第4章 周期信号的频域分析

1、信号的频域分析 连续周期信号的频域分析 连续周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析 连续周期信号的频域分析连续周期信号的频域分析 周期信号的傅立叶级数展开 周期信号的频谱及其特点 傅里叶级数的基本性质 周期信号的功率谱 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 (1) 从信号分析的角度从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦 分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途 径。 (2) 从系统分析角度从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用迭加特性可求得多个不同

2、频率正弦信号同 时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是 衰减还是增强一目了然。 连续周期信号的频域分析连续周期信号的频域分析 意义： tjn n eCtf 0 =n )( 00 0 0 0 1 ( ) Tt jnt n t Cf t edt T 其中 一、周期信号的傅立叶级数展开 1. 周期信号展开为傅立叶级数条件 周期信号f(t)应满足Dirichlet条件，即： (1) 绝对可积，即满足 (2) 在一个周期内只有有限个不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。 注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。 00 0 ( )

3、 Tt t f tdt 2. 2. 指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数 0 ( ) jnt n n f tC e 00 0 0 0 1 ( ) Tt jnt n t Cf t edt T 连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为 其中 1n两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 2n的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量 Nn的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量 物理含义物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。 3. 3. 三角形式傅立叶级数三角形式傅立叶级数 若 f (t)为实函数，则有 nn CC 利用这个性质可以将指数

4、Fourier级数表示写为 tn n n tn n n eCeCCtf 00 j 1 j 1 0 )( tn n tn n n eCeCC 00 jj 1 0 ) Re(2 0 j 1 0 tn n n eCC 令 2 j nn n ba C 由于C0是实的，所以b0=0，故 2 0 0 a C 三角形式傅立叶级数三角形式傅立叶级数 0 0 2 0 02 2 ( ) T T af t dt T 其中： 0 00 1 ( )(cossin) 2 nn n a f tantbnt 0 0 2 0 02 2 ( )cos ( =1,2) T Tn af tntd T nt 0 0 2 0 02 2

5、( )sin ( =1,2) T Tn bf tntd T nt 例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级 数展开式。 解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。 A t )(tf T-T0 ) 2 ( 0 n Sa T A 0022 22 11 ( ) T jntjnt Tn Cf t edtAedt TT t = 0 0 ) 2 ( jn n e n Sa T A 00 1 ( )(/)(2/)Sa(/2)cos n f tA TA Tnnt 可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为 000 211 ( )(coscos3cos5) 235

6、AA f tttt 若=T/2，则有 ) Re(2)( 0 j 1 0 tn n n eCCtf 由 因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为 tjn n eCtf 0 =n )( 例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。 t )(tf 2-201 解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在 0 000 0 01 2 10 02 11 ( )() 2 T jntjntjnt Tn Cf t edttedttedt T )( 2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0000 dtetedtete jn tjntjntjntjn ) 1(cos )( 1

7、2 n n 0 0 2 T t)12( = 2 0 ) 1(2 2 2 1 mj m e m 周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为 ) Re(2)( 0 j 1 0 tn n n eCCtf 由 周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开式为 tjn n eCtf 0 =n )( tn m tf m 0 1= 2 cos ) 1(2 4 2 1 )( 0, 2/1 ,)/(2 ) 1(cos )( 1 2 2 n nn n n Cn 为奇数 ttt 0 2 0 2 0 2 5cos 25 4 3cos 9 4 cos 4 2 1 1. 线性特性 ( ) , g( ) nn f tCtD若

8、 ( )( ) nn a f tb g ta Cb D 则有 2. 时移特性 ( ) n f tC若 0 1 1 () jnt n f tteC 则有 二、傅里叶级数的基本性质 若f(t)和g(t)均是周期为T0的周期信号： 3.卷积性质 若f(t)和g(t)均是周期为T0的周期信号，且 ( ) , ( ) nn f tCg tD 0 ( )* ( ) nn f tg tTC D则有 4. 微分特性 ( ) n f tC若 0 ( ) n ftjnC则有 5. 对称特性 (1)若f(t)为实信号 | nn CC 则 nn 5. 对称特性 (1) 纵轴对称信号（偶对称信号） f(t)=f(t)

9、00 0 22 00 0 002 24 ( )cos( )cos TT Tn af tntdtf tntdt TT 0 0 2 0 02 2 ( )sin0 T Tn bf tntdt T 纵轴对称周期信号纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直直 流项流项与余弦项余弦项。 T0 / 2T0 / 2 t 0 f(t) A (2) 原点对称信号（奇对称信号）f(t)=f(t) t 0 f(t) A -A T0 / 2T0 / 2 原点对称周期信号原点对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有 正弦项正弦项。 0 0 2 0 02 2 ( )cos0 T Tn af tntdt T 00 0 22

10、 00 0 002 24 ( )sin( )sin TT Tn bf tntdtf tntdt TT (3) 半波重叠信号f(t)=f(tT/2) 半波重叠周期信号半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶正弦与余弦的偶 次谐波分量次谐波分量，而无奇次谐波分量。 t )(tf T/2-T/2 (4) 半波镜像信号fT(t)=f(tT/2) 半波镜像周期信号半波镜像周期信号只含有只含有正弦与余弦的奇次谐波正弦与余弦的奇次谐波 分量分量，而无直流分量与偶次谐波分量。，而无直流分量与偶次谐波分量。 t )(tf T/2T 0 去掉直流分量后， 信号呈奇对称，只含 有正弦各次谐波分量。 因此该信号含有正弦

11、各次谐波分量，直流 分量。 说明：某些信号波形经上下或左右平移后， 才呈现出某种对称特性 t )(tf -1-21234-3 2 1 -4 t )( 1 tf -1-21234-3 2 -4 t )( 2 tf -1-21234-3 1 -4 ) 2 cos() 2 (Sa5 . 0)( 1 2 tnn tf n ) 2 cos() 2 (Sa5 . 1)( 1 tnn tf n 例题 三、 周期信号的频谱及其特点 周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅 度和相位随频率变化的规律，称频谱函数频谱函数。 0 n= ( ) jnt n f

12、 tC e 不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 1 1、频谱的概念、频谱的概念 2 2、频谱的表示、频谱的表示 直接画出信号各次谐波对应的 线状分布图 形，这种图形称为信号的频谱图频谱图。 n j nn CC e 幅度频谱相位频谱 , nn C 例1周期矩形脉冲信号的频谱图 0 0 () 2 n nA CSa T 周期信号的频谱 1、相位谱、幅度谱（频谱图） 2、离散性、谐波性、收敛性 幅度谱 相位谱 () 2 n An CSa T A f(t) 3 3频谱的特性频谱的特性 (1)(1)离散频谱特性离散频谱特性 周期信

13、号的频谱是由 间隔为间隔为0的谱线组成 信号周期T0越大，0就越小，则谱线越密。 反之，T0越小，0越大，谱线则越疏。 3 3频谱的特性频谱的特性 (2)(2)幅度衰减特性幅度衰减特性 当周期信号的幅度频谱 随着谐波随着谐波n 0增大增大 时， 幅度频谱|Cn|不断衰减不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓时域波形变化越平缓，高次谐波成分就 越少，幅度频谱衰减越快幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变 化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱 衰减越慢。 f(t)不连续时，不连续时， Cn按按1/n的速度衰减的速度衰减 f(t)不连续时，不连续时，Cn按按1/n2的速度衰减的速度衰减

14、(3)(3)信号的有效带宽信号的有效带宽 02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即 2 (/ ) B rads 信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B越大。 物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分， 不会对信号产生明显影响。 说明：说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽 必须“匹配”。 1 () B fHz 4 4 相位谱的作用相位谱的作用 u幅度谱幅度谱决定图像决定图像(信号信号) 中各种频率分量的多少中各种频率分量的多少 u相位谱相位谱决定每一种频率决定每一种频率 分量在图像分量在图像(信号信号)中的位置中的位置

15、四、周期信号的功率谱 0 0 22 2 02 1 ( ) T Tn n f tdt T PC 物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含 的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。 周期信号的功率频谱： |Cn|2 随n0 分布情况称为周 期信号的功率频谱，简称功率谱功率谱。 帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理： 例题4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽 (02/)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号 平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。 2 2 T A t T )(tfT 解 周期矩形脉冲的傅立叶系数为 ) 2 ( 0 n Sa T A Cn 将A=1，T=1/4，

16、=1/20，0=2/T=8 代入上式 )5/(Sa2 . 0)40/(Sa2 . 0 0 nnCn )5/(Sa04. 0 2 2 nCn 功率谱 信号的平均功率为 包含在有效带宽(02/)内的各谐波平均功率为 44 222 10 -4n=1 |( )| 2| n n PC nCC 1806. 0 %90 200. 0 1806. 0 1 P P /2 2 /2 1 ( )0.2 T T Pft dt T 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。 吉伯斯现象 用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点出现在不连续点出现 过冲（超量）过冲（超量），过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且超量为跳变值的超量为跳变值的9% 。 吉伯斯现象产生原因 时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点间断点傅里叶级数出现非一致收敛非一致收敛。 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.2 0 0.2 0.4 0