广义相对论(选修课)

1、天体物理所 邱涛涛 办公室：9#楼1218室 邮箱： 共31个课时，分15讲+一次期末考试 讲课内容： I 广义相对论部分 共七讲 II 宇宙学部分 共八讲 期末考试方式：开卷考试或提交论文 俞允强著广义相对论引论热大爆炸宇宙学宇宙 物理学讲义 刘辽、赵峥等著广义相对论广义相对论基础 S.Weinberg著引力论与宇宙论 19世纪末的两朵乌云相对论的诞生 “物理学已经被认为是完成了，下物理学已经被认为是完成了，下 一代物理学家可以做的事情看来不一代物理学家可以做的事情看来不 多了多了” “在物理学平静而晴朗的天空出现在物理学平静而晴朗的天空出现 了了两朵两朵令人不安的小小乌云令人不安的小小乌云

2、。” 英国著名科学家开尔文勋爵于 1900年4月27日在英国皇家学会迎 接新世纪的年会上发表的贺词。 物理发展到19世纪末，经典物理的框架已经形成，力热光电 等所有经典物理规律都可以用当时已知的理论去描述，人们 认为物理学的大厦已臻完工。 威廉汤姆森（开尔文勋爵） 19世纪末的两朵乌云相对论的诞生 测量光速不变，违反牛 顿力学体系中物体的速 度相对性的结论 传统的经典方法计算的黑 体辐射谱与实验不相符合 相对论的建立（本科要讲） 量子论的建立（量子力学 课中会讲到） 迈克尔逊迈克尔逊- - 莫雷实验莫雷实验 黑体辐射实黑体辐射实 验验 相对论相对论和量子论量子论是现代物理学的两大基石！ 牛顿绝

3、对时空观：牛顿绝对时空观：存在绝对静止的 “以太”，地球以一定速度v在以太 中穿行。 光行差现象：同一星体照射向地球的 光的方向随季节变化：被认为是地球 相对于以太运动的结果。 什么是“以太”？ 以太的概念最早由亚里士多德（公元 前384年-公元前322年，约中国战国 时期）提出，他认为天空中充满轻而 透明的以太 亚里士多德 伊萨克牛顿 麦克尔逊-莫雷实验的目的：测出 地球相对于以太的运动速度。 平行“以太”运动方向：光的运动速度为 c+v（顺着以太运动方向）和c-v（逆着以 太运动方向） 垂直“以太”运动方向：光的运动速度为 两条路所经历的时间差： 但实验上并未测到时间差！ 2 000 0

4、3 22 2lllv tl cvcvc cv 22 cv v c 22 cv A.麦克尔逊E.莫雷 相对于绝对空间运动的尺子在运动方向上会 产生收缩！ 沿v方向上的光程不是 ，而是 ！ 垂直v方向上的光程仍是 时间差公式变为： 0 22 2lll t cvcv cv 22 0 01/tllvc 由于物体相对运动产生的收缩效应： 洛伦兹收缩（尺缩效应） H.洛伦兹 （1853-1928） 经典力学体系中的惯性坐标变换（伽利略变换伽利略变换）无法给出物体 在运动中产生收缩的性质！ 伽利略变换 而洛伦兹采取的一套新的惯性坐标变换（洛伦兹变换洛伦兹变换）则能自 然给出物体这一性质！ 洛伦兹变换 注意：

5、当 时，洛伦兹变换 - 伽利略变换，即伽利略变换是洛伦兹 变换的低速极限！ xxvt yy zz tt 22 1/ xvt x vc yy zz 2 22 / 1/ tvx c t vc vc 洛伦兹变换（以一维空间为例）： 22 1/ xvt x vc 2 22 / 1/ tvx c t vc 假设其中(t,x)为静止坐标系，(t,x)为运动坐标系。 设静止系中尺子的长度是x，现在若要在静止系中测量运动系中 尺子的长度x，我们需要“同时同时”测量尺子的两端，而“同时” 意味着t=0. 由洛伦兹变换公式得运动系中尺子的长度为 22 1/ x xx vc 因此运动系中尺子长度变短。 该效应又被称

6、为“尺缩效应尺缩效应”。 x x v 同理，我们还能有洛伦兹变换得出运动参考系时钟变慢的现 象。该效应被称为“钟慢效应”。 出发点：麦克斯韦电磁理论 中含光速c。若光速随参考系改变而改变的话，麦 克斯韦电磁理论也将随参考系改变而改变！ 爱因斯坦 洛伦兹虽然得到了高速运动的物体正确的坐标变换形式，但他仍然相信绝 对时空，即“以太”的存在，并把速度v理解成物体相对于以太的速度！ 爱因斯坦对时空观的思考（独立于洛伦兹） 但物理规律不应随着参考系的改变而改变（伽利略相对性原伽利略相对性原 理理），因此光速c只能是一个常数，但这又与速度叠加原理矛盾！ 他认为对高速运动的物体不 应该只遵循简单的叠加原理，

7、 而是有更复杂的关系！ 根据这个思路并凭借自己扎实的数学功底，爱因斯坦也推导出了和洛伦兹变 换相同的变换形式。 但不同的是，爱因斯坦认为既然物理规律在任何惯性参考系下都相同，那就 没有什么参考系是“绝对”的，大家都在彼此做相对运动大家都在彼此做相对运动，所以他把变换中 的速度v解释成所作变换的两个参考系之间的相对速度。（狭义）相对论（狭义）相对论 麦克斯韦电磁理论麦克斯韦电磁理论 伽利略相对性原理伽利略相对性原理 速度叠加原理速度叠加原理 相互矛盾- 狭义相对论基本原理： 光速不变原理在任何惯性参考系 内真空中的光速是不变的。 相对性原理物理学的规律在任何 惯性参考系内都是一样的。 “相对论”

8、名称的由来： 洛伦兹在与爱因斯坦的争论中为了 与自己的理论相区别，称其为相对 论。爱因斯坦认为十分贴切，欣然 接受。 马赫认为不存在绝对空间和绝对运动，任何运 动都是相对的。 爱因斯坦对时空观的理解得益于奥地利物理学家马赫。 恩斯特马赫（1838 1916），奥地利-捷克物 理学家，著有力学史评 马赫原理：马赫原理：物体的运动不是绝对空间中的绝 对运动，而是相对于宇宙中其他物质的相对 运动，因而不仅速度是相对的，加速度也是 相对的，在非惯性系中物体所受的惯性力不 是“虚拟的”，而是一种引力的表现，是宇 宙中其他物质对该物体的总作用；物体的惯 性不是物体自身的属性，而是宇宙中其他物 质作用的结果

9、。 犹太人，1879年生于德国小镇乌尔姆，出生不久举家搬到慕尼黑； 小时候天赋一般，但喜欢钻研东西，喜欢看课外书； 在学校不受欢迎，因为一是犹太人，二是无神论者，还喜欢问问题。 在慕尼黑中学退学后去意大利投奔父母； 在意大利考苏黎世工业大学未中，上阿劳中学补习，该学校校风自由， 被其称作孕育相对论的土壤； 后来考上苏黎世工业大学，成绩一般，找不到工作，1902年托朋友找 到一家专利局工作，做普通职员。头几年每年发表一两篇论文，水平 一般； 1905年：爱因斯坦奇迹年。发表了博士论文及4篇重量级论文：光量 子说、用分子运动论解释布朗运动、狭义相对论、质能关系。据认为 得益于专利局的工作，没什么事

10、，可以思考一些自己感兴趣的问题。 1921年，因对光电效应的解释或诺贝尔物理学奖； 1932年，因躲避纳粹赴美国并担任普林斯顿高等研究院教授 1955年，病逝于普林斯顿。 相对论认为，不存在绝对的空间，也不存在绝对的时间， 空间是相对的， 时间也是相对的， 但它们作为一个整体 则是绝对的。 也就是说，存在绝对的“四维时空”。 能量是相对的， 动量也是相对的， 但它们作为一个整体 是绝对的。 也就是说存在绝对的“四维动量”。 光速是绝对的，在任何惯性系中光速都相同。 困难之一：如何定义惯性参考系？ 牛顿的定义：凡是相对于绝对空间静止或匀速直线运动的参考系为惯性系 （绝对时空观绝对时空观） 后牛顿

11、时期的定义：一个不受力的质点在某参考系下静止或匀速直线运动， 则该参考系为惯性系（牛顿第一定律牛顿第一定律） 但何为“不受力”？ 在惯性系中保持静止或匀速直线运动的物体不受力。 爱因斯坦的解决办法：完全抛弃惯性系的概念，而把相对论 理论推广到一般参考系（非惯性系）中去！ 但在非惯性系中有“惯性力”的存在。 “惯性力”该如何处理？ 互为前提的命题！互为前提的命题！ a i F 困难之二：如何包括万有引力？ 爱因斯坦猜想：万有引力和惯性力之间可能有内在联系， 或许这两个困难其实是同一个困难。 当时已知的两种力 电磁力和相对论符合的很一致 万有引力始终未包括到相对论中去 2 g gg GMm Fm

12、r iii Fmam 引力质量定义： 2 g g GMm Fm g r 2 GM g r 惯性质量定义： 另一个问题：质量如何定义？ i Fmaa为加速度 对于自由下落的物体，加速度可以用运动学办法测出！ 实验测得在很高精度范围内 牛顿在自然哲学的数学原理一书中曾阐述质量的定义：“质量就质量就 是物质的量，正比于重量是物质的量，正比于重量”。但他又说：“质量正比于惯性质量正比于惯性”，因此 他也许已经意识到引力质量和惯性质量可能不是一个东西，但在数值 上相等！ a g 两者相比： ig mam g 故 ig mm 这两种阐述实际上分别从引力的角度和惯性的角度上定义质量！ 由力学课内容知单摆周期

13、为 2 l T g 和摆的质量无关。 但若考虑到引力质量和惯性质量的区分， 摆的周期实际上应写为 2 i g ml T m g 其中含质量的比值/ ig mm 若 ig mm 比值为1，则摆的周期与质量无关。 在爱因斯坦时代对引力质量和惯性质量差别的测量： 厄阜： 8 10 Dicke: 11 10布拉金斯基： 12 10 为了更加精确地测量引力质量与惯性质量的差别，牛顿又 设计了单摆实验。 著名的电梯理想实验 a.在场强为g的 引力场中静止 （加速度0） c.在场强为g的引 力场中自由落体 (加速度g) d.在场强为0的引 力场中惯性运动 (加速度0) b.在场强为0的 引力场中加速 （加速

14、度g） 在a，b两种情况中实验者无法区分自己处于哪种情况，在c，d两种情况中 亦如是。 gga a 受到引力质量=惯性质量的启发，爱因斯坦进一步思考：是 否引力（场）和惯性力（场）本质上是一个东西？ 通过电梯理想实验，爱因斯坦认识到一个处在惯性系当中的 受力物体和一个处在非惯性系当中的不受力物体的运动规律 是不可区分的。 g ga a F 引 F 引 F 惯 F 惯 Fm g 引引 Fm a 惯惯 mm 引惯 由得FF 引惯 弱等效原理所有力学规律在任何参考系下都是等价的。 强等效原理所有物理规律在任何参考系下都是等价的。 （广义协变原理） 因此，爱因斯坦总结出了奠定广义相对论基础的原理等 效

15、原理（1915年） 同时由于我们可以找一个非惯性系使得在该系内引力和惯性 力互相抵消，而使得物理系统的运动像是在一个“不受力” 且“未加速”的参考系中运动，因此我们可以在某一时空点 的邻域内建立一个“局域惯性系”。 结论：万有引力=惯性力 万有引力和惯性力分别具有如下性质： 1. 惯性力是一种假象力，只有受力物体，没有 施力物体，不遵循牛顿第三定律 2. 在万有引力作用下运动的物体，其运动方式、 轨迹与自身性质（质量、成分等）无关 万有引力不是真正意义上的力，而是一种几何效应！（思想（思想 上的飞跃）上的飞跃） 如何将引力几何化？ 惯性系，物体不受力-匀速直线运动 非惯性系，物体受力-有可能做

16、曲线运动 即力可以改变物体运动的轨迹力可以改变物体运动的轨迹 同样力也可以改变时空的平直性力也可以改变时空的平直性 通常（弱引力）我们认为时空是平直的 若引力场足够强，可能导致时空弯曲 引力引力时空弯曲时空弯曲! ! 在经典数学和物理中，人们所认知的几何是 平直空间中的几何欧几里得几何 欧几里得几何公设（几何原本）： I.从一点向另一点可以引一条直线。 II. 任意线段能无限延伸成一条直线。 III.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心， 该线段作为半径作一个圆。 IV. 所有直角都相等。 V.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同 一边的内角之和小于两个直角，则这两条直 线在这一边必定相交

17、。 欧几里得（前325年前 265年），古希腊数学家， 被称为“几何之父” C 其中第五公设可以等价为如下命题：过给定直线外一点有且只有且只 有一条直线有一条直线与已知直线平行。 因为第五公设很长很复杂，不像是基本的公理，所以很多人 想从其他公设推出第五公设，但都没有成功，有的人耗费了 毕生精力。 K. 高斯 （1777-1855） J. 鲍耶 （1802-1860） N. 罗巴切夫斯基 （1792-1856） 认为第五公设可能不是普遍成立的，即如果从直线外一点可 以引两条以上的平行线，则或许可以建立一套新的几何！ （后人称罗氏几何罗氏几何） 罗氏几何由俄国数学家罗巴切夫斯基于1820年代，为

18、最早建 立的完整的非欧几何。 罗氏几何：从直线外一点可以引两条以上的平行线。 罗氏几何实际上是二维负二维负常曲率空间几何常曲率空间几何。 其他结论：1. 该几何中无法定义“直线”，直线即两点间最短线；2. 三 角形三角之和小于180；3. 圆周率大于等。 N. 罗巴切夫斯基 （1792-1856） 黎曼：过直线外一点一条平行线也引不出来。 罗氏几何和黎氏几何统称非欧几何非欧几何，描述弯曲的空间。1845年， 黎曼又高度统一欧式几何、罗氏几何和黎氏几何，并统称为黎黎 曼几何曼几何。 G.F.B.黎曼 （1826-1866） P 其他结论：1. 该几何中无法定义“直线”，两点之间最短线为大圆周；

19、2. 三角形三角之和大于180；3. 圆周率小于等。黎氏几何实际上是 二维正常曲率空间几何二维正常曲率空间几何。 在熟悉了黎曼几何后，运用自己的相对论知识，爱因斯坦推 出了如下运动方程（爱因斯坦场方程）： 4 18 - 2 G RgRT c 其中 =0,1,2,3表示三维空间和一维时间。 g度规或度规张量 R里契张量 张量，有 个分量 4 416 R 里契标量 33 00 RR g T（物质的）能量动量张量 , 时空（几何）部分 物质部分 该方程为广义相对论的核心方程，形式简洁却很难解，并且只 有少数解有物理对应！ G为万有引力常数 为光速c 平直时空弯曲时空 由于引力起源于质量，他认为时空弯

20、曲起源于物质的存在和 运动，但弯曲的时空又是存在其中的物质运动的动力，因此 时空弯曲和物质的存在和运动是互为因果的。 Geometry tells matter how to move, matter tells geometry how to curve. 约翰惠勒 一切参考系都是相对的。 相对论的核心思想： 问题： 1）不同参考系之间的物理量如何变换？ 2）哪些物理量在参考系变换下是不变的？ 最简单的例子：平直时空下参考系的坐标满足洛伦兹变换： 22 1/ xvt x vc yy zz 2 22 / 1/ tvx c t vc 或矩阵形式： 2 2222 2 2222 1/ 00 1/1/

21、 /1 00 1/1/ 0010 0001 v c tt vcvc xx v c yy vcvc zz 现在来看在不同坐标系下两个事件的间隔。 因为描述一个事件不仅要描述事件所发生的地点（即空间，用3维坐 标 ）来表示，还要描述事件所发生的时间（用1维坐标 来表 示），所以我们通常用一组4 4维坐标维坐标 来描述一个事件。 事件一：某光源发出光信号。 事件二：某处接收器接受到该信号。 设两个坐标系原点重合，即在两个坐标系中看，光源是同时同地发出 信号的，事件一的坐标都是(0,0,0,0)。由于坐标系的不同，事件二在 第一个坐标系中的时空坐标为 , 在第二个坐标系中的时空坐 标为 。 ( , ,

22、 , )x y z t ( , , )x y zt ( , , , )x y z t ( , )x y z t 两事件由光信号联系。由于光速不变，在两个坐标系中光的传播速度都 是c，即 222222 xyzxyz c tt 2222 222222 xyzc txyzc t 若定义两事件间隔为 （注意上例中事件一的坐标为 ），那么事件间隔是不随参考系改 变而改变的！ (0,0,0,0) 222222 21212121 ()()()()dsxxyyzzc tt 注意：上例中两事件是有光信号联系的事件。但对任意两事件（无论有无注意：上例中两事件是有光信号联系的事件。但对任意两事件（无论有无 联系或以

23、何种方式联系），事件间隔都是不变的。详见联系或以何种方式联系），事件间隔都是不变的。详见电动力学电动力学。 于是我们有 由洛伦兹变换可以看到，在相对论中时间和空间是不可分割 的，3维空间和1维时间共同构成一个统一的整体。 在以后的讲课中，我们会用一个带指标的字母 来表示这一组坐标， 即 ( , , , )xct x y z 0,1,2,3 有的教材会把4维坐标写作 ， ，只是 写法上的差别！ 在自然单位制中 ，故 常常略去不写！ ( , , ,)xx y z ct 1,2,3,4 1c c 事件间隔写作 2 1000 0100 (,) 0010 0001 dt dx dsdt dx dy dz

24、dx dx dy dz 度规（后面会讲） 形如上式的度规称为闵可夫斯基（Minkowski,闵氏）度规，所以平直时空 也被称为闵可夫斯基（Minkowski，闵氏）时空！ 3 0 dx dx 爱因斯坦收缩！ 称为哑指标 x 四维时空坐标和事件间隔在坐标系变换下的变换可以写为： dxa dx 22 dsds 标量、矢量和张量的概念 把在坐标系变换下不变的物理量称为标量，如 。标量不带洛伦 兹指标，只有一个分量。 2 ds 把在坐标系变换下像 一样变换的物理量称为矢量。如电磁矢 量 、动量矢量 。矢量带一个洛伦 兹指标，对N维矢量，有N个分量。 dx 123 ( ,)pE ppp 123 ( ,)

25、AA AA 有些物理量更加复杂，带有两个以上洛伦兹指标。这些量在坐标系 变换下作如下变换（以带两个指标为例）： Ta a T 这些物理量叫张量。张量是矢量的推广，带M个洛伦兹指标的张量称M阶张量。 一个M阶N维张量共有MXN个分量。常见的张量有能量动量张量、电磁张量等。 标量、矢量和张量的关系表 物理量物理量带指标数带指标数变换方式变换方式备注备注 标量0不变0阶张量 矢量1洛伦兹变换1阶张量 张量N（=2）洛伦兹变换N阶张量 对2阶张量 ：T TT 对称张量 TT 反对称张量 T 张量的迹0T 无迹张量 任意一个二阶张量 都可以分解成一个对称张量 和一个反对称张量 之和 T () T T (

26、) TTT () 1 () 2 TTT 1 () 2 TTT 其中 上述讨论的是平直时空平直时空的坐标变换。广义相对论认为时空是弯时空是弯 曲的，平直时空只是某种条件下的近似。曲的，平直时空只是某种条件下的近似。在弯曲时空下坐标及 物理量如何变换？ 设在四维弯曲时空中，坐标有如下变换形式： ()xxx ,0,1,2,3 尽管变换的具体形式可能很复杂，但是我们可以写出坐标微分的变换公式： x dxdx x 对于变换方式与该变换相同的矢量，我们称其为逆变矢量逆变矢量。逆变矢量的逆变矢量的 指标写在右上方。指标写在右上方。 另外一些矢量，如空间导数 ，它们的变换规则为： d d dx dxd dxx

27、dx 对于变换方式与该变换相同的矢量，我们称其为协变矢量协变矢量。协变矢量的指协变矢量的指 标写在右下方。标写在右下方。 二阶逆变张量逆变张量变换形式：二阶协变张量协变张量变换形式： 同理，协变矢量和逆变矢量的定义可以推广到n阶张量。 xx TT xx xx TT xx 但由于张量可以带多个指标，所以有的张量部分指标是逆变的，部分 指标是协变的，该张量被称为混合张量混合张量。如： 1212 121 2 1 21 2 1212 mn mm nn mn xxxxxx TT xxxxxx 则该张量被称为(m+n)(m+n)阶混合张量阶混合张量。混合张量是包含了协变张量和逆变 张量的最一般形式。 张量

28、相等的定义：逆、协变指标数相同的两个同阶同阶张量各分量均相等。 张量的加减：两个同阶同阶张量的所有分量相加减。 张量与标量的乘积：张量的所有分量乘以此标量。 张量的代数运算有如下一些性质： 000 0 n ij ji mmn aa a A a aa 000 0 n ij ji mmn bb b B b bb ijij ABab 000000 00 nn ijij jiji mmmnmn abab ab AB ab abab 000 0 n ij ji mmn aa a A a aa 张量指标的缩并 11 11 11 11 mn mm nn mn xxxxxx TT xxxxxx x x 11

29、1 1 11 11 1 1 11 mn m n mn mn m n mn xxxxxx T xxxxxx xxxxxx T xxxxxx 只有m-1个逆变指标、n-1个协变指标参与了坐标变换的运算，故 实际上为m-1m-1阶逆变、阶逆变、n-1n-1阶协变张量阶协变张量，而哑指标不再起张量指标的作用哑指标不再起张量指标的作用。 （克罗内克尔（Kroneker）函数定义为 ） 1, 0, 1 1 m n T 矢（张）量的内积 xx A BA BA BA B xx A B 是一个标量！ 张量内积后上下指标也会缩并，内积后张量降阶！ 注意：缩并和内积只存在于一对上下指标之间！注意：缩并和内积只存在于

30、一对上下指标之间！ 张量是逐点定义的，同一时空点的张量相加减仍具有张量的性质，而 不同时空点张量相加减将失去张量的性质！ 如何在保证张量性质的前提下对不同点的张量相加减？定义张量的 “平移平移”。 以协变矢量平移为例 平移要求：1.平移后的矢量仍是矢量（满足矢量的变换性质）。 2.平移所引起的改变量 正比于原矢量 及平 移的位移 （线性理论要求）。 P点P点Q点 ( )AP ( )A Q ()APQ ( )AP ( )()APAPQ ( )AP ( )AP dx 由平移的第二个要求： ( )()( )( )( )APAPQAPP A P dx 其中比例系数称为（仿射）联络（仿射）联络。 仿射联

31、络在坐标系变换下如何变换？ 在平直时空下 ()()APQAP 故( )0P 由平移的第一个要求： ()() Q x APQAPQ x 由()( )( )( )APQAPP A P dx 及 22 QPPPPP xxxxxx dxdx xxxxxxxx 得 2 xxxxx xxxxxx 可见 不满足张量在坐标系变换下的变换公式，因此 不是张量。 联络的变换由式给出，因此联络不是张量，但两个联络的 差是张量。 联络一般是不对称的，但和张量一样，可以分解成对称部 分和反对称部分之和，对称部分不是张量，反对称部分是 张量，称为挠率张量。 联络的性质 () () 1 () 2 1 () 2 2 22 x

32、xxxx xxxxxx 2 11 xxxxx xxxxxx 1212 () xxx xxx 定义了矢（张）量的平移和联络之后，我们就可以定义相邻两点矢 （张）量的差，进而可以定义弯曲空间矢（张）量的微分及导数。 我们熟悉的导数定义： 0 ()( ) lim x dff xxf x dxx （一维平直时空） 四维弯曲时空的导数： 1) 标量场 的导数 , ()dx dx 在坐标系变换下的变换： , ()()()dxdxdxxx dxdxdxxx 符合张量变换性质。因此我们定义标量在弯曲空间中的导数形式 和平直空间中的相同。 2) 协变矢量场的导数 , ( )( ) lim QP A QAP A

33、x 由于 不具有矢量的性质，因此只能将弯曲空间导 数定义为平移后同一点矢量对时空的微商，即 ( )( )A QAP ; ( )() lim QP A QAPQ A x 如此定义的导数具有矢量的性质，称为协变导数（微商），协变导数（微商），用 表示。 由 知协变导数和普通导数的关系为()( )( )( )APQAPP A P dx ;, AAA 普通导数： ; 与普通导数一样，协变导数遵循莱布尼兹法则莱布尼兹法则： ; ()()()A BABAB 因为协变协变导数导数与普通与普通导数导数一样具有线性性。一样具有线性性。 3）逆变矢量场的协变导数 由于逆变矢量和协变矢量可以构成一个标量，而标量的协

34、变导数等于普 通导数，于是有 ;, ()()A BABA BA BABA B ,;, ABA BA BABA B ;, BBB 4）张量场的协变导数（以混合张量为例） ;, TTTT 弯曲空间中如何定义“直线”？ 欧式空间中对直线的描绘：过两点有且只有一条直线。 定义一：两点间距离最短的线两点间距离最短的线（又叫短程线，在已定义长度的空间如 黎曼空间中） 定义二：曲线上任一点沿此曲线作位移，该点切向量的移动是平行移曲线上任一点沿此曲线作位移，该点切向量的移动是平行移 动动（在未定义长度的空间如仿射空间中，称为“测地线”）。 由于我们还没有给出长度的定义，所以暂时用定义二。 曲线的参数方程： (

35、 )xxp p为仿射参量 切向量： dx A dp P点和Q点曲线的切向量分别为 和 ( )()( )( )( )( ) dxdx AQAPQAPP AP dxPdx dpdp ( )AP 切向量的移动是平行移动： ( )AQ 总可以写成 2 2 ( )( ) dxddxdxd x AQAPdAdpdp dpdpdpdpdp 由上两式得曲线成为测地线， 参数方程须满足： 2 2 0 d xdx dx dpdp dp 测地线方程测地线方程 ( )AQ 我们定义了弯曲时空中矢（张）量的导数协变导数，它与普通导数的 区别是差一个和联络有关的因子。 正是这个因子，导致协变导数和普通导数的一个重要性质的

36、不同：可交换 性被破坏！ 普通导数的可交换性（以协变矢量为例）： , , , AA 而对协变导数： ; ; ,; , ,; AAAA AAAAAA 同理 ; ;, ,; AAAAAAA 两者的差是 ; ; ;,; ()()AAAA R 2 挠率张量挠率张量 黎曼曲率张量黎曼曲率张量 当黎曼曲率张量和挠率张量均为0时，协变微商可交换次序。即当二者均 为0时，时空退化成平直时空！ OQ Q P P dx x OQdx OQx 将OQ平移 至QP，将OQ 平移 至QP，P与P是否重 合？ dx x QPdxdxx Q Pxx dx P与P两点之差为 () ()() ()2 OQQPOQQ P xdx

37、dxxdxxx dx dxxdxx 当 时P与P点之差为零，即P与P点重合，上述平移才能构成一 个封闭的平行四边形。在挠率不为零的空间中平移的顺序不可交换，若交 换顺序则会产生一个附加的位移，这个附加位移便是弯曲空间产生的几何 效应。 0 挠率的几何意义 现在考虑无挠的情况，即不同顺序的平移可以构成一个封闭环路。那任 意矢量从环路的某一点出发，绕环路一周后回到原点，是否和原来的矢 量相等？ O Q Q P dx x A 设某矢量 沿封闭平行四边形做如下平移： OQPQO A ()( )( )( )AOQAOO AOx , ()()( )()( ) ( )( )( )()( )( ) ( )(

38、)( )( )( )( ) AOQPAOQQ AOQ dxQ dx dx AOO AOxdxO AO dxx OO AO dxxOO AOx dx ()( ) ()() AAOQPQOAO AOQPAOQP 绕一周后与原矢量之差为 曲率的几何意义 由矢量的平移公式可知 曲率的几何意义 大家可以看到，当黎曼曲率张量 时，矢量绕行一周后与原矢量重 合，或矢量从一点平移至另一点，增量与路径无关矢量从一点平移至另一点，增量与路径无关。相反，在曲率张量不 为零的空间，沿不同路径平移的张量会有一个附加的差别，该差别也是来 自于空间曲率产生的几何效应。 0R 同理 ()( )( )( )AOQAOO AO

39、dx , ()( )( )( )()( )( ) ( )( )( )( )( )( ) AOQPAOO AOxdxO AOx dx OO AOx dxOO AO dxx 二者之差为 , ()() () AAOQPAOQP Ax dx RAx dx 马里乌斯索菲斯李 （18421899） 挪威数学家 坐标变换：()xxx 其中 和 被认为是不同坐标系下的同一不同坐标系下的同一 时空点。时空点。 x x 实际上， 和 也可以被认为是同一坐标同一坐标 系下的不同时空点。系下的不同时空点。 对无穷小变换，()xxx 可写为 ()xxx 其中 是小量， 称为该无穷小变换的生成元。 x x 为使不同点矢（

40、张）量相加减仍然保持矢（张）量的性质，我们仍 然需要定义平移： ( )()APAPQ 李导数李导数即描述在上述无穷小变换下物理量的微小变换，其数学定义为： 同样，在定义了平移之后我们才能定义导数。 0 ( )() ( )lim T QT PQ L T x ( )T x为任意标量、矢量或张量 1) 标量 的李导数 , , 000 ( )()( )( ) ( )limlimlim dx QPQQP Lx 2) 逆变矢量 的李导数 A 过一点P作曲线，使该曲线在P点的 切向量即为 ，即A P dx A dp 设曲线上P点和P点的坐标分别为 和 ， 则 正比于曲线上的微位移PPdx x xdx 坐标变

41、换 把P点和P点分别映射到Q点： 及Q点： ( )xxx , ()( )xdxxdxxdxxdxxdx 则QQ 即为变换后的PP。 , ( )QQxdxxxdxdxPPdx 即 , ()( )( )APQAPAP 的李导数为 , 00 ,; ( )()( )( ) limlim () AQAPQAQAP L AA AAAAAAAA Q P P Q A ( )xxx A 李导数同样遵循莱布尼兹法则： ()()()LA BLABA L B 3）协变矢量场的李导数 与协变矢量场的协变导数相似，我们有 , ()()LA BA BABA B ,; L BBBBB 4）张量场的李导数（以混合张量为例） ;

42、 L TTTT 由莱布尼兹法则： 相同点： 都是描述弯曲空间的导数，都是张量； 都遵循莱布尼兹法则； 不同点： 李导数不仅取决于被导函数，还取决于生成元； 李导数不需要引入联络的概念； 李导数只适用于无穷小变换（在后面讲到宇宙学扰动的时候会用到）。 李导数和协变导数的关系 , R 到目前为止，我们只定义了矢量的概念以及在坐标变 换下的变换方式，但并未定义矢量的长度长度（也没有定 义在弯曲空间下两事件的事件间隔）！ 未定义长度的弯曲空间仿射空间仿射空间 定义了长度的弯曲空间黎曼空间黎曼空间 在弯曲空间下，我们定义事件间隔： 2 dsgdx dx g为弯曲空间中长度的度量，因此被称为度规张量 度规

43、张量或度规度规。 度规在坐标系变换下的变换方式 2 dsg dx dx 由于 是标量 2 ds 22 ds ds 而 、 是矢量dx dx x dxdx x x dxdx x 故 xx gg xx 同理，我们可以定义四维矢量的长度： 2 |AgA A 一些空间的事件间隔及度规张量的例子 1. 三维平直空间（直角坐标）： 2. 三维平空间（球坐标）： 3. 四维平直时空（直角坐标）： 2222 dsdxdydz(,) i dxdx dy dz 100 010 001 ij g 2 22 100 00 00sin ij gr r (,) i dxdr dd 2222222 sindsdrr drd

44、 1000 0100 0010 0001 g (,)dxdt dx dy dz 22222 dsdtdxdydz 一些空间的事件间隔及度规张量的例子 5. 四维史瓦西时空（球坐标）： 4. 四维各项同性时空（直角坐标）： 222222 ( )()dsdta t dxdydz 1 2 22 2 (1)000 2 0(1)00 000 000sin GM r GM g r r r 当 时，该时空称德西特（de-Sitter）时空。常用于分析膨 胀宇宙。 球对称时空，常用于分析黑洞解。 (,)dxdt dx dy dz 2 2 2 1000 000 000 000 a g a a 0 ( ) Ht

45、a ta e 2212 22222 22 (1)(1) sin GMGM dsdtdr rr r drd (,)dxdt dr dd 定义逆变度规张量： | g g 其中 为度规张量 的伴随矩阵， 为度规张量 的行列式。 由伴随矩阵和行列式的定义可知： | gg gg gg 即 和 互为逆矩阵。g g 伴随矩阵：第i行第j列 元素是 关于第i行 第j列的代数余子式。 g g g |g 定义某逆变矢量 （逆变张量 ）的协变形式： AgA Tgg T 由于 和 的互逆性，反过来我们也有：g g A T AgA Tgg T 以及 AA TT （上两式也可以直接由克罗内克尔 函数的定义得到。） 由此可

46、见： 升降指标； 换指标。 g g 在定义了度规后，我们可以将联络 用度规来表示。 之前讲过，在弯曲空间中我们可以通过平移把一个矢量从P点移到Q点： ( )()( )( )( )APAPQAPP A P dx 由于矢量长度是标量，平移前后，矢量长度不变，即 22 |( )|()|A PA PQ 由矢量长度的定义知： ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )gQ APP AP dxAPP AP dxgP AP AP 代入后取 的一阶小量得 最后我们有 , 0ggg 又因为 , 0gdx A AgAA dxgAA dx dx , ( )( )gQgPgdx , 0ggg 进行指

47、标轮换： （为什么能进行指标轮换？因为原方程是 ，是个不 带指标的标量方程标量方程，所以推导过程中产生的一切指标均为哑指标哑指标。 只有哑指标可以替换成其他指标，非哑指标不可轮换。） 22 |( )|()|A PA PQ 轮换指标 ，可得： 轮换指标 ，可得： (1) (3) (2) 将式子 , 0ggg , 0ggg 乘以（(2)+(3)-(1)）： , 1 () 2 gggg 用度规张量来表示的联络 又被称为克里斯朵夫符号克里斯朵夫符号。 g 上次讲到弯曲空间中的“直线”，即测地线。 在没有定义长度的空间中，我们暂时用曲线切向量的平移来定义 “直线”。现在已经定义了长度，我们可以用两点之间

48、距离最短的 定义来给定“直线”（短程线）。 B A Sds 0S 1/2 ()dsgdx dx A、B两点间任意曲线长度为 其中线元 而短程线要求 引入仿射参量P，则()dsgx xdp 其中 dx x dp 短程线方程变为 1/2 ()0 B A gx xdp 0 LdL xdp x 1/21/2 1 0 ()() ggxgx d x x xdp gx xgx x 1/2 ()Lgx x 拉氏函数 或拉氏方程 将方程展开得 22 , 22 11 ()()0 22 d xdxdxd xdxdx ggggggg dsdsdsdsdsds 将方程乘以 ： 2 , 2 1 ()0 2 d xdxdx

49、 gggg dsdsds g 与之前求的测地线方程具有相同形式！ *若已知拉氏函数 ，可由求解短程线方程的办法直接 求出 ，而不需使用定义式 。后面会 详细讲到。 1/2 ()Lgx x 当仿射参量选为线长s时， ，方程变为 1/2 ()1gx x 1 ()0 2 g d x xgx xds 或 , 1 () 2 gggg 既然度规是张量，我们也可以定义度规的协变导数： ;, gggg 又由克里斯朵夫符号的定义 , , 1 () 2 1 () 2 gggg gggg 代入得 ;, , 11 ()() 22 111111 222222 0 gggggggg ggggggg （注意这里用到了度规的

50、对称性） 结论：度规的协变导数等于度规的协变导数等于0 0（里契（里契(Ricci)(Ricci)定理）定理）。 由于度规的协变导数等于0，所以张量升降张量升降指标指标和协变导数可以交和协变导数可以交 换顺序换顺序。 例如： ; ; ; () () gAA gAgAgA gAA 先降指标再求导 先求导再降指标 由此可见 ; 0()gggggggg 所以 ; 0g 即逆变度规的协变导数也为0. 注意：度规的普通导数不一定为零， , ggg 因此张量升降指标和普通导数不可交换顺序！ 1. 逆变矢量的散度 由散度的定义知 ;, AAAA 由Ricci定理： ;, 0gggg 用 乘以上式：g , 1

51、 2 gg | g g ，而作为 的伴随矩阵， () () |gg |g g 只对一对 指标求和 g , ln |11|1|1ln | 22|2|2 gg ggg gg ggxgxxx 代入散度公式： , , , 11 ln | |( |) | AAgAg AgAg A gg （用拉普拉斯算子 来表示协变导数，则 ） AA 注意：只有对逆变矢量才能定义散度，协变矢量需要先升指标！只有对逆变矢量才能定义散度，协变矢量需要先升指标！ 2.达朗贝尔算符 有时候我们会遇到对一个标量求梯度后再求散度，如 求梯度 , （协变矢量） 升指标 , g （逆变矢量） 求散度 ,; ()g 定义 gg ,; ()

52、g （对标量）,则 由协变矢量的散度 1 ( |) | Ag A g 得 , 1 ()( |) | gg g g 于是我们有 ，即 在坐标变换下不变（为一标 量），称不变体积元不变体积元。 3.不变体积元 对于n为空间的体积分，我们有 12n dVdx dxdx 其中 12n dVdx dxdx称为体积元体积元。 体积元并非坐标变换不变量体积元并非坐标变换不变量，因 在坐标变换下变换为 x dxdx x dx 体积元在坐标变换下变换为 12 12 (,) | (,) n n xxx dVdV x xx 而我们知道度规在坐标变换下变换为 xx gg xx 两边求行列式，得： 12 2 12 (,

53、) | | | (,) n n x xx gg xxx |g dVg dV 为免去考虑体积元随坐标变换的麻烦，在弯曲时空中体积分的体积元 即写成 的形式，如 |g dV |g dV |SLg dV 雅克比行列式 4. 协变矢量的旋度 注意：只有对协变矢量才能定义旋度，逆变矢量需要先降指标！只有对协变矢量才能定义旋度，逆变矢量需要先降指标！ 由协变矢量协变导数的定义： ;, AAA ;, AAA 对于无挠空间， 以上两式相减得 ;, AAAAAAAA 即协变矢量的协变旋度和普通旋度相同！协变矢量的协变旋度和普通旋度相同！ 以前讲到黎曼曲率张量的表达式为： , R 为发现黎曼曲率张量更多的性质，我

54、们把前两项用度规来表示： , 11 ()() 22 Rgggggggg 同时乘以 以变成完全协变张量 g , 11 ()() 22 () Rg Rgggggggggg g 利用 、 及Ricci定理 等性质，我 们最终可以把黎曼曲率张量写成： g g , g ggg ; 0g , , , , , 1 ()() 2 Rggggg , , , , , 1 ()() 2 RgggggR 表面上看来， 带有四个洛伦兹指标，每个指标可以取0,1,2,3四个 值，共有 个分量，但实际上要简单得多！ 4 4256 因为这四个指标之间有对称性或反对称性关系，因此不是每个分量都是 独立的！ 1. 交换 和 ：反

55、对称，有6个独立分量 , , , , , 1 ()() 2 RgggggR 2. 交换 和 ：反对称，有6个独立分量 , , , , , 1 ()() 2 Rggggg R R 共有 个独立分 量 6 636 3. 同时交换 和 ：对称，有21个独立分量 另外 还满足一个式子，即 R 0RRR 因此自由度又减少一个。故 实际上只有2020个分量是独立的个分量是独立的！ 里契恒等式里契恒等式 R 关于黎曼曲率张量的另一个重要恒等式毕安基毕安基(Bianchi)(Bianchi)恒等式恒等式： ; 0RRR 由于该方程为张量方程，所以只要在一个坐标系下成立，则在所有坐 标系下均成立。为简单起见，我

56、们选择一个特殊的坐标系，即笛卡尔 坐标系（联络为零）来证明该恒等式。 在笛卡尔系中， , , , , , 1 () 2 Rgggg 且该系的协变导数与普通导数相等，即 三式相加便可得证。 同理， ;, , , , , , , , , 1 () 2 RRgggg ;, , , , , , , , , ;, , , , , , , , , 1 () 2 1 () 2 RRgggg RRgggg 曲率张量的缩并 黎曼曲率张量共有4个指标，但由于第一、第二个指标以及第三、第 四个指标为反对称，他们互相缩并会给出零张量，所以只能是前两 个指标中的一个与后两个指标中的一个缩并！ 我们把第一、第三个指标缩并

57、后所得的二阶张量 RR 称为里契里契(Ricci)(Ricci)张量张量 由于里契张量所带的两个洛伦兹指标为原黎曼曲率张量的第二、第 四个指标，所以这两个指标是对称的，也即里契张量是一个对称张里契张量是一个对称张 量，有量，有1010个独立分量个独立分量。 若进一步对里契张量的两个指标缩并（注意要先把一个指标升为逆 变指标！），则有 g RRR 不带洛伦兹指标，因此是一个标量标量，称为里契标量里契标量。R 对毕安基恒等式也可以进行缩并。 毕安基恒等式： ; 0RRR ; 0RRR R 将该式乘以 后稍加变换，便可写成如下形式： ; 1 ()0 2 RR 或 ; 1 ()0 2 Rg R G爱因

58、斯坦张量 爱因斯坦张量 ; 0RRR 同时收缩 和 、 和 （注：只有第一和第三个指标收缩会变成只有第一和第三个指标收缩会变成RicciRicci 张量张量，所以要把这两对中的一对变成第一个和第三个指标，需要进行 指标交换。反对称指标交换会给出一个负号反对称指标交换会给出一个负号。）得： ; R 和 的等价性 0R 0G R的缩并 0R 0R 1 0 2 GRgR 0G 1 2 RgR 两边同乘以 ：g 1 2 gRggR R4 x x 2RR 0R 1 2 RgR 0R 即 由张量李导数的定义 ; L TTTT 知，作为2阶协变张量的度规张量李导数为 ; L gggg 因为度规张量的协变导数

59、为零，所以 ; L ggg 等度规映射：等度规映射：0L g 称为Killing矢量，所满足方程为 ; 0 即x x 不变g 1 2 22 2 (1)000 2 0(1)00 000 000sin GM r GM g r r r 上一上一讲讲：广义相对论的数学基础 本本讲讲：爱因斯坦场方程的建立 引力场 爱因斯坦场方程的理论基础： (1) 广义协变原理 （场方程应该是个张量方程）； (2) 等效原理（引力几何化，即用弯曲的时空来描述引力 作用）； (3) 马赫原理（一切坐标系都是相对的，物体所受惯性力 或被加速是物质相互作用的结果）； (4) 光速不变原理（任何参考系下光速都是常数c）； (5

60、) 在宏观低速的极限下能回到牛顿力学近似； (6) 自由物体的运动方程为短程线方程。 通常定义的三维速度： i i dx v dt 因 不是洛伦兹不变量，所以该定义下的速度推广到四维后将不再是矢量！ dt 定义固有时固有时： idsi dgdx dx cc 标量 并定义： i i dx u d 0 0 dxdt uc dd 则由他们组成的四维速度 0 (,)(,) i i dtdxdx uu uc ddd 是一个逆变矢量，且满足归一化条件 则 ，即固有时为相对于物体静止（ ）的坐标系中的时间。 222 dsc d 0 i dx 1u u 注意：若物体以光速运动，则它的 ，便不能用 （或固有时）