理论力学 拉格朗日方程

1、1 2 本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导 出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日 方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问 题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显 得十分简捷、规范。得十分简捷、规范。 3 171 动力学普遍方程动力学普遍方程 172 拉格朗日第二类方程拉格朗日第二类方程 173 拉格朗日第二类方程的积分拉格朗日第二类方程的积分 第十七章

2、第十七章 拉格朗日方程拉格朗日方程 4 iiiiiiii amQaNFmM ; , , , :设质点系有设质点系有n个质点个质点，第i个质点 0 i QNF ii 若质点系受有理想约束若质点系受有理想约束，将 作为主动力处理，则： i Q 0)( iii rQF 解析式解析式： 0)()()( iiiiiiiiiiii zzmZyymYxxmX 17-1动力学普遍方程动力学普遍方程 动力学普遍方程。动力学普遍方程。 5 例例1 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光 滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。试求三 棱柱A的加速度。 解解：研究两三棱柱组 成的系统。该系统受

3、理想 约束，具有两个自由度。 r r B e B r B e BB A maQmaQ QQQ MaQ , 在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的 主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。 6 由动力学普遍方程： 0)sincos()cos( B r B e BA r B e BA sQQQxQQQ 系统为二自由度，取互不相关的 为独立虚位移， 且 ，所以 BA sx, mgQ 0sincos 0cos r r mamgma mamaMa 解得： g mM m a )sin(2

4、2sin 2 7 17-2拉格朗日第二类方程拉格朗日第二类方程 设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是 理想约束，自由度 k=3n- s 。 下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。 质点 。若取系统的一组广义坐标为 ，则 iii rmM , : k qqq, 21 )( )2 , 1( )( ), 2 , 1( ),( 1 21 bni t r q q r dt rd v anitqqqrr k j i j j ii i kii 称 为广义速度广义速度。 dt dq q j j 8 k j j j i i cniq q r r 1 )( ), 2 , 1( 代入质点系动力

5、学普遍方程，得： n i n i iiiii n i iiii dramrFramF 111 )( 0)( k j jj k j j j i i n i j i i j i i k j n i j j i i k j j j i n i i n i ii qQ q q z Z q y Y q x X q q r Fq q r FrF 1 11 11111 )( )()( 9 称 为广义力广义力 )( )( 1 e q z Z q y Y q x XQ j i i j i i j i i n i j 0)( )()( 11 1111 j j i k j n i i ij n i j k j j

6、i ii k j jj n i iiii q q r dt vd mQ q q r amqQramF 则 )( ),2 , 1( 0 1 fkj q r dt vd mQ j i n i i ij 广义惯性力 10 广义惯性力可改变为用质点系的动能表示 , 因此 )()( 111 j i n i ii j i i n i i j i n i i i q r dt d vm q r v dt d m q r dt vd m 为简化计算 , 需要用到以下两个关系式： j i j i j i j i q v q r dt d q v q r ; 下面来推导这两个关系式： 第一式只须将(b)式两边对

7、求偏导数即可得到。 j q 11 第二式可比较(a)式先对ql求偏导数 再对t求导数与(b)式对 ql求偏导数的结论得出。 : ,)( ) 2 1 () 2 1 ( )( 1 2 1 2 111 得式代入f q T q T dt d vm q vm qdt d q v vm q r v dt d m q r dt vd m jj n i ii j n i i j j i n i ii j i i n i i j i n i i i i ),1,2,( kjQ q T q T dt d j jj 拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。 12 如果

8、作用于质点系的力是有势力，则广义力 可用质点系的势 能来表达。 j Q ),1,2,( )( ),1,2,( )( 1 1 kj q U Q q z z U q y y U q x x U kj q z Z q y Y q x XQ j j j i ij i ij i i n i j i i j i i j i i n i j 而拉氏方程为：),1,2,( kj q U q T q T dt d jjj 引入拉格朗日函数：引入拉格朗日函数：L=T-U 则： ),1,2,( 0 )(kj q L q L dt d jj 保守系统的拉格朗日方程。保守系统的拉格朗日方程。 13 应用拉氏方程解题的步

9、骤：应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。 2. 计算质点系的动能计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。，表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力计算广义力 ，计算公式为：，计算公式为： ),1,2,( kjQ j )( 1 j i i j i i j i i n i j q z Z q y Y q x XQ 或 j j j q W Q )( 若主动力为有势力，须将势能若主动

10、力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。表示为广义坐标的函数。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。个二阶常微分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。求出上述一组微分方程的积分。 14 例例1 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P， 可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固 定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。 系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。 所受约束皆为完整、理想、定常的， 可取OA杆转角 为广义坐标。 r rR r v rRv A A A )( 解解：图示机构只有一个

11、自由度 15 22 2 2 2 22222 222 )( 92 12 1 )( 2 1 2 1 )( 2 1 )( 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 rR g QP r rR r g Q rR g Q rR g P Iv g Q IT AAAO 0 ; )( 92 6 1 ; )( 92 6 1 2 2 )( )( T rR g QPT dt d rR g QPT M W Q MW 16 代入拉氏方程： g )(92( 6 0 )( 92 6 1 2 2 rRQP M M rR g QP 积分，得： 21 2 2 )(92( 3 CtCgt rRQP M 2 2 )(92( 3 gt r

12、RQP M 故： 代入初始条件，t =0 时， 得0 0 , 0 2100 C C 17 例例2 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。 解解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守 系统。取x , 为广义 坐标，x 轴 原点位于 弹簧自然长度位置， 逆时针转向为正。 18 cos2 )sin( )cos( 222 2 22 l x lx l lxv B 系统动能：系统动能： cos 2 1 )( 2 1 )cos2( 2 1 2 1 2 1 2 1

13、 2 22 2 2 21 222 2 2 1 2 2 2 1 l xmlmxmm l xlxmxmvmxmT B 19 系统势能系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为 重力势能零点） cos 2 1 2 2 glmkxU 拉格朗日函数：拉格朗日函数： kx x L lmxmm x L glmkxl xmlmxmm UTL , cos)( cos 2 1 cos 2 1 )( 2 1 221 2 2 2 22 2 2 21 20 sincos)( sinsin , cos sincos)( 22 2 2 222 2 2 2 2221 l xml xmlm L dt d glml

14、xm L l xmlm L lmlmxmm x L dt d 代入： 0sin cos 0sincos)( ),1,2,( 0)( 2 2221 glx kxlmlmxmm kj q L q L dt d jj 并适当化简得： kx x L lmxmm x L glmkxl xmlmxmm UTL , cos)( cos 2 1 cos 2 1 )( 2 1 221 2 2 2 22 2 2 21 21 0sin cos 0sincos)( 2 2221 glx kxlmlmxmm 系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。 0 0)( 221 glx kxlmxmm 上式为系统在平衡位置(x

15、=0, =0)附近微幅运动的微分方程。 若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 1o, cos 1, sin ，略去二阶以上无穷小量，则 22 17-3 拉格朗日第二类方程的积分拉格朗日第二类方程的积分 对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式 的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一 步简化。 保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循 环积分。 一、能量积分一、能量积分 设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - U 中不显含t ，则 23 j j k j j j k j j j k j j j k j j q q L q L dt d q q L d

16、t d q q L q q L dt dL )()( 11 11 0)( 1 Lq q L dt d j k jj )( 1 常数CLq q L j k jj 广义能量积分。广义能量积分。 保守系统的拉格朗日函数不显含时间t 时，保守系统的广 义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为 = 0 24 系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。 )( )(2 1 常数CUTUTTLq q L j k jj 二、循环积分二、循环积分 如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qr , 则该坐标 称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。 当 为系统的循环坐标时，必有 )( krqr 0 r q

17、L 于是拉氏方程成为 0)( rr q L q L dt d 25 )( )( krC q L r 常数 积分得： 循环积分循环积分 因L = T - U，而U中不显含 ，故上式可写成 )( )(常数CP q T UT qq L r rrr r q Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。 一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止 一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。 能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。 26 例例 3 楔形体重P，斜面倾角，置于光滑

18、水平面上。均 质圆柱体重Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始 系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动 微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能量积分与循环积 分。 解：解：研究楔形体与圆柱体组成 的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ；各坐标原 点均在初始位置。 27 系统的动能系统的动能： )( cos 4 3 2 1 )( 2 1 2 1 )cos2( 2 1 2 1 22 22222 asx g Q s g Q x g QP r s r g Q sxsx g Q x g P T 系统的势能系统的势能： 取水平面为重力势能零点。 )