2021-2022学年高中数学 第2章 直线和圆的方程 2.1 2.1.1 倾斜角与斜率学案 新人教A版选择性必修第一册

1、2021-2022学年高中数学 第2章 直线和圆的方程 2.1 2.1.1 倾斜角与斜率学案 新人教a版选择性必修第一册2021-2022学年高中数学 第2章 直线和圆的方程 2.1 2.1.1 倾斜角与斜率学案 新人教a版选择性必修第一册年级：姓名：2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率学 习 任 务核 心 素 养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念(重点)2.理解直线的方向向量和向量坐标表示(重点)3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率(难点)1. 通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养.2. 通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养

2、.我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？知识点1倾斜角的相关概念(1)倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角如图所示，直线l的倾斜角是_apx为锐角，直线l的倾斜角是bpx为钝角(2)倾斜角的范围当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0，因此直线的倾斜角的取值范围为0180.1.任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同

3、吗？提示由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90.()(2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在()(3)不存在倾斜角相同的直线()答案(1)(2)(3)平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线，那么这两点当然也可以确定直线的倾斜角如图所示，分别写出以下直线的倾斜角，并总结出一般的结论：(1)经过a(1，1)，b(3，1)的直线l1；(2)经过c(2,1)，d(2,2)的直线l2；(3)经过e(1,0)，f(1,2)的直线l3.知识点2直线的斜率(1)直线

4、的斜率把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_.(2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)009090900不存在k0(3)过两点的直线的斜率公式过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.2.当直线的倾斜角由0逐渐增大到180时，其斜率如何变化？提示当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90时，直线的斜率不存在所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率当直线的倾斜角是90时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，

5、此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应()(2)若直线的倾斜角为，则必有斜率与之对应()(3)与y轴垂直的直线的斜率为0.()(4)与x轴垂直的直线的斜率不存在()答案(1)(2)(3)(4)知识点3直线的斜率与方向向量的关系(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，k)(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k.3.若直线l的倾斜角为135，则直线l的一个方向向量的坐标为_(1，1)直线l的斜率ktan 1351，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，1) 类

6、型1直线的倾斜角【例1】(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为()a30b60c30或150d60或120(2)(多选题)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为()a45b135c135d45(1)d(2)ab(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60或120.(2)根据题意，画出图形，如图所示通过图象可知：当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.求直线倾斜角的方法及注意点(1)方法：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾

7、斜角，有时要根据情况分类讨论(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180.跟进训练1(多选题)设直线l与x轴交于点a，其倾斜角为，直线l绕点a顺时针旋转60后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为()a60b120c60d120bc直线l绕点a顺时针旋转60后得直线l1，当60时，直线l1的倾斜角为60，当060时，直线l1的倾斜角为180(60)120.2.已知直线l1的倾斜角115，直线l1与l2的交点为a，直线l1和l2向上的方向所成的角为120，如图，则直线l2的倾斜角为_135设直线l2的倾斜角为2，l1和l

8、2向上的方向所成的角为120，所以bac120，所以21201135. 类型2直线的斜率和方向向量【例2】(1)(对接教材p54例题)过两点a(4，y)，b(2，3)的直线的倾斜角是135，则y等于()a1b5c1d5(2)已知直线l经过点p(3，m)和点q(m，2)，直线l的方向向量为(2,4)，则直线l的斜率为_，实数m的值为_(1)d(2)2(1)过两点a(4，y)，b(2，3)的直线的倾斜角是135，tan 1351，解得y5，故选d(2)由直线l的方向向量为(2,4)得，直线l的斜率为2，因此2，解得m.直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在若两

9、点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k(其中x1x2)进行计算(2)已知直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k.跟进训练3已知直线l过点m(m1，m1)，n(2m,1)(1)当m为何值时，直线l的倾斜角为90？(2)当m为何值时，直线l的斜率是1?解(1)l的倾斜角为90，即l平行于y轴，所以m12m，得m1.(2)由题意知m12m，即m1，直线l的斜率k1，解得m.4经过m(0,3)，n(1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，求k的值解直线mn的斜率kmn3，直线mn的方向向量为(1，k)，k3. 类型3直线的倾斜角和斜率的综合【例3】已知两点a(3,4)，b(3,2)

10、，过点p(1,0)的直线l与线段ab有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解如图所示，由题意可知kpa1，kpb1.(1)要使直线l与线段ab有公共点，则k1或k1，即直线l的斜率k的取值范围是(，11，)(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线pb与pa的倾斜角之间，又pb的倾斜角是45，pa的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.1过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题已知一条线段ab的端点及线段外一点p，求过点p的直线l与线段ab有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线pa，pb的斜率均存在，则步骤为：连接pa，pb；由k，求出kpa，

11、kpb；结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围2直线的倾斜角和斜率的关系直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度当090时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90180时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大跟进训练5已知a(3,3)，b(4,2)，c(0，2)(1)求直线ab和ac的斜率；(2)若点d在线段bc(包括端点)上移动时，求直线ad的斜率的变化范围解(1)由斜率公式可得直线ab的斜率kab.直线ac的斜率kac.故直线ab的斜率为，直线ac的斜率为.(2)如图所示，当d由b运动到c时，直线ad的斜率由kab增大到kac，所以直线ad的斜率的变化范围是.1(多选题)下列说

12、法正确的是()a若是直线l的倾斜角，则0180b若k是直线的斜率，则krc任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率d任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角abc由直线的倾斜角和斜率的定义知，a、b、c正确，d错误故选abc2下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()a(4,2)与(4,1)b(0,3)与(3,0)c(3，1)与(2，1)d(2,2)与(2,5)dd项，因为x1x22，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90，斜率不存在3过点a(，)与点b(，)的直线的倾斜角为()a45b135c45或135d60akab1，故直线的倾斜角为45.4已知点p(1，1)，另有两点a(1,0)，b(0,1)，

13、若过点p的直线l与线段ab有交点，则直线l的斜率取值范围为_因为a(1,0)，b(0,1)，又过点p的直线l与线段ab有交点，所以直线l的斜率的取值范围为.5经过a(m,3)，b(1,2)两点的直线的倾斜角的取值范围是_(其中m1)01时，tan 0，090.故090.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？提示当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0，因此，直线的倾斜角的取值范围是0180.(2)直线的斜率是如何定义的？直线经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，(x1x2)的斜率公式是什么？提示把一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这