7显示了系统参数扰动下的响应曲线。这一时刻惯性的值被修改为：J1=0.02kgm2,J2=0.017kgm2,J1=0.017kgm2,J1=0.012

20、kgm2。从仿真的结果，我们可以看到，控制系统的性能在没有调整控制器的情况下参数略有不同。跟踪误差和同步误差在1s内收敛到零并维持下去。图3：电机i的控制系统结构示意图图4 较高参考速度下系统性能示意图图5 随负载转矩变化的系统性能示意图7 结论本文提出来一种新的多电机同步控制策略。采用滑模控制到相邻的交叉耦合控制，包括了两部分：跟踪误差控制器和同步错误控制器。每个控制器包括一个等效控制器和鲁棒控制器。 所提出控制策略的稳定性已经通过李雅普诺夫方法,Barbalat引理,拉萨尔的不变性原理得到证明。所提出的控制方法并不是常规滑模控制而是采用总的滑模控制，响应和精度优于传统的滑模控制。提出的控制

21、方法比传统的相对交叉耦合控制简单。仿真结果表明提出的同步控制方法的响应更快和鲁棒性更好。图6 参考速度变化下系统性能示意图 图7 内部参数变化下系统性能示意图8 参考文献1 Chiu T C, Tomizuka M. Coordinate position control of multi-axis mechanical system. Dynamic Systems and ConControl,1994, 55(1): 159166.Control,1994, 55(1): 159166.2 Lee H S, Tomizuka M. Robust motion controller des

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