2017-2018版高中数学 第三单元 导数及其应用 ..2 利用导数研究函数的极值（二）教学案 新人教B版选修1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精33。2利用导数研究函数的极值(二）学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系。2。会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最值如图为yf（x),xa,b的图象思考1观察a，b上函数yf（x)的图象，试找出它的极大值、极小值思考2结合图象判断，函数yf(x）在区间a,b上是否存在最大值,最小值?若存在，分别为多少？思考3怎样确定函数f（x）在a，b上的最小值和最大值？梳理（1)函数的最大(小)值的存在性假设函数yf（x)在闭区间a,b上的图象是一条_的曲线，该函数在a，b一定能够取得最大值与最小值(2）求可导函数yf(x）在a，b上的最大（小)值的步骤如

2、下：求f(x）在开区间（a，b)内所有_;计算函数f（x）在_和_处的函数值，其中最大的一个为_，最小的一个为_类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数最值问题例1求下列函数的最值：（1）f(x）2x312x，x2,3；(2）f(x)xsin x,x0，2反思与感悟求解函数在闭区间上的最值,需注意以下几点：(1）对函数进行准确求导，并检验f(x）0的根是否在给定区间内（2）研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值跟踪训练1求函数f(x）ex（3x2），x2，5的最值命题角度2含参数的函数最值问题例2已知函数f（x)exax2bx1，其中a，br,e

3、2.718 28为自然对数的底数设g（x)是函数f(x）的导函数，求函数g(x）在区间0,1上的最小值反思与感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0,小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟踪训练2已知a是实数,函数f（x）x2(xa)（1）若f（1)3，求a的值及曲线yf（x)在点（1，f(1)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间0，2上的最大值类型二由函数的最值求参数例3已知函数f（x)ax36ax2b,x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值反思与感悟已知函

4、数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式）解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练3设f(x)x3x22ax。当0a2时,f（x)在1,4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值类型三与最值有关的恒成立问题例4设f（x）ln x，g（x)f（x）f(x)(1）求g(x)的单调区间和最小值；（2）求a的取值范围,使得g（a)g（x）0成立反思与感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练4已知函数f(x）（x1）ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围1函数f(x）x

5、33x（|x1）()a有最大值，但无最小值b有最大值，也有最小值c无最大值，但有最小值d既无最大值，也无最小值2函数yxsin x,x的最大值是（）a1 b.1 c d13已知函数f（x)ax3c，f（1）6，且函数f(x）在1,2上的最大值为20，则c_.4函数f(x）x33axa在(0，1）内有最小值，则a的取值范围是（)a0，1) b(0,1）c（1,1) d.5已知函数f(x)2ln x（a0),若当x(0，)时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值,则这个极值就是最值2已知最值求参数时,可

6、先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论3“恒成立问题可转化为函数最值问题答案精析问题导学知识点思考1极大值为f(x1）,f（x3），极小值为f（x2）,f(x4)思考2存在，f(x)minf(a)，f（x）maxf(x3)思考3比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值梳理(1)连续不断（2)极值点极值点端点最大值最小值题型探究例1解（1）f(x)2x312x，所以f(x)6x2126（x)（x)，令f（x）0，解得x或x。因为f(2)8,f（3)18，f（）8，f（)8，所以当x时，f（x)取得最小值8；当x3时，f（x)取得最大值18。(2)f（x）cos x，x0,

7、2，令f（x)0，解得x或x.因为f(0)0，f(2），f(），f（），所以当x0时,f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f（x)有最大值f（2).跟踪训练1解f（x)3exexx2，f（x)3ex(exx22exx）ex（x22x3)ex(x3)(x1)在区间2,5上，f(x）ex（x3)（x1）0，函数f（x）在区间2,5上单调递减,当x2时，函数f（x）取得最大值f（2）e2；当x5时，函数f（x）取得最小值f（5）22e5.例2解f（x)ex2axb，则g（x)ex2axb，g（x)ex2a,x0,1，当g（x）mine02a12a0，即a时,g(x）在0，1上单调递增，故g（x)m

8、ing(0)1b；当g（x)ming(0)12a0，g(x）maxg（1）e2a0，即a时，令g（x）0，得xln 2a,当x（x(0,1)变化时，g（x），g(x)的变化情况如下表：x0(0，ln 2a）ln 2a(ln 2a，1)1g（x）0g（x)极小值g（x)ming（ln 2a）eln 2a2aln 2ab2a2aln 2ab；当g(x)maxg(1)e2a0,即a时,g（x）在0，1上单调递减,g(x)ming（1)e2ab.综上所述,当a时,g（x）在区间0,1上的最小值为g（x)ming(0)1b;当a时，g(x)在区间0，1上的最小值为g(x)ming（ln 2a）2a2al

9、n 2ab;当a时，g(x）在区间0，1上的最小值为g(x)ming（1）e2ab.跟踪训练2解(1)f(x）3x22ax.因为f（1）32a3，所以a0.又当a0时，f(1）1,f(1)3，所以曲线yf(x）在点（1，f(1)）处的切线方程为3xy20。（2)令f(x）0，即3x22ax0,解得x10，x2。当0，即a0时，f（x)在0,2上单调递增，从而f（x）maxf(2）84a。当2，即a3时,f(x）在0,2上单调递减，从而f(x）maxf（0)0.当02,即0a0时，f(x）,f（x）的变化情况如下表：x1(1,0)0（0，2）2f（x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时

10、，f(x）取得极大值b，也是函数f(x)在1，2上的最大值，f(0）b3。又f（1)7a3，f（2）16a3f(1),f（2)16a329,解得a2.当a0时，同理可得当x0时，f（x)取得极小值b,也是函数在1,2上的最小值，f（0）b29。又f(1）7a29，f（2）16a29f(1），f(2）16a293,解得a2。综上可得，a2,b3或a2，b29.跟踪训练3解f(x）x2x2a，令f(x)0，得两根x1，x2.当x（，x1)，（x2，)时,f(x）0，当x（x1，x2)时，f（x）0，所以f（x）在(,x1)，(x2，）上单调递减，在(x1，x2）上单调递增当0a2时，有x11x24

11、，所以f(x)在1,4上的最大值为f（x2)又f(4)f（1)6a0，即f（4）0，故(1，)是g（x）的单调递增区间因此x1是g（x）在（0，)上的唯一极值点,且为极小值点，从而是最小值点,所以最小值为g(1）1。(2)因为g（a)g(x）对任意x0成立，即ln ag（x）对任意x0成立由（1)知，g(x）的最小值为1，所以ln a1，解得0a0，即f(x)在1，2上是增函数,f(x）在1，2上的最大值为f(2）223c20，c4.4bf(x）3x23a，令f（x）0,可得ax2，a0，又函数在(0,1）上有最小值,01,所以0a1。故选b.5e,）解析由f(x）2，得a2x22x2ln x.