第4章 拉普拉斯变换、连续时间

1、第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间拉普拉斯变换、连续时间 系统的系统的s域分析域分析 n4.1 引言引言 u拉普拉斯变换的优点： 1. 使微分方程的求解得到简化，将“微分”和“积分”运算 转换为“乘法”和“除法”运算。可同时给出特解和齐次 解，并自动包含初始条件； 2. 可将指数函数、超越函数及具有不连续点的函数转换为初 等函数； 3. 可将卷积运算转换为变换域中两函数的乘法运算，并建立 起系统函数； 4. 根据系统函数零、极点的分布，可以直观地考察系统的性 能特性； n4.2 单边拉普拉斯变换的定义、收敛域单边拉普拉斯变换的定义、收敛域 1. 从傅里叶变换到单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换

2、 信号f(t)若满足绝对可积条件，则其傅里叶变换一定存在。 反之其傅里叶变换不一定存在。如信号u(t)在引入冲激函数后其 傅里叶变换存在，而信号 的傅里叶变换不存在。 若给 乘以衰减因子 ，信号 ,满足绝对 可积条件，则其傅里叶变换存在。 ( )(0) t e u t ( )f t () t e ( ) t f t e 令 则 双边拉氏变换： 拉氏逆变换： 对于某些非因果信号，其单边拉氏变换也从0-时刻开始的，所 以f(t)的单边拉氏变换可以理解为f(t)u(t- 0-)的单边拉氏变换。 单边拉氏变换与傅氏的区别： 傅氏变换将时域函数f(t)变换为频率函数F() ，t和都是实 数；拉氏变换将时

3、间函数f(t)变换为复变函数F(s) ，s为复数也称 作“复频率”。 只能描述振荡的频率， s不仅能给出振荡频率， 还可以表示振荡幅度的变化。 多数情况下f(t)为因果信号，所以拉氏变换的积分下限为0， 又因为很多情况下 f(t)在0时刻前后会发生跳变，即f(0-)f(0+)， 为便于研究在t=0时刻发生跳变的现象，规定单边拉氏变换的积 分下限从0-开始，即： 单边拉氏变换 2. 单边拉氏变换的收敛域 若 则0叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过0并与虚轴j 平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收敛区，收敛区不 包括收敛轴。 时间有限信号，能量有限信号的拉氏变换一定存在，因此这 类信号在整个

4、复平面上都收敛，即收敛轴为。 对于比指数函数增长更快的函数，其单边拉氏变换不存 在，但若把这类信号限定在有限时间范围内，可以进行拉氏 变换。 3. 常用信号的单边拉氏变换 (1)阶跃函数 (2)冲激函数 (3) 指数信号 依此类推 证明：证明： (4) t n (n为正整数) n4.3 单边拉氏变换的性质单边拉氏变换的性质 1. 线性 若 则 2. 时移 若 则 证明：证明： 例例 求f1(t)=sintu(t)， f2(t)=sin(t-t0)u(t)；f3(t)=sintu(t-t0)； f4(t)=sin(t-t0)u(t-t0)的拉氏变换。 解 ：f1(t)、 f4(t)可以直接用公式

5、： 例例 f(t)如图所示， 求其拉氏变换 解 ：令 3. 频移 若 则 证明证明: 同理 4. 尺度变换 若 则 证明证明: 5. 时域微分 若 则 同理, 令 ， 则 证明证明: 依此类推，可得 例例: 求 的单边拉氏变换 解解 例例 已知 求 的单边拉氏变换 解二：解二： 解一：解一： 采用0-系统 当 在t=0点有冲激信号时，采用0+和0-系统求得的单边拉 氏变换是不同的。为不使t=0点的冲激信号丢失，单边拉氏变换 一般采用0-系统 。 若采用0+系统，则 注：因果信号与非因果信号的单边拉氏变换可能是不同的注：因果信号与非因果信号的单边拉氏变换可能是不同的 因果 非因果 因果 非因果

6、f2(t)在0点不连续 f2(t)在0点连续 例例 求f(t)的单边拉氏变换 解一：解一： 解二：解二： 6. 复频域微分 若 则 证明：证明： 推广至复频域的高阶导数 例例: 求 的单边拉氏变换 解解 7. 时域积分 若 则 证明证明: 所以 例例 求f(t)的单边拉氏变换 解解 8. 复频域积分 若 则 注：此性质要求t=0时f(t)=0 ，且 存在 证明证明: 例例: 求 的单边拉氏变换 解解 9. 周期信号的单边拉氏变换。 解 令f1(t) 表示f(t)第一周期，则 例例 已知 ， 求F(s) 解解 例例 求图示周期半波整流波形的单边拉氏变换 解一解一:f(t)的第一个周期可表示为 解

7、二：解二： 半波整流波形第一周期的波形可由两个波形叠加， 即 10. 初值定理 若f(t)及 可进行拉氏变换, 且 则 证明证明: 注注：无论采用0-还是0+系统，初值都是f(t)在t0+ 时刻的值。 如果F(s)是有理代数式，必须是真分式，即分子的阶次应低于 分母的阶次。如果F(s)不是真分式，则应利用长除法，使F(s) 出现真分式项F0(s)： 证明：设F(s)长除后为 冲激函数及其各阶导数在t0+ 时刻全为0，于是 11. 终值定理 若f(t)及 可进行拉氏变换, 且 则 函数存在终值的条件是F(s)的所有极点在s平面的左半面， F(s)可以有在原点处的单极点。 证明证明: 由 例例 (

8、1) (2) (3) (4) F(s)的极点位于右半平面，因而终值不存在 F(s)的一阶极点位于原点和虚轴的 处，因而终值不 存在。 12. 卷积定理 若 则 证明证明: n4.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 单边拉氏变换只考虑t0的时间函数，若已知拉氏变换F(s)及 其收敛域，则逆变换式f(t)只有在t0时表达式被唯一确定。对 于t0的表达式，若收敛域包括， f(t) 0；若收敛域不包括 ， f(t)不定。 1. 部分分式分解 含有高阶导数的线性、常系数微分方程经拉氏变换后变为两 个s的多项式之比，称为s的有理分式： (1) F(s)只具有单极点 umn 则 例例 已知已知 ，求F(s)的

9、单边拉氏逆变换 解解 umn 当mn时，利用长除法将分子多项式的高次项提出，对余下 的mn部分处理同上。 对提取的sr部分（0rm-m），利 用微分性质： 例例 已知函数 ， 求原函数f(t)。 解解 (2) F(s)有重极点 umn 其中, s=p1是F(s)的k阶极点, 由F(s)可展开为 式中, 是展开式中与极点p1无关的部分。 例例 已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换。 解解 例例 已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换。 解解 (3) F(s)有复极点 令K1=A+jB， K2=A-jB 设 分子s多项式的系数为实数 ，则 例例 已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换f(t)。 解解 例例

10、已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换f(t)。 解解 例例 解解 2. 通分法 umn (2) 例例 (1) 3. 留数法 若pi为一阶极点 若pi为k阶极点 例例 已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换。 解解 n4.5 用单边拉氏变换法分析电路、用单边拉氏变换法分析电路、s域元件模型域元件模型 用拉氏变换求解线性微分方程， 可以把对时域求解微分方程 的过程， 转变为在复频域中求解代数方程的过程， 再经拉氏反 变换得到方程的时域解。 例例 t=0以前，开关位于“1”，电路处于稳定状态， t=0时刻，开 关 转至“2”，写出i(t)及其一阶导数在t=0-、 t=0+时刻的值，并求响 应i(t)。 解

11、一解一 解二解二 例例 t=0以前，开关位于“1”，电路处于稳定状态， t=0时刻，开 关 转至“2”，并求响应vo(t)。 解一解一采用0-系统 因此，此题实际上采用的是0+系统 解二解二 采用0+系统 若采用0- 系统 因此，当因此，当0-和和0+时刻电路的参数不同时，不能用一个方程对时刻电路的参数不同时，不能用一个方程对 系统进行描述，采用系统进行描述，采用0-系统解微分方程会产生错误，此时应采系统解微分方程会产生错误，此时应采 用用0+系统。系统。 例例 t=0以前，开关位于“1”，电路处于稳定状态， t=0时刻，开 关 转至“2”，并求响应vo(t)。 解解 例例 给定系统微分方程

12、已知激励信号 对应的响应 求系统的起始状态 、 ，及系统的零输入响应、零状 态响应。 解解 R、L、C元件的s域模型 设R, L, C元件的时域电压电流参考方向关联 若R, L, C元件的时域电压电流参考方向非关联 例例 电路如图, 已知e(t)=10 V；vC(0-)=-5 V， iL(0-)=4 A， 求i1(t)。 解解 列网孔方程： (1) 零状态响应， vC(0-)=iL(0-)=0 (2) 零输入响应， e(t)=0 n4.6 系统函数系统函数H(s) 系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比（冲激响 应的拉氏变换）叫做“系统函数” 若R(s)与E(s)位于同一端口，H(s)称

13、为“策动点函数”或“驱 动 点函数”；若R(s)与E(s)不在同一端口，则H(s)称为“转移函数” p对于一个网络，可以列写网络的节点或网孔方程： 若仅当n=j时Ej(s) 0，则 例例 已知所有电容都为1F，所有电阻都为1，求 解解 n4.7 H(s)零、极点分布与时域特性、稳定性的关系零、极点分布与时域特性、稳定性的关系 H(s)的零点在复平面上用“”表示，极点用“”表示，在同 一 位置画两个相同符号表示二阶。 1. H(s) 零、极点分布与h(t)波形特征的对应关系 H(s)与h(t)是一对拉氏变换对, 只要知道H(s)的零、 极点在s平 面上分布情况， 就可以知道h(t)的变化规律。

14、H(s) 极点分布与阶次决定h(t)波形 (1) H(s)的极点位于s左半平面 (2) H(s)的极点位于右半平面 (3) H(s)的极点位于原点 (6) H(s) 的极点位于虚轴 由以上各式可以看出， H(s)的全部极点位于左半平面，则 h(t)的波形为衰减形式；若H(s)有极点位于右半平面，则h(t)的波 形为增长形式；虚轴上的一阶极点对应的h(t)波形成等幅振荡、 阶跃函数或冲激串形式；虚轴上的二阶极点对应的h(t)波形成增 长形式。 H(s)的零点分布情况影响h(t)的相位和幅度，零点阶次的变化 不但影响h(t)的相位和幅度，还可能使时域波形出现冲激函数。 2. H(s) 、 E(s)

15、极点分布与自由响应、强迫响应的对应关系 自由响应自由响应强迫响应强迫响应 由系统函数H(s) 的极点pi决定的响应称为“自由响应”，由 激 励函数E(s)的极点pk决定的响应称为“强迫响应”，但pi和pk只 能 决定“自由响应”和“强迫响应”的形式，其系数Ki和Kk由H(s) 和 E(s)共同决定。 对于方程组，定义系统行列式的根为系统的“固有频率 （自由频率）”， 位于H(s) 的分母，所以H(s) 的极点pi都是 系统的固有频率，对应自由响应。 H(s) 的零、极点可能相消，被消去的固有频率将不存在， 而零输入响应要求表现出全部固有频率，所以H(s) 只适用于研 究零状态响应，不适于研究零

16、输入响应。 例例 电感与电容的初始储能为iL(0-)和vC(0-)，输入为i(t)，输出为 iL(t)，求系统函数，零输入响应与零状态响应。 3. 暂态（瞬态）响应与稳态响应 暂态响应指激励接入后，完全响应中暂时出现的部分，随着t 的增加，暂态响应最终趋于0。稳态响应是完全响应中减去暂 态响应的剩余部分，稳态响应不随t的增加而消失。 暂态响应、稳态响应与自由响应、强迫响应的关系 H(s)极点 左半平面自由响应（衰减）暂态响应 右半平面自由响应（增长） 虚轴自由响应（等幅振荡、增长） 稳态响应 E(s)极点 左半平面强迫响应（衰减）暂态响应 右半平面强迫响应（增长） 虚轴强迫响应（等幅振荡、增长

17、） 稳态响应 例例 若激励信号v1(t)=10sintu(t)，求响应v3(t)并指出自由响应、强 迫响应、暂态响应和稳态响应。 解解 自由、暂态自由、暂态强迫、稳态强迫、稳态 n4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性由系统函数零、极点分布决定频响特性 “频响特性”指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号 频 率的变化情况，包括“幅频特性”和“相频特性”两个方面。 令 若 则 幅频特性 相频特性 设 例例 求所示RC高通滤波网络的频响特性。 例例 求所示RC低通滤波网络的频响特性。 例例 设图中运算放大器输入阻抗为，输出阻抗为0， (1) 求系统函数H( ) (2) 若系统稳定，求放大系数K

18、的范围；在边界稳定时，求冲激 响应h(t) n系统稳定时， H( )分母各项系数大于0 n边界稳定时K3 (3) 若K=1，分析其频率特性 (4) 若运算放大器开环（断开反馈电容C）， K=1，比较闭环与 开环的滤波特性 对比发现，接入正反馈后可使滤波器的带宽增加，过渡带 减小，性能得到提高。 例例 求所示二阶RC系统的频响特性，其中R1C1 R2C2 。 较低时， ， ， ， ， ， ，起主 要作用 ，系统呈高通特性。 较高时， ， ， ， 起主要作用 ，系统呈 低通特性。 处于中间频率 时， ， ， ， n4.9 二阶谐振系统的二阶谐振系统的s平面分析平面分析 谐振频率 令 (1) (2)

19、 (3) (4) 对于高Q（ Q 10）情况， ，p1，p2非常靠近虚轴， 当 位于 附近时 令 例例 分析下图的幅频与相频特性 解解 极点零点 u若系统的零、极点非常靠近虚轴 极点 零点 n4.10 全通函数与最小相移函数的零、极点分布全通函数与最小相移函数的零、极点分布 全通函数的零、极点分布全通函数的零、极点分布 如果系统函数的零点位于右半平面，极点位于左半平面，且 零、极点关于虚轴镜象对称，这种系统函数称为全通函数。对 于所有频率，其幅频特性为常数。 最小相移函数的零、极点分布 系统函数的零点仅位于左半平面或虚轴的函数“最小相移函 数”；部分零点位于右半平面的函数称为“非最小相移函数”

20、； 全 部零点位于右半平面的函数称为“最大相移函数”。 最小相移函数 最大相移函数 非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积 设H(s)位于右半平面的零点为： 与右半平面的零点镜象对称的点为： 最小相移函数 全通函数函数 n4. 11 线性时不变系统线性时不变系统的因果性与稳定性的因果性与稳定性 1. 因果性 2. 稳定性 p时域定义 ： 线性系统稳定性的充要条件 证明： 因为稳定系统对于有界输入，其输出也是有界的，因此 若系统稳定，则有 ，但这是系统稳定的必要条件而 非充分条件。 ps域定义： (1) 稳定系统：H(s)全部极点位于左半平面（不含虚轴）。 (2) 不稳定系统：H(

21、s)全部或部分极点位于右半平面，或在虚 轴上具有二阶以上的极点，h(t)随t增长而增长。 (3) 临界稳定系统： H(s)的一阶极点位于虚轴上， h(t)趋于一个 非零常数、等幅振荡或冲激序列。 系统因果性和稳定性概念的比较 系统在t0时刻的响应只与tt0的时刻有关，而与未来的时 刻无关的系统称为因果系统。系统的稳定性指对应于有界的 输入，系统的输出亦有界。 这一概念适用于所有类型所有类型系统。而前面所讲到的因 果性和稳定性的条件只适用于线性时不变线性时不变系统，在对系统的因 果性和稳定性进行判断时应注意适用条件。 例例 系统冲激响应为 ，试判断其因果性和稳定性。 方法一方法一：h(t)的值只

22、与当前时间t有关，所以是因果系统，当t为 有限值时h(t)的值亦有限，因而系统是稳定的。 方法二方法二：t0时， h(t) 0，所以是非因果系统， ，所以系统是不稳定的。 两种不同的方法得出了两个不同的结论，方法一的原理适用 于所有类型的系统，方法二的原理只适用于线性系统同，而 是非线性系统，所以方法二得出了错误的结论。 例例 已知 ，求系统稳定时k应满足什么条件 解解 系统稳定则极点位于左半平面 (1)若有两实根， 则 (2)若有两复根， 则 二阶稳定系统，二阶稳定系统，H(s)分母多项式系数全部为正，二阶以上稳定分母多项式系数全部为正，二阶以上稳定 系统不适用本结论。系统不适用本结论。 例例 求带有反馈的系统函数H(s) 反馈量与输入量同相为正反馈，反相为负反馈。反馈量与输入量同相为正反馈，反相为负反馈。 若输入信号消失仍能维持稳定输出，此时为正反馈，产生了 自激，即 例例 设图中运算放大器输入阻抗为，输出阻抗为0 的幅频特性见右图，可见RC构成 选频网络， n边界稳定时K3，对于频率0， ，对于其它频率 此时系统产生了自激振荡，从表面上看系统自激振荡时不需 要输入信号，实际上系统自激振荡时的输入信号中含有 ，其 频谱包含无穷多的频率分量，通过选频网络将振荡频率以外的频 率分量全部滤除，只输出振荡频率分量，输出又通过反馈回路送 入