分数阶微积分的产生及演变

1、分数阶微积分的产 生及演变 分数阶微积分是一个古老而新鲜的概念。 早在整数阶微积分创立的初期，就有一些数 学家，如Lhospital、Leibniz等开始考虑它 的含义。然而，由于缺乏应用背景支撑等多 方面的原因，它长期以来并没有得到较多的 关注和研究。随着自然科学和社会科学的发 展、复杂工程应用需求的增加，尤其是20世 纪七八十年代以来对分形和各种复杂系统的 深入研究，分数阶微积分理论及其应用开始 受到广泛关注。 进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法 和理论在高能物理、反常扩散、复杂粘弹性材 料力学本构关系、系统控制、流变性、地球物 理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若 干非常成功的应

2、用，凸显了其独特优势和不可 代替性，其理论和应用研究在国际上已成为一 个热点。 另外，分数阶微积分的非局域性质，导致 分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储 量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方 程快得多，一些计算整数阶方程十分有效的数 值方法对分数阶方程也完全失效。而且，目前 大多数的分数阶微积分方程模型还是唯象模型， 其内在的物理和力学机理还不是很清楚，有待 进一步的深入研究。 现在，基础数学研究和工程应用研究中最 常用的有以下四种分数阶微积分的定义： Grunwald-Letnikov分数阶微积分， Riemann- Liouville分数阶微积分，Caputo型分数阶导数和 Ri

3、esz分数阶微积分。 Grunwald-Letnikov定义是 差分格式定义，与Riemann-Liouville等定义比较， 该定义较少地被用于数学理论分析。然而，它 在微积分方程理论和数值计算方面使用较多。 Riemann-Liouville定义采用微分积分形式，避 免了极限求解，在数学理论研究中起着重要作 用。 为了方便实际问题的建模，在黏弹性材料 的研究中引入了另一种分手阶微积分的定义， 即Caputo微分。Caputo定义在建模应用及积分 变换中满足的初始条件以整数阶微积分的形式 给出，现在实际问题建模过程中广泛应用 Caputo定义。 分数阶微积分的理论主要的研究内容包括： (1)

4、分数阶微积分定义的修正与完善。现在分数 阶微积分的定义有十几种，而这些定义之间又 存在密切的联系。但是，由于定义的使用范围、 涉及的初值条件等不相同，所以在应用方面存 在一些不确定性，因此分数阶微积分定义的分 类与统一是一项非常有意义的开创性工作。 (2)分数阶微积分的数值求解、分数阶微积分定 义的扩展与延伸(如分形导数的一些性质与分析； 正定分数阶微积分的性质与应用)。 (3)分数阶微积分不同于整数阶微积分的性质研 究，分数阶微积分的积分变换，如傅里叶变换、 拉普拉斯变换、z变换等。以上都是分数阶微积 分理论研究的重要方向。 现在，虽然分数阶微积分的定义已被提出， 但是分数阶微积分的理论体系还有待进一步的 扩充与完善，如时间分数阶微积分定义的统一 问题。空间分数阶导数的定义问题更为严重， 在现阶段，空间分数阶微积分的定义在数值计 算中较为使用的是Grunwald-Letnikov定义与 Riesz-Feller定义，其次是Riemann-Liouville定义。 多维空间分数阶定义方面，比较成功的是分数 阶拉普拉斯定义，但是该定义也比较繁琐，现 阶段还未见应用到微分方程的求解中。 只有在分数阶微积分的定义比较完善的情 况下，分数阶微积分才能更广泛地应用于自然 学