第11章-狭义相对论

1、 第第1111章章 狭义相对论力学基础狭义相对论力学基础 ( (SPECIAL RELATIVITY) ) 19世纪末，牛顿定律在物理学各个领域都取得了 很大的成就：1. 机械运动：计算并成功预言了星体运 动；2. 分子物理：成功解释了温度、压强、气体内能。 在电磁学方面，建立了描述一切电磁现象的迈克 斯韦方程组，统一了电磁学和光学。 当时许多物理学家都沉醉于这些成绩和胜利之中。 他们认为物理学已经发展到头了。 另外还找到了力、热、电、光、声等都遵循的规 律能量转化与守恒定律。 在已经基本建成的科学大厦中，后辈的物理学家只 要做一些零碎的修补工作就行了。 英国物理学家 开尔文 (1900年)

2、但是，在物理学晴朗天空的远处，还有两朵令人不 安的乌云 开尔文 热辐射实验 迈克尔逊-莫莱实验 (微观领域) (高速领域)相对论 量子力学 两朵乌云 相对论是关于时空观及时空与物质关系的理论。 从根本上改变了旧的经典时空观。 狭义相对论是关于惯性系时 空观的理论；广义相对论是关于 非惯性系及引力的理论。? 11.1 狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理 对物质运动的看法，是任何科学理论都要回答的 问题。经典力学怎样看待这个问题？ 一、绝对时空观和伽利略变换： 1. 牛顿的绝对时空观 (1) 空间是三维的大容器，它的存在是绝对的，与 物质运动无关，一切物质都存放于其中。 (2) 时间是一维的

3、长流，它与物质运动无关，时间 绝对地、永恒地均匀流逝着。 (3) 时间和空间是绝对的，二者无关。 狭义相对论与牛顿力学的经典时空观完全不同， 建立了全新的时空观，突出了时空观的重要意义。 2. 伽利略变换：建立在牛顿的绝对时空观之上 考虑两个惯性参考系： iu S 系相对于 S 系以速度 运动, 相应坐标轴互相平行。 O 和 O 重合时作为计时起点。 S 系：O xyz S 系：Ox y z u Ox y S tt 质点 tt zz yy tuxx 称为伽利略坐标变换。 其中 t = t 是默认的。O x y S 得 zz yy xx vv vv uvv 或uvv 称为伽利略速度变换。 再对时

4、间求导，得 aa 即不同惯性系中，同一质点的加速度相等。 另外，牛顿认为力和质量也和惯性参考系无关， 在 S 系中有 ，在 S 系中有 ，即牛 顿第二定律具有相同的形式, 此即伽利略相对性原理。 amF amF 求导： td dz td zd td dy td yd u td dx td xd , tt zz yy tuxx 牛顿定律适用于一切惯性参照系，在不同惯性系 中，力学规律力学规律具有完全相同的形式。这称为伽利略相 对性原理或力学相对性原理。 对于力学现象来说，一切惯性系都是等价的。无 论什么样的力学实验，都无法判断做相对运动的两个 惯性系哪个是静止的，哪个是运动的。谈论某一惯性 系的

5、绝对运动或绝对静止是没有意义的。 3. 伽利略相对性原理 二、爱因斯坦相对性原理和光速不变原理：二、爱因斯坦相对性原理和光速不变原理： 1. 时代背景：时代背景： 牛顿的绝对时空观遇到了问题： 迈克斯韦方程组预言了电磁波，导出了真空电磁 波传播速度 ，与实验测得的 真空光速相同，从而证明了光是电磁波。 m/s1099. 2/1 8 00 c 若 S 系的真空光速为 c，S 系相对于 S 系以速度 u 运动，则 S 系中的真空光速为 c + u 或 c u 。 这样，要承认绝对时空观，必须找到真空光速为 2.99 108 m/s 的参考系，这个特殊参考系称为绝对参 考系，历史上又叫以太参考系。

6、迈克耳孙-莫莱实验：测光速，找“以太”参考系 让 G1M2 方向光与地球自转 速度方向平行，来回需时 22 1 /1 /2 cu cl uc l uc l t G2 G1 光 源 M1 M2 u G1M1 方向光在“以太” 中走折线，有 l ut2 2 2 ct 2 2 ct l 2 2 2 2 2 22 ut l ct 22 2 /1 /2 cu cl t 来回需时 l 光程差 c(t2 t1) 把装置转动90，光程差将变为 c(t1 t2) 当 l = 10m 时，干涉条纹将移动 0.37 条。但实验 结果并没有看到预期的条纹移动。 这意味着经典物理学出了问题，意味着绝对时间、 绝对空间、

7、伽利略变换等等都有问题。 爱因斯坦：“我们发现不了以太是因为以太根本就 不存在。”只能得出 “没有绝对参考系 (以太)” 的结论。 1905年，爱因斯坦发表了具有划时代意义的论文 论动体的电动力学，提出了爱因斯坦相对性原理 和光速不变原理，作为狭义相对论的两条基本假设。 2. 爱因斯坦相对性原理爱因斯坦相对性原理 一切惯性系对于所有物理现象都是等价的，即所 有物理规律在一切惯性系中都具有相同的形式。 利用力学实验不能区分不同的惯性系，那么电磁 实验呢？爱因斯坦认为同样不能！他提出： 这称为爱因斯坦相对性原理。它是牛顿相对性原 理的推广，不仅适用于力学现象，而且适用于所有物 理现象。 t d p

8、d F t d pd F 12 2 12 21 0 1212 2 12 21 0 12 4 1 4 1 r r qq Fr r qq F 3. 光速不变原理光速不变原理 根据爱因斯坦相对性原理，一切惯性系都是等价 的，没有任何特殊的惯性系，当然没有光速为特殊值 的惯性系 (即绝对参考系、“以太”系)。 在任何惯性系中，真空中的光速都相等，且与光 源的运动无关。 此即爱因斯坦提出的光速不变原理。若满足光速 不变原理，就必须修改伽利略变换。 基于这两个原理，爱因斯坦建立了狭义相对论。 伽利略变换与绝对时空观对应，洛伦兹变换与狭 义相对论对应。 一、事件和过程：一、事件和过程： 事件：某时刻在空间某

9、点发生的事情 (x, y, z, t)； 过程：某时间段发生的有因果关系的所有事件 (x1, y1, z1, t1) (x2, y2, z2, t2)。 11.2 洛伦兹变换洛伦兹变换 测量事件的时空坐标的方法： 1. 测空间坐标：对照时间发生地与坐标刻度； 2. 测时间坐标：用相对于观测者保持静止的、在 过程中所有事件发生地放置的一系列“同步钟”测量。 一个事件： S 系 (x, y, z, t) ，S 系(x, y, z, t) 1. x, y, z 轴与 x , y , z 轴分别平行； 2. S 系相对于 S 系以速度 匀速运动； 3. 当 O 与 O 点重合时作为计时起点。 iu 满

10、足： 二、洛伦兹变换：二、洛伦兹变换： zz yy cu utx x 22 /1 22 2 /1cu x c u t t 洛伦兹坐标变换(正变换) zz yy cu t ux x 22 /1 22 2 /1cu x c u t t 洛伦兹坐标变换(逆变换) u 换成 u， 带撇和不带 撇的量互换 从狭义相对论两个基本假设出发推导洛伦兹变换： (1) 时空均匀性要求变换式是线性的，即一次方程 )(utxx 与 x, t 无关，与 u 有关 (2) 根据爱因斯坦相对性原理，S 和 S 系除了相对速度 相反外数学形式相同，所以其逆变换为)(t uxx (3) 根据光速不变原理，在 t = t = 0

11、 从重合点O(O)发 出的光在 t (t) 时刻到达 x (x)，满足 x = ct, x = ct (4) 可得 ct = (ct ut) = (c u)t ct = (ct + ut) = (c + u)t 22 /1 1 cu (5) 只在 x 方向有相对运动，所以 y = y，z = z 即得 x x, x x 的变换，两式联立得 t, t 间的变换 令 222 1 1 /1 1 , cu c u 得 )(,),(x c ttzzyyutxx )(,),(x c ttzzyytuxx 或 1. 当 u t 还意味着固定于 S 系的钟 (一只钟, 测固 有时) 比固定于 S 系的钟 (多

12、只同步钟，测运动时) 走 得慢，这个效应称为时间延缓。 1. 时间延缓与时钟结构无关，它完全是一种时空效应。 2. 时间延缓具有相对性，在 S 系中同一地点发生的两 个事件的时间间隔 (固有时)，在 S 系中观测也膨胀 了，即 22 /1cu t t 注意 例1 一飞船以 u = 9000m/s 的速率相对于地面 ( 假定为 惯性系) 匀速飞行。 飞船上的钟走了 5s 的时间，用地 面上的钟测量经过了多少时间？地面上的钟走了 5s 的 时间，用飞船上的钟测量经过了多少时间？ 解：飞船上的钟测量飞船上的时间间隔，首末两个事 件在同一地点发生，所以此时间是固有时，s5t )s1025( )103/

13、9000(1 5 /1 9 2822 cu t t 地面上的钟测量地面上同地发生的两个事件的时间间 隔，此时间是固有时，s5t )s1025( )103/9000(1 5 /1 9 2822 cu t t 例2 静止的 介子衰变的平均寿命是 2.510-8s, 当它 以速率 u = 0.99c 相对于实验室运动时，在衰变前能通 过多长距离? 解：如果以 2.510-8s 和 0.99c 直接相乘，得出的距离 只有 7.4m，与实验结果 (52m) 相差近一个数量级。 注意到静止 介子的寿命 t 是固有时, 在实验室 内观测，寿命为 s1018 99. 01 105 . 2 /1 8 2 8 2

14、2 cu t t 在实验室内观测， t 时间内 介子通过的距离为 u t = 0.9931081810-8 = 53 m 与实验结果符合很好。 例3 地面上某地先后发生两个事件，在飞船 A 上观测 时间间隔为 5s，对下面两种情况，飞船 B 上观测的时 间间隔为多少？ (1) 飞船 A 以 0.6c 向东飞行，飞船 B 以 0.8c 向西飞行 (2) 飞船 A, B 分别以 0.6c 和 0.8c 向东飞行。 解：(1) 两事件在地面系同地发生，地面时间为固有时 s46 . 015/1 222 AAE cutt 飞船 B 测得的时间间隔为 s67. 6 8 . 01 4 /1 222 B E

15、B cu t t (2) 只与飞船速度大小有关, 与方向无关, 故结果不变。 三、长度收缩： 时空紧密相联，既然时间具有相对性，那么空间 也具有相对性。 y Ox x1x2 杆 AB 固定于 S 系的 x 轴上，以 相对于 S 系匀 速运动。 iu 在 S 系测长度，可同可同 时、不同时测量时、不同时测量；在 S 系测运动长度，必须同时测量同时测量。 AB y O x u 1 x 2 x 事件 1：测量 A 端坐标 事件 2：测量 B 端坐标 ),(),( 111 txtx ),(),( 222 txtx 22 12 22 1212 12 /1/1 )()( cu xx cu ttuxx xx

16、 22 /1cuxx x t1 时，可能有 3 种情况 121212 ,tttttt 时序颠倒只能发生于无因果关系的两个事件之间。 若事件 2 是事件 1 的结果，则事件 1 向事件 2 传递 了某种信号， 12 12 S tt xx v 是信号传递的速度， 因为 ，所以有因果关系的事件不能发 生时序颠倒。 cvcu S , 1 12 12 2 tt xx c u 当 时，出现时序颠倒。 11.4 相对论速度变换相对论速度变换 质点相对于 S 系的速度： td dz v td dy v td dx v zyx , t d dx c u t d dy t d t d t d yd t d yd

17、2 1 )(,),( 2 x c u ttzzyyutxx 由洛伦兹坐标变换式 , 1 2 t d dx c u u t d dx t d t d t d xd t d xd 得 td zd v td yd v td xd v zyx ,质点相对于 S 系的速度： 2 22 2 22 1 /1 , 1 /1 c uv cuv v c uv cuv v x z z x y y , 1 2 c uv uv v x x x 相对论速度变换 反变换 (带撇和不带撇的量互换，并把 u 换成 u ) 2 22 2 22 1 /1 , 1 /1 c vu cuv v c vu cuv v x z z x y

18、 y , 1 2 c vu uv v x x x 讨论 1. 当 u 和 vx c 时，转化为伽利略速度变换。 2. S 系中的光速 vx = c，在 S 系中, 1 2 c c uc uc vx 即光速不变。 例1 从地球上观察两飞船分别以 0.9c 的速率沿相反方 向飞行，求一个飞船相对于另一飞船的速率。 x y O x y O u= 0.9c vx= 0.9c 解：把 S 系建立在地球上， 把 S 系建立在建立在其中 一个飞船上，S 系相对于 S 系的速度 u = 0.9c， vx = 0.9c cc cc c uv uv v x x x 994. 0 81. 1 8 . 1 9 . 0

19、)9 . 0(1 )9 . 0(9 . 0 1 2 所以一个飞船相对于另一飞船的速度为 0.994c，与伽 利略变换的结果 1.8c 很不相同。 例2 原长为 L 的飞船以速度 u 相对于地面做匀速直线 运动。 有个小球从飞船的尾部运动到头部，宇航员测 得小球的速度恒为 v，求：(1) 宇航员测得小球运动所 需时间；(2) 地面观测者测得小球运动所需时间。另解另解 解：(1) v L v x t (2) 由 22 /1cu t ux x 得 2222 /1/1cu v L uL cu tux x 而且 2 1 c vu uv v 所以 22 2 /1 1 cu L c u v vxt 例3 在

20、太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面， 速率为 c，而地球以速度 u = 30km/s 垂直于光线运动。 求在地面参考系中测量，星光速度的大小和方向。 解：以太阳参考系为 S 系，以地球参考系为 S 系。 x y Ox y O c u x v y v c S 系相对于 S 系的速度 是 u， vx = 0, vy = c, vz = 0 代入洛伦兹速度变换,得 0,/1, 22 zyx vcucvuv cvvvv zyx 222 光速不变，大小仍为 c 6 .20,10/1/| |tg 422 cucucuvv yx 例4: 有人计划把宇宙飞船从地球送到附近的星球上, 星球离地球10光年,

21、并与地球相对静止;宇宙飞船内的 生活供应系统只能维持一年。 求:(1)要使宇航员在飞 行中幸存下来,飞船相对地球的速率至少多大? (2)不计时间膨胀, 这次飞行的速率至少多大? 解：(1)地球为S系,飞船为S系, S系相对于S系的速度 为u,且沿S系的X轴正方向(即从地球到星球) 已知:t=1年(固有时), x=10光年, t= x/u 由洛仑兹变换 2 )/(1cutt ccxtu99. 0/1)/( 1 22 cu99. 0取取 (2)c t x t x u10 (34) 11.5 相对论动力学基础相对论动力学基础 爱因斯坦相对性原理要求在洛伦兹变换下，物理 规律 (动量定理、动能定理等)

22、 保持不变 (协变性)。 按照经典力学中动量的定义 ，动量定理 在伽利略变换下保持不变；爱因斯坦修改了动量的定 义，使动量定理在洛伦兹变换下保持不变。 vmp 0 相对论动量 22 0 /1cv vm vmp 22 0 /1cv m m 相对论质量 在相对论中，质量不再是常量，而与速率有关。 m0 静止质量 m 运动质量 质点速度v 一、相对论动量和质量：一、相对论动量和质量： 2 2 0 1 c v m m m0 cv/ m 00.2 0.4 0.6 0.8 1 1. v 越大，m 越大；实物粒 子速度只能趋于 c，永远 不能达到 c 。 对光子， m0 = 0，v = c， m 为有限值。

23、 2. 若 v c，则 m m0，符 合经典力学。 相对论力 v td md td vd m td vmd td pd F )( td vd mF 牛顿第二定律 不再成立。 二、二、相对论中的能量和质能关系相对论中的能量和质能关系 1.相对论中的动能、总能量、静止能量: 在牛顿力学中，外力做功加速质点，速度可增大至无穷； 在相对论中，质量要增大，因此速度不可至无穷。 质点由静止加速到速率 v 的过程中，外力做功 2 0 2 0 2 022 2 0 022 0 000 )(d /1 d /1 d )(d d )(d d cmmcmc cv cm cv vm v mvvdx t mv xFW v

24、v v v v v v v v v v v 动能定理动能定理: )()(mvvdFdtvdtvFdEk 初态: v0=0 m0 Ek0=0 末态: v m Ek vE k mvvddE k 00 )(1) 根据质速关系: (55) 22 0 /1cv m m x F v F 22 0 222 )(cmvcm二边微分: )( 22 mvvdmvdvdmvdmc(2) 由(1),(2)二式得: m m vE k dmcmvvddE k 0 2 00 )( 例如: 静止电子: E0=m0c2=8.9110-14J (56) 2 00 cmE 静止能量 (物体内能之和) kg 1 0 mJ109 16

25、2 00 cmE 相当于20吨汽油燃烧的能量。 2 mcE 总能量 k EEE 0 2 0 2 cmmcEk动能 Ek = mc2 m0c2 讨论讨论 (1) 当 v c 时 2 2 4 4 2 2 22 2 1 1 8 3 2 1 1 /1 1 c v c v c v cv 2 0 22 2 0 2 0 2 k 2 1 1 /1 1 vm cv cmcmmcE 所以牛顿力学中的动能公式是相对论动能公式在低 速情形下的近似。 (2)当 v c 时，Ek ，根据动能定理，将一个静质 量不等于零的粒子加速到光速须做无穷大的功，即 物体速度有一极限 c 。 2. 相对论质能关系相对论质能关系 2 m

26、cE mcE 2 质能关系 意义:一物体质量变化m ,它的能量同时改变E 一物体能量改变E, 它的质量同时改变m 说明:1)质量与能量是物质的二个不同属性, 它们 不能互相代替, 不能互相转换,不能认为是能量转 变成质量,或质量转变成能量。 2)质量、能量的区别与联系: 质量 能量 反映物体中物质的多少 反映物体做功本领的大小 通过惯性、引力反映出 来 通过系统状态变化以对外做 功表现出来 (58) 区别: 联系:mcE 2 质量和能量是不可分割的 (59) 即由n个质量组成的系统中: . 2 11 constcmE n i i n i i . 1 constm n i i 3)尽管质能互相依

27、存, 但在一个孤立系统内总能量 和总质量分别守恒 以原子核反应为例: 反应前的总能量=反应后的总能量 反应前的总质量=反应后的总质量 202101ikiiki EEEE 202101ikiiki mmmm (孤立系统) (孤立系统) 在总质量守恒的条件下, 系统内的核反应中静质量和 动质量可以互相转化, 当静质量减少, 动质量增加时, 系统以动能的形式放出能量, 称为放能反应。 相反动质量也可以减少, 而静质量增加, 系统吸收能量 以静能的形式存储起来, 称为吸能反应。 (60) 4)质量亏损(mass defect) 2 2 021 2 01ikiiki EcmEcm 2 020112 cm

28、mEE iiikik 质量亏损 2 0c mE 放出放出 原子能就是开发利用静止能量 uuumi02960. 501600. 30136. 2 01 uuumi01127. 500867. 10026. 4 02 uuum01823. 001127. 502960. 5 0 解: (1)反应前总静止质量 反应后总静止质量 质量亏损 kg10043. 3 29 (61) 例11: 氢弹的核聚变 中中子子氦氦氚氚氘氘nHHH e 1 0 4 2 3 1 2 1 u0136.2u00260. 4u00867. 1u01600. 3 kg10660. 1)( 27 u一个原子质量一个原子质量 求: (

29、1)形成一个氦核放出多少能量? (2)形成 1mol氦核放出多少能量? 5)质能关系已被实验证实: 放射性蜕变、原子核反应、高能粒子实验中均得证。 思考:平常物体能量发生变化时为何测不出质量变化? 由E=mc2 因为c2 很大, m极小 (62) (仅一个氦核)eV1071. 1J1074. 2 )1000. 3(10043. 3 712 28292 0 cmE 放出放出 (2) 1223 0 1074. 210023. 6 放放出出放放出出 ENEmol J1065. 1 12 相当于燃烧60吨煤放出的能量 再如C的燃烧: C+O2=CO2+1eV热能 12克的C燃烧后，静质量减少为1.06

30、510-13克. 物体:静止质量为m0,速度为 v 动量: v cv m mvp 22 0 /1 能量: 22 2 0 2 /1cv cm mcE 上面二式平方并消去v 得: 2242 0 2 cpcmE 或: 222 0 cpEE 高速运动物体能量与动量关系 (63) 三、相对论中能量与动量的关系三、相对论中能量与动量的关系 pc 0 E E 用 代入上式, 得 2 0c mEE k 0 2 mm p E k E m0c2 pc Ek 2) v 接近光速时: 2242 0 2 cpcmE 42 0c m 可忽略 E=pc c E p 或 (64) 讨论:1) vm0 pm0c 例1 热核反应

31、 各粒子的静止质量为 氘 mD = 3.343710-27 kg， 氚 mT = 5.004910-27 kg 氦 mHe = 6.642510-27 kg， 中子 mn = 1.675010-27 kg 求这种热核反应释放的能量是多少？ nHeHH 1 0 4 2 3 1 2 1 解：反应的质量亏损为 m0 = (mD + mT ) (mHe + mn) = 0.031110-27 kg E = m0c2 = 0.031110-2791016 = 2.79910-12 J 1kg 核燃料所释放的能量为J/kg1035. 3 14 TD mm E 为优质煤燃烧值 (2.93107J/kg) 的

32、 1.15107 倍，即 1kg 核燃料释放的能量相当于 11500 吨优质煤完全燃 烧所释放的能量，这些煤要一艘万吨轮才能装下。 例2 S系中两个静止质量均为 m0 的粒子 A、B 以速度 v 沿相反方向运动，碰撞后合成为一个大粒子。求这 个大粒子的静止质量 M0 。 解：S 系中，动量守恒 mAv mBv = MV 所以碰后大粒子速度为 V = 0， 能量守恒 mAc2 + mBc2 = Mc2 22 0 BA /1cv m mm 其中运动质量 0 22 0 BA0 2 /1 2 m cv m mmM M = M0， 静止质量增加了，这是由于原来的两个粒子有动能， 它们也对应一份质量。 例

33、例3: 已知二质点已知二质点A, B静止质量均为静止质量均为m0,若质点若质点A静止静止 质点质点B以以6m0c2的动能向的动能向A运动运动, 碰撞后合成一粒碰撞后合成一粒 子子, 无能量释放无能量释放. 求求: 合成粒子的静止质量合成粒子的静止质量M0? 解: 二粒子的能量分别为 2 0 2 0 2 0 2 0 76cmcmcmEcmE BA ， 由能量守恒, 合成后粒子的总能量为 2 0 8cmEEE BA 由质能关系: E=Mc2 0 8mM 由质速关系: 22 0 22 0 /18/1cvmcvMM 关键求复合粒子的速度v = ? 由动量守恒: BBA pppp (65) (66) M

34、 p vMvp B B ， 对B应用能量与动量关系, 即 42 0 222 cmcpE BB 22 0 2 48cmpB 2 2 0 22 0 2 2 2 4 3 64 48 c m cm M p v B 0 22 00 4/18mcvmM *11.6 广义相对论简介广义相对论简介 1905年，建立狭义相对论 (惯性系)； 1915年，建立广义相对论 (非惯性系)。 一、两个基本假设：一、两个基本假设： 1. 等效原理：引力与加速度等效。 2. 广义相对性原理：把相对性原理推广到非惯性系。 二、基本观点：二、基本观点： 1. 引力场周围空间弯曲； 2. 引力场周围时间延缓。 三、三项检验：三、三项检验： 1. 水星近日点的进动 2. 光线在引力场中的弯曲 3. 光谱线的引力红移 太阳太阳 水星水星 四、两项预言：四、两项预言： 1. 加速运动的质量辐射引力波 2. 黑洞 光在引力场传播时, 频率 变低, 称为引力红移 008. 0997. 0 理理 实实 (67) 月亮 星 75 1 理理 002601 实实 (英)爱丁顿(1919年在巴西的普林西比) (68) 星的视位