理论力学运动法学复习

1、例1 如图所示，偏心距为e、半径为R的凸轮，以匀角速度w 绕O 轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触， 且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。 A B e CO q w ve va vr q 例2 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为w，通过滑块 A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角 速度w1。 j A O1 O w B j ve va vr 例3 水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。 试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。 u A B O M r j vr va ve 例4 求图示机构中OC杆

2、端点C的速度。其中v与已知，且设 OA=a, ACb。 v A q B C O va ve vr vC wOC 例5 图示平底顶杆凸轮机构，顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心凸 轮以等角速度w绕O轴转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶 杆的平底始终接触凸轮表面，设凸轮半径为R，偏心距OC=e ， OC 与水平线的夹角为a，试求当a =45时，顶杆AB的速度。 va ve vr 例6 AB杆以速度v1向上作平动，CD杆斜向上以速度v2作平动， 两条杆的夹角为a，求套在两杆上的小环M的速度。 M A B C D v2 v1 ve1 vr1 vr2ve2 va 解 取M为动点，AB为动坐标系，相对速度、

3、牵连速度如图。 取M为动点，CD为动坐标系， 相对速度、牵连速度如图。 由上面两式可得： 11aer vvv 22aer vvv 1122erer vvvv 其中 1122 , ee vvvv 122 212 cossin (cos )/sin r r vvv vvv aa aa 将等式两边同时向y轴投影： 则动点M的绝对速度为： 2222 12 222 22 121 2 cos () sin 1 2cos sin aer vv vvvv vvv v a a a a = M A B C D v2 v1 ve1 vr1 vr2 ve2 va1122erer vvvv y 例10 图示曲柄滑道机构

4、，圆弧轨道的半径ROA10 cm，已知 曲柄绕轴O以匀速n120 rpm转动，求当j30时滑道BCD的 速度和加速度。 n j R O O1 A B C D j va vr ve 解：取滑块A为动点，动系 与滑道BCD固连。 求得曲柄OA转动的角速度为 4rad/s 30 n w aer vvv 125.6 cm/s 125.6 cm/s 125.6 cm/s a era BCDe vOA vvv vv w 120 30 h A O O1 A B C D j 分析加速度得 art ae arn aan 22 n2 r r 1 125.6 1579 cm/s 10 v a O A n2 aa 2

5、2 (4 )101579 cm/s aaOA w nt aerr aaaa 将加速度向h轴上投影有： n ar e 22 cos601579 0.5 1579 cos303/2 2740 cm/s27.4 m/s aa a n aer :cos60cos30aaa h 例11 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为w，通过滑块 A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角 速度w1。 解： 在本题中应选取滑块A作为研究的 动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。 点A的绝对运动是以点O为圆心的 圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直 线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴

6、 的摆动。 2 11 22 sinsin () ea e vvr r vO A lr jwj w w 2 22 11 22 () r O Alr lr w w ve va vr j A O1 O w B j A O1 O B w w1 a1 ar aet aen aa aC 由于动参考系作转动，因此加速度合成 定理为： 2 a arw 1 2sin90 Cr avw 42 n2 e113 22 2 () r aO A lr w w t e11 aO Aa nt aerCeerC aaaaaaaa 2 re1 22 22 , rlr v lr lr ww ww 23 3 22 2 2 () C

7、r l a lr w j A O1 O B w1 a1 ar aet aen aa aC h 为了求得aet，应将加速度合成定理向轴h 投影： nt aeerC aaaaa hhhhh 即： t aeC cosaaaj 得： 22 t2 e3 22 2 () () rl lr a lr w 摇杆O1B的角加速度 ： t22 2 e 1 222 1 () () arl lr O Alr aw A B O C w 例12 偏心凸轮的偏心距OCe、半径为 ，以匀角速度w 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮 接触，且OAB成一直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB的速度 和加速度

8、。 3Re vr va ve q 解：选取杆AB的端点A作为动点，动 参考系随凸轮一起绕O轴转动。 e vOAw 32 3 tan 33 ae e vvOA w qw 243 cos33 2 e r vee v ww q aer vvv A B O C w q 加速度分析如图 arn art aC aa aen h aerC aaaa 22 2 n e aOAeww 22 16 3 3 n r r ve a R w 2 48 2sin( ,)21 33 Crr ee av ww ww vw w coscos nn aerC aaaaqq 22 22 231682 ( 2) 2933 33 a

9、ee aee ww ww 例13 图示曲杆OBC绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直 杆OA滑动。已知OB10 cm，OB与BC垂直，曲杆的角速度为 0.5rad/s，求当=60时小环M的速度和加速度。 B A C OM w j 解：选取小环M作为研究的 动点，动参考系随曲杆OBC 一起绕O轴转动。 点A的绝对运动是小环M沿 OA杆的直线运动，相对运动 是沿着BC的直线运动，牵连 运动则是曲杆绕O轴的转动。 于是 ： 10 0.5 10cm/s 1 cos60 2 e OB vOM w w tan10317.3 cm/s ae vvj 由三角关系求得小环的绝对速度为： B A C OM w

10、j a v e v r v 220 cm/s re vv 小环M的加速度分析如图所示 ： 2 22 0.5 20 20 cm/s Cr avw 222 0.5205 cm/s n e aOMw 2 /cos52 2035cm/s n aeC aaaj 可得： aerC aaaa 向y方向投影,有: coscos n aeC aaajj B A C O M w j c a a a n e a r a y j 例14 平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB可沿导轨上下移动， 偏心圆盘绕轴O转动，轴O位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底 始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R，偏心距OC = e，凸轮绕轴 O转动

11、的角速度为w，角加速度为e 。求OC与水平线成夹角j时顶 杆的速度和加速度。 B A C O j j y xe e w w M 解 用运动方程求解。因推杆作平 动，其上各点的速度和加速度都相 同，现取推杆上与凸轮的接触点M 分析： 2 sin coscos cossin cossin yR e dyd vee dtdt dvdd aee dtdtdt ee j j jwj wj jwj ejwj B A C O j j y xe e w w M y 8.1 相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动 图示中的半圆的半径为图示中的半圆的半径为R R，C C、D D处铰接长度同为处铰接长度同

12、为L L的二曲的二曲 柄，曲柄绕轴转动的角速度为柄，曲柄绕轴转动的角速度为,角加速度为角加速度为；半圆；半圆 推动摇杆推动摇杆ABAB绕轴绕轴B B转动，求图示瞬时转动，求图示瞬时OAOA与水平线成与水平线成3030度度 角，摇杆角，摇杆ABAB、曲柄、曲柄CECE分别与水平成分别与水平成6060度角时摇杆度角时摇杆ABAB的角的角 速度与角加速度。速度与角加速度。 A C B O D E 8.1 相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动 A B O V a 图示中的半圆的半径为图示中的半圆的半径为R R，向左运动，速度为，向左运动，速度为V V，加速，加速 度为；推动摇杆度为；推动摇

13、杆ABAB绕轴绕轴B B转动，求图示瞬时转动，求图示瞬时OAOA与水平与水平 线成线成3030度角、摇杆度角、摇杆ABAB与水平成与水平成6060度角时摇杆度角时摇杆ABAB的角速的角速 度与角加速度。度与角加速度。 8.1 相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动 6 3 6 C E B M A F 导槽导槽BCBC与与EFEF间放一圆柱销间放一圆柱销M M，导槽，导槽BCBC运动时带动运动时带动M M在在EFEF中中 运动。已知：图示时刻运动。已知：图示时刻ABAB杆与铅垂线成杆与铅垂线成3030度角，绕轴度角，绕轴A A转转 动的转动角速度为动的转动角速度为 , ,角加速度为角加

14、速度为 ，ABABCDCDR R0.20.2米，求米，求M M在在BCBC与与EFEF中的速度与加速度。中的速度与加速度。 8.1 相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动 O E B A C F 正弦机构中曲柄正弦机构中曲柄OAOAR R，以绕轴，以绕轴O O转动的角速度为转动的角速度为, 角加速度为角加速度为；导槽；导槽BCBC与齿条与齿条EFEF固接并相互垂直，齿固接并相互垂直，齿 条条EFEF可以在水平滑道内滑动。求曲柄可以在水平滑道内滑动。求曲柄OAOA与水平成与水平成3030度度 角时齿条角时齿条EFEF的速度与加速度。的速度与加速度。 8.1 相对运动相对运动牵连运动牵连

15、运动绝对运动绝对运动 图示机构中曲柄图示机构中曲柄OA=ROA=R绕轴绕轴O O转动的角速度为转动的角速度为,角加速角加速 度为度为，A A处铰接一套筒，此套筒可在滑杆处铰接一套筒，此套筒可在滑杆BCBC上运动，上运动， 由套筒带动由套筒带动EFEF杆运动，杆运动，BCBC与与EFEF固接。求当固接。求当OAOA与水平成与水平成 6060度角时度角时EFEF杆的速度与加速度。杆的速度与加速度。 O B E F A C 8.1 相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动 A O B CE 图示机构中曲柄图示机构中曲柄ABAB绕轴绕轴B B转动的角速度为转动的角速度为,角加速度为角加速度为

16、，A A处铰接一滑块，此滑块可在半圆形的滑道处铰接一滑块，此滑块可在半圆形的滑道CECE内自由滑内自由滑 动，从而带动半圆型滑道动，从而带动半圆型滑道CECE沿水平方向运动，设沿水平方向运动，设BABAR R， 半圆的半径也为半圆的半径也为R R，圆心在，圆心在O O处。求当处。求当BABA与水平成与水平成6060度角度角 时滑道的速度与加速度。时滑道的速度与加速度。 例2 行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿 轮I只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为wO。求轮II的角速 度wII及其上B，C两点的速度。 解:行星齿轮II作平面运动，求得A 点的速度为 vA wO

17、DADA vvv O D A C B vA vDA wII I II 以A为基点，分析两轮接触点D的 速度。 12 () AOO vOArrww 由于齿轮I固定不动，接触点D不 滑动，显然vD0，因而有vDAvA wO(r1+r2)，方向与vA相反，vDA 为点D相对基点A的速度，应有vDA wIIDA。所以 12 II 2 () ODA rrv DAr w w vA wO CACA vvv O D A C B vA vCA vC vB vBA vA wII I II 以A为基点，分析点B的速度。 II12 () BAOA vBArrvww BABA vvv vBA与vA垂直且相等，点B的速度

18、 22 12 22() BABAAO vvvvrrw 以A为基点，分析点C的速度。 vCA与vA方向一致且相等，点C的速度 II12 () CAOA vCArrvww 12 2() CCAO vvvrrw 解： 如图所示。 jrS 由于此式对任意时间都成立， 故两边对时间求导有 dd dd O s vrr tt j w 由此可得 r v O w 再对时间求导有 22 22 dd dd O s arr tt j a由此可得 O a r a 例14 求圆轮在地面上作纯滚动时的角速度w和角加速度a。 w j O O r M M s vO vO a 例20 半径r = 1m的轮子，沿水平直线轨道纯滚动

19、，轮心具有匀加速度aC = 0.5 m/s2，借助于铰接在轮缘A点上的滑块，带动杆OB绕垂直图面的轴O转动，在 初瞬时(t = 0)轮处于静止状态，当t = 3s时机构的位置如图。试求杆OB在此瞬 时的角速度和角加速度。 解：当t=3s时，轮心C的速度 0.5 31.5m s CC va t 轮子作平面运动，瞬心在D点，则 23m s AC vv r C O A B vA vCaC 45 D 取滑块A为动点，动系取在OB杆上， 动点的速度合成矢量图如图所示。 rea vvv 45cos smvv re 2 23 srad OA ve OB 4 3 w ve vr 轮作平面运动，取C为基点，则A

20、点的加速度 tn ACACAC aaaa 根据牵连运动为转动的加速度合成定理，动点A的绝对加速度为 tn aeerK aaaaa r C O A B aC 45 D aCa t AC a n AC aK ara t e a n e 于是可得 ttnn eerKCACAC aaaaaaa t ACC araa 2 n22 2.25m s C ACC v aAC r w 2 9 22m s 4 KOBr avw 其中 取如图的投影轴，由以上加速度合成矢量式，将各矢量投影到h 轴上得 tnt ()cos45 CACACeK aaaaa ttn2 2 ()0.88m s 2 eKCACAC aaaaa r C O A B aC 45 D aCa t AC a n AC aK ara t e a n e 于是，杆OB的角加速度为 t 2 0.88 0.31rad s 2 2 e OB a OA a 转向如图所示。 h 3 3r 例21 图示机构中，曲柄OA长为r，绕O轴以等角速度w0转动，AB6r，BC 。求图示位置时滑块C的速度和加速度。Ex