第二章 矩阵及其运算

1、1 矩阵的概念矩阵的概念( () ) 2 4 6 矩阵的运算 逆矩阵逆矩阵矩阵的应用矩阵的应用 3 5 7 第第2 2章章 矩阵及其应用矩阵及其应用 1、矩阵的定义 2、矩阵的运算 矩阵的应用 重重 点点: 难难 点点: 第第2 2章章 矩阵及其应用矩阵及其应用 一、学习矩阵的目的一、学习矩阵的目的 矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等 应用数学学科中。应用数学学科中。计算机科学计算机科学中，三维动画制作也需中，三维动画制作也需 要用到矩阵。要用到矩阵。 矩阵的运算是矩阵的运算是数值分析数值分析领域的重要问题。领域的重要问题。 将矩阵

2、分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用 上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩 阵，例如阵，例如稀疏矩阵稀疏矩阵和准和准对角矩阵对角矩阵，有特定的快速运算，有特定的快速运算 算法。算法。 2 2 矩阵及其应用矩阵及其应用 二、矩阵的定义二、矩阵的定义 1 1、矩阵的定义、矩阵的定义 由由m mn n个数排成的个数排成的m m行行n n列的矩阵表示为：列的矩阵表示为： 矩阵一般都是用大写黑体字母矩阵一般都是用大写黑体字母A,B, A,B, 等表示，为指明矩阵等表示，为指明矩阵 的行列信息，通常带

3、下标，如：的行列信息，通常带下标，如：A Am m n n 或 或aaij ij m mn n 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念 mnmm n n nmij aaa aaa aaa a 21 22221 11211 , 2 , 1, 2 , 1njmi其中 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念 【例如例如】某厂家向四个商店发送四种产品的数量可用矩阵表示。某厂家向四个商店发送四种产品的数量可用矩阵表示。 44434241 34333231 24232221 14131211 44 aaaa aaaa aaaa aaaa aij 其中其中a aij ij表示向第 表示向第i i个商店发送第个商

4、店发送第j j种产品的数量。这四种产种产品的数量。这四种产 品的单价和重量设用矩阵品的单价和重量设用矩阵(b(bij ij) )4 42 2表示 表示。 。 4241 3231 2221 1211 24 )( bb bb bb bb bij 其中其中b bi1 i1表示第 表示第i i种商品的单价，种商品的单价， b bi2 i2表示第 表示第i i种商品的重量。种商品的重量。 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念 【例如例如】四个城市间的直接单向可达航线如图四个城市间的直接单向可达航线如图2.12.1所示。若城所示。若城 市之间的单向航线定义为：市之间的单向航线定义为： 直接不可达 个城市直

5、接可达个城市和第第 0 1ji aij 0101 0010 0001 1110 A 【练习练习】 设小明家第一季度水、电、物业和煤气费用如下设小明家第一季度水、电、物业和煤气费用如下 表所示。请把该表格用矩阵等价的表示；如果用矩阵表示表所示。请把该表格用矩阵等价的表示；如果用矩阵表示 第一季度每个月费用总额如何表示？如果用矩阵表示第一第一季度每个月费用总额如何表示？如果用矩阵表示第一 季度水费、电费、物业费和煤气费总额如何表示？季度水费、电费、物业费和煤气费总额如何表示？ 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念 水费水费电费电费物业费物业费煤气费煤气费 一月20元150元200元10元 二月22

6、元100元200元15元 三月25元80元200元10元 三、特殊矩阵三、特殊矩阵 1 1、方阵、方阵 2 2、零矩阵（、零矩阵（0 0） 3 3、行矩阵、行矩阵 4 4、列矩阵、列矩阵 5 5、对角方阵（对角阵）、对角方阵（对角阵） 6 6、单位矩阵（、单位矩阵（I I）: :主对角线元素全为主对角线元素全为1 1的对角阵。的对角阵。 7 7、矩阵相等、矩阵相等 8 8、对称矩阵：、对称矩阵：a aij ij= a = aji ji元素以主对角线为对称轴对应相等。 元素以主对角线为对称轴对应相等。 9 9、负矩阵（、负矩阵（-A-A） 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念 44 33 22

7、11 000 000 000 000 a a a a a nnij 【例如例如】设有矩阵相等如下，求设有矩阵相等如下，求x,y,zx,y,z。 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念 420 13 40 81z y x 【例如例如】设矩阵设矩阵A A如下，求其负矩阵如下，求其负矩阵-A-A。 054 612 312 A 054 612 312 A 一、矩阵的加法一、矩阵的加法 1 1、定义、定义 设设A=aA=aij ij m mn n ,B=a ,B=aij ij m mn n , ,以以A A与与B B对应元素之和为元素构成对应元素之和为元素构成 的的m mn n 矩阵，称为矩阵矩阵，称为矩

8、阵A A与与B B的和，记作的和，记作A+BA+B，公式如下：，公式如下： 2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 nmijij baBA 23 23 , 41 32 BA 22 51 2431 2332 BA 【练习练习】A+(-A)=?A+(-A)=? 【例如例如】 【考虑】矩阵的减法 2 2、矩阵加法运算性质、矩阵加法运算性质 设矩阵设矩阵ABCABC都是都是m mn n同类型矩阵，则：同类型矩阵，则： vA+B=B+AA+B=B+A vA+(B+C)=(A+B)+CA+(B+C)=(A+B)+C vA+O=AA+O=A vA+(-A)=0A+(-A)=0 【练习练习】验证结合律。验证结合

9、律。 2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 65 40 , 23 23 , 41 32 CBA 二、矩阵的数乘二、矩阵的数乘 1 1、定义、定义 设设A=aA=aij ij m mn n ， ，k k为数，数为数，数k k与矩阵与矩阵A A的乘积定义为：的乘积定义为： kA= ka kA= kaij ij m mn n ，或者记为 ，或者记为AkAk。 【例如例如】设设k=5k=5矩阵矩阵A A如下所示，则如下所示，则5A=5A=？ 2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 41 32 A 2 2、矩阵数乘的运算性质、矩阵数乘的运算性质 1A=A1A=A (ku)A=k(uA)(ku)A=k(uA

10、) (k+u)A=kA+Ua(k+u)A=kA+Ua (1)(1)k(A+B)=ka+kBk(A+B)=ka+kB 三、矩阵的线性运算三、矩阵的线性运算 矩阵的加法和数乘称为矩阵的线性运算。矩阵的加法和数乘称为矩阵的线性运算。 四、矩阵的乘法四、矩阵的乘法 1 1、定义、定义 设设A=aA=ail il m mk k ,B=b ,B=blj lj k kn n , ,设其乘法矩阵 设其乘法矩阵 ABAB用用C=cC=cij ij m mn n 表示如下： 表示如下： 2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 ,2,1,2,1 1 2211 njmi ba bababac k l ljil kjik

11、jijiij 【例如例如】设已知矩阵设已知矩阵A A和和B B如下，求矩阵如下，求矩阵ABAB和和BA.BA. 2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 2 0 2 , 301 142 BA 8 6 230021 210422 2 0 2 301 142 AB 【思考思考】BA=? IA=? AI=?BA=? IA=? AI=? 【练习练习】已知矩阵已知矩阵A A、B B如下所示，求如下所示，求AB=AB=？ BA=?BA=? 361 245 132 A 331 234 021 B 【练习练习】设某厂家向设某厂家向3 3个商店分别销售了个商店分别销售了4 4种产品，如矩阵种产品，如矩阵 (a(ai

12、j ij) )3 34 4所示，每种商品的价钱和重量如矩阵 所示，每种商品的价钱和重量如矩阵(b(bij ij) )4 42 2所示。 所示。 试用矩阵运算求某厂家对每个商店销售商品的总价钱和总重试用矩阵运算求某厂家对每个商店销售商品的总价钱和总重 量。量。 2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 50504050 01070 20502030 43ij a 2018 3022 3016 4030 24ij b 2 2、矩阵乘法运算性质、矩阵乘法运算性质 (1)(1)不满足交换律不满足交换律 (2)(2)左分配律左分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC 右分配律右分配律 (B+C

13、)A=BA+CA(B+C)A=BA+CA (3)(3)结合律结合律 A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C (4)(4)数与矩阵的结合律数与矩阵的结合律 (kA)B=A(Kb)=k(AB)(kA)B=A(Kb)=k(AB) 【练习练习】验证矩阵乘法的结合律验证矩阵乘法的结合律 2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 34, 2 0 2 , 301 142 CBA 五、矩阵转置五、矩阵转置 1 1、定义把矩阵、定义把矩阵A=aA=aij ij m mn n的行列互换得到一个新的 的行列互换得到一个新的 矩阵，称为矩阵矩阵，称为矩阵A A的转置，记作的转置，记作A AT T。 2.2 2.2

14、矩阵的运算矩阵的运算 mnnn m m T mnmm n n aaa aaa aaa A aaa aaa aaa A 21 22212 12111 21 22221 11211 例如例如 5422 6023 2132 A 562 401 223 232 T A 【考虑】若矩阵是对称 的，则AT与A的关系？ 【练习练习】对角矩阵和对角矩阵和I I的转置矩阵与原矩阵什么关系？的转置矩阵与原矩阵什么关系？ 2 2、矩阵转置的运算性质、矩阵转置的运算性质 v(A(AT T) )T T=A=A (2)(kA)(2)(kA)T T=kA=kAT T (3)(A+B)(3)(A+B)T T=A=AT T+B

15、+BT T (4)(AB)(4)(AB)T T=B=BT TA AT T 【练习练习】 验证验证(AB)(AB)T T=B=BT TA AT T 2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 054 612 312 A 364 430 421 B 【练习练习】 求求A+2B,AB-BA.A+2B,AB-BA. 【练习练习】 求求A AT TB,BAB,BAT T. . 2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 22 03 21 32 BA 102 023 143 125 BA 一、逆矩阵一、逆矩阵 1 1、定义、定义 设设A A是一个是一个n n阶方阵，如果存在一个阶方阵，如果存在一个n n阶方阵阶方阵

16、B B，使得，使得AB=BA=IAB=BA=In n, ,则称则称B B是是A A的一个逆矩阵，并称的一个逆矩阵，并称A A 是一个可逆矩阵。是一个可逆矩阵。 2 2、逆矩阵性质、逆矩阵性质 逆矩阵是唯一的。并记作逆矩阵是唯一的。并记作A A-1 -1。 。 (1)(A(1)(A-1 -1) )-1-1=A =A (2)(2)如果矩阵如果矩阵A A可逆，常数可逆，常数k0,k0,则矩阵则矩阵kAkA可逆，且可逆，且 (kA)(kA)-1 -1=(1/k)A =(1/k)A-1 -1 (3)(3)如果如果A A、B B都是都是n n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则ABAB是一个是一个n n阶可逆阶可

17、逆 矩阵，且矩阵，且(AB)(AB)-1 -1=B =B-1 -1A A-1-1 2.3 2.3 逆矩阵逆矩阵 矩阵分析在计算机中的应用非常多，是一种方便的计算工具，可以以简矩阵分析在计算机中的应用非常多，是一种方便的计算工具，可以以简 单的形式表达复杂的公式，比如：数字图像处理、计算机图形学、计单的形式表达复杂的公式，比如：数字图像处理、计算机图形学、计 算机几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。算机几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。 矩阵分析与应用将矩阵的分析分为梯度分析、奇异值分析、特征分析矩阵分析与应用将矩阵的分析分为梯度分析、奇异值分析、特征分析 、子空间分析与投影分析五大部分。、子空间分析与投影分析五大部分。 一、关系的矩阵表示，图形的矩阵表示一、关系的矩阵表示，图形的矩阵表示 关系是纯数学理论，是研究关系数据库的重要方法。关系的矩阵表示，关系是纯数学理论，是研究关系数据库的重要方法。关系的矩阵表示， 利用利用warshallwarshall算法构造关系的传递闭包