连续型随机变量常见的几种分布

1、1 连续型随机变量几种常见分布连续型随机变量几种常见分布 2 三三. 几种常见的连续型随机变量的分布几种常见的连续型随机变量的分布 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度 f (x)为：为： 1. 均匀分布均匀分布 ( )f x bxa ab 1 0其其它它 则则称称 X 在区间在区间 (a, b)上服从上服从均匀分布均匀分布 (或等概率分或等概率分 布布) 记作记作 X U(a, b) 注注: 0 1 .( )0 ,f x 0 2 .( )1f x dx ( )f x 易证易证满足：满足： 3 ab ( )f x 1 ba 0 ( )f x的图形：的图形： X 落在区

2、间落在区间 (a, b) 中任意等长度的子区间的可能性中任意等长度的子区间的可能性 是相同的，即它落在子区间的概率只依赖于子区是相同的，即它落在子区间的概率只依赖于子区 间的长度而与子区间的位置无关间的长度而与子区间的位置无关. 均匀分布的概率意义均匀分布的概率意义: 4 证证: ),(),(badc 设设 d c dxxfdXcP)()(dx ab d c 1 )( 1 cd ab 即即 X 落在落在 (c, d ) 内的概率只与内的概率只与 (c, d) 的长度有关的长度有关, 而与而与(c, d) 在在 (a,b) 中的位置无关中的位置无关. 均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情

3、形： 比如比如: 在数值计算中，由于四舍五在数值计算中，由于四舍五 入入,小数点后某一小数点后某一 位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后 通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等. 5 由分布函数由分布函数定义定义可得：若可得：若X 服从均匀分布，则服从均匀分布，则 X 的分布函数为的分布函数为: ( )F x ax0 bxa ab ax bx 1 图形图形: 1 a b 0 ( )F x x 6 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班分钟来一班 车，即车，即 7:00

4、，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车等时刻有汽车 到达此站，如果乘客到达此站时间到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的之间的均匀均匀随机变量随机变量 (1) 乘客候车时间少于乘客候车时间少于 5 分钟的概率分钟的概率 (2) 乘客候车时间超过乘客候车时间超过10分钟的概率分钟的概率 例例1. 试求：试求： 7 解：解： X U ( 0, 30 ) 设以设以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位 1 030 ( )30 0 x f x 其其它它 为使候车时间为使候车时间X 少于少于 5 分钟，分钟， 乘客必须在乘客必须在 7:10 到到 7:1

5、5 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站. 从上午从上午7时起，时起， 每每15分钟来分钟来 一班车，即一班车，即 7:00，7:15， 7:30 等时刻有汽等时刻有汽 车到达汽站车到达汽站 故所求概率为：故所求概率为： 10152530PXPX 依题意，依题意， 1530 1025 111 30303 dxdx 8 候车时间超过候车时间超过10分钟分钟,则乘客必须在则乘客必须在7:00到到7:05或或 7:15到到7:20之间到达车间之间到达车间 )50(xP)2015( xP dxdx 20 15 5 0 30 1 30 1 3 1 9 2. 指数分布指数

6、分布 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度 f (x)为：为： 0 ( ) 0 x ex f x 其其它它 注注: : 0 1 .( )0 ,f x 0 2 .( )1f x dx ( )f x 易证易证满足：满足： 为常数为常数0 其中其中 则则称称 X 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布 10 1 ( 0 ) 0 x x ex F 其其它它 由分布函数由分布函数定义定义可得：若可得：若X 服从指数分布，则服从指数分布，则 X 的分布函数为的分布函数为: 指数分布的性质指数分布的性质(无记忆性无记忆性) 若若X 服从指数分布，则：服从指数分布，则： 对任意的

7、对任意的 ,0s t 有：有： P XstXsP Xt 若设若设X是某一元件的寿命，则上式表明：元件是某一元件的寿命，则上式表明：元件 对它已使用过对它已使用过 小时没有记忆。小时没有记忆。s 指数分布的图形特点指数分布的图形特点 11 某仪器装有某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件，只独立工作的同型号电子元件， 其寿命其寿命(单位单位:h)都服从同一指数分布，概率密都服从同一指数分布，概率密 度为度为 仪器在使用的最初仪器在使用的最初200h内，至少有一个元内，至少有一个元 件损坏的概率件损坏的概率 例例2. 试求：试求： 200 1 0 ( ) 200 00 x ex f x x 12

8、正态分布是应用最广泛的正态分布是应用最广泛的 一种连续型分布一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由数正态分布在十九世纪前叶由数 学家高斯加以推广，所以通常也称学家高斯加以推广，所以通常也称 为高斯分布为高斯分布. . 德莫佛德莫佛 数学家德莫佛最早发现了二项数学家德莫佛最早发现了二项 分布的一个近似公式，这一公式被分布的一个近似公式，这一公式被 认为是认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面. 3. 3. 正态分布正态分布 高斯高斯 13 (1). 正态分布的定义正态分布的定义 若随机变量若随机变量 X 的的概率密度为：概率密度为： 2 ( ,)XN 记作记作 : f (x) 所确定的曲

9、线叫作所确定的曲线叫作正态曲线正态曲线. 2 2 () 2 1 ( ), 2 x f xex 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， 0， 则则 称称 X 服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. 2 2 其中其中: : 14 (2). 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 2 ( ,)N 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形对称的钟形 曲线，曲线，特点特点是是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称” 15 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形 中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特

10、点的图形特点 2 ( ,)N 16 由密度函数的表达式，由密度函数的表达式，分析分析正态分布的正态分布的图形特点图形特点 2 2 () 2 1 ( ), 2 x f xex 即整个概率密度曲线都在即整个概率密度曲线都在 x 轴的上方轴的上方. . (3)(3) ( )0f x 显然显然: : 以以为对称轴，并在为对称轴，并在 处达到最处达到最 大值大值: : x ( )f x 1 () 2 f 17 令令: : x=+ +c, x=- -c (c0) f (+ +c ) = f (- -c) 且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f () 证明证明: : 分别代入分别代入 可得可

11、得: : ( )f x 以以为对称轴，并在为对称轴，并在 处处 达到最大值达到最大值 x ( )f x故得故得: : 这说明：这说明：曲线曲线 f (x)向左右伸展时，越来越贴近向左右伸展时，越来越贴近 x 轴。即轴。即 f (x)以以 x 轴为渐近线。轴为渐近线。 因为当因为当 x 时，时，f (x) 0 f (x)以以 x 轴为渐近线轴为渐近线 18 ( (对对 f (x)求导即可求得求导即可求得) ) 为为 f (x)的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标x = (4).(4). 正态分布的分布函数正态分布的分布函数 由分布函数定义得出正态分布，若由分布函数定义得出正态分布，若 则则 分布

12、函数是分布函数是X 2 2 () 2 1 ( ), 2 t x F xedtx ),( 2 NX 其图形为其图形为: 19 2 2 () 2 1 ( ), 2 t x F xedtx 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定， 当当 和和不同时，对应的是不同的正态分布。不同时，对应的是不同的正态分布。 20 下图是用某大学男大学生的身高的数据画出下图是用某大学男大学生的身高的数据画出 的频率直方图的频率直方图: 红线红线 是拟是拟 合的合的 正态正态 密度密度 曲线曲线 可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。 21 人的身

13、高高低不等，但中等身材的占大多数，人的身高高低不等，但中等身材的占大多数， 特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人 数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分 布的随机变量的特点。布的随机变量的特点。 22 除了前面介绍的身高外除了前面介绍的身高外, ,在正常条件下年降雨量；在正常条件下年降雨量； 各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强 度和张力；农作物的产量，如小麦的穗长、株高；度和张力；农作物的产量，如小麦的穗长、株高； 测量误差，如射击目标的水平或垂直偏差；信号测

14、量误差，如射击目标的水平或垂直偏差；信号 噪声等等，都服从或近似服从正态分布噪声等等，都服从或近似服从正态分布. . 23 标准正态分布标准正态分布下面介绍一种最重要的正态分布下面介绍一种最重要的正态分布 (5).(5).标准正态分布标准正态分布 其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示： ( )x ( )x 2 2 1 ( ), 2 x xex 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 01, 的正态分布为的正态分布为标准正态分布标准正态分布. . 称称 其图形为其图形为: 24 ( ) x ( ) x 密度函数密度函数( )x ( )x 分布函数分布函数 25 (

15、一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态分布与标准正态分布的关系) 引理引理:),( 2 NX若若)1 , 0(:N X Z则则 证明证明: :的分布函数为的分布函数为 X Z 作一个线作一个线 性变换性变换 )(xZP() x Px ()P Xx 标准正态分布的标准正态分布的重要性重要性 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换 转化为标准正态分布转化为标准正态分布. . x 26 2 2 () 2 1 2 t x edt 2 2 1 ( ) 2 u x edux (0,1)ZN 由此可得由此可得: 若若 2 ( ,),XN )(xF )(xXP )(

16、 xX P () x t u 令令 即证得：即证得： 则其分布函数则其分布函数( ):F x 27 关于正态分布表关于正态分布表 ()1( )xx 2 2 1 ( ) 2 t x xedt xx 表中给出的是表中给出的是 时时, (x)的值的值. 0 x 当当 时有：时有：0 x 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了 它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. . 28 (0,1) (|)21( ) (|)2 ( )1 XN PXaa PXaa 设设，对对于于任任意意的的正正实实数数有有 (0,1),| 1.5,| 1.9

17、6 XNPXPX 求求 例例 设设 29 2 ( ,),XN X Y N(0,1) )( b Y a P)(bXaP ()() ba 若若 则有：则有： )()()(abbXaP 若若 XN (0,1),则有：则有： 30 对对任意区间任意区间 12 (,xx )( 21 xXxP 12 () xxX P 则有：则有： 2 () x )( 1 x 31 由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明：这说明：X 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在 - -3, 3 区间区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3% 当当XN(

18、0,1)(0,1)时，时， P( |X| 1) = 2 ( (1)- )- 1 = = 0.6826 P( |X| 2) = 2 ( (2)- )- 1 = = 0.9544 P( |X| 3) = 2 ( (3)- )- 1 = = 0.9974 (6) (6) 3 3原则原则 32 将上述结论将上述结论推广到推广到一般的正态分布一般的正态分布, ,有：有： ),( 2 NY 时时， (|)0.6826P Y (| 2 )0.9544P Y (| 3 )0.9974P Y 可以认为：可以认为： Y Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在 区间内。这在统计学上称作区间内。这在统计学上称作

19、“3 3 准则准则” （三倍标准差原则）（三倍标准差原则） 3,3 33 已知自动车床生产的零件的长度已知自动车床生产的零件的长度X(毫米毫米)服从正服从正 态分布态分布 )75. 0 ,50( 2 N,如果规定零件的长度在如果规定零件的长度在 5 . 150 毫米之间为合格品毫米之间为合格品. 求求:生产零件是合格品的概率生产零件是合格品的概率 解解:)75. 0 ,50( 2 NX 例例3 3. . )5 . 150( XP)5 .515 .48( XP 51.550 () 0.75 所求的概率为： 所求的概率为： 48.550 () 0.75 )2()2( )2(1()2( 1)2(2

20、19772. 02 9544. 0 34 例例4. ),5 ,27( 2 NX 从旅馆到飞机场沿从旅馆到飞机场沿 A 路走路走(路程短，交通拥挤路程短，交通拥挤) 所需时间所需时间(分钟分钟)沿沿 B 路走（路程路走（路程 )2 ,30( 2 NY 长，阻塞少长，阻塞少) )所需时间所需时间(分钟分钟) 若现在只有若现在只有 30分钟分钟. 问：问：分别选择哪一条路为好分别选择哪一条路为好? 解解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好小的路线为好. 当只有当只有30分钟可用时分钟可用时: A 路路: )30(XP)30(1 XP 30

21、27 1() 5 1(0.6) 7257. 01 2743. 0 35 B 路路:)30( YP)30(1 YP 3030 1() 2 5 . 01 5 . 0 结论：此时应选择结论：此时应选择A A路路 液体的温度液体的温度X )5 . 0 ,( 2 dNX( (以以计计) )是一个随机变量，且是一个随机变量，且 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的将一温度调节器放置在贮存着某种液体的 容器内，调节器调整在容器内，调节器调整在 0 d C 例例5. (1) 若若90 d, 求求 X 小于小于89的概率的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为若要求保持液体的温度至少为80的概率的概率 不低

22、于不低于0.99，问问 d 至少为多少至少为多少? ? 36 解解: (1)(89)P X ) 5 . 0 9089 5 . 0 90 ( X P ) 5 . 0 80 5 . 0 (1 ddX P 80 1() 0.5 d ) 5 . 0 9089 ( )2(1)2( 0288. 09772. 01 (2) 按题意需求按题意需求d满足满足: ) 5 . 0 80 5 . 0 ()80(99. 0 ddX PXP 37 反查正态分布表，由于表中无反查正态分布表，由于表中无0.01的的)(x 的值的值 故采用如下方法处理故采用如下方法处理: ()1( )uu ( )1()uu ()0.99u 查

23、表可知查表可知:33. 2u 由此可得由此可得: 80 2.33 0.5 d 81.165d 80 () 0.5 d 即即01.099.01 故得：故得： 1()0.01u 现现 38 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶公共汽车车门的高度是按男子与车门顶 碰头机会在碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的. .设男子身高设男子身高 XN( (170, ,62) ) 设车门高度为设车门高度为 h cm P(X h)0.01 或或 P(X h) 0.99， 的最小的的最小的 h 例例6.6. 问：问：应如何确定车门高度应如何确定车门高度 解解: : 按设计要求即求按设计要求即求满足满足： 39

24、因为因为: :XN( (170, ,62),), 170 ()0.99 6 h 故故: : 查表得查表得: : 所以所以: : 即即: h = 170 + 13.98 184 结论结论: : 设计车门设计车门 高度为高度为 184 厘米厘米 时，可使男子与时，可使男子与 车门碰头机会不车门碰头机会不 超过超过0.01. . P(X h ) 0.99 求满足求满足的最小的的最小的 h . 170 (0,1) 6 X N 所以所以: : 170 2.33 6 h ()P Xh (2.33)0.99010.99 40 设电池的寿命设电池的寿命X(单位单位:h)服从正态分布服从正态分布 N(300,3

25、52),求求 这种电池的寿命在这种电池的寿命在250h以上的概率以上的概率 (1) 求一个最小的正整数求一个最小的正整数x，使电池寿命，使电池寿命X在区在区 间间(300-x,300+x)内取值的概率不小于内取值的概率不小于0.901 例例7.7. 41 1. 定义定义 ),1 , 0( NX(),uP Xu 若若满满足足条条件件 ,10 则则 称称点点 为标准正态分布的为标准正态分布的上上u 分位点分位点. 2. 图形图形: 面面 积积 为为 四四. 关于关于 分位点的概念分位点的概念 u x ( )x 0 以以 点右侧面积总点右侧面积总 和和 它就是所它就是所 有比有比 大的概率大的概率.

26、 u , u 单侧单侧 分位点分位点 42 注注: 比如比如: 0.05 u (10.05)u (0.95)1.645u 反过来可以验证反过来可以验证:(1.645)110.050.95 0.005 u (10.005)u (0.995)2.57u ()( ) u uf x dx 1 用整块面积减去点用整块面积减去点 以后的那块面积以后的那块面积 u 附表上可查的从附表上可查的从 到到 的那块面积的那块面积 从正态分布表上从正态分布表上如何求如何求 的值的值:u , 对于给定对于给定的的 则则: u 点点(1) 概率概率u所对应的所对应的值值 又比如又比如: 43 ( 同样可以验证同样可以验证

27、:(2.57)10.0050.995 ) 0.001 u (10.001)u (0.999)3.01u 2 u 则称则称 为标准正态分布的为标准正态分布的 双侧双侧 分位点分位点. 图形图形: 两小面积相加两小面积相加 之和之和 = 又比如又比如: 3. 双侧双侧 分位点的定义分位点的定义 若若 0 x ( )x 2 u 2 u 2 ()P Xu 44 0.05 2 2 uu 0.05 (1) 2 u (0.975)1.96u 0.5 (1) 2 u(0.75)0.67u (0.67)0.5,0.67,0.67 ()0.5, ()0.25, 0.670.67 P Xxx 即即表表明明 之之后后的的两两小小块块面面积积之之和和 概概率率 为为而而每每一一 小小块块面面积积 概概率率 为为它它所所对对应应的的点点分分别别为为 与与 比如比如: 0.5 2 2 uu 注意注意: 在后续的统计学中还将介绍在后续的统计学中还将介绍 2 ( )n tF 分布分布, 分布分布,分布分布 的上的上 分位点的概念分位点的概念 45 上一讲我们已经看到，当上一讲我们已经看到，当n很大，很大，p接接 近近0或或1时，二项分布近似泊松分