机械工程控制-时间响应

1、机械工程控制基础机械工程控制基础 2012.92012.9 机械类专业必修课机械类专业必修课 机械与动力工程学院机械与动力工程学院 1 1、课程准备、课程准备 7 7、系统的性能指标与校正、系统的性能指标与校正 2 2、绪、绪 论论 4 4、系统的时间响应分析、系统的时间响应分析 3 3、系统的数学模型、系统的数学模型 5 5、系统的频率特性分析、系统的频率特性分析 6 6、系统的稳定性分析、系统的稳定性分析 第一讲第一讲 时间响应及其组成时间响应及其组成 典型信号和一阶系统典型信号和一阶系统 建立系统数学模型后，就可以采用不同的方法， 通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分 析是重要

2、的方法之一。 时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行 分析，时间响应不仅取决于系统本身特性，而且与外 加的输入信号有较大的关系。 时域分析的目的 ：在时间域，研究在一定的 输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况， 以分析和研究系统的控制性能。分析系统的稳定 性、响应的快速性与响应的准确性等系统的动态 性能。 一、时间响应及其组成一、时间响应及其组成 微分方程：微分方程：系统函数关系不明确情况下，所列写的需要寻系统函数关系不明确情况下，所列写的需要寻 找的函数及其导数的关系式。找的函数及其导数的关系式。 时间响应：时间响应：特定输入下微分方程的解，即需要寻找的未知函数。特定输入下微分方程的

3、解，即需要寻找的未知函数。 实例分析实例分析 1无阻尼单自由度系统无阻尼单自由度系统 tFtky dt tyd mcos)( )( 2 2 系统微分方程：系统微分方程： 系统在外界（输入或扰动）的作用下，从一定的初始状态系统在外界（输入或扰动）的作用下，从一定的初始状态 出发，所经历的由其固有特性所决定的动态历程。亦即系出发，所经历的由其固有特性所决定的动态历程。亦即系 统微分方程在一定初始条件下的解。统微分方程在一定初始条件下的解。 微分方程解的组成：微分方程解的组成： tytyty 21 特解特解 齐次微分方程通解齐次微分方程通解 其中，y1(t)为对应于齐次微分方程的通解，y2(t)为特

4、解。由 理论力学与微分方程解的理论可知： 和特解的和。微分方程的解则为通解 的值。对应特解是 的值；时对应通解是 )()()()( )(0)()( tytftkytym tytkytym 特解与输入有关特解与输入有关 通解与输入无关通解与输入无关 )sincos()(2 )()(2 )(2 0 0)()()( 21 21 21 2 21 xCxCetyja xCCety eCeCty qprr tqytypty ax rx xrxr ，则通解为：个共轭虚根若方程有 解为：个相等的实数根，则通若方程有 通解为：个不相等的实数根，则若方程有 化为 的通解：求 ( )( )0 , n k my tk

5、y tj m k m 有虚根 通解为 1nn1nn y(t)Asiny(t)Asin tBcostBcos t t 为系统的无阻尼固有频率。为系统的无阻尼固有频率。 微分方程解的表现形式：微分方程解的表现形式： n , 1 1 k F Y ,t,Ycos(t)y 2 2 代入微分方程得设微分方程的特解为 n k F YtFtYkm 2 2 1 1 coscos即有 将 y2(t) 代入式(3.1.1)可得： 于是，式 的完全解可写成如下形式： t k F tBtAty nn cos 1 1 cossin 2 为求常数A和B，将上式对 t 求导可得： t k F tBtAty nnnn sin

6、1 sincos 2 00 0ytyytyt，时，设 联立以上二式可解得： 2 0 0 1 1 k F yB y A n 特解，特解， 与输入与输入 有关有关 通解，与输入无关通解，与输入无关 2 2 ( ) ( )cos d y t mky tFt dt t k F t 1 1 k F ty(0)t (0)y t k F t 1 1 k F y(0)t (0)y ty n 2 nn n n 2 n n cos 1 1 coscossin cos 1 1 cossin)( 2 2 求得方程的解：求得方程的解： t k F t 1 1 k F ty(0) t (0)y ty n 2 n n n

7、cos 1 1 cos cos sin)( 2 由微分方程初由微分方程初 始条件引起的始条件引起的 响应响应 由作用力引由作用力引 起的响应起的响应 自自 由由 响响 应应 强迫强迫 响应响应 还不是还不是 完全意完全意 义上的义上的 自由响自由响 应，其应，其 振幅还振幅还 是受是受F的的 影响影响 自由响应的振自由响应的振 动频率与自身动频率与自身 特性有关特性有关 强迫响应的振强迫响应的振 动频率与外加动频率与外加 作用力的振动作用力的振动 频率相关频率相关 由作用力引起由作用力引起 的自由振动的自由振动 自由响应（频率为自由响应（频率为n）强迫响应（频率为强迫响应（频率为） 零输入响应

8、零状态响应 零输入响应：零输入响应：无输入时系统初态引起得自由响应。无输入时系统初态引起得自由响应。 零状态响应：零状态响应：在零初始条件下，由输入引起的响应。在零初始条件下，由输入引起的响应。 牢记！ 控制工程的研究内容主要是零状态响应！控制工程的研究内容主要是零状态响应！ 2 2、系统时间响应的一般组成、系统时间响应的一般组成 对系统微分方程对系统微分方程x(t)各阶导数取各阶导数取 0，则：，则： 方程解的一般形式：方程解的一般形式： tytyty 21 若方程中齐次方程特征根若方程中齐次方程特征根si ( i=1,2,n )互异，则：互异，则： tBtyeAty ts n i i i

9、2 1 1 ts n i i ts n i i ii eAeAty 1 2 1 11 y1(t)又可表示为：又可表示为： 系统初态引起系统初态引起 的自由响应的自由响应 输入输入x (t)引起引起 的自由响应的自由响应 tBeAeAty n i ts i n i ts i ii 1 2 1 1 )( 自 由 响 应强 迫 响 应 零 状 态 响 应零 输 入 响 应 系统响应的一般表达为：系统响应的一般表达为： n与与si同系统的初态和输入无关，而取决于系同系统的初态和输入无关，而取决于系 统的结构和参数的固有特性。统的结构和参数的固有特性。 注意：在定义系统的传递函数时已规定零初始条件，故由

10、初 态引起的零输入响应为零，从而对Y(s)=G(s)X(s)进行拉氏反 变换得到的y(t)就是零状态响应。 在定义传递函数时，其前提条件之一便是：系统初始状态为在定义传递函数时，其前提条件之一便是：系统初始状态为0 )( )( )( sX sX sG i o )()()(sXsGsX io 拉氏反变换 )()()()( 11 sXsGLsXLtx ioo )()( i txLsX i 看看利用传递函数求解响应的过程？看看利用传递函数求解响应的过程？ 此处所求此处所求 是在系统零状态下的解，即前面讲的零状态解是在系统零状态下的解，即前面讲的零状态解)(tx o 注意：本书所讲时间响应内容没有特别

11、标明之外，均为零状态响应注意：本书所讲时间响应内容没有特别标明之外，均为零状态响应 输入存在导数项的响应求取：输入存在导数项的响应求取： 对系统动力学微分方程的一般形式求导：对系统动力学微分方程的一般形式求导： x(t) 为输入则输出为为输入则输出为y(t) ，所以以所以以x(t)的的n n阶阶 导数为输入则以导数为输入则以y(t)的的n n阶导数为输出。阶导数为输出。 存在导数的输入的响应是各阶导数输出的叠加。存在导数的输入的响应是各阶导数输出的叠加。 t i s m jIt i st i s eee Re n i t i s i n i t i s i eAeAty 1 2 1 1 )(

12、t i s im t i s t i s etsIee Re * )cos(2 Re Im s t y Re Im s t y Re Im s t y Re Im s t y Re Im s t 在此还要强调：在此还要强调： Re sRe s i i是大于还是小于零，决定系统稳定还是不稳定；是大于还是小于零，决定系统稳定还是不稳定； Re sRe s i i绝对值大小，决定系统的快速性；绝对值大小，决定系统的快速性； 特征根实部特征根实部ImsiImsi的大小决定自由响应的振荡频率的大小决定自由响应的振荡频率, ,影响系统响影响系统响 应的准确性。应的准确性。 Re Im s Re Im s

13、瞬态响应和稳态响应问题：瞬态响应和稳态响应问题： 1）若方程特征根具有负实部，即）若方程特征根具有负实部，即Resi 0，则，则t时， 自由响应趋于零。 2）si是方程的极点，即是方程的极点，即Resi 0表示所有极点在方程表示所有极点在方程 左半平面，系统稳定其自由响应为瞬态响应左半平面，系统稳定其自由响应为瞬态响应。 3）稳态响应指强迫响应。）稳态响应指强迫响应。 总结：总结： 振动性质振动性质 振动来源振动来源 自由响应自由响应 强迫响应强迫响应 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 稳定性质稳定性质 瞬态响应瞬态响应 稳态响应稳态响应 一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动

14、， 扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数形式 也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不 同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入 信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的 典型输入信号。 二、典型输入信号二、典型输入信号 信号分类：信号分类： 确定性信号：确定性信号：能够用明确的数学关系式描述的信号。能够用明确的数学关系式描述的信号。 非确定性信号：非确定性信号：不能用数学关系式描述的信号。不能用数学关系式描述的信号。 特点：特点：可分为周期、非周期信号与准周期信号。可分为周期、非周期信号与准周期信号。 特点：特点：幅值、相位变化不可预知，只服从统计规律。幅值、相

15、位变化不可预知，只服从统计规律。 在分析和设计系统时，为了能够方便地评价其性在分析和设计系统时，为了能够方便地评价其性 能的优劣，需要规定一些典型输入信号。从而通过能的优劣，需要规定一些典型输入信号。从而通过 比较系统对典型输入信号的时间响应来判定系统的比较系统对典型输入信号的时间响应来判定系统的 动态性能。动态性能。 系统性能评价原理：系统性能评价原理： sX sX sG sX sX i o i o 2 2 1 1 A频域：频域： )()()()( 1221 txtxtxtx oioi A时域：时域： 系统试验方法：系统试验方法： A系统正常工作输入信号系统正常工作输入信号 特点：特点：不影

16、响系统正常工作，但不能保证全面了解不影响系统正常工作，但不能保证全面了解 系统动态特性。系统动态特性。 A经验典型信号经验典型信号 特点：特点：能综合测试系统的动态特性。能综合测试系统的动态特性。 典型输入信号：典型输入信号： A单位脉冲信号单位脉冲信号 A单位阶跃信号单位阶跃信号 A单位斜坡信号单位斜坡信号 A单位抛物线信号单位抛物线信号 A正弦函数正弦函数 A随机函数随机函数 典型输入信号的选择原则典型输入信号的选择原则 能反映系统在工作过程中的大部分实际情况； 如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃 信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选 速度信号。 注意：对于同一系统，无论

17、采用哪种输入信号， 由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。 三、一阶系统三、一阶系统 定定 义：义：可用一阶微分方程描述的系统。可用一阶微分方程描述的系统。 微分方程：微分方程： txtx dt tdx T io o 1 1 )( )( )( TSsX sX sG i o 传递函数：传递函数： 特征参数：特征参数：一阶时系统间常数一阶时系统间常数T 。 T表达了一阶系统本身与外界作用无关的固有特性。表达了一阶系统本身与外界作用无关的固有特性。 1）一阶系统的单位脉冲响应）一阶系统的单位脉冲响应 定定 义：义：以单位脉冲函数以单位脉冲函数(t)为输入的一阶系统输出。为输入的一阶系统输出。

18、响应求解：响应求解： sXsGsXsW io 1tLsX i d sGsW 0 1 1 1 )( 11 te TTS LsGLtw T t 特点：特点：输入瞬态；响应有瞬态无稳态，且按指数规律衰减。输入瞬态；响应有瞬态无稳态，且按指数规律衰减。 主要原因是引起此响应主要原因是引起此响应 的输入是瞬态作用的输入是瞬态作用 -1/T2 -0.368 1/T2 -0.135 1/T2 -0.018 1/T2 0 1/T 0.368 1/T 0.135 1/T 0.018 1/T 0 0 T 2T 4T w(t)w (t)t 斜率 T t e T tw 1 特性分析：特性分析： 过渡过程：响应衰减到初

19、值过渡过程：响应衰减到初值2之前的过程。之前的过程。 调整时间：过渡过程历经的时间调整时间：过渡过程历经的时间ts=4T。 T越大，越大，t ts s越长，系统惯性越大；越长，系统惯性越大； 一阶系统可称为一阶惯性系统。一阶系统可称为一阶惯性系统。 2）一阶系统的单位阶跃响应）一阶系统的单位阶跃响应 定定 义：义：以单位阶跃函数以单位阶跃函数u(t)为输入的一阶系统输出。为输入的一阶系统输出。 响应求解：响应求解： 特点：特点：是瞬态项；是瞬态项； sTs sX s tuLtutx oi 1 1 11 故 01 1 tesXLtx T t oou T t e 1是稳态项是稳态项B ( t ).

20、 特性分析：特性分析： 1/T 0.368 1/T 0.135 1/T 0.018 1/T 0 0 0.632 0.865 0.982 1 0 T 2T 4T xou(t)xou(t)t 斜率 1 0.632 A T t x ou(t) Tt ou etx / 1 响应说明：响应说明： A单调上升的指数曲线；单调上升的指数曲线； A重要特征点：重要特征点：A点点t=T, x ou(t)=0.632；0点点斜率为斜率为 1/1/T T。 包含了一阶系统固包含了一阶系统固 有特性的有关信息有特性的有关信息 如何用如何用实验法实验法求一阶系统的求一阶系统的传递函数传递函数G(s) ？ 对系统输入一对

21、系统输入一 单位阶跃信号单位阶跃信号 测出响应曲线测出响应曲线 稳定值稳定值 0.632倍的稳定值或倍的稳定值或 t=0时的斜率时的斜率 即能求得传递函数即能求得传递函数 如稳态值B(t)为k, 0.632B(t)对应的时间t为a, 则传 递函数为： 1 )( as k sG 单位脉冲响应和单位阶跃函数的关系？单位脉冲响应和单位阶跃函数的关系？ 结论：结论： 如果输入函数等于某一函数的微分，那么该输入函数的时间响应也是这个如果输入函数等于某一函数的微分，那么该输入函数的时间响应也是这个 函数响应的微分函数响应的微分. 如果输入函数等于某一函数的积分，那么该输入函数的时间响应也是这个如果输入函数

22、等于某一函数的积分，那么该输入函数的时间响应也是这个 函数响应的积分，如果为不定积分，还需要确定积分常数。函数响应的积分，如果为不定积分，还需要确定积分常数。 T t ou etx t t tu 1)( 00 01 )( Tt e T tw t t t / 1 )( 00 0 )( d 单位脉冲单位脉冲 单位阶跃单位阶跃 w w( (t t) )( (t t) )x x而而 ( (t t) )0 0( (t t) )u u0 0时时，当当t t由由上上面面公公式式可可以以看看出出， o ou u 响应分析：响应分析： 一阶系统的响应速度一阶系统的响应速度随时间的增大而减小。随时间的增大而减小。

23、 当当t t=4=4T T时，其响应已达到稳态值的时，其响应已达到稳态值的98%98%以上。故以上。故t ts=4s=4T T 中的中的T T 确实反映了一阶系统的特性。确实反映了一阶系统的特性。 应用价值：应用价值： 对比一阶系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应对比一阶系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应 可知，二者存在导数关系，即单位脉冲函数是单位阶可知，二者存在导数关系，即单位脉冲函数是单位阶 跃函数跃函数( (在在t t=0=0处处) )的导数，单位脉冲响应也是单位阶跃的导数，单位脉冲响应也是单位阶跃 响应的导数。这一关系可以推广，即若输入是某函数响应的导数。这一关系可以推广，即若输入是某函数

24、 的积分，则响应也为某函数的响应的积分。但若为不的积分，则响应也为某函数的响应的积分。但若为不 定积分，则需确定积分常数。定积分，则需确定积分常数。 可以通过输入阶跃函可以通过输入阶跃函 数用实验方法求一阶数用实验方法求一阶 系统的特征参数系统的特征参数T T 实例分析实例分析1 例：已知例：已知 tt eetw 5 . 02 . 0 510 ，求系统的传递函数，求系统的传递函数。 解：因为系统的单位脉冲响应是系统传递函数拉氏反变解：因为系统的单位脉冲响应是系统传递函数拉氏反变 换，故换，故 1 . 07 . 0 4 . 015 5 . 0 5 2 . 0 10 510 2 5 . 02 .

25、0 ss s ss eeLtwLsG tt s t s 4 ;tT 时， s 53tT 时，。 设设相对容许误差相对容许误差 稳态值 . ts 0 t(sec) 稳态值稳态值 xo(t) Tt ou etx / 1)( 由由 1 .)1 (1 / T s t e T s t sou etx / 1)( ln1 . / Tte s T s t 有有 A掌握系统的时间响应及其一般组成；掌握系统的时间响应及其一般组成； 四、本讲小结四、本讲小结 A掌握典型试验输入信号模型、变换及图像；掌握典型试验输入信号模型、变换及图像； A掌握一阶系统的单位脉冲响应特性及分析；掌握一阶系统的单位脉冲响应特性及分析

26、； A掌握一阶系统的单位阶跃响应特性及分析。掌握一阶系统的单位阶跃响应特性及分析。 练习题练习题 教材：教材： 3.3, 3.73.9 第二讲第二讲 二阶系统二阶系统 说说 明：明：一般控制系统。一般控制系统。 微分方程：微分方程： 传递函数：传递函数： 特征参数：特征参数：无阻尼固有频率无阻尼固有频率n ，阻尼比，阻尼比 。 n 称为无阻尼固有频率称为无阻尼固有频率,称为阻尼比称为阻尼比,它们是二阶系它们是二阶系 统本身固有的与外界无关的的特征参数统本身固有的与外界无关的的特征参数 。 一、二阶系统分析一、二阶系统分析 )()( )( 2 )( 22 2 txtx dt tdx dt txd

27、 inon o n o 2 2 2 2)( )( )( nn n i o sssX sX sG 令传递函数特征多项式为令传递函数特征多项式为0，得：，得： 02 2 2 nns s 解特征方程，可得特征根：解特征方程，可得特征根： 1 2 2, 1 nn s 二阶系统的特征根因二阶系统的特征根因 的不同而不同。可分的不同而不同。可分 四种情况进行说明。四种情况进行说明。 二阶系统方程特征根的讨论：二阶系统方程特征根的讨论： a) 0 1 j 0 s1s2 1 2 2, 1 nn s 系统过阻尼系统过阻尼特征根为两个特征根为两个 不相等的负实根，系统传递函不相等的负实根，系统传递函 数的极点是一

28、对位于复平面数的极点是一对位于复平面ss 的负实轴上。的负实轴上。 根据以上分析根据以上分析,得二阶系统极点分布图如下：得二阶系统极点分布图如下： 二、二阶系统的单位脉冲响应二、二阶系统的单位脉冲响应 定定 义：义：以单位脉冲函数以单位脉冲函数(t)为输入的二阶系统输出。为输入的二阶系统输出。 响应求解：响应求解： sXsGsXsW io 1tLsX i d sGsW 特点：特点：输入瞬态；响应由阻尼比输入瞬态；响应由阻尼比来划分。来划分。 222 2 1 2 2 2 1 )1()( 2 )( nn n nn n s L ss Ltw a) 0 1 过阻尼系统过阻尼系统 )0( 12 )1(

29、1 )1( 1 12 )( )1()1( 2 2 1 2 1 2 22 tee s L s Ltw tt n n n n nn 0.4 0.2 -1 0 12 t(sec) n w(t) 当当取不同值时，欠阻尼系统的响应曲线是取不同值时，欠阻尼系统的响应曲线是 减幅正弦振荡曲线，且减幅正弦振荡曲线，且 越小越小 ，衰减越慢，衰减越慢， 振荡频率振荡频率d d 越大。幅值衰减的快慢取决于越大。幅值衰减的快慢取决于 *n (1/ (1/ *n 为时间衰减常数）为时间衰减常数）。 tw t 1 . 0 3 . 0 5 . 0 0 定定 义：义：以单位阶跃函数以单位阶跃函数u(t)为输入的一阶系统输出

30、。为输入的一阶系统输出。 响应求解：响应求解： ? s tuLtutxi 1 三、二阶系统的单位阶跃响应三、二阶系统的单位阶跃响应 )( 21 1 2 1 )()( 2 2 2 dndn n nn n o jsjs s s ssss sGsX 根据响应函数的拉氏变换式，有：根据响应函数的拉氏变换式，有： a) 0 1 过阻尼系统过阻尼系统 c) = 1 临界阻尼系统临界阻尼系统 ) 0()1 (1)()( 1 tetsXLtx t noo n 因因, 故故xo(t)单调上升：单调上升： nn tsts n t t oo ss t s e s e e e sXLtx n n )1()1( )0(

31、 12 1 )1(12 1 )1(12 1 1 )()( 2 2 2 1 21 2 )1( 22 )1( 22 1 21 2 2 式中， L-1 1 0.5 0 12 t(sec) n xo(t) 0 1 0 12t(sec) n ) t (xout 当当1.51.5，两个衰减的指数项中，两个衰减的指数项中，e es s1 1t t 的衰减要比 的衰减要比e es s2 2t t 快 快 得多，因此过渡过程的变化以得多，因此过渡过程的变化以e es s2 2t t 项起主要作用。 项起主要作用。 0 1 . 0 3 . 0 6 . 0 7 . 0 0 . 1 n w(t) nt n t xo(

32、t) 二阶系统单位阶跃响应分析：二阶系统单位阶跃响应分析： A 1时，过渡过程为单调上升时，过渡过程为单调上升, 且在且在= 1时过时过 渡过程最短。渡过程最短。 A= 0.40.8时，振荡适度、过渡过程较短且比时，振荡适度、过渡过程较短且比= 1 时更短。时更短。 控制系统设计所需的控制系统设计所需的 理想参数理想参数 A决定过渡过程特性的是响应的瞬态响应部分；合适决定过渡过程特性的是响应的瞬态响应部分；合适 的参数的参数n和和决定了合适的过渡过程。决定了合适的过渡过程。 四、二阶系统响应的性能指标四、二阶系统响应的性能指标 1) 相关约定：相关约定： A阶跃输入产生容易，基于其响应系统可求

33、得对任何阶跃输入产生容易，基于其响应系统可求得对任何 输入的响应。输入的响应。 A实际输入与阶跃输入相似，而且阶跃输入是实际中实际输入与阶跃输入相似，而且阶跃输入是实际中 最不利的输入情况。最不利的输入情况。 系统性能指标根据系统对单位阶跃输入的响应来系统性能指标根据系统对单位阶跃输入的响应来 界定，原因如下：界定，原因如下： 2) 欠阻尼二阶系统响应性能指标：欠阻尼二阶系统响应性能指标： A上升时间上升时间tr； A峰值时间峰值时间tp；A最大超调量最大超调量Mp； A调整时间调整时间ts； A振荡次数振荡次数N； n 2 1 od 2 1e ( )1sin(tg) 1 t x tt a)

34、上升时间上升时间tr 响应曲线第一次达到响应曲线第一次达到 稳态值所需的时间定义稳态值所需的时间定义 为上升时间。为上升时间。 由图可知，当由图可知，当tt r时，时， xo(t r)1，由单位阶跃响，由单位阶跃响 应的表达式得：应的表达式得： rdrd t tte rn sin 1 cos11 2 t 0 xou t rt pt s M p 1 0.9 0.1 0sin 1 cos 2 rdrd tt 即：即： 可得：可得： 2 1 tan rd t 令：令： 2 1 arctan ,3,2, rdt d rrd tt 即 上升时间是输出第一次达上升时间是输出第一次达 到稳态值的时间，故取：

35、到稳态值的时间，故取： b) 峰值时间峰值时间 tp 响应曲线达到第一个峰响应曲线达到第一个峰 值所需要的时间定义为值所需要的时间定义为 峰值时间。峰值时间。 pd t d p t 0 )( p tt o dt tdx 令：令： ,2, 0 pdt0sin pdt 则：则： 依定义，取：依定义，取：则：则： t 0 xou t rt pt s M p 1 0.9 0.1 c) 最大超调量最大超调量 Mp t 0 xou t rt pt s M p 1 0.9 0.1 %100 )( )()( o opo p x xtx M 定义如下：定义如下： 1)(, o d p xt 依据定义：依据定义：

36、 %100sin 1 cos 2 / dn eM p 代入时间响应，得：代入时间响应，得： %100 2 1/ eM p 即：即： 超调量只与阻尼比有关。当超调量只与阻尼比有关。当=0.40.8 =0.40.8 时，相应时，相应 的超调量的超调量M Mp p=25% 1.5% =25% 1.5% 。 t 0 xou t rt pt s M p 1 0.9 0.1 d) 调整时间调整时间 ts 过渡过程中，输过渡过程中，输 出满足下列不等出满足下列不等 式所需的时间定式所需的时间定 义为调整时间，义为调整时间， 如下页所示：如下页所示： )()()()( sooo ttxxtx )()()()(

37、)()( sooooo ttxxtxxx即：即： 1)(txo所以：所以： 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为 ： )0( 1 arctansin 1 1)( 2 2 tt e tx d t o n )( 1 arctansin 1 2 2 sd ttt e t n 代入上式得代入上式得 ： 2 1 t n e 2 1 1 ln 1 n s t 若取若取0.02，得，得 ： n s t 2 1 1 ln4 7.00 4 n s t 或或 若取若取0.05，得，得 ： n s t 2 1 1 ln3 7 . 00 3 n s t 或或 二阶系统的特征参数二阶系统的特征参

38、数n和和 决定系统的调整时间，和最大超决定系统的调整时间，和最大超 调量；反过来，根据调量；反过来，根据 t s 和和Mp要求，也能确定要求，也能确定n和和 。 e) 振荡次数振荡次数N 定义：定义：过渡过程中，输出过渡过程中，输出x xo o(t)(t)穿越其稳态值的次数的一半。穿越其稳态值的次数的一半。 基于欠阻尼响应函数基于欠阻尼响应函数 ： )0( 1 arctansin 1 1)( 2 2 tt e tx d t o n d /2系统的振荡周期为：系统的振荡周期为： d s t N /2 )02.0( 12 2 N 当当000.70.7时，代入时，代入t ts s 近似表达式，有：近

39、似表达式，有： )05.0( 15 .1 2 N 二阶系统性能讨论：二阶系统性能讨论： A增大增大n n，可以提高二阶系统的响应速度，减少上，可以提高二阶系统的响应速度，减少上 升时间升时间t tr r、峰值时间、峰值时间t tp p和调整时间和调整时间t ts s； A增大增大，可以减弱系统的振荡，降低超调量，可以减弱系统的振荡，降低超调量MMp p， 减少振荡次数减少振荡次数NN，但增大上升时间，但增大上升时间t tr r和峰值时间和峰值时间t tp p； A系统的响应速度与振荡性能之间往往存在矛盾。必系统的响应速度与振荡性能之间往往存在矛盾。必 须合理选择系统参数，使之满足性能要求。须合

40、理选择系统参数，使之满足性能要求。 五、二阶系统计算实例五、二阶系统计算实例 实例分析实例分析1 )(sX o )(sX i )2( 2 n n ss 二阶系统方框图如右图二阶系统方框图如右图 所示，其中，所示，其中， =0.6， n =5s-1。求其性能指标。求其性能指标 t p、Mp和t s 。 （1）求t p ： 12 41 s nd 由：由： st d p 785. 0 (2) 求M p %5 . 9%100 2 1/ eM p (3) 求t s st n s 1 3 (取 0 .05) 实例分析实例分析2 如图机械系统，在质量块如图机械系统，在质量块m上施加上施加xi(t)=8.9N

41、阶跃力后，阶跃力后，m 的时间响应如右图所示，求的时间响应如右图所示，求m, c, k. m c k xo(t) xi(t) 0 1234 t/s 0.03 0.0029 xo(t)/m 系统微分方程为系统微分方程为 ： 系统传递函数为系统传递函数为 ： kcsmssX sX sG i o 2 1 )( )( )( (1) 求求k 由由LaplaceLaplace变换的终值定理，则变换的终值定理，则 )(lim)(lim)( 0 sXstxx o s o t o skcsms ssX kcsms s s i s 9 . 81 lim)( 1 lim 2 0 2 0 mN x k o /297

42、03.0 9.89.8 因此，有因此，有 ： (2) 求求m由响应曲线可知：由响应曲线可知：t p=2s %6 .9 03.0 029.0 p M 1 22 96.1 6 .0121 s t p n kg k m n 3 .77 96.1 297 22 (3) 求求c msNmc n /8 .1813 .7796. 16 . 022 105. 0 50 ss105. 0 50 ss s1 sX i sX o sX i sX o + - - + 实例分析实例分析3 图为随动系统方框图。当系统输入单位阶跃函数时，图为随动系统方框图。当系统输入单位阶跃函数时， M Mp p 5% 5%，试，试 ：(

43、1)(1)校核各参数是否满足；校核各参数是否满足；(2) (2) 在原在原 系统增加一微分反馈系统增加一微分反馈, , 求其时间常数。求其时间常数。 22 2 2 62.3162.31316. 02 62.31 5005. 0 50 ssss sGB （1）将传递函数写成标准形式）将传递函数写成标准形式 ： %35%100316. 0 2 1/ eM p 由于由于 ： 故不能满足要求。故不能满足要求。 (2)增加微分反馈后，传递函数为增加微分反馈后，传递函数为 ： 22 2 2 6 .3150120 62.31 50)501 (05. 0 50 ssss sGB 为了满足为了满足M Mp p

44、5% 5%，计算得，计算得 =0.69 =0.69。 n 250120可得：可得：s0236. 0 由由 此例表明，加入微分环节后，相当于增大了阻此例表明，加入微分环节后，相当于增大了阻 尼，但并不改变系统的固有频率。尼，但并不改变系统的固有频率。 %5%35 p M A掌握系统分类与阻尼比的关系掌握系统分类与阻尼比的关系 六、本讲小结六、本讲小结 A了解二阶系统单位脉冲响应了解二阶系统单位脉冲响应 A掌握二阶系统单位阶跃响应及其与特征参数之间的关系掌握二阶系统单位阶跃响应及其与特征参数之间的关系 A掌握二阶系统响应的性能指标及系统参数的求解方法掌握二阶系统响应的性能指标及系统参数的求解方法

45、作业：作业： 教材：教材： 3.11, 3.12, 3.15, 3.16 第三讲第三讲 高阶系统高阶系统 系统误差分析与计算系统误差分析与计算 定义定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。 一、高阶系统及其讨论一、高阶系统及其讨论 高阶系统传递函数如下：高阶系统传递函数如下： 011 011 asasasa bsbsbsb sG nn mm 高阶系统的阶跃响应为：高阶系统的阶跃响应为： 21 11 0 sin n k kdkk n j tp jo teDeAAtx nkk j 式中，第一项为稳态分量，第二项为指数曲线（一阶系式中，第一项为稳态分量，第

46、二项为指数曲线（一阶系 统），第三项为振荡曲线（二阶系统）。因此一个高阶系统），第三项为振荡曲线（二阶系统）。因此一个高阶系 统可以看成多个一阶环节和二阶环节响应的迭加。而这些统可以看成多个一阶环节和二阶环节响应的迭加。而这些 环节的响应，决定于它们的极点环节的响应，决定于它们的极点pj、 n k、 k及系数。及系数。 (1) 当系统闭环极点全部在当系统闭环极点全部在s平面的左半平面时平面的左半平面时, 及特征根具及特征根具 有负实部有负实部, 第二、三项均为衰减的，故系统稳定。各分量衰第二、三项均为衰减的，故系统稳定。各分量衰 减的快慢，取决与极点离虚轴的距离。如下图所示。减的快慢，取决与极

47、点离虚轴的距离。如下图所示。 s1 s2 s3 s4 s5 xo(t) t 0 s1(s2) z1 s3 s4(s5) (2) 衰减项中各项的幅值衰减项中各项的幅值Aj和和Dk, 既与极点有关既与极点有关, 也与零点有也与零点有 关。极点位置离原点越远，则其对应项的幅值就越小，对系关。极点位置离原点越远，则其对应项的幅值就越小，对系 统过渡过程的影响也越小。另外，当极点和零点很靠近时，统过渡过程的影响也越小。另外，当极点和零点很靠近时， 对应项的幅值也很小。其对过渡过程的影响将很小。系数大对应项的幅值也很小。其对过渡过程的影响将很小。系数大 而且衰减慢的分量，将在过渡过程中起主导作用。而且衰减

48、慢的分量，将在过渡过程中起主导作用。 (3) 若高阶系统中离虚轴最近的极点若高阶系统中离虚轴最近的极点, 其实部小于其它极点其实部小于其它极点 实部的实部的1/5, 并且附近不存在零点并且附近不存在零点,可以认为系统的响应主要可以认为系统的响应主要 由这一极点决定由这一极点决定,称为主导极点。利用主导极点的概念，可称为主导极点。利用主导极点的概念，可 以将主导极点为共轭复数极点的高阶系统，降阶近似为二阶以将主导极点为共轭复数极点的高阶系统，降阶近似为二阶 系统来处理。系统来处理。 二、系统误差分析与计算二、系统误差分析与计算 误差定义误差定义：期望的数值与实际输出的差。：期望的数值与实际输出的

49、差。 误差组成与分析：误差组成与分析： 在过渡过程中，在过渡过程中，瞬态误差是误差的主要部瞬态误差是误差的主要部 分，但它随时间逐渐衰减，稳态误差逐渐成分，但它随时间逐渐衰减，稳态误差逐渐成 为误差的主要部分。为误差的主要部分。 误差产生的原因：误差产生的原因： 内因：内因：系统本身的结构。系统本身的结构。 外因：外因：系统输入量及其导数的连续变化。系统输入量及其导数的连续变化。 1) 1) 系统的误差系统的误差e(t)与偏差与偏差(t) 系统的系统的误差误差是以系统是以系统输出端为基准输出端为基准进行定义。进行定义。 误差定义：误差定义：)()()(txtxte oor 拉氏变换：拉氏变换：

50、)()()( 1 sXsXsE oor 系统的系统的偏差偏差是以系统是以系统输入端为基准输入端为基准定义。定义。 )()()(tbtxt i 偏差定义：偏差定义： )()()()()()(sXsHsXsBsXsE oii 拉氏变换：拉氏变换： )(sXo )(sX i )(sG )(sH )(sE )(sB 偏差控制原理：偏差控制原理：当当X Xo o(s)(s)不等于不等于X Xoror(s)(s)时，时，E E(s)(s)不等于不等于0 0， 它力图使它力图使X Xo o(s)(s)近近X Xoror(s)(s)；当；当X Xo o(s)(s)等于等于X Xoror(s)(s)时，时，E

51、E(s)(s) 等于等于0 0。 0)()()()()()()(sXsHsXsXsHsXsE orioi 依定义，得：依定义，得： )()()(sXsHsX ori )( )( 1 )(sX sH sX ior 代入偏差计算表达式：代入偏差计算表达式： )()( )()()( )()()()()( 1 sEsH sXsXsH sXsHsXsHsE oor oor )( 1 sE )( 1 sH )(sX or )(sXo )(sX i )(sG )(sH )(sE )(sB 当当H(s)=1时，偏时，偏 差与误差相同差与误差相同 2) 2) 误差误差e(t)的一般计算的一般计算 输入与干扰同时

52、作用于系统，系统方框图如下：输入与干扰同时作用于系统，系统方框图如下： G1 G2 H X i(s)X o(s) N (s) + + + - B(s) E(s) 系统在输入和干扰作用下的传递函数：系统在输入和干扰作用下的传递函数： )()()( )()()(1 )()( )( 21 21 sXsGsX sHsGsG sGsG sX iXiio i )()()( )()()(1 )( )( 21 2 sNsGsN sHsGsG sG sX NNo 系统输出：系统输出：)()()()()(sNsGsXsGsX NiXo i 系统误差：系统误差：)()()()( )( )( )()()( 1 sNs

53、GsXsG sH sX sXsXsE NiX i oor i )()()()( )( 1 sNsGsXsG sH NiXi )()()()(sNssXs NiXi )(s i X 为无干扰时误差对于输入的传递函数。为无干扰时误差对于输入的传递函数。 )(s N 为无输入时误差对于干扰的传递函数。为无输入时误差对于干扰的传递函数。 由上可以看出，系统误差不仅与系统的结构和参数有由上可以看出，系统误差不仅与系统的结构和参数有 关，而且还与系统输入和干扰的特性有关。关，而且还与系统输入和干扰的特性有关。 3) 3) 系统的稳态误差与稳态偏差系统的稳态误差与稳态偏差 系统稳态误差：系统稳态误差：系统进

54、入稳态后的误差，即系统进入稳态后的误差，即 )(limtee t ss 依依Laplace变换中值定理：变换中值定理： )(lim)(lim 1 0 ssEtee st ss 同理，系统的稳态偏差定义为：同理，系统的稳态偏差定义为： )(lim)(lim 0 ssEt st ss 4) 4) 与输入有关的稳态偏差与输入有关的稳态偏差 依据反馈控制系统：依据反馈控制系统： )(sX o )(sXi )(sG )(sH )(sE )(sB )()()()(sXsHsXsE oi )()()()(sEsGsHsX i )( )()(1 1 )(sX sHsG sE i 根据稳态偏差定义及终值定理：根

55、据稳态偏差定义及终值定理： )( )()(1 1 lim)(lim)(lim 00 sX sHsG sssEt i sst ss 稳态偏差与系统特性和稳态偏差与系统特性和 输入信号特性有关输入信号特性有关 a) 稳态偏差的求取稳态偏差的求取 b) 系统稳态偏差分析系统稳态偏差分析 设系统的开环传递函数设系统的开环传递函数GK(s)为：为： n j j v m i i K sTs sTK sHsGsG 1 1 ) 1( ) 1( )()()( 为串联积分环节的为串联积分环节的 个数，或称系统的个数，或称系统的 无差度无差度. 记：记： n j j m i i o sT sT sG 1 1 ) 1

56、( ) 1( )( 则有：则有：1)(lim 0 sGo s 开环传递函数开环传递函数G GK K(s)(s)可表示为：可表示为： v o K s sKG sHsGsG )( )()()( 1 1 (1) ( )( ) (1) v m i i n v j j Ts G K s H s sT s 0，1，2时分别称为时分别称为0型、型、型、型、型系统。型系统。 愈高，愈高， 稳态精度愈高，但稳定性愈差，因此，一般系统不超过稳态精度愈高，但稳定性愈差，因此，一般系统不超过 型。型。 （1 1）当输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差为：）当输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差为： P i ss ss

57、 KsHsG sX ssEs 1 1 )()(1 )( lim)(lim 00 式中：式中： v s o v ss P s K sG s K sHsGK 000 lim)(lim)()(lim 位置无偏系数位置无偏系数 对于对于0 0型系统型系统 K K s K K ss s P 1 1 lim 0 0 为有差系统，且为有差系统，且K愈大，愈大， 稳态偏差愈小。稳态偏差愈小。 型，型，型系统型系统 0,lim 0 ss v s P s K K为位置无差系统。为位置无差系统。 当系统当系统开环传递函数开环传递函数中有中有积分环节积分环节存在时，存在时，系统阶跃系统阶跃 响应的稳态值将是无差的响应

58、的稳态值将是无差的。而。而没有积分环节时，稳态是有没有积分环节时，稳态是有 差的差的。为了减小误差，应当适当提高放大倍数，但过大的。为了减小误差，应当适当提高放大倍数，但过大的K 值将影响系统的稳定性。值将影响系统的稳定性。 （2 2）当输入为单位斜坡信号时，系统的稳态偏差）当输入为单位斜坡信号时，系统的稳态偏差 )()(1 )( lim)(lim 00 sHsG sX ssEs i ss ss )()( 1 lim )()(1 /1 lim 0 2 0 sHssGssHsG s s ss V s KsHssG 1 )()( 1 lim 0 式中：式中： 1 000 lim)(lim)()(l

59、im v s o v ss V s K sG s sK sHssGK 速度无偏系数速度无偏系数 对于对于0 0型系统型系统 V ss s V K KsK 1 0lim 0 对于对于型系统型系统 KK K s K K V ss s V 11 lim 0 0 0 1 lim 0 V ss s V Ks K K对于对于型系统型系统 可见可见0 0型系统不能跟随斜坡输入，因为其稳态误差为无型系统不能跟随斜坡输入，因为其稳态误差为无 穷大，穷大，型系统可以跟随斜坡输入，但存在稳态偏差，同型系统可以跟随斜坡输入，但存在稳态偏差，同 样可通过增大样可通过增大K K值来减小偏差；值来减小偏差； 型系统或高阶系

60、统对斜型系统或高阶系统对斜 坡输入响应的稳态是无差的。坡输入响应的稳态是无差的。 （3 3）当输入为单位加速度信号时，系统的稳态偏差）当输入为单位加速度信号时，系统的稳态偏差 3 2 1 )( 2 1 )( s sXttx ii 因为因为: )()(1 )( lim)(lim 00 sHsG sX ssEs i ss ss a s KsHsGs 1 )()( 1 lim 2 0 所以所以 式中：式中： 2 0 2 0 2 0 lim)(lim)()(lim v s o v ss a s K sG s Ks sHsGsK 加速度无偏系数加速度无偏系数 对于对于0 0型系统型系统 a ss s a