第四章(无限自由度系统的振动)

1、无限自由度系统的振动无限自由度系统的振动 第四章第四章 引言引言 m kc mmm 2k c k2kk 1 u 2 u 3 u 离散系统离散系统 连续系统连续系统 分布参数系统分布参数系统 无限自由度系统无限自由度系统 引言引言 杆：杆：以拉压为主要变形的构件以拉压为主要变形的构件 F F 轴：轴：以扭转为主要变形的杆以扭转为主要变形的杆 T T 梁：梁：以弯曲为主要变形的杆以弯曲为主要变形的杆 F 一个方向的尺寸远一个方向的尺寸远 大于其他两个方向大于其他两个方向 的尺寸的尺寸 板：板：一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸的构件一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸的构件 引言引言 瑞士瑞

2、士-俄罗斯科学家俄罗斯科学家 Euler（1707-1783） u 1744 1744年，年， EulerEuler研究了梁的横向自由振研究了梁的横向自由振 u 动，导出了铰支、固定和自由三类边动，导出了铰支、固定和自由三类边 界界 u 条件下的振型函数与频率方程条件下的振型函数与频率方程 u 17591759年，年， EulerEuler解决了矩形膜的自由振解决了矩形膜的自由振 u 动问题动问题 u 1814-18501814-1850年，年，PoissonPoisson、KirchhoffKirchhoff、 u NavierNavier建立板弯曲振动理论。建立板弯曲振动理论。 引言引言

3、1. 连续系统的振动是连续系统的振动是时间时间和和空间空间坐标的函数坐标的函数 2. 连续系统的运动方程要用连续系统的运动方程要用偏微分方程偏微分方程来描述来描述 3. 连续弹性体有连续弹性体有无限无限多个固有频率和固有振型多个固有频率和固有振型 ( , )u x t x u A A o x 连续系统与离散系统不同之处：连续系统与离散系统不同之处： 引言引言 连续系统与离散系统相似之处：连续系统与离散系统相似之处： 1. 连续系统固有振型关于质量与刚度具有加权连续系统固有振型关于质量与刚度具有加权正交性正交性 2. 连续系统的自由振动可表示为各阶固有振动的连续系统的自由振动可表示为各阶固有振动

4、的线性叠加线性叠加 3. 对弹性体的振动，对弹性体的振动，模态叠加模态叠加法、法、模态截断模态截断等方法同样适用等方法同样适用 引言 微振动假设微振动假设 研究对象为理想弹性体，即匀质分布，各向同性和服研究对象为理想弹性体，即匀质分布，各向同性和服 从胡克定律。从胡克定律。 基本假设：基本假设： 实际工作中，如何分析连续系统的振动？实际工作中，如何分析连续系统的振动？ （1）首先判定是否是）首先判定是否是简单几何简单几何和和边界条件边界条件的系统，如果是，则可获得的系统，如果是，则可获得 系统固有振动特性和响应的系统固有振动特性和响应的解析解解析解（本章内容）（本章内容） 引言 （2）如是复杂

5、几何和边界条件的系统，则用有限单元法求解）如是复杂几何和边界条件的系统，则用有限单元法求解 图图 利用有限单元法将连续系统（阿波罗飞船）利用有限单元法将连续系统（阿波罗飞船） 离散化为离散系统离散化为离散系统 第四章：无限自由度系统的振动第四章：无限自由度系统的振动 弹性杆的纵向振动弹性杆的纵向振动 x y 图图 弹性杆的纵向振动弹性杆的纵向振动 ( , )u x t 杆的纵向振动主要研究杆的任一截面沿杆的纵向振动主要研究杆的任一截面沿 方向（轴线）的振动规律。方向（轴线）的振动规律。x 火箭的纵向耦合振动 POGO vibration 大型液体火箭的结构与推进系统相互作用而产生的不稳定振动。

6、 其特征频率是由结构纵向振动与推进剂输送管路振动的固有频率彼 此接近或相等时所产生的一个共振频率，它的幅值开始于动力飞行 过程中的某瞬间,随后达到最大,最后减弱。幅值达到最大时会引起 火箭剧烈振动，使整个火箭出现不稳定状态。振动量级超过设计允 许值时会影响火箭上仪器、设备的工作可靠性。对于载人航天器, 还会导致航天员生理失调,如视力模糊等。 【纵向振动的例子】【纵向振动的例子】 弹性杆的纵向振动弹性杆的纵向振动 “ “神五神五” ” 火箭发射后火箭发射后120120秒时，火箭秒时，火箭 箭体的箭体的纵向纵向振动和振动和液氧输送管路中的液氧液氧输送管路中的液氧 水平振动出现了水平振动出现了耦合，

7、形成一种耦合，形成一种纵向耦合纵向耦合 振动振动，造成航天员的痛苦。，造成航天员的痛苦。 神六设计时便改动了氧气输送管道的神六设计时便改动了氧气输送管道的 一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但 航天员的痛苦大大减轻。航天员的痛苦大大减轻。 图图 神州五号飞船神州五号飞船 神六减轻神六减轻“第第120120秒痛苦秒痛苦” ” 弹性杆的纵向振动弹性杆的纵向振动 ( (一一) ) 直杆的纵向振动微分方程直杆的纵向振动微分方程 o x l x dx ( , )fx t ( , )u x t 长度为长度为 l 横截面积为横截面积为 A(x) 材料弹性模量为材料弹性模量

8、为 E(x)体密度为体密度为 (x) u(x, t) 表示坐标为表示坐标为 x 的截面在时刻的截面在时刻 t 的纵向位移的纵向位移 f (x, t) 是作用在杆上的纵向分布力是作用在杆上的纵向分布力 dx u u udx x fdx N N Ndx x ( (一一) ) 直杆的纵向振动微分方程直杆的纵向振动微分方程 o x l x dx ( , )f x t ( , )u x t A B C u u dx x u ABudx x x u dx u 微段的轴向应变：微段的轴向应变：( , )x t ( , ) ( , ) u x t udxu xu x t dxx 横截面轴向力：横截面轴向力：(

9、 , )N x t ( , ) ( ) ( , ) ( )( ) ( ) u x t E xx t A xE x A x x dx u u udx x fdx N N Ndx x ( (一一) ) 直杆的纵向振动微分方程直杆的纵向振动微分方程 xtxftxNx x txN txN t txu xxAxd),(),( d ),( ),( ),( d)()( 2 2 （直杆纵向受迫振动微分方程）（直杆纵向受迫振动微分方程） ( )( ) ( , ) ( )( ) ( , ) ( , )x A x u x t tx E x A x u x t x f x t 2 2 ( (均匀材料等截面直杆的纵向受

10、迫振动方程均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程) ) 22 2 22 ( , )( , )1 ( , ) u x tu x t cf x t Atx cE ( (一一) ) 直杆的纵向振动微分方程直杆的纵向振动微分方程 （直杆纵向受迫振动微分方程）（直杆纵向受迫振动微分方程） ( )( ) ( , ) ( )( ) ( , ) ( , )x A x u x t tx E x A x u x t x f x t 2 2 22 2 22 ( , )( , )u x tu x t c tx ( (二二) ) 杆的纵向固有振动杆的纵向固有振动 （分离变量法）（分离变量法） u x tU x q t(

11、, )( ) ( ) 2 ( ) ( )( )( )U x q tc q t U x 22 ( )( ) ( )( ) q tUx c q tU x 2 2 ( )( )( )0 ( )( )0 UxU x c q tq t 1.1.固有振动固有振动 ( (二二) ) 固有振动固有振动 1212 ( , )( ) ( ) (cossin)(cossin) u x tU x q t axax btbt cc 固有振动的固有振动的 表达式表达式 固有振型函数固有振型函数 12 ,b b由初始条件确定由初始条件确定 12 ,a a由边界条件确定由边界条件确定 12 12 ( )cossin ( )c

12、ossin U xaxax cc q tbtbt 2 2 ( )()( )0 ( )( )0 UxU x c q tq t 简单边界条件简单边界条件 固定端：固定端： 自由端：自由端： 0u0U 0 x u EAN U0 ( (二二) ) 固有振动固有振动 x y 2.2.边界条件边界条件 ( (二二) ) 固有振动固有振动 (0)0,( )0UU l 边界条件：边界条件： 【例【例1 1】：求两端固定杆的纵向振动固有频率和固有振型。：求两端固定杆的纵向振动固有频率和固有振型。 12 0,sin0aal c 12 ( )cossinU xaxax cc 固有振型函数：固有振型函数： sin0l

13、 c ,1, 2, n n cnE n ll 各阶固有频率各阶固有频率 x l ( (二二) ) 固有振动固有振动 2 ( )sinU xax c ,1, 2, n n cnE n ll ( )sinsin n n n Uxxx cl x l 0)(, 0) 0(lUU 边界条件：边界条件： 【例【例2 2】：求一端固定一端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。：求一端固定一端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。 ( (二二) ) 固有振动固有振动 x y l 12 0,cos0aal cc 12 ( )cossinU xaxax cc 固有振型函数：固有振型函数： 1 (),1, 2, 2

14、 n c nn l cos0l c 各阶固有频率各阶固有频率 ( (二二) ) 固有振动固有振动 (21) ( )sin,1, 2, 2 n nx U xn l 各阶固有振型函数各阶固有振型函数 x y l 1st 2nd 3rd ( (二二) ) 固有振动固有振动 x 两端自由两端自由 【课堂练习】【课堂练习】：求两端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。：求两端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。 (0)0,( )0UU l 21 0,sin0aal cc 12 ( )cossinU xaxax cc 1, 2, n n c , n l 0 sin0l c ( )cos n n Uxx

15、l 0 ( )1Ux STOP 第二讲：第二讲： 1. 1. 轴的扭转振动轴的扭转振动 2. 2. 课堂练习课堂练习 ( (一一) ) 轴的扭转振动轴的扭转振动 o x l xdx 长度为长度为 l 横截极惯性矩横截极惯性矩Ip (x) 材料剪切模量为材料剪切模量为 G(x)体密度为体密度为 (x) (x, t) 表示坐标为表示坐标为 x 的截面在时刻的截面在时刻 t 的角位移的角位移 Me(x, t) 是单位长度轴上分布的外扭矩是单位长度轴上分布的外扭矩 dx x 1.1.运动方程运动方程 o x xdx dx x dx dx t M t t M Mdx x 2 () t ptte M I

16、dxMdxMM dx tx tp MGI x 2 ppe IGIM txx 2 2 22 1 e p cM txI ( (一一) ) 轴的扭转振动轴的扭转振动 1212 ( , )( ) ( ) (cossin)(cossin) x tx q t axax btbt cc ( (一一) ) 轴的扭转振动轴的扭转振动 简单边界条件简单边界条件 固定端：固定端： 自由端：自由端： 00 0 tp MGI x 0 x 2.2.边界条件边界条件 ( (二二) ) 课堂练习课堂练习 【课堂练习【课堂练习1 1】：求如图所示的上端固定，下端有一附加质量：求如图所示的上端固定，下端有一附加质量M M的等的等

17、 直杆作纵向振动的频率方程。直杆作纵向振动的频率方程。 x L M , ,E A O (0)0U上端边界条件：上端边界条件： 下端边界条件：下端边界条件： 2 2 ( , )( , )u L tu L t EAM xt 1212 ( , )( ) ( ) (cossin)(cossin) u x tU x q t axax btbt cc 1 0a 2 ( , ) cos( ) u L t aLq t xcc 2 2 2 2 ( , ) sin( ) u L t aLq t ct 2 cossinEALML ccc 2 Ec tan AL LL ccM 【课堂练习【课堂练习2 2】：求如图所示

18、的一端固定一端弹性支撑的杆作纵向振：求如图所示的一端固定一端弹性支撑的杆作纵向振 动的频率函数。动的频率函数。 ( (二二) ) 课堂练习课堂练习 L , ,E A O x k 左端边界条件：左端边界条件：(0)0U 1 0a 12 ( )(cossin)U xaxax cc 右端边界条件：右端边界条件： ( ) ( ) x L dU x EAkU L dx cossin LL EAk ccc tan L EAc L kL c ( (二二) ) 课堂练习课堂练习 11 , ,E AL 2 x 22 , ,E AL 1 x 1 o 1 u 2 u 2 o 【课堂练习【课堂练习3 3】：求如图所示

19、的阶梯杆纵向振动时的频率方程。：求如图所示的阶梯杆纵向振动时的频率方程。 11111 11111 ( , )( ) ( ) (cossin) ( ) u x tU x q t axbx q t cc 22222 22222 (, )()( ) (cossin)( ) ux tUx q t axbx q t cc 112 1122 12 12 0 ( )() xLx dU xdUx EAEA dxdx 22 22 ()0 xL Ux 1 11 1 1 0 ( ) 0 x dU x EA dx 1 0b 112 ()(0)U LU 112 cosaLa c 2222 cossin0aLbL cc

20、1 112 2 sinEAaLEA b c 112 cos0L aa c 1112 2 sin0EALaEA b c 2222 cossin0LaLb cc 112 1 222 2 1 sin0 0cossin0 cos10 EALEA c a LLa cc b L c 112 22 1 sin0 0cossin0 cos10 EALEA c LL cc L c 2 12 1 tantan A LL ccA ( (二二) ) 课堂练习课堂练习 STOP 第四章：无限自由度系统的振动第四章：无限自由度系统的振动 梁梁：以弯曲为主要变形的杆：以弯曲为主要变形的杆 引言引言 引言引言 Eluer-B

21、ernouliEluer-Bernouli梁梁：忽略剪切变形和绕中性轴转动惯量的梁：忽略剪切变形和绕中性轴转动惯量的梁 TimoshenkoTimoshenko梁梁：计及剪切变形和绕中性轴转动惯量的梁：计及剪切变形和绕中性轴转动惯量的梁 瑞士瑞士-俄罗斯科学家俄罗斯科学家 Euler（1707-1783） Daniel Bernoulli (17001782) 引言引言 直梁假设直梁假设 梁具有纵向对称面，在弯曲振动时梁的挠曲线始终在这一平面内梁具有纵向对称面，在弯曲振动时梁的挠曲线始终在这一平面内 Eluer-BernouliEluer-Bernouli梁的基本假设：梁的基本假设： x 对对

22、 称称 面面 w y 引言引言 Eluer-BernouliEluer-Bernouli定律：定律： 2 2 ( , ) ( , ) w x t M x tEI x E：弹性模量：弹性模量 I ：截面对中性轴的惯性矩，简称截面惯性矩：截面对中性轴的惯性矩，简称截面惯性矩 EI ：梁的弯曲刚度：梁的弯曲刚度 ( , )w x t：梁的挠曲线：梁的挠曲线 z y O dA y z 2 z A Iy dA 2 y A Iz dA 引言引言 ),(txf x w xdx l ( , )m x t o 梁的长度梁的长度 l 梁的横截面积梁的横截面积 A(x) 梁的体密度梁的体密度 (x)梁的弹性模量梁的

23、弹性模量 E(x) 截面惯性矩截面惯性矩 I(x) 坐标为坐标为x的截面中性轴在的截面中性轴在t时刻的横向位移为时刻的横向位移为w(x,t) 单位长度上的分布外力单位长度上的分布外力f(x,t) 单位长度上的分布外力矩单位长度上的分布外力矩m(x,t) 梁的弯曲振动方程梁的弯曲振动方程 左左截截面面向向上上剪剪力力为为正正； 右右截截面面的的正正负负：向向下下为为正正 正负号规定正负号规定 Q Q Qdx x M M Mdx x ( , )f x t dx ( , )m x t dx 左左截截面面上上顺顺时时针针方方向向为为正正； 右右截截面面上上逆逆时时弯弯矩矩针针的的正正负负：方方向向为为

24、正正 梁的弯曲振动方程梁的弯曲振动方程 ),(txf x w xdx ( , )m x t o Q Q Qdx x M M Mdx x ( , )f x t dx ( , )m x t dx 2 2 ( , ) ( ) ( )d ( , ) ( , ) ( , )d ( , )d ( , ) ( , )d w x t x A x x t Q x t Q x tQ x txf x tx x Q x t f x tx x 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： 方程方程(1) ( , )( , ) ( , ) ( , )( , ) M x tQ x t dx M x t M x tdx m x t dx

25、 x 微元力矩平衡：微元力矩平衡： Q x t M x t x m x t( , ) ( , ) ( , ) 方程方程(2) 梁的弯曲振动方程梁的弯曲振动方程 22 22 ( , )( , )( , ) ( ) ( )( , ) w x tM x tm x t x A xf x t xtx 2 2 ( , ) ( , )( ) ( ) w x t M x tE x I x x ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , )( , )x A x w x t tx E x I x w x t x f x t x mx t 2 2 2 2 2 2 A w x t t EI w x

26、 t x f x t x m x t 2 2 4 4 ( , )( , ) ( , )( , ) 均匀梁的弯均匀梁的弯 曲振动方程曲振动方程 梁的弯曲振动方程梁的弯曲振动方程 222 222 ( , )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )0 w x tw x t x A xE x I x txx w x tW x q t( , )( ) ( ) 2 2 ( )( )0 ( )( )0 q tq t EIWxAW x ( ) ( ) ( )( )0AW x q tEIWxq t 2 ( )( ) ( )( ) q tEIWx q tAW x 固有振动固有振动 对于均匀梁：对于均匀梁： 2

27、(4)442 ( )( )0 ( )( )0, def q tq t A Wxs W xs EI 其其中中： 2 ( )( )0 q tq t 12 ( )cossinq tbtbt 通通解解 ( ) x W xe (4)4 ( )( )0Wxs W x 44 0s 特特征征方方程程 2 2 ( )( )0 ( )( )0 q tq t EIWxAW x 固有振动固有振动 1234 , , , ssjsjs sxsxjsxjsx eeee 、 通通解解 1234 ( ) sxsxjsxjsx W xCeCeCeCe 定理定理2（通解的结构定理）：（通解的结构定理）： 若若 是齐次方程的两个是齐

28、次方程的两个线性无关线性无关 的的特解特解，则，则 是齐次方程的是齐次方程的通解通解. 1122 ( )( )( )u tC u tC ut 12 ,C C为任意常数。为任意常数。 12 ( ),( )utut 44 0s 特特征征方方程程 ( ) x W xe 通通解解 1234 ( ) sxsxjsxjsx W xCeCeCeCe cosh( ) sinh( ) cos( )sin( ) sx jsx esxsx esxjsx 1234 ( )cos( )sin( )cosh(s )sinh(s )W xasxasxaxax 固固有有振振型型函函数数 梁的固有振动为梁的固有振动为: : 1

29、23412 ( , ) ( cossincoshsinh )( cossin )wxtasx asx asx asx bt bt 固有振动固有振动 常见的边界条件：常见的边界条件： 固定边界条件固定边界条件 铰支边界条件铰支边界条件 自由边界条件自由边界条件 转角转角: 0w x /0W 挠度挠度: 0w 0W 弯矩弯矩: 2 2 0 w MEI x 0W 3 3 0 w QEI x 剪力剪力:0W 弯矩弯矩: 2 2 0 w MEI x 0W 挠度挠度:0w 0W 固有振动固有振动 例：例：确定两端铰支均匀材料等截面直梁的固有频率和固有振型。确定两端铰支均匀材料等截面直梁的固有频率和固有振型。 1234 ( )cos( )sin( )cosh( )sinh( )W xasxasxasxasx0) 0 ( , 0) 0 ( WW aa 13 0 0 , 0 3131 aaaa 24 24 sin( )sinh( )0 sin( )sinh( )0 aslasl aslasl 24 ( )sin( )sinh( )W xasxasx0)( , 0)( lWlW 固有振动固有振动 24 sin( )0, sinh( )0as