非线性-混沌学基础专题

1、 巴西的一只蝴蝶扇动翅膀，也有可能几个月之巴西的一只蝴蝶扇动翅膀，也有可能几个月之 后在美国的德克萨斯州引起一场风暴。后在美国的德克萨斯州引起一场风暴。 专题讲座专题讲座 按牛顿定律列出体系所遵从的运动按牛顿定律列出体系所遵从的运动 微分方程微分方程, ,求出解析函数表示的运动求出解析函数表示的运动 学方程学方程, ,从给定的初始运动状态就能从给定的初始运动状态就能 唯一的确定体系在其它任一时刻的运唯一的确定体系在其它任一时刻的运 动状态。动状态。 经典力学研究力学体系的观点经典力学研究力学体系的观点 确定论确定论 引言引言 例如，利用牛顿定律可以精确预言何时发生日例如，利用牛顿定律可以精确预

2、言何时发生日食，慧星何，慧星何 时来临，太空飞船如何飞行等等，牛顿定律这种决定论的时来临，太空飞船如何飞行等等，牛顿定律这种决定论的 观点，因海王星的发现而登峰造极，其中，法国数学家拉观点，因海王星的发现而登峰造极，其中，法国数学家拉 普拉斯（普拉斯（LaplaceLaplace）的一段名言把这种决定论思想发挥到）的一段名言把这种决定论思想发挥到 了顶峰。了顶峰。 “我们必须把目前的宇宙状态看成它以前状态的结果，我们必须把目前的宇宙状态看成它以前状态的结果， 以及以后发展的原因。设想有位智者在每一瞬间得知以及以后发展的原因。设想有位智者在每一瞬间得知 激励大自然的所有力，以及组成它的所有物体的

3、相互激励大自然的所有力，以及组成它的所有物体的相互 位置，如果这位智者如此博大精深，他能对这样众多位置，如果这位智者如此博大精深，他能对这样众多 的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微原的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微原 子的运动凝聚到一个公式中，对他来说没有什么事情子的运动凝聚到一个公式中，对他来说没有什么事情 是不能确定的，将来就象过去一样展现在他的眼前是不能确定的，将来就象过去一样展现在他的眼前”。 随机论随机论: : 布朗运动、分子的热布朗运动、分子的热 运动、带有随机性的自然和社会运动、带有随机性的自然和社会 现象现象, ,采用概率论方法描述。采用概率论方法描述。

4、混沌混沌: : 混沌是决定论系统所表现的随机行为的混沌是决定论系统所表现的随机行为的 总称。它的根源在于非线性的相互作用。总称。它的根源在于非线性的相互作用。 从从2020世纪世纪6060年代初，特别是近年代初，特别是近2020年来，随年来，随 着计算机技术的飞速发展，人们发现：即着计算机技术的飞速发展，人们发现：即 使对于典型的可用确定论方法描述的系统使对于典型的可用确定论方法描述的系统 来说，只要该系统稍微复杂一些来说，只要该系统稍微复杂一些( (通常是通常是 指含有非线性因素指含有非线性因素) )，系统在按照运动微，系统在按照运动微 分方程演化时，由于非线性相互作用，从分方程演化时，由于

5、非线性相互作用，从 给定的初值出发；却不能得到确定的结果，给定的初值出发；却不能得到确定的结果， 从而呈现出随机行为。从而呈现出随机行为。这种来自可用确这种来自可用确 定论方法描述的系统中的无规运动，定论方法描述的系统中的无规运动， 称为混沌或内在随机性。称为混沌或内在随机性。 问题问题:混沌中的随机性与热力学系统中的随机性本质区别混沌中的随机性与热力学系统中的随机性本质区别? ! 5! 3 sin 53 )1(0sin l g 设一摆长为设一摆长为l，摆球质量为，摆球质量为m的单摆的单摆 当当很小时很小时, ,摆作简谐振动摆作简谐振动, ,周期为周期为 g l T2 如果摆角较大时如果摆角较

6、大时(7 ) ) 2 sin 64 9 2 sin 4 1 1 (2 42 mm g l T 经运算可得摆的周期经运算可得摆的周期 方程（方程（1 1）是非线性微分方程）是非线性微分方程 一、非线性系统的内在随机性一、非线性系统的内在随机性 tf m cossin2 2 如果考虑到存在着阻尼和驱动力，单如果考虑到存在着阻尼和驱动力，单 摆作受迫振动，其动力学微分方程为：摆作受迫振动，其动力学微分方程为： 强迫振动也是非线性方程，在一定条件下，强迫振动也是非线性方程，在一定条件下， 单摆的受迫振动也会出现混沌运动。单摆的受迫振动也会出现混沌运动。 二、相空间二、相空间 相轨迹相轨迹 相空间，指用

7、状态量支撑起的抽象空间相空间，指用状态量支撑起的抽象空间( (如如 单摆中质点的单摆中质点的d d/dt/dt和和为坐标轴构成的直角坐为坐标轴构成的直角坐 标系标系).).在系统的状态和相空间的点之间建立一一在系统的状态和相空间的点之间建立一一 对应关系，相空间里的一个点表示系统在某时刻对应关系，相空间里的一个点表示系统在某时刻 的一个状态，而相空间里的相点的连线，构成了的一个状态，而相空间里的相点的连线，构成了 点在相空间的轨迹即相轨迹点在相空间的轨迹即相轨迹( (相图或相迹线相图或相迹线) )，相，相 迹表示了系统状态随时间的演变，但并不代表了迹表示了系统状态随时间的演变，但并不代表了 系

8、统的运动轨迹。相空间是非现实空间，可以是系统的运动轨迹。相空间是非现实空间，可以是 有限维的，也可以是无限维的。有限维的，也可以是无限维的。 吸引子吸引子 吸引子吸引子 这种在相空间中研究动力学系统的运动状态这种在相空间中研究动力学系统的运动状态 变化的方法称为相图法，相图的描述方法是非变化的方法称为相图法，相图的描述方法是非 线性力学中最基本的方法。线性力学中最基本的方法。 对动力学系统而言，人们最关心的对动力学系统而言，人们最关心的往往 往是其状态的最终归宿往是其状态的最终归宿。对于不消耗能量。对于不消耗能量 的保守系统。可以证明：它的运动总是周的保守系统。可以证明：它的运动总是周 期或准

9、周期的。而对于耗散系统则不然，期或准周期的。而对于耗散系统则不然， 它在演化过程中其相体积不断收缩，即相它在演化过程中其相体积不断收缩，即相 空间中的任何相轨道最终被吸引到一个维空间中的任何相轨道最终被吸引到一个维 数比原始空间低的极限集合：吸引子。数比原始空间低的极限集合：吸引子。 吸引子吸引子: : 表示了动力学系统当表示了动力学系统当 t t时的渐近行为，也就是系统结时的渐近行为，也就是系统结 构的稳定部分构的稳定部分( (点或区域点或区域) )，它对那，它对那 些不稳定的点有一种些不稳定的点有一种“吸附吸附”作用，作用， 因此可以将这个结构稳定部分称为因此可以将这个结构稳定部分称为 吸

10、引子，我们这里讲的吸引子，我们这里讲的“吸引吸引”是是 指系统状态变化的趋向指系统状态变化的趋向，而不是实，而不是实 际的际的“吸引力吸引力”。 小角度单摆的相图小角度单摆的相图 1 / 2 1 2 1 2 C x C y -3-2-10123 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 2 1 222 C 对对 一次积分一次积分 即小角度单摆的相即小角度单摆的相 迹线是轴长比为常数迹线是轴长比为常数 的椭圆系。的椭圆系。 式中式中C C1 1为由初始条件决定的积分常数为由初始条件决定的积分常数 令令y=d/dty=d/dt，x=x=得得 对应于一个常数对应于一个常数C C

11、1 1的值的值 ( (即对应于一定的初始即对应于一定的初始 条件，也即对应于一定的单摆系统总能量条件，也即对应于一定的单摆系统总能量) )，就，就 有一个椭圆。在相平面上为一个椭圆。有一个椭圆。在相平面上为一个椭圆。 相迹线为封闭曲线说明运动是周期性往复相迹线为封闭曲线说明运动是周期性往复 的，对于一定的单摆系统，初始条件一定，的，对于一定的单摆系统，初始条件一定， 运动过程也就唯一地确定了。可见，无摩擦运动过程也就唯一地确定了。可见，无摩擦 的小角度单摆，摆在相空间上连续变化。形的小角度单摆，摆在相空间上连续变化。形 成一个闭环，即它在相空间中相迹为一串有成一个闭环，即它在相空间中相迹为一串

12、有 大有小的极限环，这是一个稳定的轨道，即大有小的极限环，这是一个稳定的轨道，即 使有小小的扰动，系统仍回到这个轨道，在使有小小的扰动，系统仍回到这个轨道，在 相空间一切靠近这轨道的运动都将趋于它，相空间一切靠近这轨道的运动都将趋于它， 所以称为所以称为“吸引子吸引子”。 -3-2-10123 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 当考虑摩擦存在时，摆的相图将发生变化，当考虑摩擦存在时，摆的相图将发生变化， 相迹线不再是周期的，相空间收缩，相轨向内相迹线不再是周期的，相空间收缩，相轨向内 卷缩呈螺线状，最终摆向中心点，中心不动点卷缩呈螺线状，最终摆向中心点，中心不动点 吸

13、引着摆的运动轨道。如图所示，这是不动点吸引着摆的运动轨道。如图所示，这是不动点 的吸引子。的吸引子。 以上提到的两个简以上提到的两个简 单的吸引子，即极限环单的吸引子，即极限环 和不动点。不动点吸引和不动点。不动点吸引 子表示系统的轨道达到子表示系统的轨道达到 定态。极限环吸引子表定态。极限环吸引子表 示系统的轨道不断自我示系统的轨道不断自我 重复的行为。重复的行为。 一般来说，对动力学系统中所出现的吸引子一般来说，对动力学系统中所出现的吸引子 可分为两大类可分为两大类: :平庸吸引子和奇怪吸引子。平庸吸引子和奇怪吸引子。 平庸吸引子平庸吸引子 定常吸引子是个不动点定常吸引子是个不动点 周期吸

14、子是个极限环周期吸子是个极限环 代表混沌运动的吸引子，它是耗散的整体代表混沌运动的吸引子，它是耗散的整体 稳定运动和局部不稳定运动共同作用的产物，稳定运动和局部不稳定运动共同作用的产物， 奇怪吸引子表示系统的状态随时间呈无规则的奇怪吸引子表示系统的状态随时间呈无规则的 非周期运动。如果在相体积收缩的同时，沿某非周期运动。如果在相体积收缩的同时，沿某 一方向的运动出现局部不稳定，就会使运动轨一方向的运动出现局部不稳定，就会使运动轨 迹无穷折叠、扭曲和拉伸，而产生奇怪吸引子，迹无穷折叠、扭曲和拉伸，而产生奇怪吸引子， 奇怪吸引子具有混沌的特性。奇怪吸引子具有混沌的特性。 奇怪吸引子奇怪吸引子 -2

15、5-20-15-10-50510152025 -3 -2 -1 0 1 2 3 奇怪吸引子的奇怪物理性质有：奇怪吸引子的奇怪物理性质有： （1 1）在整体上是稳定的）在整体上是稳定的 （2 2）对初始条件十分敏感）对初始条件十分敏感 （3 3）具有无穷嵌套的自相似结构）具有无穷嵌套的自相似结构 整体稳定中又具有局部的不稳定性。整体稳定中又具有局部的不稳定性。 任意两个初始值靠的很近的轨任意两个初始值靠的很近的轨 道，都将很快地随时间分离。道，都将很快地随时间分离。 美国气象学家洛仑兹（美国气象学家洛仑兹（E.N.Lorenz)E.N.Lorenz)在关于在关于 天气预报的研究中，将牛顿力学理论

16、应用于其天气预报的研究中，将牛顿力学理论应用于其 中中, ,通过气象中各种因素的分析和抽象，得到了通过气象中各种因素的分析和抽象，得到了 1212个联立方程组，方程组表示了温度与压强之个联立方程组，方程组表示了温度与压强之 间的关系，压强与风速的关系等等。他认为尽间的关系，压强与风速的关系等等。他认为尽 管气候是惊人的复杂，但也应该遵守某个相同管气候是惊人的复杂，但也应该遵守某个相同 的规律，由此构成地球气候的复杂变化，如果的规律，由此构成地球气候的复杂变化，如果 有一台计算机，就使我们进行长期的天气预报有一台计算机，就使我们进行长期的天气预报 成为可能。为此，洛仑兹在这方面进行了尝试。成为可

17、能。为此，洛仑兹在这方面进行了尝试。 三、三、几个混沌的实例几个混沌的实例 1 1气象模型与混沌气象模型与混沌 洛伦兹在研究大气对流对天气的影响时，洛伦兹在研究大气对流对天气的影响时， 提出了洛伦兹方程：提出了洛伦兹方程： xyz dt dz xzyx dt dy yx dt dx 3 8 28 1010 开始有两个隆起部分很细致地相重叠。后开始有两个隆起部分很细致地相重叠。后 来其中一条波线开始滞后一根头发丝般的距离。来其中一条波线开始滞后一根头发丝般的距离。 随着时间的转移，当二条波线到达下一个隆峰随着时间的转移，当二条波线到达下一个隆峰 时，完全走了样，而在第三第四个隆峰时，已时，完全走

18、了样，而在第三第四个隆峰时，已 根本无任何相似之处。出现了混沌。根本无任何相似之处。出现了混沌。 问题问题:中长期天气预报不准确性的原因是什么中长期天气预报不准确性的原因是什么? 2 2虫口模型与混沌虫口模型与混沌 在生态学中的一些非常简单的数学模型，在生态学中的一些非常简单的数学模型， 往往具有极为复杂的动力学行为，以群体生往往具有极为复杂的动力学行为，以群体生 物学为例，设某类虫子第一年的数量为物学为例，设某类虫子第一年的数量为x x1 1，这，这 类群体虫子每年繁殖一次，考虑到自然界存类群体虫子每年繁殖一次，考虑到自然界存 在着虫子天敌和有限的食物等等因素，第在着虫子天敌和有限的食物等等

19、因素，第n+1n+1 年的虫子数和第年的虫子数和第n n年的虫子数满足以下关系：年的虫子数满足以下关系： )1 ( 1nnn xxx 这是生物的逻辑斯谛（这是生物的逻辑斯谛（Logistic)Logistic)方程，式中方程，式中 为一常数，反映了虫数的增长率，其中为一常数，反映了虫数的增长率，其中 41,10 n x 取不同的取不同的 和初始种群数和初始种群数, ,代入逻辑斯谛方程计算并反代入逻辑斯谛方程计算并反 复叠代复叠代, ,得出如图得结果。得出如图得结果。 虫口繁殖的初值敏感性实验虫口繁殖的初值敏感性实验 r rr 结论： 体系按照非线性方程演化时，当其参量取某些 值时，可产生混沌。

20、 虫口繁殖模型中通向混沌的道路虫口繁殖模型中通向混沌的道路 混沌运动不同于一般的随混沌运动不同于一般的随 机运动，如果将分岔图放机运动，如果将分岔图放 大，可以看出，在更高的大，可以看出，在更高的 电压电压r r上，出现了一片内含上，出现了一片内含 结构的混沌区域。若将图结构的混沌区域。若将图 的一小部分加以放大的图，的一小部分加以放大的图， 包含了上面描述的结构，包含了上面描述的结构， 适当改变比例都可以得到适当改变比例都可以得到 同整个分岔图相似的结构，同整个分岔图相似的结构， 这个特征就是我们将要讨这个特征就是我们将要讨 论的论的“自相似自相似”结构。结构。 1 1、内在随机性、内在随机

21、性 应强调的是这里的随机性质既不是来自外应强调的是这里的随机性质既不是来自外 界随机因素对系统的影响，也不是来自体系内界随机因素对系统的影响，也不是来自体系内 部存在多种复杂因素所致，而是体系所遵从的部存在多种复杂因素所致，而是体系所遵从的 力学运动方程中存在力学运动方程中存在非线性项产生非线性项产生的，也就是的，也就是 说这类系统中各部分之间存在着难以处理的非说这类系统中各部分之间存在着难以处理的非 线性相互作用。将这种随机性称为线性相互作用。将这种随机性称为动力学体系动力学体系 的内在随机性。的内在随机性。 四混沌运动的基本特征混沌运动的基本特征 2 2、初值敏感性、初值敏感性蝴蝶效应蝴蝶效应 内在随机性是通过对初绐条件的极端敏感性内在随机性是通过对初绐条件的极端敏感性 表现出来的，初始条件的误差差别在非线性动态表现出来的，初始条件的误差差别在非线性动态 系统中可能会按指数律增长。确定性的物理规律系统中可