第三讲方差分析

1、第四讲第四讲 方差分析方差分析 两总体两总体平均数间的差异显著性可用平均数间的差异显著性可用t检验检验, 但实际中但实际中 常遇到比较常遇到比较多个总体多个总体(处理处理)平均数的问题平均数的问题, 这时若仍用这时若仍用 t 检验就不适宜了。这是因为：检验就不适宜了。这是因为： 4.1 绪言绪言 (1) 检验过程烦琐检验过程烦琐 例如，一试验包含例如，一试验包含5个处理，采用个处理，采用t检验法要进行检验法要进行 C52 =10次两两平均数的差异显著性检验；若有次两两平均数的差异显著性检验；若有k个处个处 理，则要作理，则要作 q= Ck2 =k(k-1)/2次类似的检验。次类似的检验。 (2

2、)无统一的试验误差无统一的试验误差 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一 的试验误差。若用的试验误差。若用 t 检验作两两比较，由于每次比较需检验作两两比较，由于每次比较需 计算一个计算一个 ，故使得各次比较误差不统一，同时没，故使得各次比较误差不统一，同时没 有充分利用资料信息而使误差估计的精确性降低，从而有充分利用资料信息而使误差估计的精确性降低，从而 降低检验的灵敏性。降低检验的灵敏性。 12 xx S (3) 推断的可靠性低，犯推断的可靠性低，犯 I 型错误的概率增大型错误的概率增大 若用若用t 检验进行多个处理平均数间的差异检验

3、，会增检验进行多个处理平均数间的差异检验，会增 大犯大犯 I型错误的概率型错误的概率(1-(1- )q )，降低推断的可靠性。，降低推断的可靠性。 由于上述原因，多个平均数的检验不宜用由于上述原因，多个平均数的检验不宜用 t 检验，检验， 须采用方差分析法。须采用方差分析法。 这种方法是将这种方法是将k个处理的观测值作为一个整体看个处理的观测值作为一个整体看 待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应 于不同变异来源的平方和及自由度，获得不同变异于不同变异来源的平方和及自由度，获得不同变异 来源总体方差的估计值；通过计算总体方差的估计来源总体方差的

4、估计值；通过计算总体方差的估计 值的适当比值，检验各样本所属总体平均数是否相值的适当比值，检验各样本所属总体平均数是否相 等。等。 “ 方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组 中，把产生变异的原因加以区分开来的方法与技中，把产生变异的原因加以区分开来的方法与技 术术” ，方差分析实质上是关于观测值变异原因的数，方差分析实质上是关于观测值变异原因的数 量分析。量分析。 几个常用术语几个常用术语: 1、试验指标试验指标(experimental response or index) 为为 衡衡 量量 试试 验结果的好坏或处理效应的高低验结果的好坏或处理效应

5、的高低 ，在，在 试验中具体试验中具体测定的性状或观测的项目测定的性状或观测的项目称为称为试验指标试验指标。 由于试验目的不同由于试验目的不同 ，选择的试验指标也不相同。在畜，选择的试验指标也不相同。在畜 禽禽 、水产试验中常用的试验指标有、水产试验中常用的试验指标有 ：日增重：日增重 、产仔、产仔 数数 、产奶量、产奶量 、产蛋率、瘦肉率、某些生理生化和体、产蛋率、瘦肉率、某些生理生化和体 型指标型指标(如血糖含量、体高、体重如血糖含量、体高、体重)等。等。 2、试验因素试验因素(experimental factor) 试验中所研究的试验中所研究的影响试验指标的因素影响试验指标的因素叫试验

6、因素。叫试验因素。 如研究如何提高猪的日增重时，饲料的配方、猪的品种、如研究如何提高猪的日增重时，饲料的配方、猪的品种、 饲养方式、环境温湿度等都对日增重有影响，均可作为饲养方式、环境温湿度等都对日增重有影响，均可作为 试验因素来考虑。试验因素来考虑。 当试验中考察的因素只有一个时，称为当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验；单因素试验； 若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影 响时，则称为响时，则称为两因素或多因素试验两因素或多因素试验。试验因素常用大写。试验因素常用大写 字母字母A、B、C、等表示。等表示。 3、因素水平(level

7、of factor) 试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素 水平，简称水平。 如比较3个品种奶牛产奶量的高低，这3个品种就 是奶牛品种这个试验因素的3个水平； 研究某种饲料中4种不同能量水平对肥育猪瘦肉率 的影响，这4种特定的能量水平就是饲料能量这一试验 因素的4个水平。 因素水平用代表该因素的字母加添足标因素水平用代表该因素的字母加添足标1，2， ， 来表示。如来表示。如 A1 、 A2 、 ， B1 、B2、，等。，等。 4、试验处理试验处理(treatment) 事先设计好的实施在试验单位上的具体项目叫事先设计好的实施在试验单位上的具体项目叫试验试验 处理处理，简称，简称处理处理

8、。 在单因素试验中，实施在试验单位上的具体项目就在单因素试验中，实施在试验单位上的具体项目就 是试验因素的某一水平。例如进行饲料的比较试验时，是试验因素的某一水平。例如进行饲料的比较试验时， 实施在试验单位实施在试验单位(某种畜禽某种畜禽)上的具体项目就是喂饲某上的具体项目就是喂饲某 一种饲料。所以一种饲料。所以进行单因素试验时进行单因素试验时，试验因素的一个水试验因素的一个水 平就是一个处理平就是一个处理。 在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项目是在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项目是 各因素的某一水平组合。例如进行各因素的某一水平组合。例如进行3种饲料和种饲料和3个品种个品种 对

9、猪日增重影响的两因素试验，整个试验共有对猪日增重影响的两因素试验，整个试验共有33=9 个水平组合，实施在试验单位个水平组合，实施在试验单位(试验猪试验猪)上的具体项目上的具体项目 就是某品种与某种饲料的结合。所以，就是某品种与某种饲料的结合。所以，在多因素试验时，在多因素试验时， 试验因素的一个水平组合就是一个处理试验因素的一个水平组合就是一个处理。 5、试验单位试验单位(experimental unit or plot) 在试验中能接受不同试验处理的独立的试验在试验中能接受不同试验处理的独立的试验载体载体叫叫 试验单位。试验单位。 在畜禽、水产试验中，在畜禽、水产试验中， 一只家禽、一只

10、家禽、 一头家畜、一一头家畜、一 只小白鼠、一尾鱼，即一个动物；或几只家禽、几头家只小白鼠、一尾鱼，即一个动物；或几只家禽、几头家 畜、几只小白鼠、几尾鱼，即一组动物都可作为试验单畜、几只小白鼠、几尾鱼，即一组动物都可作为试验单 位。位。 试验单位往往也是观测数据的单位。试验单位往往也是观测数据的单位。 6、重复重复(repetition or replication) 在试验中，将一个处理实施在在试验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试两个或两个以上的试 验单位上验单位上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数 称为处理的重复数。称为处理的重复数。

11、例如，用某种饲料喂例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个处理头猪，就说这个处理(饲料饲料) 有有4次重复。次重复。 试验设计三原则试验设计三原则：randomization，replication， portion of control 4.2 方差分析的基本原理方差分析的基本原理 4.2.1 基本原理基本原理 为便于理解方差分析的基本原理，先看一个例子。为便于理解方差分析的基本原理，先看一个例子。 例例7.1 小麦品种对比试验，小麦品种对比试验，6个品种，个品种，4次重复，单因素次重复，单因素 完全随机设计，得产量完全随机设计，得产量(kg/小区小区)结果如下表结果如下表: . i y 处理和处

12、理和 yi. 处理平均处理平均 24个小区的产量有高有低存在差异个小区的产量有高有低存在差异, 称为称为变异变异； . i y 处理和处理和 yi. 处理平均处理平均 各处理平均产量之间也存在差异各处理平均产量之间也存在差异, 看作不同看作不同品种品种间生间生 产能力的差异；产能力的差异； 同一品种不同重复之间的产量也不相同，是由随机同一品种不同重复之间的产量也不相同，是由随机 误差误差造成的；造成的； 试验结果的总变异是由两类原因引起试验结果的总变异是由两类原因引起: : (1)由施加试验条件的影响引起试验指标的变异由施加试验条件的影响引起试验指标的变异, 称处称处 理间理间(组间组间)变异

13、；变异； (2)由随机因素引起的变异由随机因素引起的变异, 称处理内称处理内(组内组内)变异。变异。 即：即： 总变异总变异=处理间变异处理间变异+处理内变异处理内变异 用方差作为衡量各种变异量的尺度用方差作为衡量各种变异量的尺度 。 总方差总方差ST2表示总变异表示总变异, 处理间方差处理间方差St2表示处理间变异表示处理间变异, 处理内方差处理内方差Se2表示处理内变异表示处理内变异(作为误差作为误差)。 把处理方差和误差方差在一定意义下比较，当处理间把处理方差和误差方差在一定意义下比较，当处理间 方差显著地大于误差方差时，表明处理因素对试验指标方差显著地大于误差方差时，表明处理因素对试验

14、指标 有显著影响，这就是方差分析解决问题的基本思路。有显著影响，这就是方差分析解决问题的基本思路。 4.2.2 方差分析的一般步骤方差分析的一般步骤 (1)平方和与自由度的分解平方和与自由度的分解 . i y 1. y 2. y . k y . i y 假设单因素假设单因素A有有k个处理个处理(水平）水平）A1，A2，Ak， 完全随机化设计，每个处理有完全随机化设计，每个处理有n次重复，共有次重复，共有nk个观个观 测值。这类试验资料的数据模式如下表所示。测值。这类试验资料的数据模式如下表所示。 . i y 1. y 2. y . k y . i y 其中：其中： 表示第表示第i个处理个处理n

15、个观察值的和；个观察值的和；. 1 n iij j yy 表示第表示第i个处理的平均数；个处理的平均数；./ ii yy n 表示全部观察值的总和；表示全部观察值的总和； 11 . kn ij ij yy 表示全部观察值的总平均数。表示全部观察值的总平均数。./( )yykn 平方和分解平方和分解 总平方和是各观测值总平方和是各观测值yij与总平均数的与总平均数的 离差平方和，记为离差平方和，记为SST。即。即 2 2 1111 (.)( .) (.) knkn Tijiiji ijij SSyyyyyy 22 11 ( .)2( .)(.) (.) kn iiijiiji ij yyyyyy

16、yy 22 11111 ( .)2 ( .)(.)(.) kknkn iiijiiji iijij nyyyyyyyy 1 (.)0 n iji j yy 222 11111 (.)( .)(.) knkkn Tijiijite ijiij SSyynyyyySSSS 其中其中 所以所以 222 11111 (.)( .)(.) knkkn Tijiijite ijiij SSyynyyyySSSS 2 1 ( .) k ti i SSnyy 称为处理间平方和；称为处理间平方和； 称为处理内平方和或误差平方和。称为处理内平方和或误差平方和。 2 11 (.) kn eiji ij SSyy 易

17、证平方和的计算公式如下：易证平方和的计算公式如下： 2 11 kn Tij ij SSyC 2 . 1 1 k ti i SSyC n eTt SSSSSS 其中，其中，C=y2 /(kn) 称为矫正数。称为矫正数。 处理间自由度，处理间自由度，DFt=k 1; 处理内处理内(误差误差)自由度，自由度，DFe=nk - k=k(n - 1)。 自由度分解自由度分解 总自由度，总自由度，DFT=nk 1; 显然显然, DFT = DFt + DFe 计算均方计算均方 各部分平方和除以相应的自由度便得到总均方、处各部分平方和除以相应的自由度便得到总均方、处 理间均方和处理内均方，分别记为理间均方和

18、处理内均方，分别记为MST (或或ST2)、MSt (或或St2)和和MSe(或或Se2)。即。即 T T T SS MS DF t t t SS MS DF e e e SS MS DF (2)F检验检验 在单因素试验结果的方差分析中，记在单因素试验结果的方差分析中，记 i为第为第i处理处理 (总体总体)的期望值的期望值(平均值平均值), 则假设为则假设为 H0： 1= 2= k， HA：各：各 i不全相等不全相等 在在H0成立的条件下，成立的条件下， (,) t te e MS FF DF DF MS 当当FF (DFt, DFe) 时时, 否定否定H0, 即认为即认为k个处理平均值个处理

19、平均值 之间差异显著。然后进行多重比较；之间差异显著。然后进行多重比较； 当当 FF (DFt，DFe) 时，接受时，接受H0，即认为，即认为k个处理平个处理平 均值之间差异不显著，计算结束。均值之间差异不显著，计算结束。 列方差分析表：列方差分析表： (,) t te e MS FF DF DF MS 当当FF (DFt, DFe) 时时, 否定否定H0, 即认为即认为k个处理平均值个处理平均值 之间差异显著。然后进行多重比较；之间差异显著。然后进行多重比较； 当当 F4.72, 即即4种不同品牌腊肉之酸价差异极显著。种不同品牌腊肉之酸价差异极显著。 方差分析表方差分析表 SST=5.880

20、0，SSt=2.8027，SSe=3.0773 MSt=SSt /DFt=2.8027/3=0.9342, MSe=3.0073 /24=0.1282 4.3 线性模型、期望均方与效应模型线性模型、期望均方与效应模型 4.3.1 线性可加模型、期望均方线性可加模型、期望均方 单因素完全随机设计试验的方差分析模型单因素完全随机设计试验的方差分析模型: yij= + i+ ij，i=1，2，k；j=1，2，n 其中其中: 总均值总均值; i第第i处理效应值处理效应值, 且且 1+ k=0； ij随机误差且独立同分布随机误差且独立同分布N(0, 2)。 或或 yij= i+ ij，i=1，2，k；j

21、=1，2，n 其中：其中： i第第i处理均值；处理均值； ij随机误差且独立同分布随机误差且独立同分布N(0, 2) 方差分析是在方差分析是在效应线性可加，误差独立正态等方差效应线性可加，误差独立正态等方差 条件下进行的，这些条件称为方差分析的基本假定。条件下进行的，这些条件称为方差分析的基本假定。 对模型中的参数进行估计。对模型中的参数进行估计。 11 11 .(). nn iijiijii jj yy nn 11 1 .() kn iij ij y nk 分别是分别是 i 和和 的无偏估计的无偏估计; 其差值其差值ti为为 i的无偏估计量。的无偏估计量。 检验检验 H0： 1= k 等价于

22、等价于H0： 1= k=0 对单因素完全随机设计的方差分析有对单因素完全随机设计的方差分析有SST =SSt+SSe， 其中其中 22 1111 (.)(.) knkn eijiiji ijij SSyy 22 11 ( .)(.) kk tiii ii SSnyyn 22 . 1111 ()() knkn eijiiji ijij SSyy 22 11 ( .)(.) kk tiii ii SSnyyn 可以证明：可以证明： 2 ()(1) e E SSk n 22 1 ()(1) k ti i E SSnk DFt=k 1， 因为因为DFe=k(n - 1)， 所以误差均方及处理均方的数学

23、期望：所以误差均方及处理均方的数学期望： 2 () e E MS 22 22 1 (1) () 1 k i i t nk E MSn k 2 ()(1) e E SSk n 22 1 ()(1) k ti i E SSnk DFt=k 1， 因为因为DFe=k(n - 1)， 所以误差均方及处理均方的数学期望：所以误差均方及处理均方的数学期望： 2 () e E MS 22 22 1 (1) () 1 k i i t nk E MSn k 其中其中 称为效应方差。称为效应方差。 22 1 1 1 k i i k 所以所以MSe是是 2的无偏估计的无偏估计, MSt是是n 2+ 2的无偏估计量的

24、无偏估计量. 当处理效应方差当处理效应方差 2 =0，即各，即各 i(i=1, , k)相等相等 (H0成成 立立)时，时，MSt与与MSe一样，方差分析是通过一样，方差分析是通过MSt 与与MSe的比的比 较进行推断的。在较进行推断的。在H0成立下成立下, 由由Cochran定理及第定理及第4章得章得 当处理效应方差当处理效应方差 2 =0，即各，即各 i(i=1, , k)相等相等 (H0成成 立立)时，时，MSt与与MSe一样，方差分析是通过一样，方差分析是通过MSt 与与MSe的比的比 较进行推断的。在较进行推断的。在H0成立下成立下, 由由Cochran定理及第定理及第4章得章得 2

25、2 /() e SSkn k 22 /(1) t SSk 2 2 /(1) (1,1)(,) /() tt te ee SSkMS FF kknF DF DF SSkn kMS 当给定显著水平当给定显著水平 , 当当F F (k-1,nk-k)时时, 否定否定H0，即，即 不同处理平均值间差异显著；否则，则接受不同处理平均值间差异显著；否则，则接受H0，即不，即不 同处理平均值间差异不显著。同处理平均值间差异不显著。 4.3.2 效应模型效应模型 固定模型固定模型 i为常数的线性模型。一般栽培试验模型为为常数的线性模型。一般栽培试验模型为 固定模型。固定模型。 随机模型随机模型 i为随机变量的

26、线性模型。一般育种试验模为随机变量的线性模型。一般育种试验模 型为随机模型。型为随机模型。 混合模型混合模型 对多因素而言对多因素而言, 有的因素效应是随机的有的因素效应是随机的, 有的有的 因素效应是固定的，这样的线性模型是混合模型因素效应是固定的，这样的线性模型是混合模型。 在数量遗传学中把在数量遗传学中把 2记作记作 g2 ，称遗传型方差；而，称遗传型方差；而 2 记作记作 e2, 称为环境方差，两者之和称为环境方差，两者之和 p2= g2 + e2 称为表现型方差。把称为表现型方差。把 g2与与 p2 的比值的比值 在数量遗传学中把在数量遗传学中把 2记作记作 g2 ，称遗传型方差；而

27、，称遗传型方差；而 2 记作记作 e2, 称为环境方差，两者之和称为环境方差，两者之和 p2= g2 + e2 称为表现型方差。把称为表现型方差。把 g2与与 p2 的比值的比值 22 2 222 gg gep h 称为遗传力。称为遗传力。 %100 g gcv 称为遗传变异系数称为遗传变异系数 。gcv愈大，选得优良遗传型的潜愈大，选得优良遗传型的潜 力愈大。这个指标可作为育种工作的参考。力愈大。这个指标可作为育种工作的参考。 4.4 处理平均数间的多重比较处理平均数间的多重比较 因而须进行两两处理平均数间的比较，以判断平均因而须进行两两处理平均数间的比较，以判断平均 数间的差异显著性。数间

28、的差异显著性。 把多个平均数两两间的相互比较把多个平均数两两间的相互比较 称为称为多重比较多重比较。 多重比较方法甚多多重比较方法甚多, 常用的有常用的有: Fishers最小显著差数最小显著差数 (LSD)法、法、Tukeys固定极差法和固定极差法和Dunnetts最小显著差最小显著差 数法。数法。 F检验否定检验否定H0, 表明总变异主要来源于处理间变异，表明总变异主要来源于处理间变异， 各处理平均数间存在显著差异；但并不意味着每两两各处理平均数间存在显著差异；但并不意味着每两两 平均数间都差异显著，也不能具体说明哪些有显著差平均数间都差异显著，也不能具体说明哪些有显著差 异，哪些无差异显

29、著。异，哪些无差异显著。 4.4.1 Fishers最小显著差数法最小显著差数法 .ij yy 若若 LSD 时，则处理时，则处理Ai与与Aj的平均值之间的平均值之间 在在 水平上差异显著；反之，则差异不显著。最小显著水平上差异显著；反之，则差异不显著。最小显著 差数计算公式为：差数计算公式为： .ij yy /2 2 () e e MS LSDtDF n 基本做法是基本做法是: 在在F检验显著的检验显著的 前提下前提下, 先计算出显著水先计算出显著水 平为平为 的最小显著差数的最小显著差数LSD ，然后将任意两个处理平均，然后将任意两个处理平均 数的差数的绝对值数的差数的绝对值 与其比较。与

30、其比较。 按平均数从大到小自上而下排列出多重比较表按平均数从大到小自上而下排列出多重比较表, 将平将平 均数多重比较表中两两平均数的差数与均数多重比较表中两两平均数的差数与LSD 比较，作比较，作 出统计推断。出统计推断。 对例对例7.1, MSe=8.81, DFe=18, n=4 . 0.050.05/2 2 8.81 (18)2.108 2.0988 4.41 4 LSDt 多重比较表（多重比较表（LSD法）法） . i y. i y. i y平均数平均数. i y. i y. i y 小于小于4.41者不显著者不显著; 大于大于4.41者显著，在差数的右上方者显著，在差数的右上方 标记

31、标记“*”。 4.4.2 Tukey法法 在在F检验显著下，检验显著下， 计算出显著水平为计算出显著水平为 的最小显的最小显 著差数著差数TFR ，然后将任意两个处理平均数的差数的，然后将任意两个处理平均数的差数的 绝对值绝对值 与其比较。与其比较。 .ij yy 若若 TFR 时时, 则则Ai与与Aj的平均值之间在的平均值之间在 水水 平上差异显著平上差异显著; 反之不显著。反之不显著。TFR 计算公式为：计算公式为： .ij yy ( ,) e e MS TFRq k DF n 其中：其中：k处理数；处理数；q (k，DFe)查查q表。表。 上例上例, k=6; DFe=18; MSe=8

32、.81; n=4; q0.05(6, 18)=4.49 . 多重比较表（多重比较表（Tukey法）法） . i y. i y. i y平均数平均数. i y. i y. i y 品种品种A1的平均产量与其它的平均产量与其它5个品种有显著差异；个品种有显著差异；A4与与 A5和和A3有显著差异；有显著差异；A6与与A3有显著差异；其它无差异。有显著差异；其它无差异。 上例上例, k=6; DFe=18; MSe=8.81; n=4; q0.05(6, 18)=4.49 . 0.050.05 8.81 (6,18)4.49 1.4846.66 4 TFRq 4.4.3 Dunnetts最小显著差数

33、法最小显著差数法 .ij yy 其中：其中：Dt (k-1，DFe)查附表；查附表； 2 (1,) e e MS DLSDDt kDF n 在在F检验显著下检验显著下, 计算显著水平为计算显著水平为 的最小显著差数的最小显著差数 DLSD ，然后将两个处理平均数的差数的绝对值，然后将两个处理平均数的差数的绝对值 与其比较。该方法主要应用于各处理平均值与对照处理与其比较。该方法主要应用于各处理平均值与对照处理 平均值之间的比较。如例平均值之间的比较。如例7.1中中A1A5是国内自己培育的，是国内自己培育的， 要与国外引进的品种要与国外引进的品种A6进行比较。进行比较。 对例对例7.1, MSe=

34、8.81, DFe=18, n=4 , k=6. 0.050.05(5,18) 2.0988 2.76 2.0988 5.79 DLSDDt 对例对例7.1, MSe=8.81, DFe=18, n=4 , k=6. 0.050.05(5,18) 2.0988 2.76 2.0988 5.79 DLSDDt 品种品种A1A5与对照品种与对照品种A6的平均产量多重比较表的平均产量多重比较表(Dunnett法）法） 6 . i yy 6 | .| i yy A1的平均产量显著地高于对照品种的平均产量显著地高于对照品种A6；A5、A3显著显著 地低于对照品种地低于对照品种A6; 品种品种A4和和A2

35、的平均产量与品种的平均产量与品种A6无无 显著差异。显著差异。 4.4.4 多重比较方法的选择多重比较方法的选择 上述三种方法，当上述三种方法，当k=2时比较结果一致。当时比较结果一致。当k2时，时， LSD法、法、DLSD法和法和Tukey法的值从小到大，即法的值从小到大，即LSD法法 最最“松松”（易显著），（易显著），Tukey法最法最“严严”。具体选择。具体选择 哪种方法视具体情况而定。哪种方法视具体情况而定。 注意：注意：当处理重复数不等时当处理重复数不等时n的估计为的估计为 式中式中k为处理数为处理数, ni (i=1,k)为第为第i个处理的重复数。个处理的重复数。 2 1 0 1

36、 1 1 1 k ik i ik i i i n nn k n 对对例例4.2 用用 LSD法法, DFe=24, MSe=0.1282, k=4, N=28 0.050.05/2 2 0.1282 (24)2.131 0.1917 0.40 6.9762 LSDt 0.010.01/2(24) 0.1917 2.797 0.1917 0.54 LSDt 多重比较表（多重比较表（LSD法）法） 2222 0 18677 (28)6.9762 328 n 4.4.5 多重比较结果的表示方法多重比较结果的表示方法 (1)三角形表示法三角形表示法 上述方法即为三角形表示法。上述方法即为三角形表示法。 优点：简便直观。优点：简便直观。 缺点：占篇幅较大。缺点：占篇幅较大。 (2)标记字母法标记字母法 将各处理平均数由大到小自上而下排列；将各处理平均数由大到小自上而下排列； 在最大平均数后标记字母在最大平均数后标记字母a，并将该平均数与以下各，并将该平均数与以下各 平均数依次相比，凡差异不显著标记同一字母平均数依次相比，凡差异不显著标记同一字母a，直到，直到 某一个与其差异显著的平均数标记字母某一个与其差异显著的平均数标记字母b； 再以标有字母再以标有字母b的平均数为标准的平均数为标准, 与上方比它大的各