2021-2022学年高中数学 第三章 不等式 3.1 基本不等式学案北师大版必修5

1、2021-2022学年高中数学 第三章 不等式 3.1 基本不等式学案北师大版必修52021-2022学年高中数学 第三章 不等式 3.1 基本不等式学案北师大版必修5年级：姓名：3基本不等式3.1基本不等式学习目标1.了解基本不等式的证明过程及其几何解释.(数学抽象、逻辑推理)2.了解算术平均数、几何平均数的定义.(数学抽象)3.会用基本不等式判断、比较简单的不等式.(逻辑推理)必备知识自主学习导思1.重要不等式和基本不等式的形式是怎样的?2.基本不等式的几何意义是什么?重要不等式和基本不等式不等式重要不等式基本不等式条件x,yra0,b0结论xy等号成立的条件当且仅当x=y时当且仅当a=b

2、时【说明】(1)基本不等式(均值不等式)的文字语言:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.其中称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数,故基本不等式又被称为均值不等式.(2)数列意义:两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项.(1)重要不等式与基本不等式有何异同:提示:不同点:适用范围不同;相同点:取等号的条件相同.(2)基本不等式的常见变形:提示:a+b2(a0,b0),ab(a,br).1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)不等式x2+y22xy对于任意实数x,y恒成立.()(2)不等式x+y2对于任意实数x,y恒成立.()(3)ab成立的条件是a0,b0.()(4).(

3、)提示:(1).因为不等式(x-y)20对于任意实数x,y恒成立,所以不等式x2+y22xy对于任意实数x,y恒成立.(2).不等式x+y2仅对于任意正实数x,y恒成立.(3).由-ab=-ab=(a-b)20可知,ab对任意的a,br都成立.(4).因为=1.5,而1.414,所以.又因为“”表示“”或“=”有一个成立,即.2.(2020成都高一检测)不等式a2+12a中等号成立的条件是()a.a=1b.a=1c.a=-1d.a=0【解析】选b.当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立.3.(教材二次开发:例题改编)当a,br,下列不等关系成立的是(填序号).;a-b2;a

4、2+b22ab;a2-b22ab.【解析】根据ab,成立的条件判断,知错,只有正确.答案:关键能力合作学习类型一对基本不等式的理解(数学抽象、逻辑推理)1.(2020镇江高一检测)设0ab,则下列不等式中正确的是()a.abb.abc.abd.a2y,当且仅当x-2y=1时取等号c.x2y,当且仅当x-2y=1时取等号d.x2y,当且仅当x-2y=1时取等号3.(2020无锡高一检测)给出下面四个推导过程:因为a,b(0,+),所以+2=2;因为x,y(0,+),所以lg x+lg y2;因为ar,a0,所以+a2=4;因为x,yr,xya0,所以,2bb+a,所以b,所以ab.(解法二)取a

5、=2,b=8,则=4,=5,所以a0,即x2y,且等号成立时(x-2y)2=1,即x-2y=1.3.从基本不等式成立的条件考虑.因为a,b(0,+),所以,(0,+),符合基本不等式的条件,故的推导过程正确;虽然x,y(0,+),但当x(0,1)时,lg x是负数,y(0,1)时,lg y是负数,所以的推导过程是错误的;因为ar,不符合基本不等式的条件,所以的推导过程错误;由xy,=,=2),n=(b0),则m,n之间的大小关系是()a.mnb.m2,所以a-20.又因为m=a+=(a-2)+22+2=4(当且仅当a-2=,即a=3时,“=”成立).即m4,+),由b0得b20,所以2-b22

6、.所以4,即nn.类型三利用基本不等式证明不等式(数学抽象、逻辑推理)【典例】若a0,b0,a+b=1,求证:(1)9 .(2)a4+b4.【思路导引】(1)由a+b=1,可将,写成,展开即可;(2)借助常见不等式变形ab,围绕一个中心转化为a+b的式子.【证明】(1)因为a0,b0, a+b=1,所以+2,当且仅当a=b=时, 等号成立, 故=5+2+5+4=9,当且仅当a=b=时取等号.(2)因为a0,b0,a+b=1,所以a+b2,当且仅当a=b=时,等号成立.则ab=,则a2b2.而a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=(a+b)2-2ab2-2a2b2-=,所以a4+b4,当且仅

7、当a=b=时取等号.已知a,b,c0,求证:+a+b+c.【证明】因为a,b,c0,所以a,b,c,均大于0,所以+b2=2a,+c2=2b,+a2=2c.由,得+b+c+a2a+2b+2c,所以+a+b+c,当且仅当=b,=c,=a,即a=b=c0时等号成立.判断、证明不等式的三个技巧(1)“1”的代换:当题目中出现某些式子的和为1时,对所要证明的不等式中寻找恰当的“1”进行代换,从而达到应用基本不等式证明的目的.(2)放缩:在确定好证明方向的不等式中,可对一边的式子利用公式适当放大、缩小到一个中间式子,再利用不等式的传递性证明不等式.(3)累加:累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等

8、式时注意使用;多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立.1.(2020南宁高一检测)已知正实数a,b满足a+b=4.证明+.【证明】因为a+b=4,所以+=(a+b)=(2+2)=1,所以=,所以+=(当且仅当a=b=2时取等号).2.如果0ab,又因为.而y=log0.5x为(0,+)上的减函数,故qpm.3.已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证:8.【证明】因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,所以-1=,同理-1,-1.由于上述三个不等式两边均为正,分别相乘得=8.当且仅当a=b=c=时,等号成立.【补偿训练】已知a,b,c(0,+),a+b+c=1.求证:64.【证明

9、】+1=+1=2+2+=24,即+14,同理可证,+14,+14,由左右两边分别相乘,得64,当且仅当a=b=c=时,等号成立.课堂检测素养达标1.若x0,y0,且,则必有()a.2x=yb.x=2yc.x=yd.x=4y【解析】选b.因为x0,y0,所以,即,所以必有=,所以x=2y.2.若ab|b|b.c.a2+b22abd.a+b-2【解析】选d.因为ab-b0所以|a|b|,-,故a,b恒成立.因为(a-b)20,所以a2+b22ab,因为a,b不相等,所以a2+b22ab故c恒成立.当a=-2,b=-1时,a+b1,b1时,lg a+lg b2c.当a4时,a+2=6d.因为x2+12x,当且仅当x=1时,等号成立,所以(x2+1)min=2【解析】选b.a项中,可能1,b1时,lg a0,lg b0,则lg a+lg b2成立,所以b