电动力学 电磁波在介质界面上的反射和折射

1、1 第四章第二节第四章第二节 电磁波在介质界面电磁波在介质界面 上的反射和折射上的反射和折射 2 电磁波入射到介质界面，发生反射和电磁波入射到介质界面，发生反射和 折射。反射和折射的规律包括两个方面：折射。反射和折射的规律包括两个方面： （1）入射角、反射角和折射角的关系）入射角、反射角和折射角的关系 （2）入射波、反射波和折射波的振幅）入射波、反射波和折射波的振幅 比和相对相位比和相对相位 3 下面应用电磁场边值关系来下面应用电磁场边值关系来 分析反射和折射的规律。分析反射和折射的规律。 任何波动在两个不同界面上的反射和折任何波动在两个不同界面上的反射和折 射现象属于边值问题射现象属于边值问

2、题，它是由波动的基本，它是由波动的基本 物理量在边界上的行为确定的，对电磁波物理量在边界上的行为确定的，对电磁波 来说，是由来说，是由E和和B的边值关系确定的。因此，的边值关系确定的。因此， 研究电磁波反射、折射问题的基础是电磁研究电磁波反射、折射问题的基础是电磁 场在两个不同介质界面上的边值关系。场在两个不同介质界面上的边值关系。 4 一般情况下一般情况下 电磁场的边电磁场的边 值关系值关系 0 0 12 12 12 12 BBn DDn HHn EEn 1反射和折射定律反射和折射定律 式中式中 和和 是面自由电荷、电流密度。这组是面自由电荷、电流密度。这组 边值关系是麦克斯韦方程组的积分形

3、式应用边值关系是麦克斯韦方程组的积分形式应用 到边界上的推论。在绝缘介质界面上，到边界上的推论。在绝缘介质界面上， =0， =0。 5 因在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立因在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立 的，由第一、二式可导出其他两式。与此相应，边的，由第一、二式可导出其他两式。与此相应，边 值关系式也不是完全独立的，由第一、二式可以导值关系式也不是完全独立的，由第一、二式可以导 出其他两式。出其他两式。 0 0 12 12 HHn EEn 因此，在讨论时谐电磁波时因此，在讨论时谐电磁波时, 介质界面介质界面 上的边值关系只需考虑以下两式上的边值关系只需考虑以下两式 虽然介质

4、中虽然介质中B是基本物理量，是基本物理量，但由于但由于H直接和自直接和自 由电流相关由电流相关，而且边界条件也由而且边界条件也由H表出表出，所以在研，所以在研 究电磁波传播问题时，往往用究电磁波传播问题时，往往用H表示磁场较为方便。表示磁场较为方便。 6 设介质设介质1和介质和介质2的分界面为无穷大平面，且的分界面为无穷大平面，且 平面电磁波从介质平面电磁波从介质1入入射于界面上，在该处产生反射于界面上，在该处产生反 射波和折射波。射波和折射波。设反射波和折射波也是平面波设反射波和折射波也是平面波 （由下面所得结果可知这假定是正确的）。设入（由下面所得结果可知这假定是正确的）。设入 射波、反射

5、波和折射波的电场强度分别为射波、反射波和折射波的电场强度分别为E、E和和 E ，波矢量分别为，波矢量分别为 k、k和和k。它们的平面波表。它们的平面波表 示式分别为示式分别为 txki txki txki eEE eEE eEE 0 0 0 7 应用边界条件时，注意介质应用边界条件时，注意介质1中的中的 总场强为入射波与反射波场强的叠总场强为入射波与反射波场强的叠 加，而介质加，而介质2中只有折射波，因此中只有折射波，因此 有边界条件有边界条件 )(EnEEn 先求波矢量方向之间的关系先求波矢量方向之间的关系 8 代入场表达式得代入场表达式得 xk ixk ixk i eEneEeEn 0 0

6、 0 此式必须对整个界面成立选界面为平面此式必须对整个界面成立选界面为平面z 0，则上式应对，则上式应对z0和任意和任意x，y成立。因此三个成立。因此三个 指数因子必须在此平面上完全相等，指数因子必须在此平面上完全相等， 0 zxkxkxk 9 由于由于x和和y是任意的，它们的系数应各自相等是任意的，它们的系数应各自相等 , yyyxxx kkkkkk 如图，取入射波矢在如图，取入射波矢在 xz平面上，有平面上，有ky=0,于于 是是ky =ky=0。因此，。因此， 反射波矢和折射波矢反射波矢和折射波矢 都在同一平面上。都在同一平面上。 10 波矢量分量间的关系波矢量分量间的关系 yyy xx

7、x kkk kkk 且且 和和 在一个平面内在一个平面内,k k k 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明0)( 12 EEn EEE 1 EE 2 EnEEn )( xk ixk ixk i eEneEeEn 000 )( 在界面上在界面上 z= 0, xz= 0, x，y y 任意任意 )( 0 )( 0 )( 0 ykxkiykxkiykxki yxyxyx eEneEneEn E E E k k k n z y x 11 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为任意，要使上式成立，只有因为任意，要使上式成立，只有 yx， , xx k k xx kk 同理可以证明同理可以证明

8、yyy kkk 两边除以两边除以exp () xy i k xk y 0 )()( 0 )()( 0 EneEneEn ykkxkkiykkxkki yyxxyyxx 两边对两边对x求偏导求偏导 0 )()( )(Enekki ykkxkki xx yyxx 0 )()( )(Enekki ykkxkki xx yyxx )()( 00 )()( ykkxkki xxxx yyxx eEnkkEnkk 12 以以 ， 和和 分分 别代表入射角，反别代表入射角，反 射角和折射角，有射角和折射角，有 sin ,sin,sin kk kkkk x x x 设设v1和和v2为电磁波在两介质中的相速，则

9、为电磁波在两介质中的相速，则 2 1 , v k v kk 13 把波矢及它们的分把波矢及它们的分 量值代入它们之间量值代入它们之间 的关系式，得的关系式，得 对电磁波来说对电磁波来说 2 1 sin sin , v v 这就是说，根据麦克斯韦方程这就是说，根据麦克斯韦方程 （边界条件和平面波解），得到（边界条件和平面波解），得到 了我们熟知的反射和折射定律。了我们熟知的反射和折射定律。 1 v 21 11 22 sin sin n 因此因此 14 n21为介质为介质2相对于介质相对于介质1的折射率。的折射率。 由于除铁磁质外，一般介质都有由于除铁磁质外，一般介质都有 0，因此通常可以认为，因

10、此通常可以认为 就是两介质的相对折就是两介质的相对折 射率。频率不同时，射率。频率不同时， 折射率亦不同，这是折射率亦不同，这是 色散现象在折射问题色散现象在折射问题 中的表现。中的表现。 1 2 15 现在应用边值关系式求入射、反现在应用边值关系式求入射、反 射和折射波的振幅关系射和折射波的振幅关系 2振幅关系振幅关系 菲涅耳公式菲涅耳公式 由于对每一波矢由于对每一波矢k有两个有两个 独立的偏振波，它们在独立的偏振波，它们在 边界上的行为不同，所边界上的行为不同，所 以需要分别讨论以需要分别讨论E垂直垂直 于入射面和于入射面和E平行于入平行于入 射面两种情形。射面两种情形。 16 cosco

11、scos HHH EH 2 1 coscos EEE =0 (1) E 入射面入射面 边值关系式为边值关系式为 EEE 17 21 1 sin sincos2 coscos cos2 E E 反反 射射 透透 射射 21 21 sin )sin( coscos coscos E E 并利用折射定律得并利用折射定律得 18 边值关系式为边值关系式为 coscoscos EEE HHH （2 ）E/入射面入射面 2 1 EEE 19 并利用折射定律得并利用折射定律得 tg tg E E cossin sincos2 E E 反反 射射 透透 射射 20 上述公式称为上述公式称为菲涅耳公式菲涅耳公式

12、，表示反射，表示反射 波、折射波与入射波场强的比值波、折射波与入射波场强的比值 由这些公式看出，由这些公式看出，垂直于入射面偏垂直于入射面偏 振的波与平行于入射面偏振的波的反振的波与平行于入射面偏振的波的反 射和折射行为不同射和折射行为不同。如果入射波为自。如果入射波为自 然光（即两种偏振光的等量混合），然光（即两种偏振光的等量混合）， 经过反射或折射后，由于两个偏振分经过反射或折射后，由于两个偏振分 量的反射和折射波强度不同，因而反量的反射和折射波强度不同，因而反 射波和折射波都变为部分偏振光。射波和折射波都变为部分偏振光。 21 对于对于E/入射面，在入射面，在 + =90 的特殊情形的特

13、殊情形 下，下，E平行于入射面的分量没有反射波平行于入射面的分量没有反射波，因因 而反射光变为垂直于入射面偏振的完全偏而反射光变为垂直于入射面偏振的完全偏 振光。振光。这是光学中的布儒斯特（这是光学中的布儒斯特（Brewster） 定律，这情形下的入射角为布儒斯特角。定律，这情形下的入射角为布儒斯特角。 tg tg E E cossin sincos2 E E 22 菲涅尔公式同时也给出入射波、反射波菲涅尔公式同时也给出入射波、反射波 和折射波的相位关系。和折射波的相位关系。在在 E 入射面情形入射面情形， 当当 2 1时时 ，因此，因此E/E为负数，即为负数，即 反射波电场与入射波电场反相，

14、这现象称反射波电场与入射波电场反相，这现象称 为反射过程中的为反射过程中的半波损失。半波损失。 上面的推导结果与光学实验上面的推导结果与光学实验 事实完全符合，进一步验证了事实完全符合，进一步验证了 光的电磁理论的正确性。光的电磁理论的正确性。 23 3全反射全反射 若若 1 2 ，则，则n211。当电磁波从介质。当电磁波从介质1入入 射时，折射角射时，折射角 大于入射角大于入射角 。 21 11 22 sin sin n 根据根据 24 变为变为90 ，这时折射波沿界面掠过若，这时折射波沿界面掠过若 入射角再增大，使入射角再增大，使 sin n21，这时不能这时不能 定义实数的折射角定义实数

15、的折射角，因而将出现不同于一，因而将出现不同于一 般反射折射的物理现象。现在我们研究这般反射折射的物理现象。现在我们研究这 种情况下的电磁波解。种情况下的电磁波解。 1221 sin n 当当 25 假设在假设在 sin n21情形下两介质中的电情形下两介质中的电 场形式上仍然不变，边值关系形式上仍场形式上仍然不变，边值关系形式上仍 然成立，即仍有然成立，即仍有 21 2 1 ,sin kn v v kk kkk xx 在在sin n21情形下有情形下有kxk，因而，因而 2 21 2 2 2 sinnikkkk xz 虚数虚数 26 则折射波电场表示式变为则折射波电场表示式变为 txkiz

16、x eeEE 0 上式仍然是亥姆霍兹方程的解，因此代表在介上式仍然是亥姆霍兹方程的解，因此代表在介 质质2中传播的一种可能波模在上一节中我们不中传播的一种可能波模在上一节中我们不 考虑这种波，是因为当考虑这种波，是因为当z- 时时E ，因而，因而 上式所表示的波不能在全空间中存在。上式所表示的波不能在全空间中存在。但是这但是这 里所研究的折射波只存在于里所研究的折射波只存在于z0的半空间中，的半空间中， 因此，上式是一种可能的解因此，上式是一种可能的解 2 21 2 sin ,nkikz 令令 27 上式是沿上式是沿x轴方向传播的电磁波，它的场强沿轴方向传播的电磁波，它的场强沿z 轴方向指数衰

17、减。因此，这种电磁波只存在轴方向指数衰减。因此，这种电磁波只存在 于界面附近一薄层内，该层厚度于界面附近一薄层内，该层厚度 -1 2 21 2 1 2 21 2 1 sin2sin 1 nnk 1为介质为介质1中的波长。一般来说，透入第二中的波长。一般来说，透入第二 介质中的薄层厚度与波长同数量级。介质中的薄层厚度与波长同数量级。 折射波折射波 磁场强磁场强 度度 EnE k k B 28 212 2 2 2 sin n EE k k Hy x z Hz与与E”同相，但同相，但Hx与与E” 有有90 相位差。相位差。 考虑考虑 E垂直入射面情况垂直入射面情况(E=Ey), 1 sin 21 2

18、 2 2 2 2 2 n iEE k k Hy z x 29 折射波平均能流密度折射波平均能流密度 21 2 2 0 2 2 * sin 2 1 Re 2 1 n eEHES z z yx 由此，折射波平均能流密度只有由此，折射波平均能流密度只有x 分量，沿分量，沿z轴方向透入第二介质的轴方向透入第二介质的 平均能流密度为零平均能流密度为零 0Re 2 1 * xyz HES 30 本节推出的有关反射和折射的公式在本节推出的有关反射和折射的公式在 sin n21情形下形式上仍然成立。只要作对应情形下形式上仍然成立。只要作对应 1 sin cos , sin sin 21 2 2 21 n i k k nk k z x 则由菲涅耳公式可以求出反射波和则由菲涅耳公式可以求出反射波和 折射波的振幅和相位。例如在折射波的振幅和相位。例如在E垂垂 直入射面情形，直入射面情形， 31 i e ni ni E E 2 2 21 2 2 21 2 sincos sincos 此式表示反射波与入射波具有相同振幅，此式表示反射波与入射波具有相同振幅， 但有一定的相位差。反射波平均能流密度但有一定的相位差。反射波平均能流密度 数值上和入射波平均能流密度相等，因此数值上和入射波平均能流密度相等，因此 电磁能量被全部反射出去。这现象称为全电磁能量被全部反射出去。这现象