第3章误差的合成与分配(白背景)

1、误差理论与数据处理 第第3 3章章 误差的合成与分配误差的合成与分配 误差理论与数据处理 教学目标教学目标 本章阐述了函数误差、误差合成与分本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。和分配。 误差理论与数据处理 重点和难点重点和难点 函数系统误差函数系统误差 函数随机误差函数随机误差 函数误差分布的模拟计算函数误差分

2、布的模拟计算 随机误差的合成随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合未定系统误差和随机误差的合 成成 误差分配误差分配 微小误差取舍准则微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定 误差理论与数据处理 间接测量间接测量 函数误差函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关 系计算出被测量 第一节函数误差 误差理论与数据处理 一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算 第一节函数误差第一节函数误差 间接测量的数学模型间接测量的数学模型 12 ( ,.,) n yf x xx 与被测量有函

3、数关系的各个直接测量值与被测量有函数关系的各个直接测量值 y y 间接测量值间接测量值 12 , n x xx 求上述函数求上述函数 y y 的全微分，其表达式为的全微分，其表达式为： n n dx x f dx x f dx x f dy 2 2 1 1 误差理论与数据处理 和和 的量纲或单位不相同，则的量纲或单位不相同，则 起到起到 误差单位换算的作用误差单位换算的作用 和和 的量纲或单位相同，则的量纲或单位相同，则 起到误起到误 差放大或缩小的作用差放大或缩小的作用 由由 y 的全微分，函数系统误差的全微分，函数系统误差 的计算公式的计算公式y 12 12 . n n fff yxxx

4、xxx 为各个输入量在该测量点为各个输入量在该测量点 处的误差传播系数处的误差传播系数 (1,2, ) i fx in 12 ( ,) n x xx i x y i fx i xy i fx 第一节函数误差第一节函数误差 误差理论与数据处理 几种简单函数的系统误差几种简单函数的系统误差 1 1、线性函数、线性函数 1 122 . nn ya xa xa x 1122 . nn yaxaxax 12 . n yxxx 1 i a 2 2、三角函数形式、三角函数形式 12 sin,., n f x xx 1 1 cos n i i i f x x 12 cos,., n f x xx 1 1 si

5、n n i i i f x x 系统误差公式系统误差公式 当当 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个 测量值系统误差之和测量值系统误差之和 第一节函数误差第一节函数误差 误差理论与数据处理 【例】【例】 用弓高弦长法间接测量大用弓高弦长法间接测量大 工件直径。如图所示，车间工人用工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高一把卡尺量得弓高 h = 50 = 50mmmm ，弦，弦 长长l = 500mm = 500mm。已知，弓高的系统已知，弓高的系统 误差误差 h = -0.1= -0.1mm mm , ,弦弦长的系统误长的系统误

6、差差 l = 1mm = 1mm 。试问车间工人测量试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。后的测量结果。 【解】【解】建立间接测量大工件直径的函数模型建立间接测量大工件直径的函数模型 2 4 l Dh h D 2 l h 不考虑测量值的系统误差，可求出在不考虑测量值的系统误差，可求出在 处的直径测量值处的直径测量值 50mmh 500mml 2 0 1300mm 4 l Dh h 第一节函数误差第一节函数误差 误差理论与数据处理 车间工人测量弓高车间工人测量弓高 h h 、弦长、弦长 l l 的系统误差的系统误差 5050.10.1mmh

7、 5004991mml 直径的系统误差直径的系统误差: : 7.4mm ff Dlh lh 500 5 22 50 fl lh 22 22 500 1124 44 50 fl hh 故修正后的测量结果故修正后的测量结果: : 0 13007.41292.6mmDDD 计算结果：计算结果： 误差传递系数为误差传递系数为: : 第一节函数误差第一节函数误差 误差理论与数据处理 二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算 第一节函数误差 数学模型数学模型 12 ( ,.,) n yf x xx 变量中只有随机误差 应用全微分公式 函数的一般形式 1122 (,) nn yyf xx xxxx 12 1

8、2 n n fff yxxx xxx 即： 可得： 误差理论与数据处理 222 2222 12 1 12 2 n yxxxnij ij nij fffff D xxxxx 222 2222 12 1 12 2 n yxxxnijxixj ij nij fffff xxxxx 函数标准差计算函数标准差计算 或或 第第i i个直接测得量个直接测得量 的标准差的标准差 xi i x 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的相关系数个测量值之间的相关系数 ij 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的协方差个测量值之间的协方差 ijijxixj D 第第i i个直接测得量个

9、直接测得量 对间接量对间接量 在该测量点在该测量点 处的误差传播系数处的误差传播系数 i f x i x y12 ( ,) n x xx 第一节函数误差第一节函数误差 误差理论与数据处理 222 2222 12 12 yxxxn n fff xxx 222 222 12 12 yxxxn n fff xxx 或或 0 ijij D 相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算 若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 i i f a x 令令 222222 1122yxxnxn aaa 第一节函数误差第一节函数误差 则则 当各个测量值的随机误差都为正

10、态分布时，标准差用当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差公式极限误差代替，可得函数的极限误差公式 222222 1122yxxnxn aaa 第第i i个直接测得量个直接测得量 的极限误差的极限误差 xi i x 误差理论与数据处理 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 cos 1 xn n xx x f x f x f 1 1） 正弦函数形式为正弦函数形式为: : 函数随机误差公式为：函数随机误差公式为： 第一节函数误差第一节函数误差 n xxxf,sin 21 2 2） 余弦函数形式为余弦函数形式为: : 函数随机误差公式为：函数随机误差公式为：

11、 n xxxf,cos 21 三角函数标准差计算三角函数标准差计算 3 3） 正切函数形式为正切函数形式为: : 函数随机误差公式为：函数随机误差公式为： n xxxf,tan 21 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 cos xn n xx x f x f x f 4 4） 余弦函数形式为余弦函数形式为: : 函数随机误差公式为：函数随机误差公式为： n xxxf,cot 21 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 sin xn n xx x f x f x f 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 sin 1 xn n xx x f x f x f 误差理论与数据处理 【解

12、】【解】 【例】【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工 人用一把卡尺量得弓高人用一把卡尺量得弓高 h h = 50 = 50mmmm ，弦长，弦长s = 500mms = 500mm。已知，已知， 弓高的系统误差弓高的系统误差 h h = -0.1= -0.1mm mm , , 玄长的系统误差玄长的系统误差 l l = 1mm = 1mm 。 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 已知：已知： ，0.005mm h 0.01mm l 22222 22224 ()()

13、 50.01240.005169 10 mm Dlh ff lh 0.13mm D 有有 修正后的测量结果修正后的测量结果 0 1292.6mmDDD0.13mm D 第一节函数误差第一节函数误差 误差理论与数据处理 相关系数对函数误差的影响相关系数对函数误差的影响 222 2222 12 1 12 2 n yxxxnijxixj ij nij fffff xxxxx 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误 差的影响差的影响 222222 1122yxxnxn aaa 1122yxxnxn aaa 0 ij 1 ij 函数标准差与各随机误差

14、分量标准差之间具有线性的函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的 传播关系传播关系 函数随机误差公式函数随机误差公式 ij 当相关系数当相关系数 时时 当相关系数当相关系数 时时 2 2、 相关系数估计相关系数估计 第一节函数误差第一节函数误差 误差理论与数据处理 相关系数的确定相关系数的确定 可判断可判断 的情形的情形 0 ij 断定断定 与与 两分量之间没有相互依赖关系的影响两分量之间没有相互依赖关系的影响 i x j x 当一个分量依次增大时，另一个分量呈正负交替变化，当一个分量依次增大时，另一个分量呈正负交替变化， 反之亦然反之亦然 与与 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作

15、属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作 引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量 i x j x 与与 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不 计的弱相关计的弱相关 i x j x 1、直接判断法、直接判断法 第一节函数误差第一节函数误差 误差理论与数据处理 可判断可判断 或或 的情形的情形 断定断定 与与 两分量间近似呈现正的线性关系或负两分量间近似呈现正的线性关系或负 的线性关系的线性关系 i x j x 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或 减小，反之亦

16、然减小，反之亦然 与与 属于同一体系的分量，如用属于同一体系的分量，如用1 1m m基准尺测基准尺测2 2m m尺，尺， 则各米分量间完全正相关则各米分量间完全正相关 i x j x 1 ij 1 ij 第一节函数误差第一节函数误差 误差理论与数据处理 第一节函数误差第一节函数误差 n nn 31 cos 其中，其中， 4321 nnnnn n2 n3 n4 n1 0 22 ()() ( ,) ()() ikijkj k ij ikijkj kk xxxx x x xxxx 根据根据 的多组测量的对应值的多组测量的对应值 ，按如下，按如下 统计公式计算相关系数统计公式计算相关系数 ( ,) i

17、j x x, ikjk xx 、 分别为分别为 、 的算术平均值的算术平均值 i x j x ik x jk x 误差理论与数据处理 第二节随机误差的合成第二节随机误差的合成 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量 过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成 就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确 地表述这些误差的综合影响。地表述这些误差的综合影响。 标准差合成标准差合成 极限误差合成极限误差合成 解决随机误差的合成问题一般基于标准差

18、方和根合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成 的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差 之间的相关性影响之间的相关性影响 随机误差的合成形式包括：随机误差的合成形式包括： 误差理论与数据处理 一、标准差合成一、标准差合成 合成标准差表达式合成标准差表达式: : 2 11 ()2 qq iiijijij iij aa a q个单项随机误差，标准差 12 , q 误差传播系数 12 , q a aa v 由间接测量的显函数模型求得 v 根据实际经验给出 v 知道影响测量结果的误差因素 而不 知道每个 和 iii ya i a i ii

19、 afx 第二节随机误差的合成 误差理论与数据处理 当误差传播系数当误差传播系数 、且各相关系数均可视为、且各相关系数均可视为0 0的情形的情形 第二节随机误差的合成第二节随机误差的合成 若各个误差互不相关，即相关系数若各个误差互不相关，即相关系数 2 1 () q ii i a 2 1 q i i 0 ij 1 i a 则合成标准差则合成标准差 用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差准差，均可计算出总的标准差 视各个误

20、差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量的分量 误差理论与数据处理 二、极限误差合成二、极限误差合成 单项极限误差单项极限误差: : 1,2,., iii kiq 单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数 合成极限误差合成极限误差: : k i i k 合成标准差 合成极限误差的置信系数 k 第二节随机误差的合成 合成极限误差计算公式合成极限误差计算公式 2 11 ()2 qq j iii ijij iij iij a kaa kk k 误差理论

21、与数据处理 根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数， 即可进行极限误差的合成即可进行极限误差的合成 各个置信系数各个置信系数 、 不仅与置信概率有关，而且与随 不仅与置信概率有关，而且与随 机误差的分布有关机误差的分布有关 i kk 对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应 的各个置信系数相同的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应 的各个置信系数也不相同的各个置信系数也不相同 第二节随机误差的合成第二节随机误差的合

22、成 ij ij 为第 为第i i个和第个和第j j个误差项之间的相关系数，可根据个误差项之间的相关系数，可根据 前一节的方法确定。前一节的方法确定。 应用极限误差合成公式时，应注意：应用极限误差合成公式时，应注意： 误差理论与数据处理 2 11 ()2 qq iiijijij iij aa a 2 1 q i i 0 ij 1 i a 当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差 的数目的数目q q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总 误差接近于正态分布误差接近于正态分布 12q kkkk 合成

23、极限误差：合成极限误差： 若若和和 各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布， 而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为 广泛使用的极限误差合成公式广泛使用的极限误差合成公式 第二节随机误差的合成第二节随机误差的合成 时：时： 此时此时 误差理论与数据处理 第三节系统误差合成第三节系统误差合成 一、已定系统误差的合成一、已定系统误差的合成 系统误差的分类：系统误差的分类： 1 1） 已定系统误差已定系统误差 2 2） 未定系统误差未定系统误差 定义：定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差

24、误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 表示符号：表示符号： 合成方法：按照代数和法进行合成合成方法：按照代数和法进行合成 r i ii a i i 为第 为第i i个系统误差，个系统误差，a ai i为其传递系数为其传递系数 系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测 量结果中消除量结果中消除 误差理论与数据处理 二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成 第三节系统误差合成第三节系统误差合成 （一）（一） 未定系统误差的特征及其评定未定系统误差的特征及其评定 定义：定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精误差大小和方向未能确切

25、掌握，或者不须花费过多精 力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围 e 的系统误差的系统误差 特征：特征： 1 1） 在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固 定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性 2 2） 随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某 极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有 随机误差的特性。随机误差

26、的特性。 表示符号：表示符号： 极限误差：极限误差：e e 标准差：标准差：u u 误差理论与数据处理 1、标准差合成、标准差合成 第三节系统误差合成第三节系统误差合成 （二）（二） 未定系统误差的合成未定系统误差的合成 未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概 率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就 具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用 相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的相似，因而未定系

27、统误差的合成，完全可以采用随机误差的 合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。 同随机误差的合成相同，未定系统误差合成时即可以按同随机误差的合成相同，未定系统误差合成时即可以按 照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。 若测量过程中有若测量过程中有 s s 个单项未定系统误差，它们的标准个单项未定系统误差，它们的标准 差分别为差分别为 u u1 1，u u2 2，u us s，其相应的误差传递系数为，其相应的误差传递系数为a a1 1， a a2 2，a as s ，则合成后未定系统误差的总标准差，

28、则合成后未定系统误差的总标准差 u u 为为: : 误差理论与数据处理 则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极 限误差为：限误差为： 式中，式中， ij ij 为第 为第 i i 个和第个和第 j j 个误差项的相关系数个误差项的相关系数 第三节系统误差合成第三节系统误差合成 s ji jijiij s i ii uuaauau 11 2 2 s i iiu au 1 2 iii ute 当当 ij ij=0 =0 时时 2、极限误差的合成、极限误差的合成 若各个单项未定系统误差的极限误差为若各个单项未定系统误差的极限误差为:

29、: si,2, 1 s ji jijiij s i ii uuaauate 11 2 2 则有：则有： 误差理论与数据处理 s ji j j i i jiij s i i ii t e t e aa t ea te 11 2 2 s i iie ae 1 2 第三节系统误差合成第三节系统误差合成 或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统 误差误差极限误差极限误差为：为： 当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独 立无关，即立无关，即 ，则上式可，则上式可简化为简化为：0 ij

30、 误差理论与数据处理 第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成 一、按极限误差合成一、按极限误差合成 误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差形式合成误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差形式合成 、按标准差形式合成。、按标准差形式合成。 测量过程中，假定有测量过程中，假定有 r r 个单项已定系统误差，个单项已定系统误差，s s 个单项未定个单项未定 系统误差，系统误差，q q 个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为 ： q s r eee , , , 21 21 21 1、单次测量情况、单次测量情况 若各个误差的传递系

31、数取若各个误差的传递系数取 1(1(不取不取1 1呢呢?)?)，则测量结果总的极，则测量结果总的极 限误差为：限误差为： R tt e t q i i i s i i i r i i 1 2 1 2 1 总 式中，式中，R R 为各个误差之间的协方差之和。为各个误差之间的协方差之和。 误差理论与数据处理 当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测 量结果总的极限误差可简化为：量结果总的极限误差可简化为： q i i s i i r i i e 1 2 1 2 1 总 第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成 一般

32、情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误 差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即： q i i s i i e 1 2 1 2 总 2、n 次重复测量情况次重复测量情况 当每项误差都进行当每项误差都进行 n n 次重复测量时，由于随机误差间具有低次重复测量时，由于随机误差间具有低 偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合 成公式中的随机误差项应除以重复测量次数成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n

33、 n 。 q i i s i i n e 1 2 1 2 1 总总极限误差变为：总极限误差变为： 误差理论与数据处理 第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成 二、按标准差合成二、按标准差合成 测量过程中，假定有测量过程中，假定有 s s 个单项未定系统误差，个单项未定系统误差，q q 个单项随机个单项随机 误差，它们的标准差分别为：误差，它们的标准差分别为： q s uuu , , 21 21 1、单次测量情况、单次测量情况 若各个误差的传递系数取若各个误差的传递系数取 1 1，则测量结果总的极限误差为：，则测量结果总的极限误差为： 式中，式中，R R 为各个误差之间的为

34、各个误差之间的协方差协方差之和。之和。 若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考 虑未定系统误差与随机误差的合成。虑未定系统误差与随机误差的合成。 Ru q i i s i i 1 2 1 2 误差理论与数据处理 当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测 量结果总标准差为：量结果总标准差为： q i i s i i u 1 2 1 2 2、n 次重复测量情况次重复测量情况 当每项误差都进行当每项误差都进行 n n 次重复测量时，由于随机误差间具有低次重复测量时，由于随

35、机误差间具有低 偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合 成公式中的随机误差项应除以重复测量次数成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n n 。 q i i s i i n u 1 2 1 2 1 第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成 总极限误差变为：总极限误差变为： 误差理论与数据处理 【例】【例】 在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长 度共两次，测得结果分别为度共两次，测得结果分别为 ， ，已，已 知工件的知工件的高度高度为为 ，求测量结

36、果及其极限误差。，求测量结果及其极限误差。 1 50.026mml 2 50.025mml 80mmH 第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成 序号序号 1 2 3 4 5 6 误差因素误差因素 极限误差极限误差/m 随机误差随机误差 未定系统误差未定系统误差 备注备注 阿贝误差阿贝误差 光学刻尺刻度误差光学刻尺刻度误差 温度误差温度误差 读数误差读数误差 瞄准误差瞄准误差 光学刻尺检定误差光学刻尺检定误差 0.8 1 0.5 0.35 1.25 1 未修正时计入未修正时计入 总误差总误差 修正时计入总修正时计入总 误差误差 根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中

37、主要的误差根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差 见表。见表。 误差理论与数据处理 【解】【解】两次测量结果的平均值为两次测量结果的平均值为: : 012 11 ()(50.02650.025)mm50.0255mm 22 Lll 根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在 50mm 50mm 范围内的误差范围内的误差 =0.0008mm=0.0008mm ，此项误差为已定系统误差，应，此项误差为已定系统误差，应 予修正。则测量结果为：予修正。则测量结果为： 0 50.0255mm0.0008mm50.0247mm LL 第四节系

38、统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成 在万工显上用影像法测量平面工件尺寸时，其主要误差在万工显上用影像法测量平面工件尺寸时，其主要误差 分析如下：分析如下： 1 1、随机误差、随机误差 由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为 误差理论与数据处理 1 1）读数误差：）读数误差： 2 2）瞄准误差：）瞄准误差： 第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成 m8 . 0 1 m0 . 1 2 2 2、未定系统误差、未定系统误差 由阿贝误差等引起，其极限误差分别为由阿贝误差等引起，其极限误差分别为 1 1）阿贝误差：）阿贝

39、误差： 2 2）瞄准误差：）瞄准误差： mm HL e0 . 1 4000 5080 4000 1 mmm L e25. 1) 200 50 1 () 200 1 ( 2 3 3）温度误差：）温度误差：mmm L e35. 0 700 507 700 7 3 4 4）光学刻度尺的检定误差：）光学刻度尺的检定误差：me5 . 0 4 误差理论与数据处理 第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成 3 3、计算测量值及其误差（独立同分布）、计算测量值及其误差（独立同分布） 计算测量值的误差时有两种方法：计算测量值的误差时有两种方法： 方法方法1 1 当未修正光学刻尺刻度误差时当未

40、修正光学刻尺刻度误差时 23 22 11 22222 1 2 1 (10.8 )(11.250.35 ) 2 1.870.0019mm ij ij e m 测量结果可表示为：测量结果可表示为： 0 50.0255mm0.0019mmL 方法方法2 2 当已修正光学刻尺刻度误差时当已修正光学刻尺刻度误差时 23 22 11 22222 1 2 1 (10.8 )(10.50.35 ) 2 1.480.0015mm ij ij e m 50.0247mm0.0015mmL 误差理论与数据处理 【例例】 用用TC328BTC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质型天平，配用三等标准砝码称一不

41、锈钢球质 量，一次称量得钢球质量量，一次称量得钢球质量 ，求测量结果的标准，求测量结果的标准 差。差。 14.004gM 第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成 (1)(1)随机误差随机误差: : 天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称 量同一球的质量的天平标准差为量同一球的质量的天平标准差为 1 0.05mg (2)(2)未定系统误差未定系统误差: : 标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值， 但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），但又不

42、知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差）， 故这两项误差均属未定系统误差。故这两项误差均属未定系统误差。 砝码误差砝码误差: : 天平称量时所用的标准砝码有三个，即天平称量时所用的标准砝码有三个，即 的一个，的一个， 的两个，标准差分别为的两个，标准差分别为: : 10g 20g 故三个砝码组合使用时，质量的标准差故三个砝码组合使用时，质量的标准差为为 根据根据TC328BTC328B型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下：型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下： mgumgu2 . 0,4 . 0 1211 mgmguuu5 . 02 . 024 . 02 222 12 2 1

43、11 误差理论与数据处理 天平示值误差天平示值误差 该项标准差为该项标准差为: : 第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成 mgu03. 0 2 三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1 1，因此误，因此误 差合成后可得到测量结果的总标准差为差合成后可得到测量结果的总标准差为 最后测量结果应表示为（倍标准差）：最后测量结果应表示为（倍标准差）： 14.004g0.0005gM 2 2 2 1 2 1 uu 222 03. 05 . 005. 0 )(5 . 0mg 误差理论与数据处理 第五节误差分配第五节误差分配 误差分配误差分配

44、 给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。 在误差分配时，在误差分配时，随机误差和未定系统误差随机误差和未定系统误差同等看待。同等看待。 假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有： y 222 12yyyny 若已经给定若已经给定 ，如何确定，如何确定 D Di i 或相应的 或相应的 i i , ,使其满足使其满足 22 2 2 1ny DDD 式中，式中， 称为部分误差，或局部误差称为部分误差，或局部误差 iii i i a x f D 误差理论与数据处理 一、按等影响原则分配误差一、按等

45、影响原则分配误差 等影响原则：等影响原则： 各分项误差对函数误差的影响相等，即各分项误差对函数误差的影响相等，即 12 y yyyn n 由此可得：由此可得： 11 / yy i ii fxann 或用极限误差表示：或用极限误差表示： 11 / i ii fxann 函数的总极限误差函数的总极限误差 各单项误差的极限误差各单项误差的极限误差 i 第五节误差分配第五节误差分配 进行误差分配时，一般应按照下述步骤：进行误差分配时，一般应按照下述步骤： 误差理论与数据处理 二、按可能性调整误差二、按可能性调整误差 (1) (1) 对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差对各分项误差平均分配的

46、结果，会造成对部分测量误差 的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以 达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器， 或者以增加测量次数及测量成本为代价。或者以增加测量次数及测量成本为代价。 按等影响原则分配误差的不合理性按等影响原则分配误差的不合理性 (2) (2) 当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播 系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误 差并不相等，有时可能相差较大

47、。差并不相等，有时可能相差较大。 在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当 调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差 项尽可能缩小，其余误差项不予调整。项尽可能缩小，其余误差项不予调整。 第五节误差分配第五节误差分配 误差理论与数据处理 测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径 D D 及高及高 度度 h h，根据函数式，根据函数式 三、验算调整后的总误差三、验算调整后的总误差 误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际

48、误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际 总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差 项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误 差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求 为止。为止。 第五节误差分配第五节误差分配 【例】【例】 2 4 D Vh 求得体积求得体积 V V ，若要求测量体积的相对误差为，若要求测量体积的相对误差为1 1，已知直径，已知直径 和高度的公称值分别为和高度的公称

49、值分别为 ， 试确定直径试确定直径 D D 及高度及高度 h h 的准确度。的准确度。 0 20mmD 0 50mmh 误差理论与数据处理 一、按等影响分配原则分配误差一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径得到测量直径 D D 与高度与高度 h h 的极限误差的极限误差: : 12 0.071mm VV D V Dhnn D 2 14 0.351mm VV h V Dnn h 第五节误差分配第五节误差分配 【解】【解】 计算体积计算体积 0 V 22 3 0 00 3.1416 20 5015708mm 44 D Vh 体积的绝对误差体积的绝对误差: : 33 0 1%15708mm1%1

50、57.08mm V V 误差理论与数据处理 用这两种量具测量的体积极限误差为用这两种量具测量的体积极限误差为 22 22 78.54 VDh VV mm Dh 因为因为 33 78.54157.08 V mmmm 查资料，可用分度值为查资料，可用分度值为0.10.1mmmm的游标卡尺测高的游标卡尺测高 ， 在在5050mmmm测量范围内的极限误差为，用测量范围内的极限误差为，用0.020.02mmmm的游标的游标 卡尺测直径，在卡尺测直径，在2020mmmm范围内的极限误差为范围内的极限误差为 。 20mmD 50mmh 0.150mm 0.04mm 第五节误差分配第五节误差分配 二、调整后的

51、测量极限误差二、调整后的测量极限误差 显然显然D D采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。 若改用分度值为若改用分度值为0.050.05mmmm的游标卡尺来测量直径和高度，在的游标卡尺来测量直径和高度，在5050mmmm 测量范围内的极限误差为测量范围内的极限误差为 。此时测量直径的极限误差虽。此时测量直径的极限误差虽 超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许 的多余部分得到补偿。的多余部分得到补偿。 0.08mm 误差理论与数据处理 调整后的实际测量极限误差为调整后的

52、实际测量极限误差为 2 2 2 22 128.15 24 VDh DhD mm 因为因为 33 128.15157.08 V mmmm 因此调整后用一把因此调整后用一把0.05mm0.05mm游标卡尺测量直径和高度即能游标卡尺测量直径和高度即能 保证测量准确度。保证测量准确度。 第五节误差分配第五节误差分配 误差理论与数据处理 微小误差微小误差 测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误 差的影响，可以忽略不计的误差。差的影响，可以忽略不计的误差。 已知测量结果的标准差：已知测量结果的标准差： 若将其中的部分误差取出后，则得若将其中的部

53、分误差取出后，则得 如果如果 ， yy 则称为微小误差则称为微小误差 第六节微小误差取舍准则第六节微小误差取舍准则 22 1 22 1 2 2 2 1nkkky DDDDDD k D k D 22222 1211ykkn DDDDD 误差理论与数据处理 测量误差的有效数字取一位：测量误差的有效数字取一位： 某项部分误差舍去后，满足：某项部分误差舍去后，满足： 或或 则对测量结果的误差计算影响比较小。则对测量结果的误差计算影响比较小。 测量误差的有效数字取二位：测量误差的有效数字取二位： 或或 对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍区准则是被舍去对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍区准则是被舍

54、去 的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。对于已的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。对于已 定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。 第六节微小误差取舍准则第六节微小误差取舍准则 某项部分误差舍去后，满足：某项部分误差舍去后，满足： 应用：应用： 计算总误差或进行误差分配时，若发现有微小误差，可不计算总误差或进行误差分配时，若发现有微小误差，可不 考虑该项误差对总误差的影响。考虑该项误差对总误差的影响。 选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具 允许误差的允许误差的

55、1/101/103/103/10。 0.1 0.05 yyy 0.01 0.005 yyy (0.4 0.3) yky D 1 3 yky D (0.14 0.1) yky D 1 10 yky D 误差理论与数据处理 最佳测量方案的确定：最佳测量方案的确定： 当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定 各个因素，才能使测量结果的误差最小。各个因素，才能使测量结果的误差最小。 研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案。函研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案。函 数的标准差为：数的标准差为： 222 222 12 12 yxxxn n fff xxx 欲使欲使 为最小，可从哪几方面来考虑？为最小，可从哪几方面来考虑？ y 第七节最佳测量方案的确定第七节最佳测量方案的确定 考虑因素：考虑因素： 因为已定系统误差可以通过误差修正的方法来消除，所因为已定系统误差可以通过误差修正的方法来消除，所 以设计最佳测量方案时，只需考虑随机误差和未定系统误差以设计最佳测量方案时，只需考虑随机误差和未定系统误差 的影响。的影响。 研究对象和目标：研究对象和目标： 误差理论与数据处理 一、选择最佳函数误差公式一、选择最佳函数误差公式 间接测量中如果可由不同的函数公式来