疲劳和断裂第三讲

1、1 2 ： 7075-T6铝 R=-1,恒幅 45678 X=lgN 10 50 99.9 Pf 100 7075-T67075-T6铝合金铝合金对数疲劳寿命分布对数疲劳寿命分布 2 43 0.1 1 70 30 99 90 5 1 Sinclair和Dolan,1953. 15 3 207MPa下下 57件，寿命件，寿命: 2106 108次；次； 240MPa下下 29件，寿命件，寿命: 7105 4106次次 275MPa下下 34件，寿命：件，寿命：1105 8105次次 310MPa下下 29件，寿命：件，寿命：4104 1105次次 430MPa下下 25件，寿命：件，寿命：1.5

2、104 2104次。次。 共共174174件件 N S(MPa) 400 300 200 101041010101010101010 5678 k lgN 20 15 10 5 678 +207 MPa 共共57件件 寿命分布直方图寿命分布直方图 100 102 倍倍 4 a a i i 5 材质不均匀，加工质量，加载误差，试验环境等。材质不均匀，加工质量，加载误差，试验环境等。 裂纹、缺口件的疲劳破坏局限在裂纹或缺口高应裂纹、缺口件的疲劳破坏局限在裂纹或缺口高应 力局部，上述因素影响较小。力局部，上述因素影响较小。 给定应力水平下，寿命小于给定应力水平下，寿命小于N的概率的概率pf？ 存活率

3、为存活率为ps（如如99%）的疲劳寿命？）的疲劳寿命？ 疲劳寿命常用对数正态分布、威布尔分布描述。疲劳寿命常用对数正态分布、威布尔分布描述。 6 0 f(x) m m x=X 正态概率密度曲线正态概率密度曲线 对数疲劳寿命对数疲劳寿命lgN常常是服从正态分布的。常常是服从正态分布的。 令令X=lgN, X 即服从正态分布。即服从正态分布。 f x x ( )exp () 1 22 2 2 m 密度函数：密度函数： ( - x ) m m是均值；是均值；f (x)关于关于x=x=m m对称对称 为标准差，是非负的。为标准差，是非负的。 7 越小，越小， f (m m)越大，曲线越越大，曲线越 瘦

4、，瘦，X的分散性越小。的分散性越小。 故标准差故标准差 反映反映X的分散性。的分散性。 (1) f(x) 0 ; 随机变量随机变量X取值取值的的可能性非负。可能性非负。 在在x=m m处处, f (x)最大，且最大，且: f(x=m m)=12 ：(无论分布形式如何无论分布形式如何) 1)(dxxf(2) ；所有取值的总可能为；所有取值的总可能为1。 f x x ( )exp () 1 22 2 2 m 0 f(x) m m x=X 正态概率密度曲线正态概率密度曲线 8 dx x dxxfxXxF xx 2 )( exp 2 1 )()Pr()( 2 2 m F(x)是是X小于等于小于等于x的

5、概率的概率, 是是f(x)在在x左边的面积左边的面积。 0 f(x) m m xX 正态概率密度曲线正态概率密度曲线 F(x) 1-F(x) 1)(dxxf 9 令令, , 即有：即有： ux()m xum 注意注意 dx=dx= du, du, 由由公式可得到公式可得到 为：为： ( - u ) ( )( )exp()uf x dx du u 1 2 1 2 2 U 0-uu (u) 标准正态分布密度函数 u服从均值服从均值 m m=0=0、标准差、标准差 =1=1的正态分布。的正态分布。 则为：则为： )() 2 1 exp( 2 1 )( 2 m x duuu u 10 u0或或 (u)

6、0.5，利用利用 (-u)=1- (u)的关系求解。的关系求解。 注意有：注意有： (0)=0.5 ； (-u)=1- (u)； Pr(auQ0, 故相关系数故相关系数 r 1 30 X Y 0 r 1 完全相关完全相关 X Y 0 r - -1 完全相关完全相关 X Y 0 r0 完全不相关完全不相关 r r 当当 时，有时，有Q0 0， 数据点基本在回归直线上，变量数据点基本在回归直线上，变量X X、Y Y相关密切；相关密切； 1 r rQ Lyy 2 1 / , Q , 数据点越分散，相关越差；数据点越分散，相关越差； 若若 0， X、Y完全不相关。完全不相关。 相关系数相关系数r与与B

7、同号，同号，r0, 则则B0，正相关；正相关； r0，B0，负相关。负相关。 r r X Y 0 0r1 正相关正相关 X Y 0 - -1r0 负相关负相关 31 回归方程回归方程反映随机变量间的相关关系？反映随机变量间的相关关系？ 是相关系数起码值，可查表。是相关系数起码值，可查表。 与样本容量与样本容量n有关，有关，n越大，越大， 越小。越小。 与置信水平 与置信水平 有关，有关， =1- 越大，越大， 越大。越大。 是是显著性水平显著性水平 ，或或纳伪概率。纳伪概率。 r r r 相关性检验条件相关性检验条件为：为： rr 表表3-4 相关系数相关系数 的起码值的起码值 n-2 0.0

8、5 0.01 n-2 0.05 0.01 n-2 0.05 0.01 1 0.997 1.000 5 0.754 0.874 10 0.576 0.708 20 0.423 0.537 30 0.349 0.449 40 0.304 0.393 r 32 对应于任一对应于任一x0，y0正态分布，正态分布， n大时，分布参数可估计为：大时，分布参数可估计为： m m= =A+Bx =s=Q/(n-2)1/2 =(Lyy-B2Lxx)/(n-2)1/2 y Y X 0 x 0 y0 y =A+Bx 利用回归方程进行统计推断利用回归方程进行统计推断 y y0= +3s y y0= -3s 直线直线

9、y= +ups所对应的概率为所对应的概率为 p=Pr(Y y) 。 如，如，up=3时，时，p=99.87%， 故故y落在落在y= +3s之下的概率为之下的概率为99.87%，上限。，上限。 y y up=-3时，时，p=0.13%，y= -3s 为为0.13%的下限。的下限。 y在在y= +3s间的概率为间的概率为p=99.74%。 up=0时，时，p=50%，故，故y= =A+Bx对应概率对应概率50% y y y 33 获取样获取样 本数据本数据 (x(xi,y,yi) ) 共共n n对对 下面通过一例题，进一步了解其分析步骤。下面通过一例题，进一步了解其分析步骤。 作作 散散 点点 图

10、图 回归方程回归方程 的形式的形式 y=A+Bx 最小二乘最小二乘 法确定回法确定回 归系数归系数 A A、B B 相相 关关 系系 数数 r 相关性检验相关性检验 rr 用回归方程进行用回归方程进行 预测和统计推断预测和统计推断 34 实验得到：实验得到： Ly12铝合金板材，铝合金板材， 在在Smax为为199、166、141.2、120.2 Mpa 四种应力水平下的疲劳试验结果四种应力水平下的疲劳试验结果 ， 循环应力比循环应力比R=0.1 试用最小二乘法拟合试用最小二乘法拟合S-N曲线和曲线和P-S-N曲线。曲线。 35 序号序号 Smax (MPa) 破坏率破坏率 存活率存活率 i

11、199 166 141.2 120.2 Pi=i/n+1 Ri=1-pi 1 4.914 5.093 5.325 5.721 0.0909 0.9091 2 4.914 5.127 5.360 5.851 0.1818 0.8182 3 4.929 5.130 5.435 5.859 0.2727 0.7273 4 4.964 5.140 5.441 5.938 0.3636 0.6364 5 4.964 5.146 5.470 6.012 0.4545 0.5455 6 4.982 5.167 5.471 6.015 0.5455 0.4545 7 4.982 5.188 5.501 6.0

12、82 0.6364 0.3636 8 4.996 5.204 5.549 6.136 0.7273 0.2727 9 5.029 5.220 5.582 6.138 0.8182 0.1818 10 5.063 5.248 5.612 6.165 0.9091 0.0909 36 4.55.05.56.06.5 X=lgN 99.9 99 90 70 50 30 10 1 0.1 Ps 100 对数疲劳寿命分布对数疲劳寿命分布 Smax=199 Smax=166 Smax=141.2 Smax=120.2 37 Si x=A+Bup=lgN i (MPa) A B r lgS Ps=50% P

13、s=99.9% up=0 up=-3.09 1 199.0 4.9737 0.0566 0.975 2.2989 4.9737 4.7988 2 166.0 5.1663 0.0571 0.988 2.2201 5.1663 4.9899 3 141.2 5.4746 0.1084 0.989 2.1498 5.4746 5.1396 4 120.2 5.9917 0.1722 0.973 2.0799 5.9917 5.4596 回归方程估计的存活率回归方程估计的存活率ps为为50%和和99.9%时的时的x。 r =0.765 =0.01 38 由前表所列由前表所列ps为为50%和和99.9

14、%时的二组时的二组lgS lgN数数 据，给出了给定存活率据，给出了给定存活率ps下的下的S-N关系。关系。 双对数坐标图上，这二组双对数坐标图上，这二组 S-N数据呈线性关系。数据呈线性关系。 56 lg Nlg N 2.3 2.2 2.1 lg S 双对数坐标下的双对数坐标下的S-N图图 ps=50% ps=99.9% 1 2 39 ps100 lgS=a+blgN r SmN=C a b M C 50 3.2965 -0.2054 -0.971 4.869 1.1241016 99.9 3.8739 -0.3309 -0.983 3.022 5.0921011 可知，对于本例，可知，对于

15、本例， 中值中值S-N曲线为：曲线为： ps=99.9%的的p-S-N曲线为：曲线为： 16869.4 max 10124.1NS %)9 .99(10092. 5 11022. 3 max s pNS 40 1）疲劳寿命分散性显著。）疲劳寿命分散性显著。S越低，越低，N越长，分散越长，分散 性越大。性越大。 2）对数疲劳寿命可用正态分布描述。）对数疲劳寿命可用正态分布描述。 xp=lgNp=x+ups; x m m ; s 3）三参数威布尔分布为：）三参数威布尔分布为： N0-下限；下限； Na-特征寿命参数；特征寿命参数；b-形状参数。形状参数。 F N NN NN a b ()exp () 1 0 0 41 5 5）回归分析的主要任务是：）回归分析的主要任务是： 寻找随机变量间相关关系的近似定量表达式；寻找随机变量间相关关系的近似定量表达式； 考查变量间的相关性；考查变量间的相关性； 利用回归方程进行预测和统计推断。利用回归方程进行预测和统计推断。 7）相关系数）相关系数 r可检验回归方程与样本数据相关性可检验回归方程与样本数据相关性 的密