2022届高考数学一轮复习 第四章 4.7 解三角形应用举例学案

1、2022届高考数学一轮复习 第四章 4.7 解三角形应用举例学案2022届高考数学一轮复习 第四章 4.7 解三角形应用举例学案年级：姓名：第七节解三角形应用举例【知识重温】一、必记5个知识点1仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_时叫仰角，目标视线在水平视线_时叫俯角(如图所示)2方位角一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45，是指_，即东北方向3方向角相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东：指从正北方向顺时针旋转到达目标方向(2)东北方向：指北偏东45或东偏北45 .(3)其他方向角类似4坡角坡面与_的夹角(如图所示)5坡比坡

2、面的铅直高度与水平宽度之比，即itan (i为坡比，为坡角)二、必明1个易误点易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(2)若点p在点q的北偏东44，则点q在点p的东偏北46.()(3)方位角大小的范围是0，)，方向角大小的范围是.()二、教材改编2必修5p15练习 t1改编从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则，的关系为()a bc90 d1803必修5p11例1改编如图所示，设a，b

3、两点在河的两岸，一测量者在a所在的同侧河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105后，就可以计算出a，b两点的距离为()a50 m b50 mc25 m d. m三、易错易混4一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()a5海里 b5海里c10海里 d10海里5若点a在点c的北偏东30，点b在点c的南偏东60，且acbc，则点a在点b的_方向上测量距离问题自主练透型1.如图所示，a，b两点在一条河的两岸，测量者在a的同侧，且b点不可到达，为了测出

4、ab的距离，在a所在的岸边选定一点c，可以测出ac的距离m，再借助仪器，测出acb，cab，在abc中，运用正弦定理就可求出ab.若测出ac60 m，bac75，bca45，则a，b两点间的距离为_m.2如图所示，要测量一水塘两侧a，b两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置c，用经纬仪测出角，再分别测出ac，bc的长b，a，则可求出a，b两点间的距离即ab.若测得ca400 m，cb600 m，acb60，则a，b两点的距离为_ m.悟技法测量问题中距离问题的解法 (1)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题(2)根据已知条件，选择正弦定理或者余弦定理求解.考点

5、二测量高度问题互动讲练型例12021开封市高三模拟考试国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度约为 ()a17米 b22米c30米 d35米悟技法求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞

6、错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.变式练(着眼于举一反三)1如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达b处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度cd_m.考点三测量角度问题互动讲练型 例22021武汉市武昌区调研如图一艘海轮从a处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，以c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔时，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔时，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是()a6海里 b6海里c8海里 d8海里悟技法求解

7、角度问题应注意(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用.变式练(着眼于举一反三)2在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值考点四正(余)弦定理在平面几何中的应用互动讲练型例32020江苏卷在ab

8、c中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知a3，c，b45.(1)求sin c的值；(2)在边bc上取一点d，使得cosadc，求tandac的值悟技法平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 变式练(着眼于举一反三)32021武昌区高三年级调研考试在abc中，已知ab，ac7，d是bc边上的一点，ad5，dc3.(1)求b；(2)求abc的面积第七节解三角形应用举例【知识重温】上方下方北偏东45水平面【小题热身】1答案：(1)(2)(3)2解析：由已知及

9、仰角、俯角的概念画出草图，如图，则.答案：b3.解析：由正弦定理得，又由题意得cba30，所以ab50(m)答案：a4解析：如图所示，依题意有bac60，bad75，所以cadcda15，从而cdca10(海里)，在rtabc中，得ab5(海里)，于是这艘船的速度是10(海里/时)答案：c5.解析：如图所示，acb90，又acbc，cba45，而30，90453015.点a在点b的北偏西15.答案：北偏西15课堂考点突破考点一1解析：abc180754560，所以由正弦定理得，ab20(m)即a，b两点间的距离为20 m.答案：202解析：在abc中，由余弦定理得ab2ac2bc22acbcc

10、osacb，ab2400260022400600cos 60280 000.ab200(m)即a，b两点间的距离为200 m.答案：200考点二例1解析：如图所示，依题意知aec45，ace1806015105，eac1804510530，由正弦定理，可得acsin 45(米)，在rtabc中，abacsinacbsin 6030(米)答案：c变式练1解析：由题意，在abc中，bac30，abc18075105，故acb45.又ab600 m，故由正弦定理得，解得bc300(m)在rtbcd中，cdbctan 30300100(m)答案：100考点三例2解析：过点c向正南方向作一条射线cd，如

11、图所示由题意可知，bac704030，acd110，所以acb1106545.ab240.512(海里)在abc中，由正弦定理得，即，所以bc6海里故选a.答案：a变式练2解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在c处追上蓝方的小艇，则ac14x，bc10x，abc120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故ac28，bc20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.考点四例3解析：(1)在abc中，因为a3，c，b45，由余弦定理b2a2c22accos b，得b29223cos 455，所以b.在abc中，由正弦定理，得，所以sin c.(2)在adc中，因为cosadc，所以adc为钝角，而adcccad180，所以c为锐角故cos c，则tan c.因为cosadc，所以sinadc，tan