电路(第七章二阶电路)

1、电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 第七章第七章 二阶电路二阶电路 7-1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡 7-2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 7-3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 7-4 GCL并联电路的分析并联电路的分析 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 本章教学要求本章教学要求 v1、了解二阶电路的基本概念； v2、了解二阶电路的一般分析方法。 重点重点 RLC串联二阶电路的全响应 难点 微分方程求解 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 二阶电路二阶电路：包含一个电容和一个

2、电感，或两个电容，或两个电包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电 感的动态电路。感的动态电路。 这类电路可以用这类电路可以用一个二阶微分一个二阶微分方程来描述。方程来描述。 二阶电路的问题是求解二阶微分方程的问题。二阶电路的问题是求解二阶微分方程的问题。 有固定的步骤可以遵循，并不困难。有固定的步骤可以遵循，并不困难。 分析二阶电路的方法：分析二阶电路的方法： 首先建立描述电路的二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电首先建立描述电路的二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电 路的响应。所以，必要的数学基础是必不可少的。路的响应。所以，必要的数学基础是必不可少的。 注意：注意： 等效变换后，

3、只含有一个电容（电感）的电路不属于二阶电路。等效变换后，只含有一个电容（电感）的电路不属于二阶电路。 关于二阶电路关于二阶电路 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 7-1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡 L C + - - U0 i （1）在初始时刻，能量全部储于电容）在初始时刻，能量全部储于电容 中，电感中没有储能。中，电感中没有储能。 最最大大。，但但 t i Lui L d d 0 电流电流i开始增大，电容电压下降，原来存储于电容中能量逐渐开始增大，电容电压下降，原来存储于电容中能量逐渐 转移到电感的磁场中。转移到电感的磁场中。 （2）当）当uc下降到零的

4、瞬间，下降到零的瞬间，uL也为零，也为零，i的的变化率变化率也为零，也为零，i达达 到最大值到最大值I，储能全部转入到电感中。，储能全部转入到电感中。 （3）uc=0时，但它的变化率不为零，时，但它的变化率不为零，i将从将从I逐渐减小，逐渐减小，C又被又被 充电，但充电的方向与以前相反。充电，但充电的方向与以前相反。 储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 （4）当）当i下降到零瞬间，能量又再度下降到零瞬间，能量又再度 全部储于电容中，电容电压又达到全部储于电容中，电容电压又达到 U0，只是

5、极性相反而已，只是极性相反而已。 （5）电容又开始放电，只是放电方向与）电容又开始放电，只是放电方向与 上一次电容放电的方向相反。上一次电容放电的方向相反。 当电容电压再次下降到零瞬间，能量当电容电压再次下降到零瞬间，能量 又全部储于电感中，电流又达到了最又全部储于电感中，电流又达到了最 大值。大值。 （6）电容又在电流的作用下充电，当电流为零瞬间，能量又）电容又在电流的作用下充电，当电流为零瞬间，能量又 全部返回到电容中，电容电压的大小和极性又和初始时刻一样。全部返回到电容中，电容电压的大小和极性又和初始时刻一样。 上述过程将不断地重复进行。上述过程将不断地重复进行。 电路中的电流和电压将不

6、断地改变大小和极性，形成周而复始电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始 的振荡，且幅值不变，称为的振荡，且幅值不变，称为等幅振荡等幅振荡。 L C - - + + Uc i L C - - + + U0 i 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 L C + - - uC iL 设设LC回路的回路的L=1H、C=1F，uC(0)=1V、iL(0)=0。 t u Ci C C d d t u i C L d d t i u L C d d 初始条件：初始条件：uC(0)=1V，iL(0)=0。 猜想方程的解为：猜想方程的解为： uC(t)=costiL(t)

7、=sint L ii C iC L uu C )(sin d )(d tit t tu L C )(cos d )(d tut t ti C L 表明表明LC回路中的等幅振荡是按正弦规律随时间变化的。回路中的等幅振荡是按正弦规律随时间变化的。 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 LCLC振荡波形振荡波形 C L + + _ _ uL iL uC + + _ _ 已知 uC(0) = U0 iL(0) = 0 t1 t1 t2 t2 t3 t3t4 t4 t5 t5 t6 t6 t7 t7 t8 t8 t9 t9 t10 t10 t11 t11 t12 t12 4 T

8、4 T 2 T 2 T 4 T3 4 T3 T T uC(t) iL(t) U0 U0 o o Im Im t t t1 t1 t2 t2 t3 t3t4 t4 t5 t5 t6 t6 t7 t7 t8 t8 t9 t9 t10 t10 t11 t11 t12 t12 LC LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 LC振荡回路的能量振荡回路的能量 ) J ( 2 1 )cos(sin 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 22 22 tt tCutLitw LC回路的总瞬时储能 结论：结论：无损耗无损耗LC回路所储存的能量，将以磁

9、场和电场的形式回路所储存的能量，将以磁场和电场的形式 在电感和电容之间相互交换，永不消失。在电感和电容之间相互交换，永不消失。 LCLC振荡回路振荡回路 ) J ( 2 1 2 1 0)0( 2 1 )0( 2 1 )0( 22 CuLiw LC回路的初始储能 若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完储能终将被电阻消耗完 。称为。称为阻尼振荡或衰减振荡阻尼振荡或衰减振荡。 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 7-2 7-2 RLCRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 L C 含源电含源电

10、阻网络阻网络 + - - + uR- - uOC R + uC- -+ uL - - i t u Ci C d d t u RCRiu C R d d 2 2 d d d d t u LC t i Lu C L OCLCR uuuu 列列KVLKVL方程方程 OCC CC uu t u RC t u LC d d d d 2 2 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 OCC CC uu t u RC t u LC d d d d 2 2 0 d d d d 2 2 C CC u t u RC t u LC 0 1 d d d d 2 2 C CC u LCt u L R

11、 t u 特征方程是：特征方程是： 0 1 2 LC s L R s 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 求解该方程必须有条件：求解该方程必须有条件： 为了得到电路的为了得到电路的零输入响应零输入响应，令，令uOC=0，得二阶齐次微分方程，得二阶齐次微分方程 0 C u 0 d d t uC C i C ti0 0 根据一阶微分方程的求解根据一阶微分方程的求解 经验可假定齐次方程的解经验可假定齐次方程的解 st C Keut 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 特征方程的两个根称为特征方程的两个根称为特征根特征根，又称，又称固

12、有频率。固有频率。 LCL R L R s 1 22 2 2, 1 时时，时时，即即）当当（ C L R LC L R 2 1 2 1 2 时时，时时，即即）当当（ C L R LCL R 2 1 2 2 2 s s1 1、s s2 2为不相等的负实数。为不相等的负实数。过阻尼过阻尼 s1 s1、s2s2为相等的负实数。为相等的负实数。临界临界 时时，时时，即即）当当（ C L R LC L R 2 1 2 3 2 s1 s1、s2s2为共轭复数为共轭复数，欠阻尼欠阻尼 电电路路的的阻阻尼尼电电阻阻。称称为为RLC C L Rd2 特征根决定电路的响应特点，其特征根决定电路的响应特点，其 实部

13、决定电路能量衰减的快慢，实部决定电路能量衰减的快慢， 虚部决定电路振荡的频率。虚部决定电路振荡的频率。 方程的解是方程的解是： tsts C KKtu 21 ee)( 21 方程的解是方程的解是： tsts C tKKtu 21 ee)( 21 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例 1 1 已 知已 知R R= 3= 3 , ,L L= 0 . 5 H , = 0 . 5 H , C C= 0 . 2 5 F , = 0 . 2 5 F , u uC C(0(0+ +)=2V,)=2V,i iL L(0(0+ +)=1A)=1A，求，求u uC C( (t t)

14、)和和i iL L( (t t) )的零输入响应。的零输入响应。 4 2 13833 1 22 2 2 21 LCL R L R s ， )0(ee)( 4 2 2 1C tKKtu tt 则有：则有： 由由R,L,CR,L,C的值，计算出特征根的值，计算出特征根 83. 22 C L Rd? 解：解： d RR 属于过阻尼情况属于过阻尼情况 利用初始值利用初始值uC(0+)=2V和和iL(0+)=1A，得，得 ： 2)0( 21C KKu 4 )0( 42 d )(d L 210 C C i KK t tu t L C R + uC- -+ uL - - i + uR- - 电路分析基础电路

15、分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 解得解得:K1=6和和K2=-4 最后得到电路的零输入响应为最后得到电路的零输入响应为 )0( V)e4e6()( 42 C ttu tt )0(Ae4e3 d d )()( 42 C CL t t u Ctiti tt 过阻尼响应曲线（波形图）过阻尼响应曲线（波形图） uC 2 0 t iL 1 0 t 在在t0以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁 场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场 能，使电容电压增加。能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容到电感

16、电流变为零时，电容 电压达到最大值电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能。，此时电感放出全部磁场能。 以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗， 另一部分转变为磁场能。另一部分转变为磁场能。 到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放 出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初 始储能全部消耗完为止。始储能全部消耗完为止。 L C R + uC- -+ uL - - i + uR- - 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例2 2 已知已

17、知R R=1=1 , ,L L=0.25H,=0.25H,C C=1F, =1F, u uC C(0(0+ +)=-1V,)=-1V,i iL L(0(0+ +)=0)=0， 求电容电压和电感电流。求电容电压和电感电流。 2 2 02422 1 22 2 2 21 LCL R L R s ， )0(ee)( 2 2 2 1C ttKKtu tt 利用初始值利用初始值u uC C(0(0+ +)=-1V,)=-1V,i iL L(0(0+ +)=0)=0，得，得 则有：则有： 0 )0( 2 d )(d 1)0( L 210 C 1C C i KK t tu Ku t 先求特征根先求特征根 12

18、 C L Rd?解：解： d RR 属于属于临界临界阻尼情况阻尼情况 L C R + uC- - i+ uR- - 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=-1和和K2=-2。 )0(V)e2e()( 22 C tttu tt 电感的电流为：电感的电流为： )0(Ae4 )e4e2e2( d d )()( 2 222 C CL tt t t u Ctiti t ttt 电容的电压为：电容的电压为： 临界阻尼响临界阻尼响 应曲线应曲线 iL 0t 物理过程：物理过程：电感初始储能为电感初始储能为0，电容放电，一部分能量变

19、成磁，电容放电，一部分能量变成磁 场能量，另一部分被电阻消耗；电感储能达到最大值后，电容场能量，另一部分被电阻消耗；电感储能达到最大值后，电容 、电感都释放能量，这些能量全部消耗到电阻上，直至耗尽。、电感都释放能量，这些能量全部消耗到电阻上，直至耗尽。 uC -1 0t 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 欠阻尼响应欠阻尼响应 条件条件 特征根特征根s1,s2为两个共轭复数根，即：为两个共轭复数根，即： C L R2 d 2 0 jj 1 22 2 2 21 LCL R L R s ， 其中其中 0 2 L R LC 1 0 22 0d 衰减系数衰减系数 谐振角频率谐

20、振角频率 衰减谐振角频率衰减谐振角频率 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 齐次微分方程的解为：齐次微分方程的解为：(用欧拉公式用欧拉公式) )cos(e )sincos(e)( d d2d1C tK tKtKtu t t 式中式中 1 22 2 2 1 K K arctgKKK 由初始条件由初始条件iL(0+)和和uC(0+)确定常数确定常数K1,K2后，可以后，可以 得到电容电压的表达式，再利用得到电容电压的表达式，再利用KCL和和VCR方程，方程， 可以得到电感电流的表达式。可以得到电感电流的表达式。 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回

21、 例例3 3 已知已知R=6R=6,L=1H, C=0.04F, u,L=1H, C=0.04F, uC C(0+)=3V, i(0+)=3V, iL L(0+)=0.28A(0+)=0.28A， 求电容电压和电感电流的零输入响应。求电容电压和电感电流的零输入响应。 j43533 1 22 22 2 21 LCL R L R s ， 于是有于是有 )0()4sin4cos(e)( 21 3 C ttKtKtu t 利用初始值利用初始值uC(0+)=3V和和iL(0+)=0.28A得得: 解：先求特征根解：先求特征根 7 )0( 43 d )(d 3)0( L 210 C 1C C i KK t

22、 tu Ku t 解得解得 K1=3和和K2=4。 )4sin44cos3(e)( 3 C tttu t 电容电压和电感电流的表达式分别为：电容电压和电感电流的表达式分别为： )0( V)1 .534cos(e5 3 tt to 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 )0( V)1 .534cos(e5)( 3 C tttu to 电容电压和电感电流的表达式分别为：电容电压和电感电流的表达式分别为： )4sin244cos7(e04. 0 d d )( 3 C L tt t u Cti t )0( A )74.734cos(e 3 tt to R=6R=6 R=1 R=

23、1 电阻越小，单位时间消电阻越小，单位时间消 耗能量越少，曲线衰减耗能量越少，曲线衰减 越慢。越慢。 0 2 L R 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例4 4 已知已知R =R = 0,0, L=1H, C=0.04F, uL=1H, C=0.04F, u C C(0 (0 + +)=3V, )=3V, i iL L(0(0+ +)=0.28A)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。，求电容电压和电感电流的零输入响应。 j55 1 22 2 2 21 LCL R L R s ， 则：则： )0()5sin5cos()( 21C ttKtKtu 利用初始

24、条件得：利用初始条件得： 3)0( 1C Ku 解：先求特征根：解：先求特征根： 7 )0( 5 d )(d L 20 C C i K t tu t 解得：解得：K K1 1=3=3和和K K2 2=1.4=1.4， 得电容电压和电感电流的零输入响应得电容电压和电感电流的零输入响应 )0(V)255cos(31. 3)5sin4 . 15cos3()( C tttttu o )0(A)655cos(66. 0)5cos75sin15(04. 0 d d )( C L tttt t v Cti o 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 波形图波形图 物理过程物理过程 当电

25、阻为当电阻为0时，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总时，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总 能量不会减少，形成能量不会减少，形成等振幅振荡等振幅振荡。 电容电压和电感电流的电容电压和电感电流的相位差为相位差为90 ，当电容电压为零时，电场储能为，当电容电压为零时，电场储能为 零，此时电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零时零，此时电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零时 ，磁场储能为零，此时电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。，磁场储能为零，此时电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。 电路分析基础电路分析基础 上一页

26、上一页下一页下一页返返 回回 RLC二阶电路的零输入响应一揽二阶电路的零输入响应一揽 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 1.过阻尼情况，过阻尼情况，s1和和s2是不相等的是不相等的负实数负实数，响应按指数规律衰减。，响应按指数规律衰减。 2.临界阻尼情况，临界阻尼情况，s1=s2是相等的是相等的负实数负实数，响应按指数规律衰减。，响应按指数规律衰减。 3.欠阻尼情况，欠阻尼情况，s1和和s2是共轭复数，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，是共轭复数，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡， 其其振幅随时间按指数规律衰减振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数衰减系数 越大，衰减越快越

27、大，衰减越快。 衰减振荡的角频率衰减振荡的角频率 d 越大，振荡周期越小，振荡越快越大，振荡周期越小，振荡越快。图中按。图中按Ke- t画出画出 的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。 4.无阻尼情况，无阻尼情况，s1和和s2是共轭虚数，是共轭虚数， =0，振幅不再衰减，形成角频率为，振幅不再衰减，形成角频率为 0 的等幅振荡。的等幅振荡。 可以推断，当特征根的可以推断，当特征根的 实部为正时，响应的振实部为正时，响应的振 幅将随时间增加，电路幅将随时间增加，电路 是不稳定的。也就是说是不稳定的。也就是说 ，只有当特征根具有负只有当特征根具有负 实

28、部时，电路才是稳定实部时，电路才是稳定 的。的。 RLC二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应说明说明 非非振振荡荡响响应应 tsts eKeK 21 21 临临界界响响应应）（ st eKKt 21 衰衰减减振振荡荡 、d21 js )sincos( 21 tKtKe dd t 等等幅幅振振荡荡 、 js tKtKR 21 21 sincos0 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 7-3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 L C + - - + uR- - uOC R + uC- -+ uL - - i OCC CC uu t u RC t u LC d d

29、 d d 2 2 US sC CC Uu t u RC t u LC d d d d 2 2 非齐次方程的解答由两部分组成：非齐次方程的解答由两部分组成： 对应的齐次方程的解答对应的齐次方程的解答，称为，称为齐次解、补解或齐次方程通解齐次解、补解或齐次方程通解，在技，在技 术上称为术上称为固有响应解或瞬态响应解固有响应解或瞬态响应解； 非齐次方程的特解非齐次方程的特解，在技术上称为，在技术上称为强迫响应解或稳态响应解强迫响应解或稳态响应解。 齐次解的形式将随特征根的性质而定。齐次解的形式将随特征根的性质而定。 )()()( CpChC tututu 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页

30、下一页返返 回回 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 电路的特征根为电路的特征根为 LCL R L R s 1 22 2 21 ， （1）当当s1 s2且为实数且为实数时，对应齐次微分方程的通解为时，对应齐次微分方程的通解为 tsts KKtu 21 ee)( 21Ch 特解为特解为 SCp )(Utu 全响应为全响应为 利用初始条件，可以得到利用初始条件，可以得到 联立求解，得到常数联立求解，得到常数K1和和K2后，就可得到电容电压的全响应，再利后，就可得到电容电压的全响应，再利 用用KCL和电容元件和电容元件VCR可以求得电感电流的全响应。可以求得电感电流的全响应。 S tsts UK

31、Ktututu 21 ee)()()( 21CpChC C i sKsK td ud UKKu LC SC )0()0( )0( 2211 21 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 电路的特征根为电路的特征根为 LCL R L R s 1 22 2 21 ， （2）当当s1=s2时，全响应为时，全响应为 S tsts C UteKeKtu 11 21 )( C i KsK td ud UKu LC SC )0()0( )0( 211 1 求两个待定系数的方法也类似：求两个待定系数的方法也类似： 电容电压确定。再根据元件的电容电压

32、确定。再根据元件的VCR或或KVL，计算其它响应。计算其它响应。 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 电路的特征根为电路的特征根为 LCL R L R s 1 22 2 21 ， （3）当特征根为共轭复根时，全响应为当特征根为共轭复根时，全响应为 Sdd t C UtKtKetu sincos)( 21 C i KK td ud UKu L d C SC )0()0( )0( 21 1 求两个待定系数的方法也类似：求两个待定系数的方法也类似： 类似地，可根据元件的类似地，可根据元件的VCR或或KVL计算其它响应。计算其它响应。

33、电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 0t 解：解： 如图电路中，当 时的微分方程为 1 2 2 SC CC Utu dt tdu RC dt tud LC 方程的强制分量（即稳态值）为 SC Utu 因为 C L R2，即 电路为过阻尼情况。 C R L uC + - iL US 例例: : 如图所示的电路中如图所示的电路中，,1HL ，求 tituC,时的 ,100,6,VuR C FC 8 1 0tVUi SL 24, 00 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 所以相应齐次方程的通解（即暂态分量）形式为 tsts C eKeKtu 21

34、21 其中13 1 22 2 2, 1 LCL R L R s 即42 21 ss 式(1)的全解，即电压响应为 20 21 21 teKeKUtu tsts SC 电流响应为 30 21 2211 tesCKesCK dt tdu Cti tsts C 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 将初始条件 0000,1000 LLCS iiiVuU 代入(2)(3)两式得： 510 410 21 1 2 12 2 1 S S U ss s K U ss s K 将K1和K2代入式(2)和式(3)得全响应 60 10 21 12 tee Lss U ti tsts S 电路

35、分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 ts S ts SSC eU ss s eU ss s Utu 21 1010 21 1 12 2 70 10 21 12 12 teses ss U U tsts S S 代入数据后得 07 021424 42 42 tAeeti tVeetu tt tt C 电路分析基础电路分析基础 上一页上一页下一页下一页返返 回回 7-4 GCL并联电路的分析并联电路的分析 iSC GLC 含源电含源电 阻网络阻网络 iL OCC CC uu t u RC t u LC d d d d 2 2SCL LL ii t i GL t i CL d d d d 2 2 电电路路的的阻阻尼尼电电阻阻。称称为为RLC C L Rd2 电电路路的的阻阻尼尼电