第05章__漩涡理论

1、1 第五章 第五章：旋涡理论第五章：旋涡理论( (vortex theory) ) 本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学容。本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学容。 旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究 存在旋涡运动的流场存在旋涡运动的流场旋涡场旋涡场: : 0 即流场中即流场中 课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？ 为什么游泳时应避开旋涡区？为什么游泳时应避开旋涡区？ 2 1.1.漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量）度速度环量） 2

2、.2.斯托克斯定理斯托克斯定理 3.3.汤姆逊定理汤姆逊定理 4.4.海姆霍兹定理海姆霍兹定理 5.5.毕奥沙伐尔定理毕奥沙伐尔定理 6.6.兰金组合涡兰金组合涡 本章讨论内容：本章讨论内容： 3 一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余 的地方则为无旋区域。的地方则为无旋区域。 自然界中如龙卷风自然界中如龙卷风, ,桥墩后面规则的双排涡桥墩后面规则的双排涡 列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但 在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。 有旋运动：有旋运动：x x,y y,z

3、 z在流场中不全为零的流动在流场中不全为零的流动 5-1旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 4 龙卷风龙卷风1 1 5 龙卷风龙卷风2 2 6 海上漩涡海上漩涡 7 飞机漩涡飞机漩涡 8 气旋气旋 9 气旋气旋 10 气旋气旋 11 园盘绕流尾流场中的旋涡园盘绕流尾流场中的旋涡 园盘形阻园盘形阻 12 园球绕流尾流场中的旋涡园球绕流尾流场中的旋涡 圆球形阻圆球形阻 13 园柱绕流尾流场中的旋涡园柱绕流尾流场中的旋涡 圆圆 柱柱 绕绕 流流 （ 交交 替替 涡）涡） 14 有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡 机机 翼翼 失失 速速 ( 有有 攻攻 角角) 15 弯曲槽道内

4、的二次流弯曲槽道内的二次流 弯弯 管管 二二 次次 流流 16 流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。的无旋运动。 旋涡运动理论广泛地应用于工程实际旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机翼、机翼、 螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、噪螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、噪 声等问题密切相关。声等问题密切相关。 与压力差、质量力和粘性力等与压力差、质量力和粘性力等 因素有关。因素有关。 旋涡的产生：旋涡的产生： 17 旋涡场的几个基本概念：旋涡场的几

5、个基本概念： 涡线上所有流体质点在涡线上所有流体质点在 同瞬时的旋转角速度矢量同瞬时的旋转角速度矢量 与此线相切。与此线相切。 涡线涡线(vortex line)(vortex line)： 一、涡线一、涡线, ,涡管涡管, ,旋涡强度旋涡强度 涡线微分方程：涡线微分方程： dsdxidyjdzk 取涡线上一段微弧长取涡线上一段微弧长 xyz ijk 该处的旋转角速度该处的旋转角速度 1 2 3 ds 18 由涡线的定义（涡矢量与涡线相切：由涡线的定义（涡矢量与涡线相切： 叉积为零叉积为零），得涡线微分方程式：），得涡线微分方程式： ( , , , )( , , , )( , , , ) xy

6、z dxdydz x y z tx y z tx y z t (5-1)(5-1) 若已知若已知 ，积分上式可得涡线。积分上式可得涡线。 与流线的积分一样，将与流线的积分一样，将看成参数。看成参数。取定取定 值就得到该瞬时的涡线。值就得到该瞬时的涡线。 , xyz 19 涡管涡管 涡管涡管（ vortex tube vortex tube ）：）： 在旋涡场中任取一微小封闭曲线在旋涡场中任取一微小封闭曲线C C（不是（不是 涡线），过涡线），过C C上每一点作涡线，这些涡线形成上每一点作涡线，这些涡线形成 的管状曲面称涡管。的管状曲面称涡管。 涡管中充满着作旋转运动的涡管中充满着作旋转运动的

7、流体，称为流体，称为涡束涡束。截面积为无。截面积为无 限小的涡束称为限小的涡束称为涡索（涡丝）涡索（涡丝）。 涡丝涡丝（vortex filamentvortex filament）：）： 20 龙卷风龙卷风- -涡线涡线 涡线涡线 21 则则 d dn nd=2d=2n nd d (5-2) 为为dd上的上的旋涡强度旋涡强度- -涡通量涡通量 若若是涡管的截面，则称为是涡管的截面，则称为涡管强度涡管强度, ,或涡通量或涡通量。 问题：式问题：式（5-35-3）与前面学过的什么公式类似？）与前面学过的什么公式类似？ 任取微分面积任取微分面积dd， 法线分量为法线分量为 沿沿面积分得旋涡强度：面

8、积分得旋涡强度： 表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量 n d d n J (5-3) 22 二、速度环量二、速度环量 二、速度环量（二、速度环量（velocity circulationvelocity circulation） 某瞬时在流场中任取曲线某瞬时在流场中任取曲线ABAB ：速度矢在积分路径方向的分量沿该：速度矢在积分路径方向的分量沿该 路径的线积分。路径的线积分。 速度环量速度环量 定义定义s AB AB V ds （5 54 4） s V :v 在在 向的投影向的投影 d s V s V ds 微元弧微元弧 ds A B B A AB

9、 sdV 23 速度环量是速度环量是标量标量，速度方向与积分，速度方向与积分ABAB曲线方曲线方 向相同时（成锐角）为正向相同时（成锐角）为正, ,反之为负。反之为负。 线积分方向相反的速度环量相差一负号，即线积分方向相反的速度环量相差一负号，即 AB AB BA BA （ （5 55)5) 速度环量的其他表示形式：速度环量的其他表示形式： cos( ,) xyzAB ABABAB V dsVV ds dsV dx V dy V dz 24 沿封闭周线沿封闭周线C C的速度环量的速度环量 xyz cs c c c dxV dyV dz V ds Vds V C C ds s V V 25 速度

10、环量的计算速度环量的计算 对于无旋流场对于无旋流场: 对于有旋场对于有旋场: ABxyz ABAB B BA A V dxV dyV dzdxdydz xyz d 1) 1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量 由公式由公式 计算计算 ABxyz ABAB V dsVdx Vdy Vdz 26 2. 2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量 对于无旋场对于无旋场: 对于有旋场对于有旋场: 0 cxyz cc c V dxV dyV dzdxdydz xyz d 2 csn c V dsd （5 51111） 此式称

11、为斯托克斯定理此式称为斯托克斯定理 27 三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理 沿任意闭曲线的速度环量等于沿任意闭曲线的速度环量等于 该曲线为边界的曲面内的旋涡该曲线为边界的曲面内的旋涡 强度强度, ,即即 cJ 2 csn c Vdsd （5 51111） 或或 斯托克斯定理：斯托克斯定理： 环量与旋涡强度通过线积分环量与旋涡强度通过线积分 与面积分联系起来了。与面积分联系起来了。 C n d J n d 28 证证 明明: :略略 上述斯托克斯定理只适用于上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域单连通区域” C C 所包围的区域所包围的区域内全部是流内全部是流 体，没有固体或空洞。体，没有固体或空

12、洞。 单连通区域：单连通区域： 2 csn c Vdsd （5 51111） J n d 29 复连通域复连通域 C C的内部有空洞或者包的内部有空洞或者包 含其他的物体含其他的物体。 复连通域复连通域( (多连通域多连通域) )： ABAB线将线将切开，则沿周线切开，则沿周线 ABBABB， ，A A，EA EA前进所围的区域前进所围的区域 为单连通域。为单连通域。 2 ABB A EAnd 用斯托克斯定理有用斯托克斯定理有: : C C ABD BAEAABCBAL 区域在走向的左侧区域在走向的左侧 30 C 积分路线相反，抵消掉了。积分路线相反，抵消掉了。 ：沿外边界逆时针的环量 ：沿外

13、边界逆时针的环量 L L ：沿内边界顺时针的环量 ：沿内边界顺时针的环量 AB BA 2 CLnd 最后有最后有(5-13)(5-13) 这就是双连通域的斯托克斯定理。这就是双连通域的斯托克斯定理。 31 反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于 零，可得处处零，可得处处为零的结论。为零的结论。 单连域内的无旋运动，流场中单连域内的无旋运动，流场中处处处处 为为 零零，则沿任意封闭周线的速度环量为零，则沿任意封闭周线的速度环量为零 但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无 旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。旋（可能包围强度

14、相同转向相反的旋涡）。 2200 cnd d 推论一推论一 32 推论二推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。个封闭周线的环量彼此相等。 则则 有：有： 2 CLnd 即即 即即 (与积分路径方向一致时 与积分路径方向一致时) C 33 （3 3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）正压流体（流体密度仅为压力的函数） 假设：假设： （1）理想流体；）理想流体； （2）质量力有势；）质量力有势； 沿流体质点组成的任一封闭流体沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量

15、不随时间而变周线的速度环量不随时间而变. . 汤姆逊定理汤姆逊定理: : （5 51414）即即 0 d dt 5-2 汤姆逊定理汤姆逊定理 34 在理想流体中在理想流体中, ,速度环量和旋涡不生不灭。速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。 汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：汤姆逊定理和斯托克斯定理说明： 2) 推论推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永流场中原来有旋涡和速度环量的，永 远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和 速度环量的速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。就永远无旋涡和速度环量

16、。 例如，从静止开始的波浪运动，由于流例如，从静止开始的波浪运动，由于流 体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波 浪运动是无旋运动。浪运动是无旋运动。 35 注意注意: 贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性 的存在，这极薄一层为有旋运动。的存在，这极薄一层为有旋运动。 又如绕流物体的流动，远前方流动对物体又如绕流物体的流动，远前方流动对物体 无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再 是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理，是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理， 流动仍保持为无旋运

17、动。流动仍保持为无旋运动。 36 - 海姆霍兹定理海姆霍兹定理 海姆霍兹第一定理海姆霍兹第一定理 涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理 （同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同） 海姆霍兹第一定理海姆霍兹第一定理 说明涡管各截面上的旋说明涡管各截面上的旋 涡强度都相同。涡强度都相同。 若涡管很小，若涡管很小， 垂直于垂直于 d ，则上式可写成，则上式可写成 d const. 37 结论：结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或涡管不能在流体中以尖端形式终止或 开始，否则开始，否则时有时有。 不可能 的情况 constd n 因为因为 涡管存在的形式涡管存在的形式：要么

18、终止：要么终止 于流体边界或固体边界，要于流体边界或固体边界，要 么自行封闭形成涡环。么自行封闭形成涡环。 38 海姆霍兹第二定理海姆霍兹第二定理 海姆霍兹第二定理海姆霍兹第二定理涡管保持定理涡管保持定理 正压、理想流体在有势质量力作用下，正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。涡管永远由相同的流体质点所组成。 证明：证明：涡管表面上取封闭流体周线涡管表面上取封闭流体周线C 由斯托克斯定理知沿周线由斯托克斯定理知沿周线C C的的 =0=0 涡管涡管 由汤姆逊定理该速度环量永远为零由汤姆逊定理该速度环量永远为零 即即C C所围的区域永远没有涡线通过。所围的区域永远没有

19、涡线通过。 即涡管永远由相同的流体质点所组成。即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。但涡管的形状和位置可能随时间变化。 39 海姆霍兹第三定理海姆霍兹第三定理 海姆霍兹第三定理海姆霍兹第三定理 涡管旋涡强度不随时间而变涡管旋涡强度不随时间而变 正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。的旋涡强度不随时间而变。 由斯托克斯定理知由斯托克斯定理知绕涡管的速度环量等于涡绕涡管的速度环量等于涡 管的旋涡强度管的旋涡强度，又汤姆逊定理知该，又汤姆逊定理知该速度环量不随速度环量不随 时间变时间变，因而涡管的旋涡强度

20、不随时间而变。，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。 40 海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于 粘性流体。粘性流体。 海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。 因为流体的粘性将导致剪切、速度等因为流体的粘性将导致剪切、速度等 参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时 间衰减。间衰减。 41 5-4 毕奥一沙伐尔定理毕奥一沙伐尔定理 问题问题 已知速度场可由式（ 已知速度场可由式（3-393-39）和（）和（3-403-40） 求偏导来确定旋涡场。求偏导来确定旋涡场。 已知旋涡场，能否确

21、定速度场？这是本节已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节 要讨论的问题要讨论的问题 问题的前提：问题的前提： 流场中只存在一部分旋涡，其流场中只存在一部分旋涡，其 它区域全为无旋区。它区域全为无旋区。 例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周 围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为 旋涡诱导速度场旋涡诱导速度场。 42 为了求为了求涡丝涡丝诱导速度场，现将电磁场中诱导速度场，现将电磁场中 的毕奥的毕奥沙伐尔定理引用过来。沙伐尔定理引用过来。 诱导速度场与电磁场的类比诱导速度场与电磁场的类比 带电导线带电导线 涡丝涡丝(线线

22、) 电流强度电流强度 旋涡强度旋涡强度 诱导磁场强度诱导磁场强度 诱导速度场诱导速度场 磁磁 场场诱导速度场诱导速度场 dH dV 涡丝诱导的速度场的计算涡丝诱导的速度场的计算: 43 电磁场与诱导速度场的类比电磁场与诱导速度场的类比 场点场点 2 sin r ds idH 44 2 sin r ds idH 电磁学中，电流强度为的导线，微元导电磁学中，电流强度为的导线，微元导 线线dsds对场点所产生的磁场强度由对场点所产生的磁场强度由毕奥毕奥沙沙 伐尔公式伐尔公式得得: : 垂直于垂直于dsds和所在的平面，按右手法则确定。和所在的平面，按右手法则确定。 : ds离场点离场点P的矢径的矢径

23、 式中：式中： : 是是ds与的夹角与的夹角 dH的方向的方向: 45 毕奥毕奥沙伐尔公式的形式沙伐尔公式的形式 流体力学中流体力学中毕奥毕奥沙伐尔公式沙伐尔公式的形式的形式 旋涡强度为（环量旋涡强度为（环量）的）的dsds段涡丝段涡丝 对于点所产生的诱导速度：对于点所产生的诱导速度： 2 sin 4r ds dv 流场中单一有限长涡丝在流场中单一有限长涡丝在P P点的诱导速度沿点的诱导速度沿 整个涡丝积分：整个涡丝积分： s r ds v 2 sin 4 该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场 46 流场中多条涡丝可组成一涡面流场中多条涡丝可组成一涡

24、面, , 每条每条 涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可 求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中 速度场可以看成是涡丝诱导出来的。速度场可以看成是涡丝诱导出来的。 47 典型实例：典型实例： dx r dv sin 4 2 典型实例：无限长直涡丝典型实例：无限长直涡丝 dxdx段对点的诱段对点的诱 导速度是：导速度是： 直涡丝直涡丝 段对点的段对点的 诱导速度：诱导速度： 方向垂直于纸面向外方向垂直于纸面向外 2 1 12 sin(coscos) 44 vd RR Rv 48 = =1801.1.对于无限长直涡对于无限长直涡

25、丝：丝： 2.2.对于半无限长直涡丝：对于半无限长直涡丝：=90 =180 12 (coscos)1 ( 1) 442 v RRR 12 (coscos)0 ( 1) 444 v RRR 49 在垂直于无限长直涡丝的任何平面内在垂直于无限长直涡丝的任何平面内, 流动流动 都是相同的，可视为二维流动都是相同的，可视为二维流动, 相当于一个平面相当于一个平面 点涡。如环量为点涡。如环量为，则在平面极坐标内的诱导速，则在平面极坐标内的诱导速 度为度为: 0 2 r vv R R为场点至点涡的距离为场点至点涡的距离 例例3.4中已证明这种速度场是无旋的。中已证明这种速度场是无旋的。 50 例例5.15

26、.1 例例5.15.1如图强度相等的两点涡的初始位置，试如图强度相等的两点涡的初始位置，试 就就(a)(a)和和(b)(b)两种情况决定此两点涡的运动。两种情况决定此两点涡的运动。 解解: (a)(a)： 0 A xA dx v dt 点：点： 1 224 A yA dy v dtaa 由由BS定律定律 - - 51 0 B xB dx v dt B点：点： 1 224 B yB dy v dtaa 34 , 4 BB xcytc a 12 , 4 AA xcytc a 积分得积分得: ,0,0, AABB xayxay 令时令时 代入方程得代入方程得: 1= 2= 3=- - 4= - -

27、52 故，两点的运动方程为故，两点的运动方程为: : 点：点：, 4 BB xayt a 在在(a)(a)中，两点涡大小相等，中，两点涡大小相等， 方向相反。方向相反。 , 4 AA xayt a 点：点： 两点涡相对位置保持不变，它们同时沿两点涡相对位置保持不变，它们同时沿 方向等速向下移动。方向等速向下移动。 53 0 A xA dx v dt 点：点： 4 A yA dy v dta 0 B xB dx v dt 4 B yB dy v dta B点：点： 开始点向上，点向下运动，形成围绕开始点向上，点向下运动，形成围绕 坐标原点，沿半径为的圆周的等速转动。坐标原点，沿半径为的圆周的等速

28、转动。 转动的角速度为转动的角速度为: 2 4 a 情况情况 ( b ) 54 旋涡中心点和点的运动方程为：旋涡中心点和点的运动方程为： 2 , 4 BB rat a 对于：对于： 2 , 4 AA rat a 对于：对于： 55 5-6 兰金组合涡兰金组合涡 设流场中有一半径为的无限长圆柱形设流场中有一半径为的无限长圆柱形 流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为。 例例3.33.3已证明，圆柱内的流体运动有旋，且已证明，圆柱内的流体运动有旋，且 旋涡角速度就是旋涡角速度就是。 这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平 面涡处理

29、。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的， 在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将 旋涡内部和外部分开。旋涡内部和外部分开。 56 （1 1）旋涡内部：）旋涡内部：流体象刚体一样绕中心转动流体象刚体一样绕中心转动 0, r VVr （r R） 一、速度分布一、速度分布 57 式中：式中： 22 22.RRconst 外部流速与成反比。外部流速与成反比。 58 二、压力分布二、压力分布 （1 1）旋涡外部：）旋涡外部：流动定常且无旋流动定常且无旋 由拉格朗日积分式确定速度和压力的关由拉格朗日积分式确定速度和压力的关 系。略去

30、质量力有：系。略去质量力有： 2 1 2 pVC 由边界条件由边界条件， 0 2 V r 该处该处0 0，则有，则有0 0 压力分布压力分布为：为： 2 0 1 2 ppV （rR） 59 1.1.愈靠近中心，速度值愈大，压力愈小。愈靠近中心，速度值愈大，压力愈小。 2.在旋涡边界上，在旋涡边界上，r=Rr=R，V V V VR R，如相应，如相应 的压力为的压力为P P 则则 2 0 1 2 RR ppV 即在边缘即在边缘R R上，压力较无穷远处下降了上，压力较无穷远处下降了 2 1 2 R V 结论：结论： 60 （2 2）旋涡内部）旋涡内部: :定常有旋流动定常有旋流动 由伯努利方程有：

31、由伯努利方程有： 2 1 2 L pVC 流线为同心圆族，不同流线上压力不同。流线为同心圆族，不同流线上压力不同。 由欧拉方程（给定边界条件，略去质量力）由欧拉方程（给定边界条件，略去质量力） 求解：求解： 1 xx xy VVp VV xxx 1 yy xy VV p VV xxy 61 因因 V Vx xyy，V Vy y，代入上式得：，代入上式得： 2 1p x x 2 1p y y 将以上两式分别乘将以上两式分别乘 的的dx dx 和和 dydy， 再相加得：再相加得： 2 () pp xdxydydxdydp xy 22 2 () 2 xy dpd 或或 积分得：积分得： 22 22

32、 1 () 22 xy pcVc 62 在旋涡边缘上：在旋涡边缘上： 2 0 1 , 2 RRR rRVVpppV 旋涡内部压力分布：旋涡内部压力分布： 22 0 1 2 R ppVV 代入代入 2 1 2 pVc 2 0R cpV得得 旋涡中心旋涡中心0,0rV 旋涡中心的相对压力为旋涡中心的相对压力为 2 0R ppV 旋涡外部旋涡外部:速度越大压力越小速度越大压力越小 旋涡内部旋涡内部:速度越小压力越小速度越小压力越小 63 64 兰金（兰金（RankineRankine）涡）涡: :具有自由表面流场中的铅具有自由表面流场中的铅 直方向的圆柱形涡。直方向的圆柱形涡。 压力分布：压力分布： 24 0 2 2 222 0 2 2 R pgz r p prRgz ( 0) r ( 0) r 重力的影响重力的影响 - - + + 65 rRr