反比例函数实际应用

1、反比例函数的应用反比例函数的应用 本节课知识点 在面积中的应用 在速度和工程中的应用 在电学中的应用 在光学中的应用 在排水中的应用 在经济预算中的应用 在面积中的应用 P D o y x 1.1.如图如图, ,点点P P是反比例函数是反比例函数 图象上的图象上的 一点一点,PDx,PDx轴于轴于D.D.则则PODPOD的面积为的面积为 . . 1 1 2.2.如图如图, ,点点P P是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点, ,过点过点P P分别向分别向 x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线, ,若阴影部分面积为若阴影部分面积为1,1,则这个反比例则这个反比例 函数的关系式是函数的关

2、系式是 . . P D o y x P y xO C 2 K S SK 的面积不变性的面积不变性 (0) k yk x (0) 2 k k (0)k k 注意：注意：（1 1）面积与面积与P P的位置无关的位置无关 （2）当）当k符号不确定的情况符号不确定的情况 下须下须分类讨论分类讨论 P Q0 x y P 0 x y S ABC= K SABCD=2K B D S= k 2 1 o y P(m,n) x k y x A B C D C o x x k y y A 4 y x A A(2, 2) O y x 直线直线OAOA与双曲线的另与双曲线的另 一交点一交点B B的坐标的坐标 B B D

3、 D C C BDABDA的面积是多少？的面积是多少？ B（-2, ,-2） 8 曲直结合 3、在双曲线、在双曲线 上上 任一点分别作任一点分别作x轴、轴、y轴的垂线段，轴的垂线段， 与与x轴轴y轴围成矩形面积为轴围成矩形面积为12，求函，求函 数解析式数解析式_。 x k y (X0)(X0) y x O 或或 A o y x B S1 S2 x y 3 如图，如图，A,B是双曲线是双曲线 上的点，分别经过上的点，分别经过A,B两点向两点向X 轴、轴、y轴作垂线段，若轴作垂线段，若 . 21 1SSS，则 阴影 4 O y x s1 s2 如图如图, ,点点P P、Q Q是反比例函数图象上的

4、两点是反比例函数图象上的两点, ,过过 点点 P P、Q Q分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线, ,则则S S1 1( (黄色三角形）黄色三角形） S S2 2( (绿色三角形）的面积大小关系是：绿色三角形）的面积大小关系是：S1 _ _ S2. . P Q 趁热打铁，大显身手（提高篇）趁热打铁，大显身手（提高篇） = x y O P1 P2 P3 P4 1234 如图，在反比例函数如图，在反比例函数 的图象上，有点的图象上，有点 ，它们的横坐标依次为，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作分别过这些点作 轴与轴与 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为轴的垂

5、线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，则，则 1234 PPPP， ， ， x y 2 y x （x0) 123 SSS， ， 123 SSS （x0) 2 y x 3 2 1 6 思考：思考：1.你能求出你能求出S2和和S3的值吗？的值吗？ 1 3 2.S1呢？呢？1 y B A xo o 如图，已知，如图，已知，A,B是双曲线是双曲线 上的两点，上的两点，)0( k x k y （1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值 （2）在）在(1)的条件下，若点的条件下，若点B的横坐标为的横坐标为3， 连接连接OA,OB,AB，求，求OAB的面积。的面积。 C D E y B A xo

6、o 如图，已知，如图，已知，A,B是双曲线是双曲线 上的两点，上的两点，)0( k x k y （1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值 （2）在）在(1)的条件下，若点的条件下，若点B的横坐标为的横坐标为3， 连接连接OA,OB,AB，求，求OAB的面积。的面积。 C (5,0) . 1 , 6 )2( : xy x y 解 . 3 , 2 2 , 3 y x y x 或解得 ).2, 3(),3 , 2(BA A y y O B x M N y=kx+1y=kx+1的图像交于的图像交于A A、B B两点两点, ,点点A A的纵坐标是的纵坐标是3.3. 已知：如图已知：如图, ,反比例函数

7、反比例函数 与一次函数与一次函数 x y 6 （1 1）求这个一次函数的解析式）求这个一次函数的解析式 （2 2）求）求AOBAOB的面积的面积. . 变式练习变式练习 2 2、正比例函数、正比例函数y=y=x与反比例函数与反比例函数y= y= 的图象相交于的图象相交于 A A、C C两点两点.ABx.ABx轴于轴于B,CDyB,CDy轴于轴于D(D(如图如图),),则四边形则四边形 ABCDABCD的面积为的面积为( )( ) （A A）1 1 （B B） （C C）2 2 （D D） 1 x 3 2 5 2 总结提高总结提高 一个性质：反比例函数的一个性质：反比例函数的面积不变性面积不变性

8、 两种思想：两种思想：分类讨论分类讨论和和数形结合数形结合 综合应用综合应用 例例. .已知点已知点A A（3 3，4 4），），B B（2 2，m m）在反比例函数）在反比例函数 的图象上，经过点的图象上，经过点A A、B B的一次函数的图象分别与的一次函数的图象分别与x x轴、轴、y y 轴交于点轴交于点C C、D D。 求反比例函数的解析式；求反比例函数的解析式； x x k k y y 求经过点求经过点A、B的一次函数的解析式；的一次函数的解析式； 求求S ABO； ； 综合应用综合应用 例例. .已知点已知点A A（3 3，4 4），），B B（2 2，m m）在反比例函数）在反比例

9、函数 的图象上，经过点的图象上，经过点A A、B B的一次函数的图象分别与的一次函数的图象分别与x x轴、轴、y y 轴交于点轴交于点C C、D D。 求反比例函数的解析式；求反比例函数的解析式； x x k k y y 求经过点求经过点A、B的一次函数的解析式；的一次函数的解析式； 当当x为何值时反比例函数为何值时反比例函数y的值的值 大于一次函数大于一次函数y 的值的值 综合应用综合应用 例例. .已知点已知点A A（3 3，4 4），），B B（2 2，m m）在反比例函数）在反比例函数 的图象上，经过点的图象上，经过点A A、B B的一次函数的图象分别与的一次函数的图象分别与x x轴、

10、轴、y y 轴交于点轴交于点C C、D D。 求反比例函数的解析式；求反比例函数的解析式； x x k k y y 求经过点求经过点A、B的一次函数的解析式；的一次函数的解析式； 在在y轴上找一点轴上找一点P，使，使PAPC最短，最短， 求点求点P的坐标；的坐标； 在工程与速度中的应用 工程、速度的数量关系工程、速度的数量关系 一、自主预习：一、自主预习： 1、工作总量、工作效率、工作时 间的关系： 工作总量 工作效率 工作时间 码头工人以每天码头工人以每天3030吨的速度往一艘轮船上装载吨的速度往一艘轮船上装载 货物货物, ,把轮船装载完毕恰好用了把轮船装载完毕恰好用了8 8天时间天时间.

11、. (1) (1)这批货物的总量是多少吨？这批货物的总量是多少吨？ （2 2）轮船到达目的地后开始卸货）轮船到达目的地后开始卸货, ,卸货速度卸货速度v(v(单单 位位: :吨吨/ /天天) )与卸货时间与卸货时间t(t(单位单位: :天天) )之间有怎样的函数之间有怎样的函数 关系关系? ? （3 3）若工人以每天）若工人以每天4040吨的速度卸货，需要几天卸吨的速度卸货，需要几天卸 完？完？ (4)(4)由于遇到紧急情况由于遇到紧急情况, ,船上的货物必须在不超过船上的货物必须在不超过 5 5天内卸载完毕天内卸载完毕, ,那么平均每天至少要卸多少吨货物那么平均每天至少要卸多少吨货物? ?

12、（5 5）若工人每天卸货在若工人每天卸货在4048吨之间，那么卸吨之间，那么卸 货时间范围是多少？货时间范围是多少？ (1)这批货物的总量是多少吨？这批货物的总量是多少吨？ （分析：这批货物的总量= ） 解： 码头工人以每天码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船吨的速度往一艘轮船 上装载货物上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了把轮船装载完毕恰好用了8天时天时 间间. 因为因为vt=240vt=240 所以所以v v与与t t的函数关系为的函数关系为 码头工人以每天码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上吨的速度往一艘轮船上 装载货物装载货物,把轮船装载完毕恰好用了把轮船装载完毕恰好用了8天时间天时间

13、. (2)(2)轮船到达目的地后开始卸货轮船到达目的地后开始卸货, ,卸货速度卸货速度v(v(单单 位位: :吨吨/ /天天) )与卸货时间与卸货时间t(t(单位单位: :天天) )之间有怎样之间有怎样 的函数关系的函数关系? ? t v 240 码头工人以每天码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮把轮 船装载完毕恰好用了船装载完毕恰好用了8天时间天时间. （3）若工人以每天）若工人以每天40吨的速度卸货，需要几天卸完？吨的速度卸货，需要几天卸完？ 分析：可以看作函数关系中已知分析：可以看作函数关系中已知 , 求求 解：把解：把v=40代入代入 ，得，

14、得 解得解得 t v 240 t 240 40 v=40 码头工人以每天码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物吨的速度往一艘轮船上装载货物, 把轮船装载完毕恰好用了把轮船装载完毕恰好用了8天时间天时间. (4) (4)由于遇到紧急情况由于遇到紧急情况, ,船上的货物必须在不超过船上的货物必须在不超过5 5天天 内卸载完毕内卸载完毕, ,那么平均每天至少要卸多少吨货物那么平均每天至少要卸多少吨货物? ? 分析：可以看作函数关系中已知分析：可以看作函数关系中已知 求求 思考思考:还还 有其他有其他 方法吗方法吗?t v 240 48 5 240 v 码头工人以每天码头工人以每天30吨的速度

15、往一艘轮船上装载货物吨的速度往一艘轮船上装载货物,把把 轮船装载完毕恰好用了轮船装载完毕恰好用了8天时间天时间. （5）若工人每天卸货在）若工人每天卸货在4048吨之间，那么卸货时间范吨之间，那么卸货时间范 围是多少？围是多少？ 分析：可以看作函数关系中已知分析：可以看作函数关系中已知 ，求，求 4840v t v 240 t 240 40 t v 240 t 240 48 4840 v 65t 一辆汽车往返于甲一辆汽车往返于甲, ,乙两地之间乙两地之间, ,如果汽车以如果汽车以5050千米千米/ /小时小时 的平均速度从甲地出发的平均速度从甲地出发, ,则经过则经过6 6小时可以到达乙地小时

16、可以到达乙地. . （5 5）汽车按每小时）汽车按每小时6060千米的速度行驶千米的速度行驶2 2小时时，司机接到小时时，司机接到 通知必须在之后通知必须在之后2 2小时之内到达目的地。之后每小时至少加小时之内到达目的地。之后每小时至少加 速多少，才能准时到达？速多少，才能准时到达？ 300千米千米 变小变小 v t 300 60千米千米/小时小时 随堂练习 自我发展的平台 1.京沈高速公路全长京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈，汽车沿京沈高速公路从沈 阳驶往北京阳驶往北京 ，则汽车行完全程所需时间，则汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的与行驶的 平均速度平均速度v(km/h)

17、之间的函数关系式为：之间的函数关系式为： 2.小明家用购电卡买了小明家用购电卡买了1000度电，那么这些电能够使度电，那么这些电能够使 用的天数用的天数y与平均每天用电度数与平均每天用电度数x之间的函数关系式是之间的函数关系式是 _，如果平均每天用，如果平均每天用5度，这些电可以用度，这些电可以用 _天；如果这些电想用天；如果这些电想用250天，那么平均每天用电天，那么平均每天用电 _度度. 3.请举出生活中反比例函数应用的事例，并以请举出生活中反比例函数应用的事例，并以 问题的形式考考大家问题的形式考考大家. x y 1000 200 4 No Image v t 658 1、通过本环节的学

18、习、通过本环节的学习,你有哪些收获你有哪些收获? 小结小结 本节课是继续用函数的观点处理实际问题，本节课是继续用函数的观点处理实际问题， 关键在于分析关键在于分析实际情景实际情景，建立，建立函数模型函数模型，并且，并且 进一步明确数学问题将实际问题置于已学的知进一步明确数学问题将实际问题置于已学的知 识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？ 可以看作什么？逐步形成考察实际问题的能力，可以看作什么？逐步形成考察实际问题的能力， 在解决实际问题时，不仅要充分利用函数图象在解决实际问题时，不仅要充分利用函数图象 的性质，参透数形结合的思想，也要注意函数、的性质

19、，参透数形结合的思想，也要注意函数、 不等式、方程之间的联系。不等式、方程之间的联系。 三、反比例函数在电学中的运用 在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可 以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称 为跨学科应用。 例1 在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反 比例，当电阻R5欧姆时，电流I2安培 (1)求I与R之间的函数关系式； (2)当电流I0.5时，求电阻R的值 (1)解：设I R5，I2，于是 =2510，所以U10，I (2)当I0.5时，R=20(欧姆) 点评：反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的

20、 一些量之间的关系打下了良好的基础。用数学模型的解释物理量之间 的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间 的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关 系 四、在光学中运用 例2 近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已 知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25m （1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式； （2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距 分析：把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题 解：（1）设y=，把x=0.25，y=400代入，得400=， 所以，k=4000.25=100，即所求的函数关系式为y= （2）当y=1000时，1

21、000=，解得=0.1m 点评：生活中处处有数学。用反比例函数去研究两个物理 量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学们要学好 物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理 解和探索。 五、在排水方面的运用 例 3 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量 V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间 t（h）之间的函数关系图象 （1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）写出此函数的解析式； （3） 若要 6h 排完水池中的水， 那么每小时的排水量应该是多 少？ （4）如果每小时排水量是 5 000m3，那么水池中的水将要多 少小时排完？ 分析：当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排