第十五章经典曲面

1、第十五讲第十五讲 经典曲面经典曲面 档案馆档案馆 河北理工大学轻工学院河北理工大学轻工学院 -基础教学部基础教学部 极坐标方程表示的曲线极坐标方程表示的曲线 直角方程表示的曲面直角方程表示的曲面 曲曲 面面 档档 案案 馆馆 参数方程表示的曲面参数方程表示的曲面 参数方程表示的曲线参数方程表示的曲线 前前 言言 曲面是一条动线，在给定的条件下，在空间连续运动的轨迹。 直角方程表示的曲面的绘制直角方程表示的曲面的绘制 与二维平面作图命令与二维平面作图命令Plot 相似相似, Plot3D也有许多选项也有许多选项. 输入输入?Plot3D Plot3Df, x, xmin, xmax, y, ym

2、in, ymax generates a three-dimensional plot of f as a function of x and y. Plot3Df, s, x, xmin, xmax,y, ymin, ymax generates a three-dimensional plot in which the height of the surface is specified by f, and the shading is specified by s. （1）BoxRatios-1,1,1 图形高宽比图形高宽比x,y,z （2）Axes True 是否包括坐标轴是否包括坐标

3、轴 （3）Axes Label None 在轴中加标志在轴中加标志xLabel,yLabel （4）Boxed True 是否在曲面周围加立方体是否在曲面周围加立方体 三维图形输出选项、缺省值和说明三维图形输出选项、缺省值和说明 （5）Mesh True 是否在表面画出是否在表面画出x，y网格网格 （6）Shading True 表面是阴影还是留白的表面是阴影还是留白的 (7) View Point 1.3,-2.4,2 视视 点点 三维图形的修饰 fx_,y_:=Sinx2+y2; Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2, BoxRatios-1,1,0.4 例：三维直角图-1 f

4、x_,y_:=x2+y2; Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2, BoxRatios-1,1,0.4 例：三维直角图-2 fx_,y_:=x2+y2 gx_,y_:=16-(x2+y2) g1=Plot3Dfx,y, x,-3,3,y,-3,3; g2=Plot3Dgx,y, x,-3,3,y,-3,3; Showg1,g2, BoxRatios-1,1,1 例：三维直角图-3 参数方程表示的曲面的绘制参数方程表示的曲面的绘制 利用参数方程作空间曲面图形的命令利用参数方程作空间曲面图形的命令ParametricPlot3D 作曲面时的基本形式为作曲面时的基本形式为: Parame

5、tricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,u1,u2, v,v1, v2, 选项选项 输入输入 ParametricPlot3Du*Cosv, u*Sinv,u2,u,0,3,v,0,2Pi; 可以作出旋转抛物面可以作出旋转抛物面z=x2+y2的图形的图形, 这个图形比这个图形比Plot3D命令作出的图形命令作出的图形 要好得多要好得多. 常见曲面的常用常见曲面的常用( (标准方程的标准方程的) )参数方程参数方程: : 当当a=b=c时为球面时为球面. 椭球面椭球面: 20 0 cos sinsin cossin cz by ax 椭圆抛物面椭圆抛物面: 20 sin cos 2

6、 u uz buy aux 当当a=b时为旋转抛物面时为旋转抛物面. 椭圆锥面椭圆锥面: 20 sin cos u uz buy aux 当当a=b时为圆锥面时为圆锥面. 椭圆柱面椭圆柱面: 20 sin cos u uz by ax 当当a=b时为圆柱面时为圆柱面. 正螺面正螺面: : 单叶双曲面单叶双曲面: : 20 44 tan sinsec cossec cz by ax 圆环面圆环面: : 20 20 sin sin)cos( cos)cos( rz rRy rRx 20 sin cos aua Rz uy ux a = 2;f = (a + Cosu/2Sint - Sinu/2S

7、in2t) Cosu; g = (a + Cosu/2Sint - Sinu/2Sin2t) Sinu; h = Sinu/2Sint + Cosu/2Sin2t; ParametricPlot3Df, g, h, t, 0, 2Pi, u, 0, 2Pi, Boxed - False, Axes - False, PlotPoints - 30 例：参数方程图形 空间直角坐标系空间直角坐标系 g1=ParametricPlot3Du,v,0,u,-1,1,v,-1,1, DisplayFunction-Identity g2=ParametricPlot3Du,0,v,u,-1,1,v,-1

8、,1, DisplayFunction-Identity g3=ParametricPlot3D0,u,v,u,-1,1,v,-1,1, BoxRatios-1,1,1,DisplayFunction-Identity Showg1,g2,g3,DisplayFunction-$DisplayFunction 经典曲面1笛卡儿坐标系 fx_,y_:=-x-3y-1 Plot3Dfx,y,x,-1,1,y,-1,1 平面设计平面设计 13 zyx x y z o ParametricPlot3Dx,x-z,z,x,-1,1,z,-1,1, Axes-False,ViewPoint-3.180,1

9、.032,0.521 平面设计平面设计 x y z o 0 xzy x y z o x y z o 13 zy 平面设计平面设计 ParametricPlot3Dx,y,1-3y,x,-1,1,y,-1,1, Axes - False, Boxed - False, ViewPoint-2.788,1.845,0.521 x y z o x y z o 11 zx 平面设计平面设计 ParametricPlot3Dx,y,-x-11,x,-1,1,y,-1,1, Axes - False, Boxed - False, ViewPoint-2.788,1.845,0.521 x y z o x

10、 y z o 1 yx 平面设计平面设计 ParametricPlot3Dx,-x-1,z,x,-1,1,z,-1,1, Axes - False, Boxed - False, ViewPoint-2.788,1.845,0.521 麦比乌斯带麦比乌斯带 经典曲面2麦比乌斯带 麦比乌斯圈麦比乌斯圈(M bius strip, M bius band)是一种单侧、不可定是一种单侧、不可定 向的曲面。因向的曲面。因A.F.麦比乌斯麦比乌斯(August Ferdinand M bius, 1790-1868)发现而得名。发现而得名。 xu_, v_ := (1 + v/2 Cosu/2) Cos

11、u yu_, v_ := (1 + v/2 Cosu/2) Sinu zu_, v_ := v/2 Sinu/2 ParametricPlot3Dxu, v, yu, v, zu, v, u, 0, 2Pi, v, -1, 1 -1 0 1 -1 0 1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 -1 0 1 拓扑学大怪物克莱因瓶拓扑学大怪物克莱因瓶 经典曲面3克莱因瓶 在在1882年，著名数学家克莱因年，著名数学家克莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命名的著发现了后来以他的名字命名的著 名名“瓶子瓶子”。这是一个象球面那样封闭。这是一个象球面那样封闭 的（也就是说没有边）的

12、（也就是说没有边）曲面曲面，但是它却，但是它却 只有一个面。在图片上我们看到，克莱只有一个面。在图片上我们看到，克莱 因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有 瓶底，它的瓶底，它的瓶颈瓶颈被拉长，然后似乎是穿被拉长，然后似乎是穿 过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一 起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和 瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮 胎面胎面. bx = 6 Cosu (1 + Sinu); by = 16 Sinu; rad = 4 (1 - Cosu / 2)

13、; X = IfPi u = 2 Pi, bx + rad Cosv + Pi, bx + rad Cosu Cosv; Y = IfPi u 48,12, Axes - False, Boxed - False, ViewPoint- 1.4, -2.6, -1.7 在我们绘制克莱因瓶的时候，如果能够看清拓扑内 部结构更有利于我们理解，而在mathematica中由于缺 少曲面透明的效果，我们将使用镂空的效果达到同样的 目的。 首先我们定义一个克莱因瓶: bx = 6 Cosu (1 + Sinu); by = 16 Sinu; rad = 4 (1 - Cosu/2); X = IfPi

14、u 2 Pi, bx + rad Cosv + Pi, bx + rad Cosu Cosv; Y = IfPi 59, Axes - False, Boxed - False, ImageSize - 400, Background - Black, LightSources - 0, 1, 1.3, GBColor0.3, 0.3, .8, 1, -1, 1.3, RGBColor.7, .2, .2, -1, -1, 1.3, RGBColor0.3, .8, 0.3, AmbientLight - Black; 1 2 二次曲面欣赏二次曲面欣赏 经典曲面系列二次曲面 一般说来，直线与二

15、次曲面相交于两个点；一般说来，直线与二次曲面相交于两个点； 如果相交于三个点以上，那么此直线全部在曲面上。如果相交于三个点以上，那么此直线全部在曲面上。 这时称此直线为曲面的母线。如果二次曲面被平行这时称此直线为曲面的母线。如果二次曲面被平行 平面所截，其截线是二次曲线。平面所截，其截线是二次曲线。 经典曲面系列二次曲面 完全对称完全对称 直角方程直角方程 参数方程参数方程 取值范围取值范围 中中 心心 轴轴 X 轴轴,Y 轴轴,Z 轴轴 对对 称称 性性 顶顶 点点 （ ） 截截 痕痕 圆、点圆、点 截截 部部 圆圆 主要特征主要特征 2222 Rzyx uRz vuRy vuRx cos

16、sinsin cossin 0 , 0 ,R （ ） 0 , 0R （ ） R, 0 , 0 图图 形形 ),(RzyxR 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ucz vuby vuax cos sinsin cossin 完全对称完全对称 直角方程直角方程 参数方程参数方程 取值范围取值范围 中中 心心 轴轴 X X轴，轴，y y轴，轴，Z Z轴轴 对对 称称 性性 顶顶 点点 截截 痕痕 椭圆，圆，点椭圆，圆，点 截截 部部椭椭 圆圆 主要特征主要特征图图 形形 （ ）0 , 0 , a （ ）0 , 0 b （ ） c , 0 , 0 axa byb czc x y z

17、o 标准二次曲面的绘图标准二次曲面的绘图 二次曲面的绘制二次曲面的绘制 q y p x z 22 q v p u z vy ux 22 x y z 无无 直角方程直角方程 参数方程参数方程 取值范围取值范围 中中 心心 轴轴Z Z轴轴 对对 称称 性性 顶顶 点点 截截 痕痕 双曲线、直线双曲线、直线 截截 部部双曲线、直线双曲线、直线 双曲抛物面是二次曲面双曲抛物面是二次曲面 中最桀骜不驯的曲面。一中最桀骜不驯的曲面。一 眼望去，其形状酷似马鞍，眼望去，其形状酷似马鞍， 因而俗称马鞍面。因而俗称马鞍面。 双曲抛物面的脊梁有双曲抛物面的脊梁有 两组相互垂直的抛物线构两组相互垂直的抛物线构 成，

18、但两组抛物线的开口成，但两组抛物线的开口 方向却南辕北辙。方向却南辕北辙。 让我们用一组水平面切让我们用一组水平面切 割标准的马鞍面，你能想割标准的马鞍面，你能想 象出切割出的曲线的形状象出切割出的曲线的形状 吗？在它的脊梁上方是一吗？在它的脊梁上方是一 组东西向的双曲线，而在组东西向的双曲线，而在 脊梁的下面，却是南北向脊梁的下面，却是南北向 的双曲线，在脊梁正中原的双曲线，在脊梁正中原 点处的那张平面只得到两点处的那张平面只得到两 条彼此相交的直线。条彼此相交的直线。 双曲抛物面是无界曲双曲抛物面是无界曲 面，我们看到的是它的局面，我们看到的是它的局 部，其整体可以想象却不部，其整体可以想

19、象却不 能绘制。能绘制。 主要特征主要特征图图 形形 无无 备备 注注 z y x o y x z 二次曲面的绘制二次曲面的绘制 二次曲面-单叶双曲面 xu_,v_:= SecuCosv; yu_,v_:= SecuSinv; z u_,v_:= Tanu; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,-Pi/3,Pi/3,v,0,2Pi, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 xu_,v_:= SecuCosv; yu_,v_:= SecuSinv; z u_,v_:= Tanu; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v,

20、 u,-Pi/3,Pi/3,v,0,2Pi, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-双叶双曲面 xu_,v_:=u*Cosv; yu_,v_:= u*Sinv; zu_,v_:= u; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,-2,2,v,0,2Pi, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-锥面 xs_,t_:=(4+Sins)Cost ys_,t_:=(4+Sins)Sint zs_,t_:=Coss ParametricPlot3Dxs,t,ys,t,zs,t,s,0,2Pi, t,0,2Pi,Plo

21、tPoints-50 二次曲面-环面 xu_,v_:=Cosv; yu_,v_:=Sinv; zu_,v_:= u; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,0,2,v,0,2Pi, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-柱面 xu_,v_:=u; yu_,v_:=v; zu_,v_:=u2/2-v2/2; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,-1,1,v,-1,1, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-马鞍面 xu_,v_:=Sinu+v; yu_,v_:=Cosu+

22、v; zu_,v_:= u; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,-2,2,v,-2,2, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-未命名 xu_,v_:=SinuCosv; yu_,v_:=SinuSinv; zu_,v_:= v/4; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,0,2Pi,v,0,2Pi, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-未命名 图形欣赏 tetrapict =ShowGraphics3D Polygon / Flatten HollowTriang

23、le / poly , 1, ViewVertical - .52, .38, .85, Boxed - False运行不了运行不了 图形欣赏 图形欣赏 DoCylindricalPlot3Du1, 7.01559, r, theta, t, r, 0, 1, theta, 0, 2 Pi, PlotRange - -1, 1, -1, 1, -1, 1, Axes - False, Boxed - False, t, 0, 2 Pi/7.01559, Pi/ (6 7.01559)运行不了运行不了 CylindricalPlot3Du1, 16.4706, r, theta, 0, r, 0

24、, 1, theta, 0, 2 Pi CylindricalPlot3Du0, 5.52008, r, theta, 0, r, 0, 1, theta, 0, 2 Pi CylindricalPlot3Du2, 5.13562, r, theta, 0, r, 0, 1, theta, 0, 2 Pi 图形欣赏 运行不了运行不了 ParametricPlot3DCost,Sint,t2*z, t,0.1,2Pi,z,0,1, Boxed-False, BoxRatios-1,1,2 ParametricPlot3DCost,Sinz, t*z, t,0.1,2Pi,z,0,1, Boxed-False, BoxRatios-1,1,2 图形欣赏 图形欣赏 Plot3DSinxCosy,x,-2Pi,2Pi,y,-2Pi,2Pi Plot3DSinxCosy,x,-2Pi,2Pi,y,-2Pi,2Pi, PlotPoint-50 图形欣赏 程序：程序： Plot3Dx2-y2,x,-1,1,y,-1,1, BoxRatios-1,1,1, Boxed-False, ViewPoint-1,-1,0 图形欣赏 xu_,v_:=a*(1- v/(2Pi)Cosn*v(1+Cosu)+c*Cosn*v; yu_,v_:=a*(1- v/(2Pi)