空间向量求角

1、3.2.3立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 空间空间“角角”问题问题 空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角 一、复习引入一、复习引入 用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问

2、题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。 （化为向量问题）（化为向量问题） （进行向量运算）（进行向量运算） （回到图形）（回到图形） 范围：范围： 0, 2 A B CD 1 D | 一、线线角：一、线线角： ab ，ab ， 设直线的方向向量为 ，的方向向量为CAaBbD a a b b 异面直线所成的锐角或直角异面直线所成的锐角或直角 思考：思考：空间向量的夹角与空间向量的夹角与 异面直线的夹角有什么关系？异面直线的夹角有什么关系？ 结论：结论： coscos,CD AB | 题后感悟如何用坐标法

3、求异面直线所成的如何用坐标法求异面直线所成的 角？角？ (1)建立适当的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系； (2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；找到两条异面直线的方向向量的坐标形式； (3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向利用向量的夹角公式计算两直线的方向向 量的夹角；量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线结合异面直线所成角的范围得到异面直线 所成的角所成的角 直线与平面所成角的范围： 0, 2 结论：结论：sin |cos,| n AB 二、线面角：二、线面角： 直线和直线在平面内的射影所成的直线和直线在平面内的射影所成的， 叫做这条直线和这个平面所成的角

4、叫做这条直线和这个平面所成的角. 思考：如何用空间向量的夹角思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？表示线面角呢？ n 2. 线面角线面角 u a u l a 设直线设直线l的方向向量为的方向向量为 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ，且，且 直线直线 与平面与平面 所成的角为所成的角为 ( ),则则 a u l0 2 sin a u a u ua, 2 2 , ua 2如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰的底面为等腰 梯形，梯形，ABCD，ACBD，垂足为，垂足为H，PH是是 四棱锥的高，四棱锥的高，E为为AD中点中点 (1)证明：证明：PEBC； (2)若若APBAD

5、B60，求直线，求直线PA与平与平 面面PEH所成角的正弦值所成角的正弦值 二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足： 3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在在 两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这 两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。 10 l O A B :0,范 围 三、面面角：三、面面角： 二面角的计算几何法：二面角的计算几何法： 1、找到或作出二

6、面角的平面角找到或作出二面角的平面角 2、证明证明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小计算出此角的大小 一一“作作”二二“证证”三三“计算计算” 16 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 探究方法探究方法 l A O B OBOA,二面角 OBOAAOB, 问题问题1： 二面角的平面角二面角的平面角 能否转化成向量的夹角？能否转化成向量的夹角？ AOB 三、面面角：三、面面角： 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 探究方法探究方法 12 ,n n 二面角 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在在 二面角

7、的面内且垂直于二面角的棱二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角的夹角. ,ABl ABCDl CD coscos, AB CD AB CD AB CD D C B A 方向向量法：方向向量法： 设二面角设二面角- -l- -的大小为的大小为，其中其中 l 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 探究方法探究方法 问题问题2： 求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与 平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半 平面的法向量有没有关系？平面的法向量有没有关系？ a n l 1 n 2 n 探究方

8、法探究方法 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 21,n n 12 12 12 coscos, nn n n n n 探究方法探究方法 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 21,n n 12 12 12 coscos, nn n n n n 探究方法探究方法 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 问题问题3： 法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么 时候互补？时候互补？ 再次演示课件再次演示课件 l l 法向量法法向量法 1 n 1 n 2 n 2 n 12 n n ， 12 n n ， cos 12 cos,

9、 n n cos12 cos, n n 关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围 21, coscosnn结论： 注意法向量的方向：注意法向量的方向：同进同进 同出，二面角等于法向量同出，二面角等于法向量 夹角的补角；夹角的补角； 一进一出，二面角等于法一进一出，二面角等于法 向量夹角向量夹角 实践操作实践操作 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤： 1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；）建立坐标系，写出点与向量的坐标； 2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的）求出平面的法向量，进行向量运算求

10、出法向量的 夹角；夹角； 3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或 钝角，得出问题的结果钝角，得出问题的结果 小结小结 注意：注意： (1)用法向量法求二面角时，注意结合图形确定用法向量法求二面角时，注意结合图形确定 二面角是钝二面角还有锐二面角（或利用二面角是钝二面角还有锐二面角（或利用“同同 进同出，二面角等于法向量的夹角的补角，一进同出，二面角等于法向量的夹角的补角，一 进一出，二面角等于法向量的夹角进一出，二面角等于法向量的夹角”） (2) 用方向向量法求二面角时，应先在二面角的用方向向量法求二面角时，应先在二面角的 二个半平面内分别找

11、（或作）出与棱垂直的两二个半平面内分别找（或作）出与棱垂直的两 直线，再利用直线方向向量计算；直线，再利用直线方向向量计算； (3)保证计算过程的准确性，一失足，千古恨保证计算过程的准确性，一失足，千古恨 课堂训练与检测：课堂训练与检测： 如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90， SO面面OABC，且，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：。求： 异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值，所成的角的余弦值， OS与面与面SAB所成角所成角的正弦值的正弦值 ， 二面角二面角BASO的余弦值。的余弦值。 则A（2，0，0）； 于是我们有 O A B C

12、 S 解：如图建立直角坐标系， x y z =（2，0，-1）； SA=（-1，1，0）；AB =（1，1，0）；OB=（0，0，1）； OS B（1，1，0）； S（0，0，1）， C（0，1，0）； O（0，0，0）； 02 0 zx yx 令x=1，则y=1，z=2；从而 )2 , 1 , 1 (n 3 6 61 2 ,cossin nOS nOS nOS （2）设面SAB的法向量),(zyxn SAnABn, 显然有 O A B C S x y z OBSA OBSA OBSA ,cos. 5 10 25 2 .由知面SAB的法向量 =（1，1，2） 1 n 又OC面AOS， OC 是面AOS的法向量， 令 )0 , 1 , 0( 2 OCn 则有 6 1 ,cos 21 21 21 nn nn nn 由于所求二面角的大小等于 21,n n O A B C S x y z