高中数学 第一章 集合与函数概念能力深化提升

1、学必求其心得，业必贵于专精第一章 集合与函数概念能力深化提升类型一集合的运算【典例1】(1)（2016北京高考)已知集合a=xx2，b=-1，0，1,2,3，则ab=（)a,0，1b。0,1,2c.1，0,1d.1，0,1,2（2）(2016浙江高考改编)已知集合p=xr1x3，q=xr|x2或x2，则p(r q）=(）a。2,3b。（-2,3c.1，2)d.(,21，+)【解析】(1)选c。由题意得a=x-2x2,所以ab=-1,0,1。（2）选b. r q=x|-2x2,p（r q）=x|1x3x-2x2=x|2x3。【方法总结】集合基本运算的方法（1）定义法或venn图法:集合是用列举法

2、给出的，运算时可直接借助定义求解,或把元素在venn图中表示出来,借助venn图观察求解.(2)数轴法:集合是用不等式（组）给出的,运算时可先将不等式在数轴中表示出来,然后借助数轴求解.【巩固训练】(1)(2015全国卷)已知集合a=xx=3n+2,nn,b=6，8，10,12，14，则集合ab中的元素个数为（)a.5b.4c。3d。2（2）（2017贵阳高一检测）设集合a=xn|-1x3，b=2,bma，则满足条件的集合m的个数为（)a.1b.2c.3d.4【解析】（1)选d。因为a=2,5,8,11,14,17, ，b=6,8,10,12,14 ，所以ab=8,14 。(2）选d.a=xn

3、-1x3=0,1，2,又bma，故m=2,2,0,2,1，2，0,1,共4个.类型二函数的定义域【典例2】(2017郑州高一检测）已知全集u=r,函数y=x-2 +x+1 的定义域为a，函数y=2x+4x-3 的定义域为b.求：（1）集合a,b。（2）（ua）（ub).【解析】（1)由x-20,x+10, 得x2，则a=xx2.由2x+40,x-30, 得x2且x3,则b=xx2且x3.(2）ab=xx2且x3，所以（u a)（u b）= u (ab)=xx2或x=3。【方法总结】函数定义域的类型及相应的求解方法（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.（2）实际

4、问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义。(3）复合函数问题：若f（x）的定义域为a，b,f（g(x）的定义域应由ag（x)b解出；若f（g(x)的定义域为a,b,则f（x)的定义域为g(x）在a，b上的值域.【巩固训练】(2017北京高一检测)已知函数y=f（x+1）定义域是-2，3，则y=f（2x-1)的定义域是（）a。0,52 b.1,4c.-5,5d。-3，7【解析】选a.2x3，则-1x+14,故12x-14,解得0x52 。类型三函数的解析式的求法【典例3】（1）（2017黄山高一检测）已知f(x）是一次函数，且f（f（x）)=x+2,则f（x)=（）a。

5、x+1b.2x1c。-x+1d.x+1或x1(2）(2017上饶高一检测）若函数f（2x+1)=x22x，则f（x)=_.【解析】(1)选a.因为f（x)是一次函数，所以可设f(x）=kx+b（k0)，又因为f(f(x)=x+2，所以k(kx+b)+b=x+2，即k2x+kb+b=x+2，所以k2=1,kb+b=2，解得k=1，b=1。则f(x)=x+1。(2）令2x+1=t,则x=t-12 ,所以f(t）=t-122 2t-12=14t2-32t+54 ，所以f(x)=14 x232 x+54 。答案:14 x2-32 x+54 【一题多解】因为f（2x+1)=x2-2x=14（2x+1)2

6、32（2x+1）+54 ，所以f（x）=14 x232x+54 。答案:14 x232 x+54 【方法总结】求函数解析式的题型与相应的方法(1)已知形如f（g(x）)的表达式求f（x）的表达式,使用换元法或配凑法。（2)已知函数的类型(往往是一次或二次函数），使用待定系数法.(3）含f（x)与f（-x)或f（x）与f1x，使用解方程组法.(4）已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法.【巩固训练】已知f(x)+2f(x）=3x2,求f(x)的解析式.【解析】因为f（x)+2f（x)=3x2，以x代x得f(-x）+2f(x)=-3x2,两式联立解得f（x）=-3x23 。类

7、型四函数的图象及性质【典例4】(1）已知函数f(x）=3x+2,x-1,2,则该函数的最大值为_,最小值为_。（2）（2017兰州高一检测）函数f(x)是定义在r上的偶函数,已知当x0时,f(x)=x2+4x+3。求函数f（x）的解析式;作出函数f（x)的图象，并写出函数f（x）的单调递增区间；求f(x）在区间1，2上的值域。【解析】(1）设x1,x2是区间-1，2上的任意两个实数，且x10,所以f(x2）-f（x1）0,即f（x2）f（x1），所以函数f(x）=3x+2是区间-1，2上的增函数。因此，函数f(x)=3x+2在区间-1,2的两个端点上分别取得最小值与最大值，即当x=1时取得最小

8、值,最小值是-1，在x=2时取得最大值,最大值是8.答案:8-1（2)因为函数f（x）是定义在r上的偶函数,所以对任意的xr都有f(x）=f（x）成立,所以当x0时，x0，即f（x)=f(-x)=(x）2+4(-x）+3=x24x+3，所以f（x）=x2-4x+3,x0,x2+4x+3,x0. 图象如图所示,函数f(x）的单调递增区间为-2,0和2,+)。（写成开区间也可以) 由知函数f(x）在-1,0上单调递增,所以f(1)f（x)f(0)，即0f（x)3；在区间0,2上单调递减,所以f(2）f(x)f（0）,即1f(x)3,所以函数f(x）在区间1，2上的值域为-1,3.【方法总结】1。作

9、函数图象的方法（1)描点法:求定义域、化简、列表、描点、连光滑曲线。(2)变换法:熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转。2。函数单调性的应用(1)正向应用：若y=f（x）在给定区间上是增函数,则当x1x2时，f(x1)f（x2）；当x1x2时，f（x1）f（x2）.（2)逆向应用:若y=f(x）在给定区间上是增函数，则当f(x1)f（x2）时,x1f（x2）时，x1x2.【巩固训练】对于函数f(x）=x22|x|.（1）判断其奇偶性,并指出图象的对称性.（2）画出函数的图象,并指出单调区间和最小值。【解析】(1）函数的定义域为r,关于原点对称,f(x)=(x)2-2x=x22x|,则f(-x)=f（x）,所以f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.（2)f（x)=x22x=x2-2x=(x-1)2-1,x0,x2+2x=(x+1)2