自动控制原理(胡寿松)第六版第三章ppt-2 (1)

1、 分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模， 一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法 去分析系统的性能。去分析系统的性能。 线性系统：线性系统： 时域分析法，时域分析法，根轨迹法，根轨迹法，频率法频率法 非线性系统：非线性系统： 多输入多输出系统：多输入多输出系统： 描述函数法描述函数法， 相平面法相平面法 采样系统：采样系统：Z Z 变换法变换法 状态空间法状态空间法 s 1 1(t)LR(s)1(t) 1A 0t0 0tA r(t) 1. 记记为为 称称单单位位阶阶跃跃函函数数，令令

2、 阶阶跃跃函函数数（位位置置函函数数） 动态性能，静态性能。动态性能，静态性能。 动态性能动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分 析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准- 典型输入信号典型输入信号。条件：。条件：1 能反映实际输入能反映实际输入；2 在形式上尽可能简在形式上尽可能简 单，便于分析单，便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态使系统运行在最不利的工作状态。 t f(t) 0 1 00 0 )( t tAt tr 2 1 )( 1 s ttL t f(

3、t) 0 00 0 2 1 )( 2 t tAt tr )( 1 2 1 2 tt 3 2 1 1 2 1 )( s ttLsR t f(t) 0 1)()( tLsR 00 0 t t t 并并有有 1 dtt 及及 t (t) 0 tttttt1 2 1 11 2 求导求导 积分积分 求导求导 积分积分 求导求导 积分积分 tAtr sin 22 sin)( s A tALsR % )( )()( %100 c ctc M p p )(limtee t ss 凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。 )()( )( trtc dt tdc

4、 T 1 1 )( )( )( TssR sC s R C r(t) c(t) 1 Ts + R(s)C(s) 1 Ts+1 R(s)C(s) t c(t) T 2T 3T 4T 当输入信号当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。称作其单位阶跃响应。 01 t ec(t) T t T s ssTs sRssC 1 111 1 1 )()()( 响应曲线在响应曲线在0， ） 的时间区间中始终不会的时间区间中始终不会 超过其稳态值，把这样超过其稳态值，把这样 的响应称为的响应称为非周期响应非周期响应。 无振荡无振荡 0.632 0.950.9820.86

5、5 1.0 定义：定义：c(ts) 1 = ( 取取5%或或2%) T ts e %)2(4 %)5(3 Tt Tt s s 可以用时间常数可以用时间常数T去度量去度量 系统输出量的数值。系统输出量的数值。 T 2T 3T 4T t c(t) 0.632 0.95 0.982 0.865 1.0 T反映了系统的反映了系统的 惯性。惯性。 T越小惯性越小，越小惯性越小， 响应快！响应快！ T越大，惯性越越大，惯性越 大，响应慢。大，响应慢。 01 t ec(t) T t r(t) = t T s T s T ssTs sC 1 11 1 1 22 )( )0( )( / tTeTttc Tt t

6、 c(t) 0 r(t)= t c(t) = t T + Te t/T 是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上 迟后了一个时间常数迟后了一个时间常数T的斜坡函数。的斜坡函数。 T T 稳态分量（跟踪 项+常值） 暂态分量 Ttc )( 表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位 置上仍有误差，一般叫做置上仍有误差，一般叫做。 在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小， 最终趋于最终趋于0 0，而在初始状态下，位置误差最大，

7、响应曲线的斜率也，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也 最大；最大； 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大， 最终趋于常值最终趋于常值T T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等 于于0 0。 0 t c(t) 1.0 t c(t) 0 r(t)= t T T R(s)=1 1 1 )( Ts sC 它恰是系统的闭环传函，这它恰是系统的闭环传函，这 时输出称为脉冲（冲激）响应时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以函数，以h(t)标志。标志。 T t e T tCt

8、h 1 )()( 脉冲 )()(tC dt d tC 斜坡阶跃 )()(tC dt d tC 阶跃脉冲 )()(tr dt d tr 斜坡阶跃 )()(tr dt d tr 阶跃脉冲 对应对应 T 2T 3T t h(t) 0 1/T 0.368/T 0.135/T 0.05/T 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 标准化二阶系统的结构图为：标准化二阶系统的结构图为： 闭环传递函数为闭环传递函数为 22 2 2 2 2 )2( 1 )2( )( nn n n n n n ss ss ss s 二阶系统有两个结构参数二阶系统有两个结构参数 ( (阻尼比阻尼比) )和和 n n( (无阻尼振荡频

9、无阻尼振荡频 率率) ) 。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。 s(s+2 n) R(s)C(s) n2 + 微分方程式为：微分方程式为： )()( )()( 2 2 trtc dt tdc RC dt tcd LC 22 2 22 212 1 )( )( )( nn n ssTssTsR sC s 零零初初条条件件 LCT L CR 2 T n /1 例如例如: RLC电路电路 R C r(t)c(t) L j 0 二阶系统的闭环特征方程，即二阶系统的闭环特征方程，即 s 2 + 2 n s + n2 = 0 其两个特征根为：

10、其两个特征根为：1 2 2, 1 nn s 上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比 的不同取值，的不同取值， 特征根有不同类型的值，或者说在特征根有不同类型的值，或者说在s s平面上有平面上有 不同的分布规律。分述如下：不同的分布规律。分述如下： s1 s2 (1) 1 时，特征根为一对不等值时，特征根为一对不等值 的的负实根负实根，位于，位于s 平面的负实平面的负实 轴上，使得系统的响应表现为轴上，使得系统的响应表现为 过阻尼过阻尼的。的。 (3) 0 1 时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面平面

11、 的左半平面上，使得系统的响应表现为的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼欠阻尼的。的。 (2) =1时，特征根为一对等值的负实根，位于时，特征根为一对等值的负实根，位于s 平面的负实轴上，平面的负实轴上， 使得系统的响应表现为使得系统的响应表现为临界阻尼临界阻尼的。的。 j 0 s1= s2 = n n s1 s2 j d n j 0 1 2 2, 1 nn s j 0 (4) (4) =0 =0 时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s s平面的虚轴上，平面的虚轴上， 使得系统的响应表现为无阻尼的使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡等幅振荡过程。过程。

12、j n j 0 (5) 1 = 1 0 1 = 0 22 2 2 )( nn n ss s 由式由式 ，其输出的拉氏变换为其输出的拉氏变换为 sss sRssC nn n 1 2 )()()( 22 2 )( )( 21 2 sssss sC n 式中式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。是系统的两个闭环特征根。 对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达 式。式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s s 平面上平面上 的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律的

13、位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分。下面分 别加以讨论。别加以讨论。 （1 1）欠阻尼情况）欠阻尼情况 0 0变化率为正，变化率为正，c(t) 单调上升；单调上升； t ，变化率趋于，变化率趋于0。整个过程不出现振荡，无超调，整个过程不出现振荡，无超调， 稳态误差稳态误差0。 )0( )(11)( ttetc n t n ss sC n n 1 2 2 )( )( t c(t) 0 1 nn n sss 11 2 )( （4 4）过阻尼情况）过阻尼情况 1 引入等效时间常数1 2 2, 1 nn s 响应特性包含响应特性包含， 且它们的代数和不会超过且它们的代数和不会超过

14、1，因而响应是，因而响应是非振荡非振荡的。的。调节速度慢调节速度慢。 （不同于一阶系统不同于一阶系统） 1/1/ 1)( 21 / 12 / 21 TT e TT e tc TtTt )1( 1 2 1 n T )1( 1 2 2 n T sTsTs sC n 1 11 21 2 )/)(/( )( )/)(/()/)(/( 221112 11 1 11 11 TsTTTsTTs 0 t c(t) 1.0 ts （5）不稳定系统不稳定系统 0 总结：总结： 1）1时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度 慢；慢； 3）0时，无过渡过程，直接进入稳态，

15、响应等幅振荡；时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡； 4）01时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短，时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短， 合理合理选择可使既快又平稳，工程上把选择可使既快又平稳，工程上把0.707的二阶系统称为的二阶系统称为 二阶最优系统二阶最优系统； Mp 1. 1.欠阻尼欠阻尼 用用tr , tp , Mp , ts 四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。 c(t) t 0 1 0.5 0.05 或或 0.02 tr tp tstd d n r t 2 1 arccos (1) 上升时间上升时间tr ：从零上升至：从零上升至第一

16、次第一次到达稳态值所需的时到达稳态值所需的时 间，是系统响应速度的一种度量。间，是系统响应速度的一种度量。 (2) 峰值时间峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需 的时间。的时间。 1)sin( 1 1 1)( 2 r n ttd t r tetc 0)sin( r ttdt 0 )( p tt dt tdc 1)(k ktr d ktt t e pdpdpd t n n 00 1 2 sinsin d n p t 2 1 0)cos( 1 )sin( 1 22 pd t d pd t n tete pnpn (3) ：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，

17、用百分比：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比 表示。表示。 %100 )( )()( c ctc M p p %100)sin( 1 1 2 pd t te pn %100 2 1 eMt pp 代入代入 Mp只是只是 的函数，其大小与自然频率的函数，其大小与自然频率n无关无关。 Mp (4) 调节时间调节时间ts ：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5% 所需要的时间。所需要的时间。 c(t) c( ) c( ) ( t ts ) )( )sin( 1 1 2 sd t ttte n 1)sin( t d 工程上工程上，当，当0.1 0.9 时，通常用下列二

18、式近似计时，通常用下列二式近似计 算调节时间。算调节时间。 n s t 4 n s t 3 ) ( 1 1 2 s t tte n = 5% c() = 2% c() 总结：总结： (1) n 一定，使一定，使tr tp 使使 ts ( 一定范围一定范围 ) 必须必须 必须必须 必须 (2) 一定，使一定，使 tr tp ts n (3) Mp 只由只由 决定决定 必有必有 n s t 4 n s t 3 d n p t 2 1 %100 2 1 eM p d n r t 2 1 arccos 例例3-1单位负反馈随动系统如图所示单位负反馈随动系统如图所示 解解: (1) 系统的闭环传递函数为

19、系统的闭环传递函数为 与典型二阶系统比较可得：与典型二阶系统比较可得： K/T= n2 1/T = 2n TKTss TK KsTs K s / / )( 22 s(Ts+1) R(s)C(s)K + (2) K = 16，T = 0.25时时 )/(8/sradTK n 25. 0 2 1 KT )(24. 0 25. 018 25. 0arccos 2 str )(41. 0 25. 018 2 st p )(5 . 1 25. 08 33 st n s %47%100 2 25. 01 25. 0 eM p ( =0.05 ) K/T= n2 1/T = 2n 设单位反馈的二阶系统的单位

20、阶跃响应曲线如图所示，设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示， 试确定其开环传递函数。试确定其开环传递函数。 例例3.2 解：解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶 跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性 能指标，先确定二阶系统参数，再求传能指标，先确定二阶系统参数，再求传 递函数。递函数。 %100e3 . 0%30% 2 1/ 2 . 13 . 0lnln 1 2 e 36. 0 秒秒1 . 0 1 t 2 n d p 1 2 n 6 .33 934. 0 4 .31 1 4 .31 秒秒 ) s (G1 ) s (G 113

21、0s2 .24s 1130 s2s ) s ( 22 nn 2 2 n )2 .24s ( s 1129 )2s ( s) s (1 ) s ( ) s (G n 2 n 0 t(s) 1 1.3 0.1 h(t) 抑制振荡，抑制振荡， 使超调减弱，使超调减弱， 改善系统平稳性改善系统平稳性, 调节时间减小。调节时间减小。 3.3.4 改善二阶系统性能的措施改善二阶系统性能的措施 C(s)R(s) (- -) Go(s) )2s(s n 2 n E(s)U(s) t t t t t r(t) 1 1 c(t) e(t) u(t) )(teTd t1 0 0 0 0 0 1 t 1. 比例比例微

22、分控制微分控制 (1) 方法的思路方法的思路 未超前校正未超前校正 超前校正超前校正 3.3.13.3.33.3.23.3.5 开环传递函数：开环传递函数： 开环增益：开环增益： K= n/2 )12/( )1( )2( )1( )( )( )( 2 n d n dn ss sTK ss sT sE sC sG a Ta ss as a s n dd nnd n 2 ,/1, 2 )( 22 2 特点特点: (1) 引入比例微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振引入比例微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振 荡，使超调减弱，改善系统平稳性；荡，使超调减弱，改善系统平稳性； (2) 零点的出现，

23、将会加快系统响应速度，使上升时间缩零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩 短，峰值提前，又削弱了短，峰值提前，又削弱了“阻尼阻尼”作用。因此适当选择微分时间作用。因此适当选择微分时间 常数，使系统具有过阻尼，则响应将在不出现超调的条件下，显常数，使系统具有过阻尼，则响应将在不出现超调的条件下，显 著提高快速性。著提高快速性。 (3) 不影响系统误差，自然频率不变。不影响系统误差，自然频率不变。 闭环传递函数：闭环传递函数： 闭环系统具有零点闭环系统具有零点,可以使上升时间提前可以使上升时间提前.阻尼增大阻尼增大,超调减小。超调减小。 R(s) (- -) C(s) Go(s) )2s(

24、s n 2 n Tds+1 (2) 性能分析性能分析 t t t t t r(t) 1 1 c(t) e(t) u(t) t1 t1 0 0 0 0 0 ) t ( c T 抑制振荡，抑制振荡， 使超调减弱，使超调减弱， 改善系统平稳性改善系统平稳性, 调节时间减小。调节时间减小。 R(s) (- -) C(s) )2s(s n 2 n (- -) E(s)U(s) 2. 速度反馈控制速度反馈控制 (1) 方法的思路方法的思路 超前校正超前校正 未超前校正未超前校正 1k2/ ss 1 k2)k2s ( s) s (E ) s (C ) s (G 2 ntnnt n 2 ntn 2 n 2 n

25、nt 2 2 n 2 n 2 ntn 2 2 n s2ss )k2(s) s (R ) s (C q由上可知：由上可知： 1) 速度反馈使速度反馈使 增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性； 2) 速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优于速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优于 比例比例微分控制；微分控制； 3) 系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大，因此应适当提高系统系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大，因此应适当提高系统 的开环增益的开环增益. ntt k 2 1 R(s) (- -) C(s) )2s(s n 2 n KtS (-

26、-) 在二阶系统中引入微分反馈：在二阶系统中引入微分反馈： 闭环传递函数：闭环传递函数： 开环传递函数为：开环传递函数为： (2) 性能分析性能分析 cz(t) t t c(t) cz(t) c(t) 1 )( d d1 tc tz (a) 闭环零点对系统暂态闭环零点对系统暂态 响应的影响响应的影响 0 0 1.8 1.6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 2.0 0 r =0 r =1/4 r =1/2 r=1 1 2 3 4 5 6 7 8 (b) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 (=0.5) cz(t) nt 闭环零点对系统的影响闭环零点对系统的影响 22 2 2

27、2 2 22 2 222 )1( )( )( )( nn n nn n nn n ssz s ssss s sR sC s )( 1 )()(tc z tctcz 峰值时间提前、超调增大、峰值时间提前、超调增大、 振荡加剧、调节时间拉长。振荡加剧、调节时间拉长。 1 z上式中，上式中， r = zwn /z为闭环极点与闭环零点为闭环极点与闭环零点的实部比的实部比 G(s)，H(s) 一般是复变量一般是复变量s 的多项式之比，故上式可记为的多项式之比，故上式可记为 控制系统的基本结构如图所示。控制系统的基本结构如图所示。 )()(1 )( )( )( )( sHsG sG sR sC s 其闭环

28、传递函数为其闭环传递函数为 G(s) R(s) C(s) + H(s) 式中式中0 k 0 ( i, j =1,2, , n) 即，即，。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满 足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面 给现系统稳定的充分必要条件。给现系统稳定的充分必要条件。 1. 1. 劳斯判据劳斯判据 劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位 于右半于右半s平面上根的个数。平面

29、上根的个数。 令系统特征方程为 0, 0 01 1 10 aasasasa nn nn 排劳斯表：排劳斯表： 1 0 21 1 321 2 321 3 4321 2 7531 1 6420 f e e d d d c c c b b b b a a a a a a a a s s s s s s s n n n n , b baab c, b baab c, b baab c , a aaaa b, a aaaa b, a aaaa b 1 4171 3 1 3151 2 1 2131 1 1 7061 3 1 5041 2 1 3021 1 表中 表中：表中：1 1）最左一列元素按）最左一列

30、元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作的幂次排列，由高到低，只起标识作 用，不参与计算。用，不参与计算。 2 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。 2. 2.劳斯判据的应用劳斯判据的应用 例例3-1设有下列特征方程设有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0，试用劳斯试用劳斯 判据判别该特征方程的正实部根的数目。判据判别该特征方程的正实部根的数目。 解解：劳斯表劳斯表 第一列元素第一列元素

31、符号改变了符号改变了2次，次，系统不稳定，且系统不稳定，且s 右半平右半平 面有面有2个根。个根。 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 5 2 4 6 15 5 结论结论 （1）若劳斯表中第一列的系数均为正值,则系统稳定 （2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数等于 该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为不稳定 例例3-23-2 一调速系统的特征方程为 40 1 42 3 423 103 . 2 s 38.5- 103 . 2 41.5 0 517 1 0103 . 25175 .41 s s s sss 由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程 中有二个根

32、在S的右半平面，因而系统是不稳定的 例例3-43-4 已知系统的特征方程为 0116705175 .41 23 Ksss 求系统稳定的K值范围 K16701 s 0 41.5 K16701-51741.5 K16701 41.5 0 517 1 0 1 2 3 s s s 0K16701 0K16701-51741.5 欲使系统稳定则应满足 排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况： 1）劳斯表中某一行中的第一项等于零，而该行的 其余各项不全为零。解决的办法是以一个很小正数 来代替为零的这项。然后完成劳斯表的排列。 9 .111K 解不等式组得： 结论：结论：

33、 如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程 中有一对共轭虚根存在；如果第一列系数中有符号变化，其变 化的次数等于该方程在S平面右半面上根的数目。 例例3-53-5 已知系统的特征方程为 022 23 sss ，试判别相应系统的稳定性 解：解： 列劳斯表 2 s 0 0 2 2 0 1 1 0 1 2 3 s s s 方程中有对虚根，系统不稳定。方程中有对虚根，系统不稳定。 例例3-6 系统的特征方程为系统的特征方程为 D(s) = s3 3s + 2 = 0 试用劳斯判据确定正实数根的个数。试用劳斯判据确定正实数根的个数。 解：系统的劳斯表为解：系统的劳斯表为 ：劳斯表中某劳斯表中

34、某 行的第一列元素为零，而其余行的第一列元素为零，而其余 各项不为零，或不全为零。对各项不为零，或不全为零。对 此情况，可作如下处理：此情况，可作如下处理： s3 s2 s1 s0 1 3 0 2 用一个很小的正数用一个很小的正数 来代替第一列为零的项，从而使劳来代替第一列为零的项，从而使劳 斯表继续下去。斯表继续下去。 可用因子可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中乘以原特征方程，其中a可为任意正数，可为任意正数， 再对新的特征方程应用劳斯判据。再对新的特征方程应用劳斯判据。 32 1 b 0+时，时，b1 0，劳斯表，劳斯表 中第一列元素符号改变了两中第一列元素符号改变了两 次次 系统有两

35、个正根，不稳定。系统有两个正根，不稳定。 用（用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：）乘以原特征方程，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0 s3 s2 s1 s0 1 3 0() 2 2 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 6 3 7 2/3 6 20 6 例例3-7 设某线性系统的闭环特征方程为设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s6+s5 2s4 3s3 7s2 4s - 4 = 0 试用劳斯判据判断系统稳定性。试用劳斯判据判断系统稳定性。 解解:该系统的劳斯表如下该系统的劳斯表如下 劳斯表中某行

36、元素全为零。此时，特征劳斯表中某行元素全为零。此时，特征 方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复 数根）。对此情况，可作如下处理：数根）。对此情况，可作如下处理： s6 s5 s4 s3 s2 1 2 7 -4 1 3 4 1 3 4 0 0 0 由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，系统有两个正系统有两个正 根，系统不稳定。通过解辅助方程可求出关于原点对称的根：根，系统不稳定。通过解辅助方程可求出关于原点对称的根： s1=1 和和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为对

37、本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1 和和 s4= 2 。 用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助 方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。 s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 2 7 -4 1 3 4 1 3 4 4 6 0 1.5 4 16.7 0 4 F(s) =s4 3s2 4=0 F (s)= 4s3 6 例例3-8 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K 的取值范围。的取值范围。 解：系统特征方程式解：系统特

38、征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0 要使系统稳定，劳斯表中第要使系统稳定，劳斯表中第 一列元素均大于零。一列元素均大于零。 0 K 6 s3 s2 s1 s0 1 2 3 K (6 K)/3 K s(s+1)(s+2) R(s) C(s) K + 例例3-9 检验多项式检验多项式 2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0 是否有根在是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 1 的右边？的右边？ 解：解：1) 劳斯表中第一列元素均劳斯表中第一列元素均 为正为正 系统在系统在s 右半平面没有右半平面没有 根，系统是稳定的。根，

39、系统是稳定的。 2) 令令 s1 = s 1 坐标平移，坐标平移， 得新特征方程为得新特征方程为 2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0 s3 s2 s1 s0 2 13 10 4 12.2 4 -1 sS1 劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号 改变了一次，故系统在改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系右半平面有一个根。因此，系 统在垂直线统在垂直线 s = 1的右边有一个根。的右边有一个根。 s13 s12 s11 s10 2 1 4 1 0.5 1 3.6 1. 1. 误差的定义误差的定义 误差的定义有两种：误差的定

40、义有两种： 从系统输入端定义，从系统输入端定义， 即即 E(s)=R(s) B(s) 从系统输出端定义，它定义为从系统输出端定义，它定义为 Eo(s)=R(s) C(s) 2.2.两种定义的关系两种定义的关系 G(s) R(s) C(s) + H(s) E(s) B(s) ?)( s E 误差传递函数 由图可知，由图可知， 。因而，。因而， E(s)是从输出端定义的非是从输出端定义的非 单位控制系统的误差。单位控制系统的误差。 E(s) = R(s) B(s) = R(s) H(s)C(s) )()( )( 1 )()()(sCsR sH sCsRsE G(s)H(s) R(s) C(s) 1

41、 H(s) E (s)R(s) + )( )( 1 )()()( )( 1 sE sH sCsHsR sH 由图所示，误差定义有两种方式：由图所示，误差定义有两种方式： 1)e(t)=r(t)-c(t),无法量测无法量测 2)e(t)=r(t)-b(t) 单位反馈时两种定义相同。单位反馈时两种定义相同。 稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。稳态误稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。稳态误 差是指，差是指，稳态响应的希望值与实际值之差稳态响应的希望值与实际值之差，即稳定系统误差的终，即稳定系统误差的终 值值 , e(t)=希望值希望值实际值实际值 t ss ) t ( eli

42、me )()(1 1 )( )( )( sHsGsR sE s e )()(1 )( lim)(lim)(lim 00 sHsG ssR ssEtee sst ss E(s) G(s) C(s) H(s) R(s) B(s) (- -) 根据根据终值定理终值定理 使用该公式应满足使用该公式应满足sE(s)在在s右半平面及虚轴上解析的条件，即右半平面及虚轴上解析的条件，即 sE(s)的极点均位于的极点均位于s左半平面。当左半平面。当sE(s)在坐标原点具有极点在坐标原点具有极点 时，时， 虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正巧与虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正

43、巧与 实际应有的结果一致，因此实际应用时实际应有的结果一致，因此实际应用时 可用此公式。可用此公式。 误差传递函数误差传递函数为：为： 3.3.稳态误差稳态误差ess 定义：定义： )(lim)( lim s ssEtee t ss 设单位反馈控制系统的开环传函为：设单位反馈控制系统的开环传函为： Ts sG 1 )( Ts s TssG s sR sE e /1/11 1 )(1 1 )( )( )( (1) 当当 r(t) = t2/2 R(s) =1/s3 解法一：解法一： 3 1 /1 )( sTs s sE sTs ssEe ss ss 1 /1 1 lim)(lim 00 试求当输

44、入信号分别为试求当输入信号分别为r(t) = t2/2 ，r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sint 时时，控制系统的稳态误差。控制系统的稳态误差。 解：解： 解法二解法二： Ts T s T s T sTs s sE /1 1 /1 )( 22 23 e(t) = T(tT) + T2 e t/T )(lim)(teee ss t ssss (2)当当 r(t) = 1(t) R(s) =1/s sTs s sR sG sE 1 /1 )( )(1 1 )( 0)(lim 0 ssEe s ss (3)当当 r(t) = t R(s) =1/s2 2 1 /1

45、)( sTs s sE T sTs s sEse ss ss 1 /1 lim)(lim 00 22 1 )( ss s sE T 222222 1 22 1 1 1 s c s s T T sT T T t T T t T T e T T te T t sin 1 cos 11 )( 22 22 2222 )sin(cos 1 )( 22 tTt T T tess 0)( ss e)sin( 1 22 t T T T tg 1 1 (4)当当r(t) = sint R(s) = /(s2 + 2) 一、影响稳态误差的因素一、影响稳态误差的因素 一般开环传递函数可以写成如下形式：一般开环传递函

46、数可以写成如下形式： n j j m i i n m sTs sK sTsTsTs sssK sHsG 1 1 2 21 )1( )1( )1()1)(1( )1()1)(1( )()( 1 sK sRs sKsTs ssRsTs sHsG SsR sEstee s s n j m j ij n j j s sst ss 0 1 0 11 1 0 00 lim )(lim )1()1( )()1( lim )()(1 )( lim)(lim)(lim 稳稳态态误误差差为为 3.6.2 系统类型与静态误差系数系统类型与静态误差系数 q 显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的显然，系统的稳态误

47、差取决于原点处开环极点的阶次阶次 、开环、开环 增益增益K以及输入信号的形式。以及输入信号的形式。 式中，式中，K为开环增益。为开环增益。 为开环系统在为开环系统在s平面坐标原点的极点平面坐标原点的极点 重数，重数， =0,1,2时，系统分别称为时，系统分别称为 0 型、型、型、型、型系统。型系统。 3.5.1例例3.5.23.5.4 二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数 )()(lim1)()(1 lim )()(1 )( lim)(lim 0 0 00 sHsG R sHsG R sHsG ssR sEse s s ss ss s R sRtRt

48、r)(),( 1)( 称称为为位位置置误误差差系系数数 )()(lim 0 sHsGK s p p ss k R e 1 于是于是 0,II 0,I 1 ,0 ssp ssp ssp ek ek k R ekk 型系统型系统 型系统型系统 型系统型系统 三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数 )()(lim)()( lim )()(1 )( lim)(lim 0 0 00 sHssG R sHssGs R sHsG ssR sEse s s ss ss 2 )(),( 1)( s R sRtRttr 称称为为静静态态速速度度误误差差系系数数 )()(l

49、im 0 sHssGK s v v ss k R e 于是于是 0,II ,I ,0,0 ssv ssv ssv ek k R ekk ek 型型系系统统 型型系系统统 型型系系统统 四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数 )()(lim)()( lim )()(1 )( lim)(lim 2 0 22 0 00 sHsGs R sHsGss R sHsG ssR sEse s s ss ss 3 2 )(),( 1 2 1 )( s R sRtRttr 数数称称为为静静态态加加速速度度误误差差系系 )()(lim 2 0 sHsGsK s a

50、 a ss k R e 于是于是 k R ekk ek ek ssa ssa ssa ,II ,0,I ,0,0 型系统型系统 型系统型系统 型系统型系统 如表如表3-1。 五、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系五、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系 减小或消除误差的措施减小或消除误差的措施：提高开环积分环节的阶次：提高开环积分环节的阶次 、增加、增加 开环增益开环增益 K。 表表3-1 3-1 输入信号作用下的稳态误差输入信号作用下的稳态误差 r(t)=B t 系统系统 型别型别 ess=B/Kv 0 02 B/K 1 例例3-14 已知两个系统如图所示，当参考输入已知两