工程力学-07-弯曲变形

1、第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 第第7 7章章 弯曲变形弯曲变形 工程问题中的弯曲变形工程问题中的弯曲变形 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 7-1 7-1 概概 述述 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求在工程实践中，对某些受弯构件，除要求 具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即 要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正 常工作。常工作。 一、工程实践中的弯曲变形问题一、工程实践中的弯曲变形问题 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响

2、零件摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件 的加工精度，甚至会出现废品。的加工精度，甚至会出现废品。 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。出现爬坡现象。 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形， 以缓解车辆受到的冲击和振动作用。以缓解车辆受到的冲击和振动作

3、用。 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 )(xv 二、弯曲变形的基本概念二、弯曲变形的基本概念 F A B )(x 描述截面上任一点的位移描述截面上任一点的位移: 1 1、形心轴的线位移、形心轴的线位移 挠度挠度 v 2 2、截面绕形心轴的角位移、截面绕形心轴的角位移 转角转角 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 A B )(xv )(x F 二、弯曲变形的基本概念二、弯曲变形的基本概念 F 变弯的形心轴变弯的形心轴 挠曲线挠曲线 F 挠度随坐标变化的方程挠度随坐标变化的方程 挠曲线方程挠曲线方程)(xfv F 忽略剪切变形忽略剪切变形 + + 梁的转角一般很小梁的转角一般很小 x f(x d )d

4、 tan 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 7-2 7-2 梁挠曲线的近似微分方程梁挠曲线的近似微分方程 中性层曲率表示的弯曲变形公式中性层曲率表示的弯曲变形公式 由高等数学知识由高等数学知识 23 2 )(1 )( )( 1 xv xv x 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 EI xM xv xv 23 2 )(1 )( EI xM x )( )( 1 （推广到非纯弯推广到非纯弯）（纯弯）（纯弯） EI M 1 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 正负号确定正负号确定确定坐标系确定坐标系:v 向上为正向上为正, , 逆时针为正逆时针为正. . 方程简化方程简化 小变形时：小变形时： 1 2 v EI

5、xM xv xv 23 2 )(1 )( EI xM x v 2 2 d d x x 0, 0 vM 0, 0 vM 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 7-3 7-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 EIvM x ( ) EIvM xxC ( ) d DCxxxxMEIv dd)( F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 边界条件：边界条件：梁截面的已知位移条件梁截面的已知位移条件 0v 0 0 v 0v 连续条件：连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件 连续连续:

6、:光滑光滑: : A C D M F B 右左 vv 右左 $ 挠曲线在挠曲线在B、C点连续且光滑点连续且光滑 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 可动铰可动铰: : 自由端：自由端：无位移边界条件无位移边界条件 固定端固定端: : 连续条件：连续条件： 边界条件：边界条件： ABC D F E 例例1：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件 0, 0 AA v 0 C v 右左右左 CCCC ww0, 0 右左右左右左 EEEEBB wwww, 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 例例2 2：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载

7、荷。试求图示简支梁在均布载荷q 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和和 vmax。 A B q 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 A B q 解：解： M x ql x q x( ) 22 2 EIv ql x q x 22 2 EIv ql x q xC 46 23 EIv ql x q xCxD 1224 34 由边界条件：由边界条件： 0 00 vlx vx 时， 时， 得：得： C ql D 3 24 0, 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 A B q 梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为： q EI lxxl 24

8、 64 233 () v qx EI lxxl 24 2 233 () 最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为： max AB ql EI 3 24 vv ql EI x lmax 2 4 5 384 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 例例3：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力。试求图示悬臂梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和和 vmax。 A B P解：解：)()(xlPxM )(xlPvEI Cplxx P vEI 2 2 DCxx Pl x P EIv 23 26 由边界条件：由边界

9、条件：0, 00vvx时， 得：得：CD 0 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 A B P 梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为： )2( 2 lx EI Px )3( 6 2 lx EI Px v 最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为： EI Pl B 2 2 max EI Pl vv B 3 3 max 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 例例4：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力。试求图示简支梁在集中力 P 作用作用 下的转角方程、挠曲线方程，并确定下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和和 vmax。 A B P 2

10、 l 2 l C 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 解：解：AC段段: A B P 2 l 2 l C x P xM 2 )( x P vEI 2 Cx P vEI 2 4 DCxx P EIv 3 12 由对称条件：由对称条件： 由边界条件：由边界条件：00vx时， 得：得：0D 0 2 v l x时， 得：得： 16 2 Pl C 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 A B P 2 l 2 l C AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：段梁的转角方程和挠曲线方程分别为： )4( 16 22 lx EI P )34( 48 22 lx EI Px v 最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分

11、别为： EI Pl BA 16 2 max EI Pl vv l x 48 3 2 max 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 画挠曲线的大致形状画挠曲线的大致形状 a 2 qa AD aa q B C 4 3qa + _ 4 qa Q 4 2 qa + 32 2 qa M 4 3 2 qa EI xM x v 2 2 d d F 根据弯矩图定凹凸性，根据弯矩图定凹凸性， F 弯矩图过零点处为拐点，弯矩图过零点处为拐点， F 支座限定支座处的位移。支座限定支座处的位移。 凹凹 凸凸 凹凹 直线直线 大致形状大致形状 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 7-4 7-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变

12、形 一、用叠加法计算梁的变形一、用叠加法计算梁的变形 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形 是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在 某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下 的变形，然后叠加。的变形，然后叠加。 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它载荷与它 所引起的变形成线性关系。所引起的变形成线性关系。 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 A B q M P C 2 l

13、2 l 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 P A B C 2 l 2 l A B q C A B M C EI Pl vCP 48 3 EI ql vCq 384 5 4 EI ml vCM 16 2 ) 16384 5 48 ( 243 EI ml EI ql EI Pl vvvv CMCqCPC 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 P A B C 2 l 2 l A B q C A B M C EI Pl AP 16 2 EI ql Aq 24 3 EI ml AM 3 AMAqAPA 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 例例6：若图示梁：若图示梁B 端的转角端的转角 B=0，则力偶矩，则力偶矩 M

14、 等于多少？等于多少？ P M A BC M A B C P A B C 解：解： 0 2 2 2 EI aM EI Pa BMBPB 4 Pa M 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 例例7: 7: 求图示外伸梁求图示外伸梁 C 点的挠度和转角。点的挠度和转角。 仅考虑仅考虑BC段变形段变形( (刚化刚化AB, , 可视可视BC为悬臂梁为悬臂梁) ) l A a q B C 静定梁或刚架的任一横静定梁或刚架的任一横 截面的总位移，等于各截面的总位移，等于各 梁段单独变形梁段单独变形 (其余梁段其余梁段 刚化刚化)在该截面引起的位在该截面引起的位 移的代数和或矢量和移的代数和或矢量和 l A a

15、B C q )( 6 )( 8 3 1 4 1 EI ql EI ql v CC 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 l A a q B C l A a B C q 仅考虑仅考虑AB段变形段变形( (刚化刚化BC) ) l A a B C qa qa2/2 )( 6 )( 8 3 1 4 1 EI ql EI ql v CC )( 6 2 2 EI lqa BC 21CCC avv BCC 1 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 例例8：已知：已知 E 为为常数，常数，I2=2I1，求求 WC， C。 2 I 1 I F A B C 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 2 I 1 I F A B C 刚化

16、刚化AB段：段： A B C F 仅考虑仅考虑 BC 段变形：段变形： )( 3 )( 2 1 3 1 1 2 1 EI Fa v EI Fa CC 刚化刚化BC段：段： B F FaM F 仅考虑仅考虑 AB 段变形：段变形： )( 2 3 2 2 2 2 2 2 2 EI Fa EI Fa EI Fa BMBFB )( 6 5 23 2 3 2 3 2 3 EI Fa EI Fa EI Fa vvv BMBFB 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 2 I 1 I F A B C A B C F )( 3 )( 2 1 3 1 1 2 1 EI Fa v EI Fa CC B F FaM F )

17、( 2 3 2 2 2 2 2 2 2 EI Fa EI Fa EI Fa BMBFB )( 6 5 23 2 3 2 3 2 3 EI Fa EI Fa EI Fa vvv BMBFB )( 4 5 1 2 EI Fa CBC )( 2 1 3 1 EI Fa avv BCC 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 2 I 1 I F AB C 1 I EF AB CEF AB C EF AB C 对称性在变形分析中的应用对称性在变形分析中的应用 C w F/2 2 I1 IC F B 例例9：已知：已知 E 为为常数，常数，I2=2I1，求求 WC， B。 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 例例10

18、：利用对称性求下面梁中点挠度与转角：利用对称性求下面梁中点挠度与转角 反对称反对称, 挠度为挠度为0 (弯矩为弯矩为0, 拐点拐点) 对称对称, 转角为转角为0 q A a C B a B A a C a q/2 A a C a q/2 )( 384 )2)( 2 (5 4 1 EI a q vC 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 反对称反对称, 挠度为挠度为0 (弯矩为弯矩为0, 拐点拐点) A a C a q/2 a C q/2 EI qa EI qa C 4824 2 1 3 3 2 )( 48 3 )2()1( EI qa CCC )( 48 5 3 )2()1( EI qa vvv C

19、CC 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 二、梁的刚度计算二、梁的刚度计算 刚度条件：刚度条件： vv max max v、 是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正 常工作时的要求。常工作时的要求。 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 CL9TU40 例例11：图示工字钢梁，：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， v = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度试根据梁的刚度 条件，确定梁的许可载荷条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。，并校核强度。 P A B C 2 l 2 l 第七章第七章 弯曲变

20、形弯曲变形 解：由刚度条件解：由刚度条件: v Pl EI v l max 3 48500 kN11. 7 500 48 2 l EI P kN11. 7P MPa60 4 max max zz W Pl W M 因此满足强度要求因此满足强度要求 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 7-5 7-5 用变形比较法解静不定梁用变形比较法解静不定梁 ( )q x M ( )q x F 静不定度与多余约束静不定度与多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束凡是多余维持平衡所必须的约束 与多余约束相应的支反力或支力偶矩与多余约束相应的支反力或支力偶矩 支反力（力偶）数有效平衡方程数支反力（力偶）数有效平衡方程数

21、 静不定度多余约束数静不定度多余约束数 5-3=2 5-3=2 度静不定度静不定 6-36-3 = = 3 3 度静不定度静不定 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 相当系统：相当系统：受力与原静不受力与原静不 定梁相同的静定梁，定梁相同的静定梁，相当相当 系统的选择不是唯一的。系统的选择不是唯一的。 相当系统相当系统1 1 相当系统相当系统2 2 相当系统相当系统 q AB A FB q AB A B MA 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 总结：分析方法与分析步骤总结：分析方法与分析步骤 1 1、 判断静不定度（确定多余约束数）；判断静不定度（确定多余约束数）； 2 2 、解除多余约束，建立相当

22、系统；、解除多余约束，建立相当系统； 3 3 、列出多余约束处的变形协调条件、列出多余约束处的变形协调条件( (位移边界条件位移边界条件) )； 4 4、 结合平衡方程，求多余支反力。结合平衡方程，求多余支反力。 解除多余约束，代之以支反力；解除多余约束，代之以支反力； 分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件 F 静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种。静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种。 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 AB 静定基静定基: : 相当系统：相当系统： A B 静定基与相当系统的选取：静定基与相当系统

23、的选取： q AB FB q AB A B MA 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 例例12：求图示梁的支反力。：求图示梁的支反力。 q AB FB q AB 解：解：解除多余约束，解除多余约束， 建立相当系统。建立相当系统。 2. 建立变形协调条件建立变形协调条件 0 B v 3. 联立求解联立求解 0 83 43 EI ql EI lF vvv B BFBqB qlF B 8 3 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 q AB 解解2： 解除多余约束，解除多余约束， 建立相当系统。建立相当系统。 2. 建立变形协调条件建立变形协调条件 0 A 3. 联立求解联立求解 0 243 3 EI ql E

24、I lM A AMAqA 2 8 1 qlMA A B MA 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 例例13：为了提高悬臂梁：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁的强度和刚度，用短梁CD加固。加固。 设二梁设二梁EI相同，试求：相同，试求： (1) 二梁接触处的压力；二梁接触处的压力； (2) 加固前后加固前后AB梁最大弯矩的比值；梁最大弯矩的比值； (3) 加固前后加固前后B点挠度的比值。点挠度的比值。 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 解：解：(1)变形协调条件变形协调条件 PFD 4 5 )()(CDDABD vv EI aF EI aF EI Pa DD 336 5 333 第七章第七章 弯

25、曲变形弯曲变形 解：解：(2) 加固前后加固前后AB梁的最大弯矩梁的最大弯矩 PFD 4 5 M x Pa2 M x Pa Pa 4 3 2 2 max2 max1 Pa Pa M M 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 解：解：(3) 加固前后加固前后B点挠度点挠度 PFD 4 5 EI Pa EI aP v B 3 8 3 )2( 33 1 EI Pa EI aP a EI aF EI aF vvv DD BFBPB 24 39 3 )2( 23 3 323 222 39 64 2 1 B B v v 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 ,0 BB w 0 0, BB w A B A B 0 0

26、存在装配误差的静不定问题分析存在装配误差的静不定问题分析 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 例例: : 直径为直径为d 的圆截面梁的圆截面梁, ,支座支座 B 下沉下沉 ， max max=? =? M x 2 6EIl 2 6EIl A B A B B F B M 解：解： BB v, 0 EI lF EI lM v EI lF EI lM BB B BB B 32 0 2 32 2 23 6 , 12 l EI M l EI F BB 22 max max 3 2 6 l dE I d l EI W M z 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 7-6 7-6 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 依据依据 对比强度问题对比强度问题 或或 dx EI xM