武汉理工控制工程第四章习题解答

1、习题解答：4-1 负反馈系统的开环传递函数，试绘制闭环系统的根轨迹。解：根轨迹有3个分支，分别起始于0，-1，-2，终止于无穷远。，。实轴上的根轨迹是（-，-2及-1,0。可得，；是分离点。根轨迹见图4-28。图4-284-2系统的开环传递函数为，试证明点在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益。解：若点在根轨迹上，则点应满足相角条件，如图4-29所示。图4-29对于，由相角条件满足相角条件，因此在根轨迹上。将代入幅值条件：所以， ， 4-3 已知开环零点，极点，试概略画出相应的闭环根轨迹图。 （1），； （2），； （3），； （4），；解： 图4-30（1） 图4-30（2） 图4-3

2、0（3） 图4-30（4）4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数为 试概略绘出其闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的分离点，起始角和与虚轴的交点）。解：系统有五个开环极点：1.实轴上的根轨迹： 2.渐近线： 3.分离点： , (舍去) , 4.与虚轴交点：闭环特征方程为把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 可得， ，（舍去） 5.根轨迹的起始角为：由对称性得，另一起始角为，根轨迹如图习题4-31所示。图4-314-5 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数试作出以b为参量的根轨迹图。解：作等效开环传递函数G(s)=1.实轴上的根轨迹：2.分离点： 解得：根轨迹如图4-32所示。 图4-324-6

3、单位反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的值范围。解：根轨迹绘制如下： 图4-331.实轴上的根轨迹： 2.分离点： 可得： 3.与虚轴交点：把s=j代入上方程，令解得： 根轨迹如图4-6所示。由图可知系统稳定的值范围为；又 ， 所以系统稳定的值范围为。4-7 系统的框图如图4-26所示，试绘制以为变量的根轨迹图。图4-26解:系统的开环传递函数为系统闭环传递函数系统闭环特征方程，即除以得 得等效开环传递函数 令得等效开环极点 ，为时原系统的闭环极点。按常规根轨迹绘制方法作根轨迹。（1）根轨迹起点：，终点：0，-；（2）实轴上根轨迹：（-，0区段；（3）分离点：，取，分离

4、角。画出根轨迹如图4-34所示。图4-344-8实系数特征方程要使其根全为实数，试确定参数的范围。解：作等效开环传递函数 当时，需绘制常规根轨迹。1.实轴上的根轨迹： ，2.渐近线： 3.分离点： 解得 根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图4-35(1)所示。当时，需绘制根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：， 。由图4-35(2)可以看出，当时，多项式的根全为实数。因此所求参数的范围为或。因此所求参数的范围为 图4-35(1) 图4-36(2)4-9 已知负反馈系统的闭环特征方程1. 绘制系统根轨迹图(0)；2. 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数的值。解：1.系统的开环传递函数(1)根轨迹的起点为：

5、，终点在无穷远处（无有限零点）。(2)分支数。(3)实轴上根轨迹为(-，-14区段。(4)渐近线为条。(5)根轨迹离开复极点的出射角由公式根轨迹如图4-37所示图4-372. ，按此角过(0,0)点作直线与根轨迹交点，为所求之闭环极点用幅值条件可得():4-10 系统的特征方程为1. 画出，时的根轨迹。2. 求出根轨迹在实轴上没有非零分离会合点时值的范围。解：1）时，特征方程为根轨迹是-1及整个虚轴，见图4-38(a)。，特征方程可写为开环传递函数3支根轨迹，起于0，0，止于-1和无穷远。渐近线与实轴交角是，交点为 ，；，在实轴上的分离会合点按下述方法计算。解得 当时，实轴上根轨迹是-1,2，

6、(不在根轨迹上，舍去)分离点是1.186，对应的根轨迹见图4-38(b)，实轴上根轨迹是-6,-1，是复数，不是实轴上的分离会合点。根轨迹见图4-38(c)，实轴上根轨迹是-9,-1对应的。根轨迹见图4-38(d)，实轴上根轨迹是-10,-1，对应的，。根轨迹见图4-38(e)2）当分离会合点不是实数时，系统没有非零分离会合点 图3-38(a) 图3-38(b) 图3-38(c) 图3-38(d)图3-38(e)4-11 已知某单位反馈系统的开环传递函数为，试绘制系统的根轨迹图，说明其稳定性。如果在负实轴上增加一个零点，对系统的稳定性有何影响，试仍以根轨迹图来说明。解：1. 时，(1)根轨迹起

7、始于-1，0，0，终止于三个零点(为无限零点)；(2)根轨迹分支数；(3)实轴上的根轨迹位于（-，-1区段；(4)渐近线条。由图4-39（1）可见，三条根轨迹分支，有两条位于右半平面。当从0时，三个闭环极点中有两个位于右半平面，所以系统不稳定。 图4-39（1） 图4-39（2）2.增加负实零点时， 。由图4-39（2）可见，根轨迹渐近线，由三条变为二条。根轨迹向左半平面变化，闭环极点全部处于左半平面，从0时，控制系统是稳定的。4-12 设单位负反馈系统的开环传递函数为1. 绘制系统的根轨迹图（不要求求出分离点）；2. 已知系统的一个闭环极点为-0.9，试求出其余的闭环极点；3. 该系统是否可

8、以用低阶系统来近似？若能，则求出它的闭环传递函数；若否，则给出理由。解：1. 绘制系统的根轨迹()，步骤如下：(1) 根轨迹起始于开环极点0，-2，-3；终止于开环零点-1和两个无限零点。(2) 根轨迹的分支数条。(3) 实轴上的根轨迹区间为-3,-2，-1,0。(4) 根轨迹的渐近线，有条，与实轴的交点、交角为：(5) 根轨迹的分离点位于-3,-2区段内。绘制出系统根轨迹如图4-40所示。图4-402. 已知，；，设其余二个闭环极点为。用幅值条件可以求得将其代入系统特征方程，即解得 3.由和构成一对闭环偶极子，故系统可以降阶为二阶系统，其闭环传递函数为4-13 单位负反馈系统的根轨迹如图4-27所示。1. 求系统的闭环传递函数；2. 设计补偿器，使系统在任意k值时都稳定。图4-27解：