第三章 线性系统的时域分析(第六讲)ppt

1、2021-7-11自动控制原理 2021-7-12自动控制原理 d t : r t 峰值时间峰值时间 （Peak Time）： p t 上升时间上升时间 （Rise Time） 定义:过渡曲线第一 次达到稳态值的一半 所需的时间。 过阻尼过阻尼：过渡曲线 从稳态值的10%上升 到90%，所需的时间。 上升时间越短，响上升时间越短，响 应速度越快。应速度越快。 图图3-6 表示性能指标的单位阶跃相应曲线表示性能指标的单位阶跃相应曲线 过渡曲线超过稳态值c（）达到第一个峰值的所需时间。 欠阻尼：欠阻尼：过渡曲线 第一次从零上升到 稳态值所需时间。 2021-7-13自动控制原理 过渡曲线达到并永

2、远保持在一个允许误 差范围内，所需的最 短时间。误差范围用 稳态值的百分数（通 常取5%或2%）表示。 s t % %100 )( )()( % h hth p r t 或或 p t 评价系统的响应速度；评价系统的响应速度； s t 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 %评价系统的阻尼程度。评价系统的阻尼程度。 指过渡曲线的最大 偏离量h(tp)与稳态 值的百分比，即： 超调量超调量 （Maximum Overshoot）： 图图3-6 表示性能指标的单位阶跃相应曲线表示性能指标的单位阶跃相应曲线 2021-7-14自动控制原理 0 tTeTt T

3、 t 0)1 ( 2 1 22 teTTtt T t 01 te T t )0( 1 te T T t )(t S 1 2 1 S 3 1 S 2 2 1 t 1 1 TS 等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输 入信号响应的导数；入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应 的积分；积分常数由零初始条件确定。的积分；积分常数由零初始条件确定。 2021-7-15自动控制原理 二阶系统：能用二阶微分方程描述系统运动方程的系二阶系统：能用二阶微分方程描

4、述系统运动方程的系 统，称为二阶系统。统，称为二阶系统。 二阶系统不仅在工程实践中应用的比较多，而且许多高二阶系统不仅在工程实践中应用的比较多，而且许多高 阶系统在一定的条件下可近似认为是二阶系统。因此，二阶阶系统在一定的条件下可近似认为是二阶系统。因此，二阶 系统的研究具有重要意义。系统的研究具有重要意义。 3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 设一随动系统的数学模型如设一随动系统的数学模型如 图图(3-12)所示。所示。 K开环增益；开环增益； 执行电机的时间常数。执行电机的时间常数。 m T 2021-7-16自动控制原理 其闭环传递函数：其闭环传递函数： )(1 )( )(

5、)(1 )( )( )( )( sG sG sHsG sG sR sC s KssT K m 2 mm m T K S T S T K 1 2 为了使研究的结果具有普遍意义，可将上式表示为如下标准为了使研究的结果具有普遍意义，可将上式表示为如下标准 形式：形式： 2 2 2 2)( )( )( nn n sSsR sC s （3-17） m n T K 2 m n T K m n T 1 2 KTm2 1 n 自然频率（或无阻尼振荡频率）自然频率（或无阻尼振荡频率） 阻尼比（相对阻尼系数）阻尼比（相对阻尼系数） 2021-7-17自动控制原理 二阶系统的标准形式：二阶系统的标准形式： 2 2

6、2 2)( )( )( nn n SsR sC s 二阶系统的特征方程：二阶系统的特征方程： 02 2 2 nnS S 1 2 2 , 1 nn S特征根：特征根： 随着阻尼比随着阻尼比 的不同，的不同， 系统的特征根不同，动态特系统的特征根不同，动态特 性不同。性不同。 10 1 1 0 2 1 nn jww 欠阻尼欠阻尼 n w 1 2 nn ww n jw 一对共轭复数根一对共轭复数根 两个相同负实根两个相同负实根 两个不同负实根两个不同负实根 一对共轭纯虚根一对共轭纯虚根 表表32 阻尼比不同时的特征根阻尼比不同时的特征根 (3-17) (3-18) 2021-7-18自动控制原理 3

7、.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of Second-Order Systems (一一) 欠阻尼（欠阻尼（ ）二阶系统的单位阶跃响应）二阶系统的单位阶跃响应 10 2 2, 1 1 nn jSn 令令衰减系数衰减系数 d j 有阻尼振荡频率有阻尼振荡频率 S sR 1 )( 2 2 2 2)( )( )( nn n SsR sC s 因：因： 由式由式(3-17)可知：可知： SSS sRssC nn n 1 2 )()()( 2 2 2 2 2 2 2 )()( 1 dn n dn n SS S S 2 2 2 2 )()( 1

8、dn d d n dn n SS S S 22 11 d n n d d n d 2 1 nd 2021-7-19自动控制原理 2 2 2 2 2 )( 1 )( 1 dn d dn n ss s s 对上式进行拉式反变换，得单位阶跃响应：对上式进行拉式反变换，得单位阶跃响应： sin 1 cos1)( 2 tteth dd t n 0)sin( 1 1 1 2 tte d t n 稳态分量稳态分量 1 2 1 arccos 1 2 arctg 稳态分量为稳态分量为1 1，表明二阶系统在单位阶跃函数作用下，不存在，表明二阶系统在单位阶跃函数作用下，不存在 稳态位置误差，瞬态分量为有阻尼的正弦振

9、荡，其振荡频率为稳态位置误差，瞬态分量为有阻尼的正弦振荡，其振荡频率为d (3-19) (3-20) 包络线包络线： 2 11 t n e 决定了系统响应曲线的振荡衰减速度决定了系统响应曲线的振荡衰减速度。 由(3-20)知：欠阻尼时单位阶跃响应为衰减振荡曲线。欠阻尼时单位阶跃响应为衰减振荡曲线。 瞬态分量瞬态分量 2021-7-110自动控制原理 0cos1)(ttth n 0当当 时：单位阶跃响应为：时：单位阶跃响应为： （3-21） 它的响应曲线是一条均值为它的响应曲线是一条均值为1的余弦形式的等幅振荡曲的余弦形式的等幅振荡曲 线，其振荡频率为线，其振荡频率为 。由系统得结构和参数决定。

10、由系统得结构和参数决定。 n d n 与与 的物理意义的物理意义 n 0 是是 时，二阶系统过渡过程为等幅余弦时，二阶系统过渡过程为等幅余弦 振荡的角频率，称为无阻尼自振角频率。振荡的角频率，称为无阻尼自振角频率。 d 是欠阻尼时，二阶系统过渡过程为衰减正弦振荡角频率，是欠阻尼时，二阶系统过渡过程为衰减正弦振荡角频率， 称为有阻尼自振角频率。称为有阻尼自振角频率。 nd 随着随着 的增加，的增加， 值减小。值减小。 d 2 1 nd 2021-7-111自动控制原理 1 S sRttr 1 )(,)( 1)( nn n n n SSSSS sC 1 )( 11 )( )( 22 2 对上式进行

11、拉式反变换，得单位阶跃时临界阻尼响应：对上式进行拉式反变换，得单位阶跃时临界阻尼响应： 当当 1时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单的无超调单 调上升过程，变化率为：调上升过程，变化率为： t n n te dt tdh 2 )( （二、）临界阻尼（二、）临界阻尼（ ）单位阶跃响应）单位阶跃响应 临界阻尼时，系统有两个相同的负实根。临界阻尼时，系统有两个相同的负实根。 输入为：输入为： 输出为：输出为： 0)1 (11)()( tteetetcth n tt n t nnn (3-22) 2021-7-112自动控制原理 (三、三、)过阻尼过阻尼

12、( )单位阶跃响应单位阶跃响应 1 系统有两个不同的负实根系统有两个不同的负实根： 1 2 2, 1 nn S SSS SSSSS sC nn nn )1()1( 1 )( )( 22 2 21 2 SSS sRssC nn n 1 2 )()()( 2 2 2 对上式进行因式分解，得：对上式进行因式分解，得： ) 1() 1( 2 3 2 21 nn s A s A s A 1 1 A )1(12 1 22 3 A 0 ) 1( 12 1 ) 1( 12 1 1)( )1( 22 )1( 22 22 teeth tt nn 对上式进行拉式反变化，得系统响应：对上式进行拉式反变化，得系统响应：

13、 (3-23) )1(12 1 22 2 A 2021-7-113自动控制原理 系统过渡过程包含两个指数衰减项，其代数和系统过渡过程包含两个指数衰减项，其代数和不超过不超过1。 所以过阻尼过程为非振荡的单调曲线所以过阻尼过程为非振荡的单调曲线。 1 2 1 ns 1 2 2 ns 闭环极点闭环极点 比比 距离虚轴远的多，在距离虚轴远的多，在(3-23)中，两个按指数中，两个按指数 规律衰减项中，含有极点规律衰减项中，含有极点 的项比的项比 的项衰减的快。的项衰减的快。 所以，所以， （闭环极点）对系统过渡过程的影响比闭环极点（闭环极点）对系统过渡过程的影响比闭环极点 对系统的影响大。对系统的影

14、响大。 在求系统的输出响应时，可忽略在求系统的输出响应时，可忽略 对系统过渡过程的影响，对系统过渡过程的影响， 将二阶系统近似看成一阶系统。将二阶系统近似看成一阶系统。 1 s 2 s 1 s 2 s 2 s 1 s 1 s 0 ) 1( 12 1 ) 1( 12 1 1)( )1( 22 )1( 22 22 teeth tt nn 2021-7-114自动控制原理 0200400600800100012001400 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 图图3-113-11所示二阶系统在不同所示二阶系统在不同 时的瞬态阶跃响应曲线时的瞬态阶跃响应曲线 2

15、021-7-115自动控制原理 0 负阻尼状态，两正实部根，负阻尼状态，两正实部根， 位于位于S S平面的右半部，响应曲线发散平面的右半部，响应曲线发散 10 欠阻尼状态，欠阻尼状态， 两共扼复根，两共扼复根， 位于位于S S平面的左半部，响应曲线振荡收敛平面的左半部，响应曲线振荡收敛 1 临界阻尼状态，两相等负实根，位于临界阻尼状态，两相等负实根，位于S S平面负实轴，响应曲线单调收敛平面负实轴，响应曲线单调收敛 1 0无阻尼状态，无阻尼状态， 两纯虚根，两纯虚根， 位于位于S S平面虚轴，平面虚轴， 响应曲线等幅振荡响应曲线等幅振荡 过阻尼状态，过阻尼状态， 两不等负根，两不等负根， 位于

16、位于S S平面负实轴，响应曲线单调收敛平面负实轴，响应曲线单调收敛 图 3 -9 二 阶 系 统 极 点 分 布 左 半 平 面 0 0 1 = 1 两 个 相 等 根 jn = 0 d= n jn = 0 j 右 半 平 面 1 两 个 不 等 根 0 理解记忆 下面分析下面分析 对响应曲线变化的影响对响应曲线变化的影响 2021-7-116自动控制原理 (s)= s2+2ns+n 2 n 2 01 1 0 1 j 0 j 0 j 0 j 0 T1 1 T2 1 h(t)= 1-(1+nt) e-n t h(t)= 1 1-2 1 e- tnsin(dt+) h(t)= 1-cosnt 1:

17、 1: 01: 0: h(t)= 1 T2 t T1 T2 1 e + T1 t T2 T1 1 e + 2021-7-117自动控制原理 K(t)=Ae-at 零极点分布图：零极点分布图： (s)= 传递函数：传递函数： A S+a 0 -a j 0 2021-7-118自动控制原理 K(t)=Ae-atsin(bt+) 零极点分布图：零极点分布图： t (s)= 传递函数：传递函数： A1s+B1 (S+a)2+b2 0 -a j b 0 2021-7-119自动控制原理 K(t)=Asin(bt+) 零极点分布图：零极点分布图： t (s)= 传递函数：传递函数： A1s+B1 S2+b

18、2 0 j b 0 2021-7-120自动控制原理 K(t)=Aeatsin(bt+) 零极点分布图：零极点分布图： t (s)= 传递函数：传递函数： A1s+B1 (S-a)2+b2 0 a j b 0 2021-7-121自动控制原理 K(t)=Aeat 零极点分布图：零极点分布图： t (s)= 传递函数：传递函数： A S-a 0 a j 0 2021-7-122自动控制原理 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 2021-7-123自动控制原理 在工程中，除了一些不在工程中，除了一些不 容许产生振荡响应的系容许产生振荡响应的系 统外，通常都希望系统统外，通常都希望系统 具有适度

19、的阻尼、快速具有适度的阻尼、快速 的响应速度和较短的调的响应速度和较短的调 节时间。节时间。 二阶系统一般取二阶系统一般取 7 . 0,8 . 04 . 0 其它的动态性能指标，其它的动态性能指标， 有的可用有的可用 n 和表示，如表示，如 %, pr tt n 和 准确表示，如准确表示，如 sd tt, 可采用近似算法可采用近似算法。 ，而有的不能而有的不能 2021-7-124自动控制原理 在式（在式（3-203-20）中，可知欠阻尼时的响应为：）中，可知欠阻尼时的响应为： 0,)sin( 1 1 1)( 2 tteth d t n d t 令 arccos 1 ,5 . 0)( 2 ar

20、ctgth d 2 2 1 )arccos1sin(2 ln 1 dn dn t t，在较大的，在较大的值范围内，近似有值范围内，近似有 n d t 2 2 . 06 . 01 （3-24） 10时，亦可用时，亦可用 n d t 7 . 01 （3-25） 2021-7-125自动控制原理 r t 1)( r th 0)sin( 1 1 2 rd t te n rdt 即： d r t （3-26） r t n 0,)sin( 1 1 1)( 2 tteth d t n （3-21） r tt 当 时， 由公式(3-21)可知： 推得： 不变不变 自振角频率越大，系统响应速度越快。 arccos 1 2 arctg 2021-7-126自动控制原理 sin()cos()0 nn tt nddd etet 2 1 )( ttg d 2 1 tg ,2 , 0 pdt 根据峰值时间定义，应取根据峰值时间定义，应取 p t d )293( 2 12 2 1 d dd p Tt )(峰值时间 p t 对式（对式（3-213-21）求导，并令其为零，求得）求导，并令其为零，求得 0,)sin( 1