高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线学案 苏教版选修1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精2.3双曲线23.1双曲线的标准方程在平面直角坐标系中a（3，0），b(3,0),c（0，3），d(0，3)问题1：若动点m满足|mamb|4，设m的坐标为(x,y）,则x，y满足什么关系？提示：1。问题2:若动点m满足|mcmd4,设m的坐标为（x,y），则x,y满足什么关系？提示：1。双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1（a0，b0）1（a0，b0)焦点坐标（c，0）（0，c）a，b，c的关系c2a2b21双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x，y项的平方差，右边是1。2在双曲线中，a0且b0，但a与b的大小关系不确定3在双曲线中a、b、c满足c2a

2、2b2，与椭圆不同用待定系数法求双曲线方程例1已知双曲线过点p(，），q两点，求双曲线的标准方程思路点拨解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b、c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程也可以设双曲线方程为mx2ny21（mn0)的形式，将两点代入，简化运算过程精解详析法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0）,p（，），q两点在双曲线上解得即a21，b23，所求双曲线的标准方程为x21.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为1（a0，b0)，p(，)，q 两点在双曲线上,解得（不符合题意，舍去）综上：所求双曲线的标准方程为x21。法二:设双曲线的方程为mx

3、2ny21(mn0），因为双曲线过两点p（,)，q，得解得所以所求双曲线的标准方程为x21.一点通用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为:1根据下列条件，求双曲线的标准方程(1）已知双曲线与椭圆1有共同的焦点,且过点(，4),求双曲线的方程；(2)c，经过点（5，2），焦点在x轴上解：(1)椭圆1的焦点坐标为f1（0，3）,f2(0,3)，故可设双曲线的方程为1。由题意,知解得故双曲线的方程为1.（2)焦点在x轴上,c，设所求双曲线方程为1（其中05.所以实数m的取值范围是（5，）一点通给出方程1（mn0),当mn0时，方程表示双曲线，当时，表示焦点在x轴上的双曲线；当时,表示焦点在y轴上的双曲

4、线3k9是方程1表示双曲线的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要或“既不充分也不必要”)解析:1表示双曲线的充要条件是（9k)（k4）0，即k9或k4。因为k9是k9或k4的充分不必要条件即k9是方程1表示双曲线的充分不必要条件答案:充分不必要4若方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是_;若该方程表示双曲线，则m的取值范围是_解析：若表示焦点在x轴上的双曲线，则3m2.若该方程表示双曲线，则（2m)(|m3）0.解得3m3.答案：（3，2)(3，2）（3，)双曲线的定义及其标准方程的应用例3已知f1,f2是双曲线1的两个焦点,p是双曲线左支上的点,且pf1pf232，试求

5、f1pf2的面积思路点拨本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得f1pf2的大小由余弦定理,根据已知条件,结合双曲线的定义即可求得结果精解详析双曲线的标准方程为1，可知a3，b4,c5.由双曲线的定义，得pf2pf1|2a6，将此式两边平方,得pfpf2pf1pf236,pfpf362pf1pf236232100.在f1pf2中，由余弦定理,得cosf1pf20，f1pf290，sf1pf2pf1pf23216。一点通在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|pf1pf22a，其次要利用余弦定理(或勾股定理）建立关于pf1、pf2、f1f2的方程,解方程组可求得pf

6、1、pf2或pf1pf2,再解决相关问题5已知双曲线1的左焦点为f,点p为双曲线右支上一点,且pf与圆x2y216相切于点n,m为线段pf的中点，o为坐标原点,则mnmo_。解析:如图，设f是双曲线的右焦点,连接pf，因为m，o分别是fp，ff的中点,所以mopf,又fn5，由双曲线的定义知pfpf8,故mnmopfmffn(pfpf）fn851.答案：16如图所示，已知定圆f1：x2y210x240，定圆f2：x2y210x90，动圆m与定圆f1，f2都外切，求动圆圆心m的轨迹方程解:圆f1:(x5）2y21,圆f2：(x5)2y242,f1(5,0)，半径r11；f2（5,0)，半径r24

7、。设动圆m的半径为r，则mf1r1，mf2r4，mf2mf13f1f210.动圆圆心m的轨迹是以f1、f2为焦点的双曲线左支，且a，c5。b225。动圆圆心m的轨迹方程为1.1用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支2用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a,b，c的方程组对应课时跟踪训练（十） 1双曲线1上的点p到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为_解析:设双曲线的左、右焦点分别为f1，f2,不妨设pf111,根据双曲线的定义知pf1pf2|2a10，pf21或pf221，而f1f214，当pf21时，11114（舍去）,p

8、f221.答案：212已知点f1，f2分别是双曲线1的左、右焦点，p为双曲线右支上一点，i是pf1f2的内心，且sipf 2sipf1sif1f2,则_。解析：设pf1f2内切圆的半径为r，则由sipf 2sipf 1sif 1f 2pf2rpf1rf1f2r pf1pf2f1f2,根据双曲线的标准方程知2a2c，。答案:3若方程1（kr)表示双曲线，则k的范围是_解析：依题意可知：（k3）(k3）0，求得3k3。答案：3k0，且焦点在x轴上，根据题意知4a2a2，即a2a20，解得a1或a2(舍去）故实数a1。答案：15已知双曲线的两个焦点为f1（,0)，f2（，0）,m是此双曲线上的一点，

9、且满足0，2,则该双曲线的方程是_解析：0,。|2|240.（）2|22|2402236.|62a，a3。又c,b2c2a21，双曲线方程为y21.答案：y216求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1）以椭圆1的长轴端点为焦点,且经过点p(5，)；(2）过点p1(3，4 )，p2(,5）解：（1)因为椭圆1的长轴端点为a1(5,0），a2（5，0)，所以所求双曲线的焦点为f1(5,0）,f2(5，0）由双曲线的定义知，pf1pf2| | |8，即2a8，则a4.又c5,所以b2c2a29。故所求双曲线的标准方程为1。(2)设双曲线的方程为ax2by21(ab0)，分别将点p1(3，4 ）,p2

10、（，5)代入，得解得故所求双曲线的标准方程为1。7设f1，f2为双曲线y21的两个焦点，点p在双曲线上，且满足f1pf2120。求f1pf2的面积解:由已知得a2，b1；c ，由余弦定理得:f1fpfpf2pf1pf2cos 120即（2 ）2（pf1pf2）23pf1pf2|pf1pf24.pf1pf2。sf1pf2pf1pf2sin 120.8.如图，在abc中,已知ab|4 ，且三内角a,b,c满足2sin asin c2sin b，建立适当的坐标系，求顶点c的轨迹方程解:以ab边所在直线为x轴,ab的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（如图所示）则a(2 ,0)，b(2 ，0）设边b

11、c、ac、ab的长分别为a、b、c,由正弦定理得sin a，sin b，sin c（r为abc外接圆的半径）2sin asin c2sin b，2ac2b，即ba.从而有cacb|ab|2 ab.由双曲线的定义知，点c的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）a，c2 ，b26。顶点c的轨迹方程为1(x)23。2双曲线的几何性质双曲线的简单几何性质歌曲悲伤双曲线的歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数,你就是那坐标轴，虽然我们有缘，能够坐在同一平面,然而我们又无缘，漫漫长路无交点问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么?提示：坐标轴；原点问题2：过双曲线的某个焦点且平行于渐近

12、线的直线与双曲线有交点吗？提示：有一个交点双曲线的几何性质标准方程1(a0,b0）1(a0，b0）图形性质焦点（c，0)(0，c）焦距2c范围xa或xa，yrya或ya，xr顶点(a,0）（0，a)对称性关于x轴、y轴、坐标原点对称轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e(1，）渐近线yxyx等轴双曲线观察所给两个双曲线方程(1)1；（2）x2y29.问题1：两个双曲线方程有何共同特点?提示：所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等问题2：两个双曲线的离心率是多少?提示:。问题3：两双曲线的渐近线方程是什么？提示：渐近线方程yx。实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线1离心率e反映了双曲线开口的大

13、小，e越大，双曲线的开口就越大2双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线没有交点渐近线方程用a，b表示时,受焦点所在坐标轴的影响双曲线的几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程思路点拨先化方程为标准形式,然后根据标准方程求出基本量a,b，c即可得解，但要注意焦点在哪条坐标轴上精解详析由9y24x236得1，a29，b24.c2a2b213。c.顶点坐标为（3,0)，（3,0）焦点坐标为(，0),（,0)，实轴长为2a6，虚轴长为2b4，离心率为e,渐近线方程为yx。一点通求解双曲线的几何性质问题时，首先将方程化为标准方程，分清焦点所在的轴,写出a与

14、b的值，进而求出c，即可求得双曲线的性质1(湖北高考改编)已知00,b0）由题知2b12，,且c2a2b2，b6，c10，a8。所求双曲线的标准方程为1或1。（2)当焦点在x轴上时，由且a3，得b.所求双曲线的标准方程为1.当焦点在y轴上时，由且a3，得b2。所求双曲线的标准方程为1。(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点（2，2）代入，得k（2）22，双曲线的标准方程为1。一点通由双曲线的性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法，其步骤为：（1)判断：利用条件判断焦点的位置；(2）设：设出双曲线的标准方程；(3）列：利用已知条件构造关于参数的方程；（4）求：解参数方程，

15、进而得标准方程4（广东高考改编)已知中心在原点的双曲线c的右焦点为f(3，0)，离心率为，则c的方程是_解析:由题意可知c3，a2，b ，故双曲线的方程为1。答案：15已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为（3,0)，且焦距与虚轴长之比为54，则双曲线的标准方程是_解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3，0）,则焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为54，即cb54，解得c5，b4,则双曲线的标准方程是1。答案：16求中心在原点,焦点在坐标轴上,过点m(3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程解：若焦点在x轴上，则双曲线方程为1。m(3，4)在双曲线上,1。又b2a，94164a2,

16、解得a25,b220，双曲线方程为1。若焦点在y轴上,则双曲线方程为1。m(3,4）在双曲线上,1,又b2a,16494a2,解得a2，b255，双曲线方程为1.综上可知，双曲线方程为1或1。求双曲线的离心率及其范围例3(1)设abc是等腰三角形，abc120，则以a，b为焦点且过点c的双曲线的离心率为_（2)已知双曲线1（a0,b0)的右焦点为f，若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是_思路点拨（1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率，对于问题（2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有

17、且只有一个交点，则必有tan 60.精解详析（1)由题意2cabbc，ac22csin 602 c，由双曲线的定义,有2aacbc2 c2c a(1)c，e.（2)因为双曲线渐近线的斜率为k,直线的斜率为ktan 60，故有 ,所以e2，所以所求离心率的取值范围是e2。答案(1)（2)e2一点通（1)求双曲线离心率的常见方法：依据条件求出a,c，利用e；利用e ；依据条件,建立关于a，b，c的齐次关系式，消去b，转化为离心率e的方程求解（2)求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a、b、c的不等关系7(湖南高考）设f1，f2是双曲线c：1（a0，b0)的两个焦点若在c上存在一点p，使pf1pf

18、2，且pf1f230，则c的离心率为_解析：如图，由已知可得,pf12ccos 30c，pf22csin 30c,由双曲线的定义，可得cc2a，则e1。答案：18双曲线1（a0，b0)的两个焦点为f1、f2，若p为其上一点,且pf12pf2,则双曲线离心率的取值范围为_解析：如图,设pf2m,f1pf2（0 )，当p在右顶点处，e.1cos 0;利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a,a|等非负性2求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21(mn0），从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为yx，还可以将方程设为

19、(0)避免焦点的讨论对应课时跟踪训练(十一) 1（陕西高考）双曲线1的离心率为。则m_.解析：a4，b，c216m，e,m9.答案：92已知双曲线1(a0，b0），两条渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为_解析：根据题意，由于双曲线1(a0，b0)，两条渐近线的夹角为60，则可知或,那么可知双曲线的离心率为e,所以结果为2或.答案：2或3焦点为（0，6），且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是_解析：由y21，得双曲线的渐近线为yx.设双曲线方程为：y2(0)，1.236，12。故双曲线方程为1.答案:14（新课标全国卷改编）已知双曲线c：1（a0，b0)的离心率为，则c的渐近线方程为_解析：e21,，,yx。答案:yx5若双曲线1（a0，b0）的两个焦点分别为f1、f2，p为双曲线上一点,且|pf13pf2,则该双曲线离心率e的取值范围是_解析：依题意得由此解得pf2|a，pf1|3a,pf1|pf2|f1f2|,即c2a,e2.又e1，离心率e的取值范围是（1，2答案:(1，26根据下列条件求双曲线的标准方程：（1)经过点（，3),且一条渐近线方程为4x3y0。(2)p(0,6)与两个焦点的连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为.解:（1)双曲线的一条渐近线方程为4x3y0，可设双曲线方程为(0）双曲线经过点(，3)，.即