现代控制理论鲁棒控制

1、鲁棒控制理论初步鲁棒控制理论初步 一、反馈控制系统的基本结构一、反馈控制系统的基本结构 做如下变换做如下变换 () () dss dclscl Hy eR Hru HyRu Hr Hr Hy ue DRu Hr D Hr 结构图化成 若不考虑传感器动态时，则 为常数，可选 择 ，上结构图就变成单位负反馈的结构。 Hy HrHy 定义： R：参考输入 W：外扰动输入（常值或随机信号，对飞行器 为高斯白噪声或有色噪声） V：噪声输入（随机信号、有色噪声） Y: 系统输出 二、控制系统的性能指标描述 (1)系统对常值扰动信号所允许的稳态误差，或 对随机扰动信号的滤波能力或误差 (2)对多项式参考输入

2、信号，如斜坡和阶跃信号 所允许的稳态跟踪误差 (3)系统动态性能对模型参数变化的灵敏度 (4)系统在阶跃参考输入或扰动输入时的动态 性能，如上升时间、超调量、调节时间等 (5)闭环系统的稳定性 重点要研究的是（1）和（3） 三、例子：滚转速度控制系统 飞机理想滚转时，则微分方程模型为： 其中， 为滚转角速度， 是副翼偏角， 外 扰动（外扰动一般等效为滚转力矩，在此方程中 ， 为转动惯量）。 a a =L pD pLpL p a D L x = J D L 外扰力矩 x J 飞机滚转模型为： aa a aa 11 ( )( )( )( )( ) DD ppp LL p ssLssLs sLsLs

3、LL 开环控制系统为 设Hr=1，并且选择比例控制， 则 olol DK aa a 11 ( )() () ol olDD ppp LKL p sKRLRL LsLsLsL 设：R和 的稳态值分别为R=a， =b 则： 的稳态解为 定义： 从R到 的传递函数为 开环增益 设： 则 D L D L p a 0 1 | sssol pp L ppKab LL p aa ( ) ololol pp LL TsHr DK sLsL a olol p L TK L a p L A L olol TKA 闭环控制系统 a a a a ( ) 1 cl clp cl pcly cly p L D DLsL

4、p TsHrHr L RsLDLH DH sL 其中 为开环传函或称回路传函 设：Hr =Hy =1， ，则 回路增益为 a cl p DL Hy sL DK clcl a a ( ) () cl pcl KL p sR sLKL a cl p KL L ， 而在W的作用下（设R=0，V=0） 而在V的作用下（设R=0，W=0） a a ( ) () cl pcl KL p sV sLKL a 1 ( ) () pcl p sW sLKL 用迭加原理，可得 设V的稳态值为c 稳态解为 aa aaa 1 ( ) ()()() clcl pclpclpcl KLKL p sRWV sLKLsLKL

5、sLKL aa aaa aa aaa 1 1 111 clcl ss pclpclpcl clcl ppp clclcl ppp KLKL pabc LKLLKLLKL LL KK LLL ab LLL KKK LLL c 1. 结论 a.若在常值扰动作用下，闭环系统的误差比 开环系统小 倍，其中 是s=0时的回路增益 b.若在常值噪声作用下，闭环系统是无法克服 的，并且常值噪声几乎对输出的影响与输入 的影响是相当的 a 1(/) clp KLL a (/) clp KLL 因此： （1）对传感器来说必须增加信噪比 （2）Hy应设计动态环节来抑制噪声 计算实例 若设 、 、a=1 、b=0.1

6、7 、 开环系统 无扰动时 有扰动时 误差 或 a 27.276L1.7 p L 0.06 ol K 27.276 0.0610.96 1.7 a ssol p L pKa L a 10.17 0.961.06 1.7 ssol pp L pKab LL | 0.1 olssss pp 0.1 100%10.42% 0.96 ol ss P 闭环系统 无扰动时 有扰动时 误差 或 故闭环系统比开环系统的抗干扰能力提高了100 倍以上。 a a (/) 160 10.99 1(/)1 160 p sscl clp LL pKa KLL a (1/) (1/1.7) 0.990.170.9906

7、1(/)1 160 p ssss clp L ppb KLL | 0.0006 clssss pp 0.0006 100%0.06% 0.99 cl ss P 四、系统增益对参数不确定性的灵敏度 1. 开环系统： 系统增益即开环增益 （s=0 的值） 参数的不确定性可表达为：飞机飞行时由初 始状态A变化为 ,这样开环增益则从 变化 为 a ( ) ololol p L TsKKA L AA ol T olol TT 则 考虑开环增益的相对变化误差定义为 () ololololololol TTKAAKAKATKA olol TKA olol olol TKAA TKAA 且定义 为关于参数A从

8、输 入R到输出 的系统增益的灵敏度函数，开环系 统的系统增益灵敏度为： 2. 闭环系统：系统的增益为 (/)/(/) ol olol T A STTA A p 1 ol T A S 0 (/) | 1(/)1 a a clp cl cls clpcl KLL KAp T RKLLKA 当 时， 为求 则考虑到 ： （ ） 故 ： （一个好的系统的灵敏度应足够的小） AAA clclcl TTT () 1 () clcl cl cl AAK TT AAK cl cl T T cl cl dT TA dA ( ) clcl TTA () clcl clcl T dTAA TTdAA 从而闭环系统的

9、系统增益的灵敏度的定义为 与开环系统相比：在反馈子系统中，系统传 函的增益（s=0）对受控对象参数的灵敏度是开 环系统的 倍。 2 (1)(1)()1 (1)1 ol T clclclclclcl A clclclcl dTKAKKAKA KA S TdAKKAKA 1/(1) cl KA 计算实例：闭环系统 表明若 变换10%，即 则系统增益 此时 仅取为10 而开环系统 因此 ： 则 a 11 0.0062 1(/)1 10 16 ol T A clp S KLL a (/) p LL 10% A A 0.062% cl cl T T cl K 1 cl T A S 10% A A 10%

10、 ol ol T T 所以闭环系统的灵敏度仅为开环系统的 0.0062倍，能极大地抑制参数的不确定性。 五、抗噪声问题 建立误差方程 则 仿照灵敏度的定义 EpR aa aaa a 1 () 111 cl pp clclcl ppp LL K sLsL W ERV LLL L KKK sLsLsL 定义灵敏度函数 补充灵敏度函数 则误差方程 ( )( ) 1 1( )( ) D sG s T D sG s a W ERTVG WW L a 11 1( )( ) 1 cl p L D sG s K sL 若设计D(s)，使 ，意味着 （1） （2） （1）可以做到 （2）不可能，如何解决 0E

11、0 0T 假定： （1）R和W并不是在所有频率范围内都有很大的 值，即R和W的变化是不一致的，变化的范 围也不同 （2）可以设计Hy，使得V经过Hy后在低频段保持 有较小的值，即传感器只在对象变化时有 输出，类似高通滤波器。 （3）设计D，使得 在R和W主频范围内很小， 也可以使得T在高频范围内的分量很小，这 样就可以获得。 六、根据灵敏度函数定义的性能指数 1.到目前为止，还是通过系统对简单的阶跃或斜 坡输入信号的瞬态响应来描述系统的动态性能 （如二阶系统）。 2.对于实际的输入信号，更为精确的描述是将信 号看成是有一定功率谱密度的随机过程。 3.设u(t)是单变量随机过程。一般而言，随机过

12、 程的统计特性（平均值、均方差、相关函数和 频谱函数等）也是随时间变化的，这种过程称 为非平稳随机过程，但非平稳随机过程的处理 方法还没有成熟的方法。目前的应用中，往往 限于研究平稳随机过程，即该过程的统计特性 不随时间变化，因此功率谱密度只研究平稳随 机过程的特性。 4.平稳随机过程u(t)的统计特性 平均值定义为 平稳随机过程 u(t)的平均值 或称高斯 随机过程 0 1 lim( ) 2 T u Tt u t dt T 0 u u(t)的均方差定义为 U(t)的相关函数 在物理意义上， 反映了随机过程u(t)在 时间坐标轴上的先后相关程度。 22 0 1 lim( ) 2 T u Tt

13、u t dt T 0 1 ( )lim( )() 2 T u Tt Ru tu tdt T ( ) u R （1）若 则 （2） 为偶函数 （3） 表明若间隔 无限增大，u(t) 失去了先后相关性 （4） 为u(t)的特征时间 0 2 (0) uu R ()( )RR lim( )0R 2 0 1 ( ) t u TRd 相关函数 的Fourier变换即是相关函数的频 谱函数 其中： 是时间频率， 由于 ，则 ( ) u R 1 ( )( ) 2 j uu Red ()( ) uu RR ()( ) uu 相关函数是频谱函数的Fourie逆变换 因此 可见频谱曲线 与 轴范围的面积分就 等于u

14、(t)的方差 。 ( )( ) j uu Red 2 0 (0)2( )( ) uuuu Rdd ( ) u 2 u 而均方差 则表征了随机过程的功率或能量 的大小。因此频谱函数 表征了随机过程的功 率按频率 的分布。（频率 （ ）内功率 的大小），故称 为功率谱密度。 u ( ) u 0 ( ) u 在飞行环境中，一般大气紊流均采用功率谱 密度的形式来表示，只是采用空间频率作为自变 量，空间频率 和时间频率 之间的变换如下 （ 为飞行器的速度） x V x V 两种大气紊流模型 GJB185-86 (1)德莱顿模型，解析函数，适合数学仿真 (2)冯卡门模型，适合设计 两种模型在高频段略有差异

15、 为了简化分析，但又不失一般性，可以认为 这些信号是由某特定范围内的正弦信号合成的。 比如经常描述的参考输入信号，它是一组具 有不同频率的正弦信号的和，而各种频率的正弦 信号的幅值|R|可由下图描述 从图中可以看出： (1)由正弦信号分量组成的信号，一直到大于 后，幅值才极小可忽略。于是可以这样描 述性能指标： 对于任何驱动频率 ， 幅值为 的正弦信号,系统误差的幅值应小于 。 1 0 01 0 0 |()|R j b e 考虑单位反馈系统，则误差的频率响应为 （1） 1 ()() 1 E jRs jR DG 其中，s为灵敏度函数 （2） 灵敏度函数也正是 的乃奎斯特图上的 曲线 到（-1，0

16、）点距离的倒数，因此 越大，表示 曲线到（-1，0）点的 距离越小，曲线 越接近（-1，0）点。 11 () 11() S j DGDG j ( )DG s ()DG j |()|S j ()DG j ()DG j 根据式（1），频域内的误差指标可表示为 （3） b E js jR js jR je 为了使问题规范化，以及不必每次定义幅值R和 误差限度 。定义频率的实数方程： 则此（3）式可以写为 （4） b e 1( ) b R W e 1 |1SW 若 ，则 ，带入(4） 得到 （5） |() |1DGj 1 () () Sj DGj 1 |() |DGjW 这个约束条件可以看作是稳态误差

17、指标的延 伸，只不过信号频率由 的一点变成了 上述性能指数是动态性能指数的延伸而已。 0 01 0 七、鲁棒性指标 除了保证系统有良好的动态性能，还应考虑 系统的鲁棒性，即在可预期的不确定性因素的影 响下，受控对象的传函发生变化时，针对各个传 函所做的设计仍是稳定的。为了描述这种不确 定性，需首先定义不确定性。 不确定性：主要是指对象的不确定性。 理由：没有任何一个物理系统可以用准确的 数学模型代表。由于这一原因，我们 必须了解建模误差对控制系统性能的 影响。 1.对象的不确定性 不确定对象的建模的基本方法是用一个 集合来代表对象模型，这个集合可以是结 构化的或者非结构化的。 结构化：系统中存

18、在有限个不确定参数 minmax 2 1 : 1 Maaa sas 非结构化：系统在每个频率下其频率响应位于复 平面的一个集合内 一般来说，非结构化更为重要，因为它可以 导出简单而实用的设计理论。 () () ii ii G j M P j 具体来说，考虑这样的不确定问题，即 其中： 是标称对象的传递函数的频率响应 是由于参数的不确定性或摄动造成 的实际对象模型 是一固定的、稳定的传递函数 是一可变的、稳定的传递函数，且 02 02 ()()(1) ()()(1) G jGjW P jP jW 0( )P j 2 W ()P j |1 其中： ，称为 的 范数。也代 表了 在Bode图上的峰值

19、，也写为 ，称为 的上确界或 者最小上界。 进一步假定在构成 中没有消掉 的任何不 稳定的极点，即 和 有相同的不稳定极点。这 样的摄动 称为可容许的。 |max |()|j |()|j |sup|()|j |()|j P P P P 由 及 得 与 则： 的模型的含义是 是偏离1的标准化的 对象摄动，或不确定性只能引起偏离1的标 准化的对象摄动。 从而：因 ，则 2 (1)GW G 2 (1)PW P 2 1 P W P 2 1 G W G P 2 W |1 可见 给出了不确定的范围。这个不 等式在复平面描绘了一个圆，在每一个频率 ， 都位于以1为圆心，以 为半径的圆内。这 种不确定性也称为

20、圆不确定性（或乘积圆状不确 定性），是一种非结构性摄动的集合。 2 22 2 () 1() () ()()()() () P j Wj P j jWjjWj Wj 2( )Wj /P P 2 W 一般情况下， 是 的增函数，不确定 性随频率的增加而增加。 的主要目的是为了考虑相位不确定性，同 时也可作为摄动幅值的尺度因子， 在（0，1） 内变化。 2 |()|Wj | 例题：寻找 设标准对象 ，实际传函 通过将 代到集合 中 并使用延迟因子 作为乘积摄动的表征 这样对 带入各式后得 2 W 2 1 ( )P s s 2 1 ( ) s P se s 00.1 P 2 1:1WP s e 2 (

21、) |1| |()| () P j Wj P j 2 |1| |()| j eWj 在Bode幅频特性上，就可以找到 幅频 特性的上确界 ，满足 （1） 是稳定的 （2）在 内， 是最小上确界 （显然只要 ，即 具有最 大的幅值），所以 可由 时确定， 1 j e 2( )Wj 2( )Wj 00.1 2( )Wj 0.1|1| j e 2( )Wj0.1 2 0.21 ( ) 0.11 s W s s 乘积摄动模型，并不适合所有情况，作为圆 的不确定性集合，有时是一种太粗糙的近似，在 这种情况下，依据乘积不确定性模型设计的控制 器相对原有的不确定性模型（非圆）有可能太保 守。 其它一些不确定性模型的形式， ， 在采用每一种模型时都要对 和 作适 当的假设。 2 /(1)PWP 2 PW 2 /(1)PW 2 W 八、鲁棒稳定性 1.引入 范数后的性能指标表达 动态性能指标 ， 显然对于 而言，要满足 则上述动态性能指标可写为 |:| 1 | ()()| 1s jWj 1 | ()()| 1s jWj 1 ()()1s jWj 2.鲁棒稳定性 鲁棒概念可做如下描述： 假定对象传递函数属于一个集合M，考察反 馈系统的某