2021届山东高考数学教学案：第11章　第讲　合情推理与演绎推理含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2021届山东高考数学一轮创新教学案：第11章第3讲合情推理与演绎推理含解析第3讲合情推理与演绎推理考纲解读1。了解合情推理和演绎推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理(重点)2掌握演绎推理的三段论,并能运用三段论进行一些简单的推理3弄清推理的一般步骤：实验、观察、比较；概括、联想、类推、推广；猜想新结论考向预测从近三年高考情况来看,演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，而合情推理时有考查预测2021年将会考查归纳猜想及类比推理的应用题型为客观题，试题具有一定的综合性,属中等难度试题对应学生用书p2001。推理（1）定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思

2、维过程就是推理（2)分类:推理一般分为合情推理和演绎推理2.合情推理（1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理（2）分类：数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理(3）归纳和类比推理的定义、特征名称归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理,叫做类比推理特征由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理3。演绎推理（1）定义：从一般性的原

3、理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理（2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况;结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断1.概念辨析（1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确（)（2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理（）(3)把a(bc)与sin（xy)类比，则有sin（xy）sinxsiny，此推理是正确的()(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确(）答案（1）(2)（3)(4）2.小题热身(1）已知a是三角形一

4、边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l,半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；由112,1322，13532，可得到135(2n1）n2，则两个推理过程分别属于（）a.类比推理、归纳推理 b类比推理、演绎推理c。归纳推理、类比推理 d归纳推理、演绎推理答案a解析由三角形的面积公式得到扇形的面积公式有相似之处，此种推理为类比推理；由特殊到一般，此种推理为归纳推理(2）正弦函数是奇函数,f（x)sin（x21）是正弦函数，因此f(x）sin(x21）是奇函数，以上推理（）a。结论正确 b大前提不正确c。小前提不正确 d全不正确答案c解析f（x)sin（

5、x21）不是正弦函数（3)已知数列an中，a11,n2时，anan12n1,依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是（）a。an3n1 ban4n3c。ann2 dan3n1答案c解析a11，a24，a39，a416，猜想ann2.（4)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_答案18解析.对应学生用书p201题型 一类比推理1。等差数列an的公差为d,前n项的和为sn，则数列为等差数列，公差为.类似地,若各项均为正数的等比数列bn的公比为q，前n项的积为tn,则等比数列的公比为（）a. bq2

6、c。 d.答案c解析在等差数列an中前n项的和为sn的通项，且可写成a1（n1)。所以在等比数列bn中应研究前n项的积为tn的开n次方的形式类比可得b1()n1，其公比为.2。（2019揭阳模拟）已知结论:“在abc中，各边和它所对角的正弦比相等，即”，若把该结论推广到空间,则有结论：“在三棱锥abcd中，侧棱ab与平面acd,平面bcd所成的角为，”，则有（)a. b。c. d。答案c解析分别过b，a作平面acd、平面bcd的垂线，垂足分别为e，f，则bae，abf，vbacdsacdbesacdabsin，vabcdsbcdafsbcdabsin，又sacdabsinsbcdabsin，即

7、.1。类比推理的四个角度和四个原则(1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比：类比的定义:如等差、等比数列的定义,见举例说明1；类比的性质：如椭圆、双曲线的性质；类比的方法:如基本不等式与柯西不等式;类比的结构:如三角形的内切圆与三棱锥的内切球(2)四个原则长度类比面积；面积类比体积；平面类比空间见举例说明2;和类比积，差类比商。2.类比推理的一般步骤（1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想）.3.常见的类比推理题型的求解策略在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比，且要注意以下两

8、点:(1）找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥,圆对应球，面积对应体积等等（2)找对应元素的对应关系，如两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等如图所示,椭圆中心在坐标原点，f为左焦点,当fa时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_答案解析设“黄金双曲线”的方程为1,则b（0，b）,f（c，0），a（a，0）在“黄金双曲线”中，因为，所以0.又(c，b）,(a，b)所以b2ac。而b2c2a2，所以c2a2ac。在等式两边同除以a2，得e.题型 二归纳推理角度1与数字有关的归纳推理1.（2019新乡模拟）观察下列

9、各式110248248,112482728,11224830008,113248330088，1142483630968，则1199248的十位数是()a.2 b4 c6 d8答案c解析记11n248的十位数为an，经观察易得:a04,a12，a20，a38，a46，a54，a62,则可归纳出an的周期为5,则a99a46。角度2与式子有关的归纳推理2.(2019洛阳模拟)有下列一组不等式：，根据这一规律，若第19个不等式为，则mn_.答案61解析因为由，,根据这一规律,则第k个不等式为，若第19个不等式为，即mk221，n2k240，所以m21,n40,即mn61.角度3与图形有关的归纳推理

10、3.(2019马鞍山模拟）毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系，讨论了各种平面数(包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数等)，甚至将平面数推广到了立体数，如图所示：其中三棱锥数依次为1,4，10，则第20个三棱锥数为_答案1540解析由棱锥数依次为1，13,136,13610，1361015，则s11，s23,s36，s410，s515，sn123n（n2n),则tns1s2s3sn（121222323n2n),(122232n2)（123n）n（n1)（2n1)n(n1)n(n1）(n2)，t202021221540.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等

11、式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解见举例说明1.(2)与式子有关的归纳推理与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解见举例说明2.与数列有关的推理通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可（3）与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性见举例说明3.1。(2019萍乡一模）对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”仿此，52的“分裂中最大的数是_，若m3的“分裂”中最小的数是211,则m的值为_答案915解析根据所给的数据，不难发现：在n2中所分解的最大的数是2n

12、1;在n3中，所分解的最小数是n2n1.根据发现的规律可求52分裂中，最大数是5219；若m3的“分裂”中最小数是211，则n2n1211,解得n15或14（舍去)。2。（2019山东省实验中学模拟)观察下列式子，ln 2，ln 3，ln 4,.根据上述规律,第n个不等式应为_答案ln (n1）(nn*)解析由ln 2,ln 3，ln 4，,归纳得到ln (n1)（nn）.3.分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路按照如图（1）所示的分形规律可得如图(2）所示的一个树形图若记图(2）中第n行黑圈的个数为a

13、n，则a2020_.答案解析根据题图（1)所示的分形规律,可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图（2）中的树形图的第1行记为(1,0），第2行记为（2，1)，第3行记为(5，4)，第4行的白圈数为25414,黑圈数为52413,所以第4行的“坐标为(14,13），同理可得第5行的“坐标”为（41,40)，第6行的“坐标”为（122，121)，。各行黑圈数乘2，分别是0,2，8，26,80，即11,31，91,271，811，所以可以归纳出第n行的黑圈数an（nn*）,所以a2020。题型 三演绎推理1。（2019全国卷）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三

14、人对成绩进行预测甲:我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）a。甲、乙、丙 b乙、甲、丙c.丙、乙、甲 d甲、丙、乙答案a解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,又假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确,与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误综上所述，三人按成绩由高到低的次

15、序为甲、乙、丙故选a.2。数列an的前n项和记为sn，已知a11，an1sn（nn*)证明：(1）数列是等比数列；(2)sn14an。证明(1)an1sn1sn，an1sn，(n2）snn（sn1sn)，即nsn12(n1)sn。2，又10，（小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)（大前提是等比数列的定义,这里省略了)（2)由(1）可知4(n2），sn14(n1)4sn14an(n2）,(小前提）又a23s13，s2a1a21344a1，（小前提)对于任意正整数n，都有sn14an.(结论）（第(2)问的大前提是第(1）问的结论以及题中的已知条件)1。推理案例问题比类问题条件较多，

16、做题时往往感到不知从哪里找到突破点,解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件,并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得到解决见举例说明1。2。三段论的应用（1)三段论推理的依据是:如果集合m的所有元素都具有性质p,s是m的子集，那么s中所有元素都具有性质p。(2)应用三段论的注意点:解决问题时,首先应该明确什么是大前提，小前提,然后再找结论见举例说明2.提醒：合情推理的结论是猜想,不一定正确;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确1。(2019宁夏平罗中学模拟）2018年4月4日,中国诗

17、词大会第三季总决赛如期举行，依据规则：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸:冠军是乙或丁；妈妈：冠军一定不是丙和丁；孩子:冠军是甲或戊比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是_答案丁解析若冠军是甲或戊,孩子与妈妈判断都正确，不符合题意;若冠军是乙,爸爸与妈妈判断都正确，不符合题意；若冠军是丙，三个人判断都不正确，不符合题意;若冠军是丁,只有爸爸判断正确，符合题意，故答案为丁.2.设函数f（x)是定义在r上的奇函数,对任意实数x有ff成立证明yf(x）是周期函数

18、,并指出其周期解由ff,且f(x)f(x)，知f(3x）fff（x）f(x),所以yf(x)是周期函数，且t3是其一个周期.对应学生用书p290组基础关1。下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）a.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数b.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提:是无限不循环小数；结论:是无理数c。大前提：是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数；结论:是无理数d。大前提：是无限不循环小数;小前提：是无理数；结论:无限不循环小数是无理数答案b解析对于a,小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于b，符合演

19、绎推理三段论形式且推理正确；对于c，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于d，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.2。由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“（mn）tmtnt类比得到“(ab)cacbc”；“(mn）tm（nt)”类比得到“（ab）ca(bc）”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0,apxpax”；“|mnm|n|”类比得到“ab|a|b”;“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()a.1 b2 c3 d4答案b解析向量的数量积满足交换律，正确；向量的数量积满足分配律，正确；向量的数量积不满足结合

20、律,不正确；向量的数量积不满足消去律,不正确；由向量的数量积公式,可知不正确；向量的数量积不满足消去律，不正确；综上知,正确的个数为2，故b正确。3.已知13232，1323332，132333432，,若13233343n33025，则n（）a。8 b9 c10 d11答案c解析观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n3时，等号右边的数为2，因此，令23025，则55，n10或n11（舍去）.4。我们知道：在平面内，点(x0,y0）到直线axbyc0的距离公式d，通过类比的方法,可求得：在空间中，点(2，4，1）到直线x2y2z30的距离为()a。3 b5 c。 d3答案b解析利用类比的

21、方法，在空间中，点(x0,y0，z0)到直线axbyczd0的距离d，所以点(2，4，1)到平面x2y2z30的距离d5.5.设abc的三边长分别为a，b，c,abc的面积为s，内切圆半径为r,则r，类比这个结论可知，四面体sabc的四个面的面积分别为s1，s2，s3,s4，内切球半径为r，四面体sabc的体积为v，则r等于(）a。 b。c. d.答案c解析设四面体的内切球的球心为o,则球心o到四个面的距离都是r，由平面图形中r的求解过程类比空间图形中r的求解过程可得四面体的体积等于以o为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和,则四面体的体积为vv四面体sabc(s1s2s3s4)r,所

22、以r。故选c.6。已知数列an的前n项和为sn，且a11，snn2an（nn*),试归纳猜想出sn的表达式为()a.sn bsnc。sn dsn答案a解析snn2ann2(snsn1)，snsn1，又s1a11，则s2，s3,s4.猜想得sn,故选a。7.（2019长春模拟）如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点（1,0）处标1，点（1，1）处标2，点（0，1）处标3，点（1，1)处标4，点(1,0)处标5，点（1,1）处标6，点(0，1）处标7，依此类推，则标签为20192的格点的坐标为(）a(1009,1008） b（1010，100

23、9）c.（2018，2017) d（2019，2018）答案b解析观察已知图形可知，点（1,0）处标1，即12，点(2，1)处标9，即32，点(3，2）处标25,即52，由此推断,点（n1，n）处标（2n1）2。当2n12019时，n1009，故标签为20192的格点的坐标为(1010，1009)。8。若数列an是等差数列，对于bn(a1a2an)，则数列bn也是等差数列类比上述性质，若数列cn是各项都为正数的等比数列，对于dn0，则dn_时,数列dn也是等比数列答案解析在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理

24、为几何平均数等,故我们可以由数列an是等差数列,则当bn(a1a2an）时,数列bn也是等差数列类比推断：若数列cn是各项均为正数的等比数列，则当dn时,数列dn也是等比数列.9.甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同”乙说:“我读的第二本书与甲读的第一本书相同”根据以上说法,推断乙读的最后一本书是_读的第一本书答案丙解析因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书。10.已知点a（x1,ax1),b（x2，ax2)是函数yax的图象上

25、任意不同的两点,依据图象可知，线段ab总是位于a，b两点之间函数图象的上方，因此有a成立运用类比思想方法可知，若点a（x1，sinx1)，b（x2，sinx2）是函数ysinx（x(0,)图象上任意不同的两点，则类似地有_成立答案sin解析由题意知，点a，b是函数yax的图象上任意不同的两点，该函数是一个变化率逐渐变大的函数,线段ab总是位于a,b两点之间函数图象的上方,因此有a成立；而函数ysinx（x(0，）)，其变化率逐渐变小，线段ab总是位于a，b两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论1，nn），若fm(x)（mn），则m（）a.9 b10 c11 d126答案b解析由题意可得f2(x)f1f1(x)f1，同理可得,f3(x),f4(x），f5（x)，fn（x），由fm（x）（mn*）恒成立,可得2m225628，即有m28,即m10。5。设等差数