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1、数学竞赛辅导 三角形的五心 Preview one 一、外心的性质 A BC O Example one 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三 角形的垂心就是第四个点所以把这样的四个点称为一个“垂 心组” 锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆 半径之和的2倍。 二、垂心的性质 等价于证明等价于证明 三、内心的性质 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径 设三角形面积为S， 设I为ABC的内心，则BIC = 90 +A/2,类似地还有两式。

2、I K H E F D A B C M 四、重心的性质 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心 三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1 2 空间直角坐标系： 横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3 A B C D E F G 五、旁心的性质 三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切 圆圆心) 三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高 的垂足三角形的旁心与内心。 A B C D E F Ia 六、三角形的五心的综合性质 （1）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂 心； （2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三 角形的垂心； （3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心 （6）鸡爪定理 （7）鸭爪定理 Example six ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是ACD的重心. 证明OE丄CD. Example seven Proof one Proof one 五点共圆五点共圆 Second try Example eight Exampl

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