高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2.2 双曲线方程及性质的应用课后提升训练（含解析）1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精双曲线方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017天津高二检测）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为（)a。y24-x24=1b。x24-y24=1c。y24x28=1d.x28y24=1【解析】选a。由题意知：a=2，a+b=2c,又c2=a2+b2,且焦点在y轴上，选a。2.(2017德化高二检测)直线y=k(x+2）与双曲线x24y2=1有且只有一个公共点，则k的不同取值有(）a.1个b.2个c。3个d.4个【解析】选d.由已知可得，双曲线的渐近线方程为y=12x,顶

2、点(2，0)，而直线恒过(2，0），故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点。【补偿训练】（2017天水高二检测）已知双曲线方程为x2y24=1,过p（1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则共有l(）a。4条b。3条c.2条d.1条【解析】选b。因为双曲线方程为x2-y24=1,所以p（1,0）是双曲线的右顶点,所以过p（1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过p（1，0）分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条。【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近

3、线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.3。（2017全国甲卷)若双曲线c:x2a2-y2b2=1（a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2+y2=4所截得的弦长为2,则c的离心率为（）a。2b。3c.2d.233【解析】选a。圆心到渐近线bxay=0距离为22-1=3，所以2bc=3c=2ae=2.4。（2017唐山高二检测)已知双曲线x22y2b2=1(b0)的左、右焦点分别为f1,f2，其中一条渐近线方程为y=x，点p（3,y0)在该双曲线上，则pf1pf2=（）a.12b.-2c.0d。4【解析】选c

4、.由已知得，b2=2，c=2,点p为(3,1),左、右焦点坐标分别为（-2，0）,(2,0),结合向量的乘法，易知选c.5.如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列,则离心率e等于（)a.43b。107c。2013d。53【解析】选d.因为2b=a+c,所以4b2=a2+2ac+c2,4（c2a2）=a2+2ac+c2，所以3e22e5=0,所以e=53。6.已知曲线x2a-y2b=1与直线x+y1=0相交于p,q两点,且opoq=0（o为原点）,则1a-1b的值为()a。1b。2c。3d。32【解析】选b。将y=1-x代入x2a-y2b=1，得（ba)x2+2ax(a+ab)=0.设p（x

5、1，y1）,q（x2,y2)，则x1+x2=2aa-b,x1x2=a+aba-b。因为opoq=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1）(1-x2）=2x1x2(x1+x2)+1，所以2a+2aba-b-2aa-b+1=0，即2a+2ab2a+ab=0,即ba=2ab,所以1a1b=2.7.（2015天津高考)已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0）的一个焦点为f(2,0)，且双曲线的渐近线与圆x-22+y2=3相切，则双曲线的方程为()a.x29y213=1b.x213-y29=1c。x23-y2=1d。x2y23=1【解析】选d.由双曲线的渐近线bxay=0与圆(x-2）2+y2=3

6、相切可知2ba2+b2=3，又因为c=a2+b2=2,所以有a=1，b=3,故双曲线的方程为x2-y23=1。8。(2017全国乙卷)已知f是双曲线c：x2y23=1的右焦点,p是c上一点，且pf与x轴垂直，点a的坐标是(1,3)。则apf的面积为（）a.13b.12c。23d。32【解析】选d.由c2=a2+b2=4得c=2,所以f（2,0），将x=2代入x2y23=1,得y=3,所以pf=3，又a的坐标是（1,3）,故apf的面积为123(2-1)=32。二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的离心率e2，2，在两条渐近线构成的角中，设以实轴为

7、角平分线的角为,则的取值范围是_。【解析】因为e2=c2a2=a2+b2a2=1+ba2,e2，2，所以21+ba24,所以1ba3,即1tan23，所以423,223.答案：2,2310。（2016北京高考）双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0）的渐近线为正方形oabc的边oa,oc所在的直线,点b为该双曲线的焦点,若正方形oabc的边长为2,则a=_。【解析】因为正方形oabc的边长为2，所以b(22，0）,渐近线为y=x。所以c=22，a=b.又因为a2+b2=c2,所以a=b=2。答案：2【补偿训练】过双曲线x220y25=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为5,这样的直线的条数

8、为（)a。4b.3c。2d。1【解析】选d.依题意可得右焦点f（5，0),所以垂直x轴，过点f的直线是x=5。代入x220-y25=1,求得y=52，所以此时弦长=52+52=5.不是垂直x轴的,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比它长，所以这里只有一条,因为两个顶点距离=45,即左右两支上的点最短是45，所以如果是交于两支的话,弦长不可能为5，所以只有1条.三、解答题（每小题10分，共20分）11。(2017北京高二检测)已知椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有共同的焦点f1(-5,0)，f2（5，0)，并且它们的离心率e可以使方程2x2+4（2e-1)x+4e21=0有相等

9、的实根，求椭圆和双曲线的方程。【解析】因为方程2x2+4（2e-1）x+4e21=0有相等的实根，所以=4(2e-1)242（4e2-1）=0,所以e1=12，e2=32.所以双曲线中：c=5,e=32，a=103,b2=1259，双曲线方程为x21009y21259=1。椭圆中：c=5,e=12,a=10，b2=a2-c2=75,椭圆方程为x2100+y275=1.12.（2017黄石高二检测）已知双曲线3x2y2=3,直线l过右焦点f2,且倾斜角为45，与双曲线交于a,b两点，试问a，b两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦ab的长.【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置。【

10、解析】因为a=1,b=3，c=2,又直线l过点f2(2，0)，且斜率k=tan 45=1,所以l的方程为y=x2,由y=x-2,3x2-y2=3,消去y并整理得2x2+4x-7=0,设a（x1，y1),b(x2,y2）,因为x1x2=-720解得2a2且a0且a1。又因为a0,所以0a2且a1。因为双曲线的离心率e=1+a2a=1a2+1，又因为0a62且e2.所以双曲线c的离心率e的取值范围是62,2(2，+）.（2)设a(x1,y1),b（x2,y2),p(0，1）.因为pa=512pb,所以(x1，y1-1)=512(x2，y2-1）,由此可得x1=512x2.因为x1，x2都是方程(1a2)x2+2a2x-2a2=0的根，且1a20,所