第二章 系统的数学模型

1、第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 2.1 2.1 系统的微分方程及列写系统的微分方程及列写 2 2学时学时 2.2 Laplace2.2 Laplace变化及微分方程求解变化及微分方程求解 2.3 2.3 系统的传递函数及相似性原理系统的传递函数及相似性原理 2.4 2.4 系统的传递函数方框图及简化系统的传递函数方框图及简化 2.5 2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数 2.0 2.0 基本概念基本概念 1)1)数学模型定义（数学模型定义（P6P6） 系统的系统的数学模型数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）是描述系统内部各物理量（或变量） 之间或系统与其外部环境

2、之间关系的数学表达式或图形表之间或系统与其外部环境之间关系的数学表达式或图形表 达式或数字表达式。达式或数字表达式。 2)2)建立数学模型的意义建立数学模型的意义 (1)可可定性定性地了解系统的工作原理及其特性地了解系统的工作原理及其特性; (2)能能定量定量地描述系统的动态性能地描述系统的动态性能; (3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。 w系统的数学模型按系统运动特性分为：系统的数学模型按系统运动特性分为：静态数学模型静态数学模型和和动态动态 数学模型数学模型。（静态模型是。（静态模型是t t时系统的动态模型。）时系统的动态模型。

3、） （1）微分方程微分方程,它在它在时域时域中描述系统中描述系统(或元件或元件)动态特性；动态特性； （2）传递函数传递函数，它极有利于对系统在，它极有利于对系统在复数域复数域及频域进行及频域进行 深入的研究、分析与综合深入的研究、分析与综合 。 （3）状态空间状态空间，有利于反应系统内部状态之间的联系；，有利于反应系统内部状态之间的联系； （4）动态结构图动态结构图，有利于直观的列写和分析系统结构。，有利于直观的列写和分析系统结构。 3)3)基本数学模型基本数学模型 k m c y(t) f(t) ) t ( ky dt ) t ( dy c) t ( f dt )t (yd m- - -=

4、 = 2 2 11 22 1 010 ( ) /1/ xx f t xk mc mxm yx = - = 状态空间状态空间 4) 4)线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 线性及非线性这一特性并不随系统的表示方法而改变，它是系统本 身的固有特性。 5) 5) 数学模型的建立方法数学模型的建立方法 建立系统数学模型有两种方法：分析法和实验法。 2.1 2.1 系统的微分方程系统的微分方程 一分析法（解析法）一分析法（解析法） 11 110110 11 ()( )() ( ), nnmm nnommi nnmm dddddd aaaax tbbbb x t dtdtdtdtdtdt - - -

5、 = 112 1 1 1 ()Riii dtu C -= 2 2212 21 11 ()R ii dtii dt CC =- 2 2 2 1 i dtu C = 例例1 1 图示为两个形式相同的RC 电路串联而成的滤波网络， 试写出以输出电压和输入 电压为变量的滤波网络的 微分方程。 解：列写系统微分方程 (1) 输入:电压 输出:电压 中间变量 (2)简化 (3) 根据克希荷夫定律，可写 出下列原始方程式： 1, 2 i i 2 u 1 u (4) (4)消去中间变量消去中间变量 2 22 112211221221 2 () d udu R C R CR CR CR Cuu dtdt = l

6、虽然电路又两个RC电路所组成，但不能把它看作两个独立的RC 电路的连接。因为第二级电路的i2 要影响第一级电路的u1，列写 方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做负载效 应。存在负载效应时，必须把全部元件作为整体加以考虑。 l本例如果不考虑负载效应时，显然与前面得到的结果本例如果不考虑负载效应时，显然与前面得到的结果 不同。不同。 例例2 图示为电枢控制式直流电机原理图，设 为电枢两 端的控制电压， 为电机旋转角速度， 为折合到电机轴 上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况 下， 为给定输入， 为干扰输入， 为输出。系统中为 电动机旋转时电枢两端的反电势； 为电动机的电枢

7、电 流； 为电动机的电磁力矩。 a u L M a u M a i M a u (1) 输入变量为电压 ；输出变量为电机旋转角速 度 ;中间变量 ; (2)列写微分方程，电机电枢回路的方程为 当磁通固定不变时， 与转速 成正比，即 故有 根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为 a ada di Li Reu dt = dd ek= a ada di Li Rku dt = L d JMM dt =- d e aL uM、 ad ie、 d k （2.1.7） （2.1.6） 为反电势常数 电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。 （3）消除中间变量）消除中间变量 将（2.1.8）式代入（2.1.

8、7）式得 应用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中间变量ia，可得 令 ，则上式为 由式可见，转速由式可见，转速既由既由ua控制，又受控制，又受ML影响。影响。 m a Mk i= m aL d Jk iM dt =- 2 2 1L aL dmdmddmdm dMdd LJRJLR uM k kk kkk kk k dtdtdt =- ,(),1, admmddmm L RT RJk kTkC TJC= 2 2 L ammdamamL dMdd T TTC uC TC M dtdtdt =- （2.1.8） （2.1.9） 例3：如图为一机械转动系统，系统的转动惯量为J， 粘性阻尼系数为f

9、，输出量为惯性负载的角速度 ，T （t）为作用到系统上的转矩。 1、输入T（t） 输出 f T（t） J 2、应用牛顿第二定律 T(t) dt = f d J =T dt J d 例3：列写如图所示电路的动态方程列写如图所示电路的动态方程 R C i Ur Uc 3 消除变量i：UrUc Uc = dt d RC 令 RC=T 则： UrUc dt Uc = d T 1、输入Ur，输出 Uc，中间量i 2、基尔霍夫定律 Ur=? Uc?= 1 U r=R i+i C 1 U ci C dt dt= 二微分方程的增量化表示二微分方程的增量化表示 下面是考虑工程实际进一步讨论模型。 (1)电动机处

10、于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代 数方程： 此时，对应输入输出量可表示为： 则有 这就是系统的稳态。 damL C uC M=- （2.1.122.1.12） 0aa uu= 0LL MM= 0 = 000damL C uC M=- （2.1.132.1.13） 2 2 L ammdamamL dMdd T TTC uC TC M dtdtdt =- （2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就 是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化， 输入输出量可以记为： 则式（2.1.11）可记为： 考虑到 ，上式可变为 000damL C uC M=- 2 2 L a

11、mmdamamL d Mdd T TTCuC TCM dtdtdt =- 2 000 000 2 ()()() ()()() LL a mmdaam amLL ddd MM TTTC uuC TCMM dtdtdt =- 0aaa uuu= 0LLL MMM= 0 = 三、非线性方程的线性化三、非线性方程的线性化 线性化线性化：为了分析研究非线性系统，在一定范围内将一些非线性因 素忽略，近似地用线性数学模型来代替。 泰勒资料 Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, England Died: 29 Dec 1731 in Somerset House

12、, London, England Brook Taylor 泰勒级数展开 (1)输入变量为阀心位移x； 输出变量为活塞位移y; 中间变量 p q, (2)按照液压原理建立动力学方程 液压伺服系统 负载动力学方程为mycyAp= 流量连续性方程为 qAy= q与p一般为非线性关系 ( , )qq x p= 例例 液压伺服系统液压伺服系统 00 00 ( ,)(,)()() oo xxxx pppp qq qq x pq xpxp xp = = =- （3 3）线性化处理）线性化处理 0 ppp=- 0 xxx =- 式中 在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高 阶项，保留一次项

13、，并取增量关系，有： qc qKxKp= -（4 4）表示成增量方程）表示成增量方程 当系统在预定工作条件 ， ， 下工作，即可写为 00 (,)0q xp= 0 0 x =0 0p = qc qK xK p=- （5 5）消除中间变量）消除中间变量 1 () q c pK xq K =- 2 () q cc AK A mycyx KK = 图图2.1.4 q,p,x2.1.4 q,p,x三者线性关系三者线性关系 小偏差线性化时要注意以下几点：小偏差线性化时要注意以下几点： （1 1）必须明确系统工作点必须明确系统工作点，因为不同的工作点，因为不同的工作点 所得线性化方程的系数不同。所得线性化

14、方程的系数不同。 （2 2）非线性模型线性化的条件：）非线性模型线性化的条件：变量偏离预定变量偏离预定 工作点很小。工作点很小。如果变量在较大范围内变化，则如果变量在较大范围内变化，则 在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。 （3 3）如果非线性函数是不连续如果非线性函数是不连续的（即非线性的（即非线性 特性是不连续的），则在不连续点附近不能特性是不连续的），则在不连续点附近不能 得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。 （4 4）线性化后的微分方程是以）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量为基础的 增量方程。增量

15、方程。 l要求：要求： 会按照标准格式列写常用电路、电机、机械转动系统的动力学会按照标准格式列写常用电路、电机、机械转动系统的动力学 微分方程！微分方程！ l作业作业 2.2（b）、）、2.3（c）、）、2.4 (a)、2.5 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 2.1 2.1 系统的微分方程及列写系统的微分方程及列写 2.2 Laplace2.2 Laplace变化及微分方程求解变化及微分方程求解 4 4学时学时1 1 2.3 2.3 系统的传递函数及相似性原理系统的传递函数及相似性原理 2.4 2.4 系统的传递函数方框图及简化系统的传递函数方框图及简化 2.5 2.5 反馈控制系

16、统的传递函数反馈控制系统的传递函数及及Matlab 古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界：古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界： 王国维治学三境界王国维治学三境界 王国维在人间词话 众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴 。 昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路。 2.2 Laplace2.2 Laplace变化及微分方程求解变化及微分方程求解 控制系统可以用常系数线性微分方程来描述，解出这个微分方程， 就得到表示系统动态特性的过渡过程，因此，方便地求解微分方程 是至关重要的。 00 0 -( - ) 0 ( ),/,1 / ( ) ( )

17、 ( )(0)( ) ( )(0)( ) at at as tt as t atas t ata t s d abT tafJ bJ dt de be T t dt de dsbeT s ds dt t ebeT s ds tebeT s ds = -= = = = = 微分方程求解微分方程求解 f T（t） J T(t) dt = f d J l一阶系统一阶系统 l二阶系统：二阶系统： 2 () q cc AK A mycyx KK = 其次方程通解其次方程通解+非其次非其次 特解特解 l高阶系统？高阶系统？ m ya yb xx= 时间域时间域复数域复数域 Laplace 一、拉氏（一、拉

18、氏（Laplace）变换的定义）变换的定义 设f(t)是定义在（0，）区间上的时间函数，又s为复数 （s=+jw），用e-st乘以f(t)后，再将它对t从0-进行积分，如 果这个积分收敛，则确定了一个以s为参量的复变函数F(s) 0 ( ) ( )( ) st F sL f tf t edt - = 1 1 ( ) ( )( ) 2 j j s t j f tLF sF s e ds - - = 拉普拉斯反变换 拉普拉斯变换 二、几种典型函数的拉氏变换二、几种典型函数的拉氏变换 1 单位阶跃函数 0,0 1( ) 1,0 t t t = 根据定义有 0 0 11 ( )1( )1( ) sts

19、t F sLtt edte ss - =-= 2 单位冲激函数 (t) 0 0 ( )( )1 stst t Ltt edte - = - = 根据定义有 00 ( ) 10 t t t = = ( )1t dt - = 3 单位斜坡信号 = 0, 0, 0 )( tt t tr 0 2200 0 ( ) 111 st ststst F sL ttedt t eedte ssss - - = = -= 根据定义有 分步积分法 4 指数函数 ( ) at f te - = () 00 ( ) atatsts a t F sL eeedtedt - = 根据定义有 11 0 1 11 ( ) s

20、ts t F sL ee ssa - = 1 ssa=令 则与求单位阶跃函数同理，就可求得 5 正弦函数 ( )sinf twt= cos()sin() 1 sin() 2 jw t jw tjw t ew tjw t w tee j - = =- 欧拉公式欧拉公式 0 22 1 ( )sin() 2 111 () 2 jwtjwtst F sLwteeedt j w j sjwsjwsw - =- =-= - 根据定义有 22 1 cosLwt sw = 实际应用中，拉普拉斯变换不是推算，而是查表！ Laplace,Pierre-Simon,marquisde 拉普拉斯,法国数学家、天文学家

21、，法国科学院院士。 是天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一， 他还是分析概率论的创始人，因此可以说他是应用数 学的先躯。 天文学、数学和物理学的论文有270多篇， 专著合计有4006多页 三、拉氏变换性质三、拉氏变换性质 1、叠加定理、叠加定理 1212 ( )( )( )( )L f tf tL f tL f t= 2、比例定理、比例定理 ( )( )L K ftK Lft= 3、微分定理、微分定理 2 2 2 12(1) ( ) ( )(0) ( ) ( )(0)(0) ( ) ( )(0)(0)(0) n nnnn n df t LsF sf dt d f t Ls F ssff

22、 dt d f t Ls F ssfsff dt - =- =- =- d s dt = 4、积分定理、积分定理 ( 1) 2( 1)( 2) 22 ( 1)() 11 ( )( )(0) 111 ( )( )(0)(0) 111 ( )( )(0)(0) nn nn Lf t dtF sf ss Lf t dtF sff sss Lf t dtF sff sss - - - = = = ( 1)( 2)() (0),(0),(0) n fff - 式中，为原函数的各重积分 5、终值定理、终值定理 0 lim( )lim( ) ts f tsF s = 6、初值定理、初值定理 0 lim( )

23、lim( ) ts f tsF s = 7、位移定理、位移定理 ()( )( )() stat L f teF sL ef tF sa - -= 1 dt s = 例例 求函数的Laplace变化 ( )f tKt= 2 ( ) K F sL KtKL t s = ( )1( ) at f tte-= 11(2) ( )1( ) () at sa F sLtL e ssas sa - = ( ) at f ttte-= 2 11 ( ) () at F sL tL te ssa - = 位移定理位移定理 比例定理比例定理 2 ( )32f ttt= 2 ( )32 1( )f tttt= 32

24、 211 ( )32F s sss = ( )sin() at f tewt - = 22 ( ) ( ) () w F sL f t saw = 位移定理位移定理 已知 1 1( )Lt s = 求 ( ), ( )LtLt 1( ) ( ) d t t dt = 0 1( )1 ( )1( ) 1( )1 t d t LtLsLtts dts - = =-= = 0 ( )1( ) t Ltsts - = = -= 微分定理微分定理 已知 ( )1Lt= 求 1( )Lt 1( )( )tt dt= 积分定理积分定理 11 1( )( ) ( )LtLt dtLt ss = 要求要求： l 记住记住常用信号的常用信号的Laplace正、反变化正、反变化公式公式 l 掌握掌握Laplace变化常用变化常用定理定理 作业作业： ( )1( ) at f tet - = 2 ( ) at f tt e-=( )cos() at f tewt= 1。求函数拉氏变化。求函数拉氏变化 2。课本。课本 2.6 3。推导求。推导求cos（wt）函数拉氏变化）函数拉氏变化 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 2.1 2.1 系统的微分方程及列写系统的微分方程及列写 2.2 Laplace2.2 Laplace变化及微分方程求解变