高中数学 考点15 正弦定理和余弦定理（含2016高考试题）

1、学必求其心得，业必贵于专精考点15 正弦定理和余弦定理1、 选择题1。(2016全国卷高考文科t4)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c。已知a=，c=2，cosa=，则b=（）a。b。c.2d.3【解析】选d。由余弦定理a2=b2+c2-2bccosa,得=b2+222b2cosa，即3b28b-3=0，解得b= (舍)或b=3。2。（2016全国卷理科t8）在abc中，b=，bc边上的高等于bc,则cosa=(）a。b。c.- d. 【解题指南】根据正弦定理求解。【解析】选c。设abc中角a,b，c所对的边分别为a,b，c,则由题意得sabc=aa=acsin b。c=a。由余弦定

2、理得b2=a2+c2-2accos b=a2+a22aa=a2。b=a。cosa=。3.（2016全国卷文科t9）在abc中,b=,bc边上的高等于bc，则sina=(）a。b。c.d.【解题指南】根据正弦定理求解。【解析】选d.设bc边上的高为ad，且ad=m，因为b=，则bd=m，ab=m，又因为ad=bc,所以dc=2m,ac=m，由正弦定理得sinbac=.4.(2016山东高考文科t8）abc中，角a,b，c的对边分别是a,b，c,已知b=c，a2=2b2（1sina），则a=（）a。b.c。d。【解题指南】变形后，利用余弦定理巧妙求解.【解析】选c.由题意1sina=,所以sina

3、=1-=cosa,所以a=.5.（2016天津高考理科t3）在abc中，若ab=,bc=3,c=120,则ac=（)a.1b。2c.3d。4【解题指南】利用余弦定理得出c与三边的关系，然后求解.【解析】选a.设ac=x，由余弦定理得：cosc=,得x2+3x4=0。解得x=1或4（舍),所以ac=1。2、 填空题6.（2016全国卷文科t15)同(2016全国卷理科t13)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b,c，若cosa=,cosc=，a=1,则b=。【解题指南】已知cosa,cosc，可求sinb，又a=1，可利用正弦定理求解。【解析】因为cosa=，cosc=,所以sina=,si

4、nc=,sinb=sin(a+c)=sinacosc+cosasinc=,由正弦定理得,解得b=.答案:7.(2016全国卷高考理科t17)abc的内角a,b,c的对边分别为a，b，c,已知2cosc（acosb+bcosa)=c。(1）求c.(2)若c=,abc的面积为，求abc的周长.【解析】(1）2cosc(acosb+bcosa)=c，由正弦定理得：2cosc(sinacosb+sinbcosa)=sinc,2coscsin（a+b)=sinc.因为a+b+c=,a,b，c（0,),所以sin（a+b）=sinc0，所以2cosc=1,cosc=。因为c（0，），所以c=.(2）由余弦

5、定理得：c2=a2+b22abcosc，7=a2+b2-2ab，（a+b)23ab=7，s=absinc=ab=，所以ab=6，所以（a+b）2-18=7,a+b=5，所以abc的周长为a+b+c=5+.8。(2016浙江高考文科t16）在abc中,内角a，b，c所对的边分别为a,b，c.已知b+c=2acosb。（1)证明:a=2b。（2）若cosb=,求cosc的值。【解题指南】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sin=sin（-）,再判断-的取值范围，进而可证=2;（2)由cosb的值可以求出a的三角函数值,又由c=(a+b）的关系求cosc的值.【解析】（1)由正弦定理得sinb+

6、sinc=2sinacosb,故2sinacosb=sinb+sin(a+b)=sinb+sinacosb+cosasinb,于是，sinb=sin（ab）,又a,b(0,），故0a-b，所以b=-(a-b)或b=a-b，因此,a=（舍去)或a=2b,所以，a=2b.(2）由cosb=,得sinb=，cos2b=2cos2b-1=-，故cosa=，sina=,cosc=cos(a+b）=cosacosb+sinasinb=。9.(2016山东高考理科t16)在abc中,角a，b,c的对边分别为a，b,c，已知2(tana+tanb）=.（1）证明:a+b=2c.(2）求cosc的最小值。【解题

7、指南】利用三角恒等变换与正、余弦定理求解.【解析】（1)由题意得,2（sinacosb+sinbcosa)=sina+sinb，即2sin（a+b）=sina+sinb,又a+b+c=,所以，sina+sinb=2sinc,由正弦定理得a+b=2c。(2)由(1）知,c=,由余弦定理得，cosc=。所以cosc的最小值为。10.(2016四川高考文科t18)同（2016四川高考理科t17）在abc中，角a,b,c所对的边分别是a,b,c，且.（1)证明:sinasinb=sinc.(2）若b2+c2-a2=bc,求tanb.【解题指南】（1)利用正弦定理，将边角进行转化，结合诱导公式进行证明.

8、(2）利用余弦定理解出cosa=，再根据平方关系解出sina,代入已知中，解出tanb的值。【解析】(1）由正弦定理,可知原式可以化解为=1，因为a和b为三角形内角，所以sinasinb0,则两边同时乘以sinasinb，可得sinbcosa+sinacosb=sinasinb,由和角公式可知,sinbcosa+sinacosb=sin(a+b）=sin（-c）=sinc,原式得证.（2）由题b2+c2a2=bc，根据余弦定理可知，cosa=.因为a为三角形内角，a（0,),sina0,则sina=,即=，由（1)可知=1，所以，所以tanb=4。11。（2016天津高考文科t15）（本小题满分13分）在abc中,内角a，b，c所对应的边分别为a，b,c,已知asin2b=bsina。（1)求b.(2)若cosa=，求sinc的值。【解题指南】（1)利用正弦定理实现边化角，化简得到cosb,结合b的范围得出b.（2）利用三角形内角和为,将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解。【解析】（1)在abc中,由可得asinb=bsina，又由asin2b=bsina得2asinbcosb=bsina，整理得cosb=，因为b为abc的内角,所以b=。（2）在abc中，sinc=