解直角三角形应用举例

1、解直角三角形应用解直角三角形应用 -测高问题测高问题 铅 垂 线俯角 仰角 水平线 视线 视线 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上 方的角叫做方的角叫做仰角仰角。视线在水平线下方的角叫做。视线在水平线下方的角叫做 俯角俯角。强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的 角。角。 在假期里，同学们约好一起去爬山，他们走进大门在假期里，同学们约好一起去爬山，他们走进大门 后远远望见山顶的后远远望见山顶的C C处都觉得它好远好高，能爬上去不处都觉得它好远好高，能爬上去不 容易，出发时大家都充满信心，但是有的同学在爬的过

2、容易，出发时大家都充满信心，但是有的同学在爬的过 程中由于体力不支，在半山腰程中由于体力不支，在半山腰B B处就停下来，有的同学处就停下来，有的同学 则克服困难，坚持着爬到山顶则克服困难，坚持着爬到山顶C C处，处， 大门 ED C B A 例题例题 大门 ED C B A 如果此山的高度为如果此山的高度为500500米，在米，在A A处测得处测得C C处的仰处的仰 角为角为4545，如果要从顶点，如果要从顶点C C处到大门处到大门A A处建立一条处建立一条 空中索道，那么这条索道需要多少米？请你帮助空中索道，那么这条索道需要多少米？请你帮助 算一算。如果半山腰算一算。如果半山腰B B处的垂直

3、距离是处的垂直距离是200200米，米，A A 处到垂足处到垂足E E处的距离是处的距离是200 200 米，那么米，那么B B处的俯角处的俯角 是多少？是多少？ 3 M 练习：练习： 如图如图4,河对岸有水塔河对岸有水塔AB.在在C处测处测 得塔顶得塔顶A的仰角为的仰角为30,向塔前进向塔前进12m到达到达D, 在在D处测得处测得A的仰角为的仰角为45,求塔高求塔高. DC B A 4530 12m 图图4 图图4 解题步骤小结解题步骤小结 1 1、首先要弄清题意，结合实际问题中的示、首先要弄清题意，结合实际问题中的示 意图分清题目中的已知条件和所求结论。意图分清题目中的已知条件和所求结论。

4、 2 2、找出与问题有关的直角三角形，或通过作、找出与问题有关的直角三角形，或通过作 辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题 转化为解直角三角形的问题。转化为解直角三角形的问题。 3 3、合理选择直角三角形的元素之间的关、合理选择直角三角形的元素之间的关 系求出答案。系求出答案。 问题问题1 1：在旧城改造中，要拆除一烟囱在旧城改造中，要拆除一烟囱ABAB，在地面上在地面上 事先划定以事先划定以B B为圆心，半径与为圆心，半径与ABAB等长的圆形危险区，等长的圆形危险区， 现在从离现在从离B B点点2121米远的建筑物米远的建筑物CDCD顶端顶端C C测得

5、测得A A点的仰点的仰 角为角为4545，到，到B B点的俯角为点的俯角为3030，问离，问离B B点点3030米远的米远的 保护文物是否在危险区内？保护文物是否在危险区内？ （ 约等于约等于1.7321.732） 3 30 45 B A C D E 问题问题2：如图一个摄像仪器架在过街天桥上，检查马如图一个摄像仪器架在过街天桥上，检查马 路行驶的车辆是否超速，已知摄像仪器路行驶的车辆是否超速，已知摄像仪器A到公路到公路L的的 垂直距离垂直距离AD为为21米，米，A到公路点到公路点C的俯角为的俯角为30， 到公路点到公路点B的俯角为的俯角为60，一辆汽车在公路，一辆汽车在公路L上沿上沿 CB方

6、向匀速行驶，测得它从点方向匀速行驶，测得它从点C到点到点B所用的时间所用的时间 为为0.4秒。秒。 （1)1)计算此车从点计算此车从点C到到B的速度的速度 v为每秒多少米为每秒多少米? ?（结果精确到（结果精确到 个位，个位， 约等于约等于1.7321.732） L 60 30 CD A B 3 (2)(2)如果此路段限定时速不超过如果此路段限定时速不超过 6060千米，判断此车是否超速？千米，判断此车是否超速？ 并说明理由。并说明理由。 同学们开动脑筋想一想，同学们开动脑筋想一想， 还可以涉及到哪些问题？还可以涉及到哪些问题？ 赛一赛：赛一赛： 以小组为单位，根据下列条件编写一道有实际意义的

7、问题，看以小组为单位，根据下列条件编写一道有实际意义的问题，看 看那一个小组编写有创意，有意义。并且合乎实际情况。看那一个小组编写有创意，有意义。并且合乎实际情况。 条件：一个仰角条件：一个仰角45，一个俯角，一个俯角30。结论可以由自己确定。结论可以由自己确定。 课后小结：课后小结： 本节课我们用解直角三角形的有关知识解决有关俯角、仰本节课我们用解直角三角形的有关知识解决有关俯角、仰 角的实际问题。角的实际问题。 你怎么理解俯角、仰角？你怎么理解俯角、仰角？ 在分析处理这类实际问题时，你应该采取怎样的步骤呢？在分析处理这类实际问题时，你应该采取怎样的步骤呢？ 除了以上知识你还有哪些收获？有哪

8、些不解？谈谈你的除了以上知识你还有哪些收获？有哪些不解？谈谈你的 看法。看法。 解直角三角形应用解直角三角形应用 -坡度问题坡度问题 45453 30 0 D D C C B BA A100 m100 m 课前练习课前练习1 1：A A 和和 B B 两两名名测测量量员员站在同一站在同一个个水水 平地面上平地面上观测悬观测悬崖崖顶。顶。由由 A A 测测得得悬悬崖崖顶顶的仰角的仰角 是是 3 300，而由而由 B B 测测得得悬悬崖頂崖頂顶顶的仰角是的仰角是 4545 ， 若若 A A、B B 及崖底及崖底 D D 成一成一直线直线及及 A A 和和 B B 相距相距 100m100m，求求悬

9、悬崖的高度崖的高度。（精确到。（精确到0.10.1米）米） 练习练习2: 从从20米高的甲楼顶米高的甲楼顶 A 处望乙楼处望乙楼 顶顶C处的仰角为处的仰角为30，望乙楼底，望乙楼底D处的处的 俯角为俯角为45，求乙楼的高度。（精确到，求乙楼的高度。（精确到 0.1 米）米） A C 水平线水平线 D B 甲甲 乙乙 20m 30 45 建建筑筑物物 塔塔 A A B B C C D D 20m20m 3 30 0 4 45 5 A A B B C C D D 20 m20 m 3 30 0 4 45 5 练习练习3 3：由一座建由一座建筑筑物物 的底部的底部A A测测得一座得一座 塔的塔的顶顶

10、部部D D的仰角的仰角 是是3 30 0。 由由该该塔塔 的底部的底部C C测测得得该该建建 筑筑物的物的顶顶部部B B的仰的仰 角是角是4 45 5。 如果如果 塔塔CDCD的高度是的高度是20m20m， 求求 (1)(1)A A和和C C之之间间的距的距离离； (2)(2)该该建建筑筑物的高度物的高度。 新概念：坡度、坡比新概念：坡度、坡比 A B h L 如图：坡面的垂直高度如图：坡面的垂直高度h和和 水平宽度水平宽度L的比叫坡度的比叫坡度 （或叫坡比）（或叫坡比） 用字母表示为用字母表示为 ， 坡面与水平面的夹角记作坡面与水平面的夹角记作（叫坡角）（叫坡角） 则则tan = L h i

11、 L h i 练习：练习： （1 1）一段坡面的坡角为）一段坡面的坡角为6060，则坡度，则坡度i=_;i=_; （2 2）已知一段坡面上，铅直高度为）已知一段坡面上，铅直高度为 ， 坡面长为坡面长为 ， 则坡度则坡度i i_,_,坡角坡角_。 3 32 3 30 3 3 你会算吗？你会算吗？ 1、坡角、坡角=45坡比坡比i= 3、坡比为、坡比为i=13，坡角，坡角的余弦值为的余弦值为 1 1 30 3 10 10 2、坡比为、坡比为,坡角坡角=1: 3 如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，如图，铁路的路基横断面是等腰梯形， 斜坡斜坡ABAB的坡度为的坡度为1 1： ，坡面，坡面ABAB的水平的

12、水平 宽度为宽度为 米，基面米，基面ADAD宽宽2 2米，米， 求路基高求路基高AEAE、坡角、坡角B B和基底和基底BCBC的宽的宽. . 3 3 C 2 例例1 A B D E 3 F 例例2 2：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在 有这样一个问题请你解决：如图，有这样一个问题请你解决：如图， 水库大坝的横断面是水库大坝的横断面是 梯形，坝顶宽梯形，坝顶宽6m6m，坝，坝 高高23m23m，斜坡，斜坡ABAB的坡度的坡度 i=13i=13，斜坡，斜坡CDCD的坡的坡 度度I=12.5I=12.5，求斜，求斜 坡坝底宽坡坝底宽ADAD和斜坡和斜坡ABAB

13、的长的长 练习练习1 1： 如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BCBC宽为宽为6m6m， 坝高坝高23m23m，斜坡，斜坡ABAB的坡度的坡度=1: =1: ，斜边，斜边CDCD的的 坡度为坡度为 =1:1 =1:1， 求斜坡求斜坡ABAB的长，坡角的长，坡角和坝底和坝底ADAD宽。宽。 3 AD B C EF 3:1i 1:1i 练习练习2:2:修建一条铁路要经过一座高山，修建一条铁路要经过一座高山， 需在山腰需在山腰B B处开凿一条隧道处开凿一条隧道BCBC。经测量，。经测量， 西山坡的坡度西山坡的坡度i i5:35:3，由山顶，由山顶A A观测到点观测到点

14、C C的俯角为的俯角为6060，ACAC的长为的长为60m60m，如图所，如图所 示，试求隧道示，试求隧道BCBC的长的长. . A A B BC C i = 5：3 练习练习3:利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.60.6米的一块米的一块( (图图6-356-35阴影部分是挖去部分阴影部分是挖去部分) )，已知渠道，已知渠道 内坡度为内坡度为11.511.5，渠道底面宽，渠道底面宽BCBC为为0.50.5米，求：横断面米，求：横断面 ( (等腰梯形等腰梯形)ABCD)ABCD的面积；修一条长为的面积；修一条长为100100米的渠道要挖米的渠道要挖

15、 去的土方数去的土方数 v练习练习4.(2008 山东山东 聊城聊城)如图，在平地上种如图，在平地上种 植树时，要求株距（相邻两树间的水平距植树时，要求株距（相邻两树间的水平距 离）为离）为4m如果在坡度为如果在坡度为0.5的山坡上种的山坡上种 植树，也要求株距为植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间，那么相邻两树间 的坡面距离约为（的坡面距离约为（ ） vA4.5mB4.6m C6mD8m 236. 25 A B C 45 练习练习5：在山脚：在山脚C处测得山顶处测得山顶A的仰角为的仰角为 45. .问题如下：（问题如下：（1）沿着水平地面向前）沿着水平地面向前 300m到达到达D点，在点，

16、在D点测得山顶点测得山顶A的仰角为的仰角为 60 ，求山高，求山高AB. .（2）沿着坡角为）沿着坡角为30 的斜坡前进的斜坡前进300m到达到达D点，在点，在D点测得山顶点测得山顶 A的仰角为的仰角为60 ，求山高，求山高AB. . D 60 x x3 300m 课堂小结课堂小结: : 1 1弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念 的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应， 只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化 为数学问题为数学问题 2 2认真分析题意、画图

17、并找出要求的直角三角形，认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形， 或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题 3 3选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单， 且不易出错且不易出错 4 4按照题中的精确度进行计算，并按照题目按照题中的精确度进行计算，并按照题目 中要求的精确度确定答案以及注明单位中要求的精确度确定答案以及注明单位 解直角三角形应用解直角三角形应用 -航海问题航海问题 方方向向角角 北 东 西 南 A A 5858 2828 B B 北偏东北偏东 5858 南偏西南偏西 2828 例题：某船自西向东航行

18、，在例题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东 60的方向上，前进的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向上，问（的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？ A 北 南 西东 北 南 西东 某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的的 方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向 上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）

19、轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？ 3045 8千米 A B C D 某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的的 方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向 上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？ 解： 练习练习1：如图所示，某船以每小时：如图所示，某船以每小时36海里的速度海里的速度 向正东航行，在向正东航行，在A点测得某岛点测得某岛C在北偏东在北偏东60方方 向上，航行半小时后到向上，航行

20、半小时后到B点，测得该岛在北偏东点，测得该岛在北偏东 30方向上，已知该岛周围方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁海里内有暗礁 （1）试说明）试说明B点是点是 否在暗礁区域外否在暗礁区域外 （2）若继续向东）若继续向东 航行，有无触礁危航行，有无触礁危 险？请说明理由险？请说明理由 北北 东东 A B C D 解：（解：（1）AB=360.5=18， ADB=60，DBC=30， ACB=30又又CAB=30， BC=AB=1816， B点在暗礁区域外点在暗礁区域外 （2）过）过C点作点作CHAF，垂足为，垂足为H，在，在RtCBH中，中， BCH=30， 令令BH=x，则，则CH=x，在，在

21、RtACH中，中，CAH=30， AH=CH， 18x=-x，x=9，CH=916， 船继续向东航行有触礁的危险船继续向东航行有触礁的危险 答：答：B点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危 险险 练习练习2：如图所示，气象台测得台风中心在某港：如图所示，气象台测得台风中心在某港 口口A的正东方向的正东方向400公里处公里处,向西北方向向西北方向BD移动，移动， 距台风中心距台风中心300公里的范围内将受其影响，问港公里的范围内将受其影响，问港 口口A是否会受到这次台风的影响？是否会受到这次台风的影响？ A B D 东东 北北 45 C 练习练习3：正午

22、：正午10点整，一渔轮在小岛点整，一渔轮在小岛O的北偏东的北偏东30 方向，距离等于方向，距离等于10海里的海里的A处，正以每小时处，正以每小时10海里海里 的速度向南偏东的速度向南偏东60方向航行，那么渔轮到达小岛方向航行，那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间（精确到的正东方向是什么时间（精确到1分）？分）？ O A 30 60 南南 东东BC 北北 西西 练习练习4、一渔船上的渔民在一渔船上的渔民在A处看见灯塔在处看见灯塔在 北偏东北偏东60方向，这艘渔船以方向，这艘渔船以28海里海里/时的时的 速度向正东航行，半小时到速度向正东航行，半小时到B处处.在在B处看见处看见 灯塔灯塔M在北

23、偏东在北偏东15方向，求此时灯塔方向，求此时灯塔M与与 渔船的距离渔船的距离 ？ 练习练习5:如图，一船在海面如图，一船在海面C处望见一灯塔处望见一灯塔A，在它的，在它的 正北方向正北方向2海里处，另一灯塔海里处，另一灯塔B在它的北偏西在它的北偏西60的的 方向，这船向正西方向航行，已知方向，这船向正西方向航行，已知A、B两灯塔的距两灯塔的距 离为离为 海里，问在这条船的航线上是否存在一海里，问在这条船的航线上是否存在一 点使两个灯塔点使两个灯塔A、B同时分别在该点的东北、西北方同时分别在该点的东北、西北方 向上？向上？ 2sqrt(6) 练习练习6 已知，如图，已知，如图，C城市在城市在B城

24、市的正北方向，两城市城市的正北方向，两城市 相距相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即 线段线段BC），经测量，森林保护区），经测量，森林保护区A在在B城市的北偏东城市的北偏东 40的方向上，又在的方向上，又在C城市的南偏东城市的南偏东56方向上，已知方向上，已知 森林保护区森林保护区A的范围是以的范围是以A为圆心，半径为为圆心，半径为50千米的圆，千米的圆， 问：计划修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什问：计划修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什 么？么？ 练习练习7 已知，如图，已知，如图，C城市在城市在B城市的正北方向，两城市城市的正北方向，两城市 相距相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即千米，计划在两城市间修筑一