清华大学传热学课件-传热学-5-2

1、5-3 边界层换热微分方程组的解边界层换热微分方程组的解 边界层概念边界层概念（Boundary layer）： 当粘性流体流过物体表面时，会形成速度梯度很大当粘性流体流过物体表面时，会形成速度梯度很大 的的流动边界层流动边界层；当壁面与流体间有温差时，也会产；当壁面与流体间有温差时，也会产 生温度梯度很大的生温度梯度很大的温度边界层（或称热边界层）温度边界层（或称热边界层） 一、流动边界层一、流动边界层（Velocity boundary layer） 1904年，德国科学家普朗特年，德国科学家普朗特 L.Prandtl 由于粘性作用，由于粘性作用， 流体流速在靠近流体流速在靠近 壁面处随离

2、壁面壁面处随离壁面 的距离的缩短而的距离的缩短而 逐渐降低；逐渐降低；在贴在贴 壁处被滞止，处壁处被滞止，处 于无滑移状态于无滑移状态 从从 y=0、u=0 开始，开始，u 随随 着着 y 方向离壁面距离的方向离壁面距离的 增加而迅速增大；经过增加而迅速增大；经过 厚度为厚度为 的薄层，的薄层，u 接接 近主流速度近主流速度 u y = 薄层薄层 流动边界层流动边界层 或或速度边界层速度边界层 边界层厚度边界层厚度 定义：定义：u/u =0.99 处离壁的距离为边界层厚度处离壁的距离为边界层厚度 小：空气外掠平板，小：空气外掠平板，u =10m/s： mm5 . 2 ;mm8 . 1 2001

3、00 mmxmmx 边界层内边界层内：平均速度梯度很大；：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大处的速度梯度最大 由牛顿粘性定律：由牛顿粘性定律： 边界层外边界层外： u 在在 y 方向不方向不 变化，变化， u/ y=0 流场可以划分为两个区：流场可以划分为两个区：边界层区边界层区与与主流区主流区 边界层区边界层区：流体的粘性作用起主导作用，流体的运动：流体的粘性作用起主导作用，流体的运动 可用粘性流体运动微分方程组描述（可用粘性流体运动微分方程组描述（N-S方程）方程） 主流区主流区：速度梯度为：速度梯度为0， =0；可视为无粘性理想流体；可视为无粘性理想流体； 欧拉方程欧拉方程 y u

4、 速度梯度大，粘滞应力大速度梯度大，粘滞应力大 粘滞应力为零粘滞应力为零 主流区主流区 边界层概念的基本思想边界层概念的基本思想 流体外掠平板时的流动边界层流体外掠平板时的流动边界层 临界距离临界距离：由层流边：由层流边 界层开始向紊流边界界层开始向紊流边界 层过渡的距离，层过渡的距离，xc 平板：平板： 湍流边界层：湍流边界层： 临界雷诺数临界雷诺数：Rec c c c xu xu Re 粘性力 惯性力 565 105Re ;103103Re cc 取 粘性底层粘性底层（层流底层层流底层）：紧靠壁面处，粘滞力会占绝对）：紧靠壁面处，粘滞力会占绝对 优势，使粘附于壁的一极薄层仍然会保持层流特征

5、，具优势，使粘附于壁的一极薄层仍然会保持层流特征，具 有最大的速度梯度有最大的速度梯度缓冲区；缓冲区； 湍流核心湍流核心 流动边界层的几个重要特性流动边界层的几个重要特性 (1) 边界层厚度边界层厚度 与壁的定型尺寸与壁的定型尺寸L相比极小，相比极小， 。“” 相当于相当于 例：例：二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力 u沿边界层厚度由沿边界层厚度由0到到u : 由连续性方程：由连续性方程： ) 1 (O uu ) 1 (O l u x u y v )(O v 2 2 2 2 y t x t y t v x t ucp )() )() 2 2 2 2 2 2

6、 2 2 y v x v y p F y v v x v u y u x u x p F y u v x u u y x （ （ x u 0 y v (a) 0 y v x u (b) )() 2 2 2 2 y u x u x p y u v x u u （ (c) )() 2 2 2 2 y v x v y p y v v x v u （ 1 1 ）（）（ 22 1 1 1 1 1 1 1 1 ）（）（ 22 2 1 1 1 1 2 1 0 y v x u 2 2 ) y u x p y u v x u u （ (d) )() 2 2 2 2 y t x t y t v x t uc p

7、（ ）（）（ 22 1 1 1 1 1 1 1 1 2 t 2 2 ) y t y t v x t uc p （ 表明：边界层内的压力梯度仅沿表明：边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化，而边方向变化，而边 界层内法向的压力梯度极小。界层内法向的压力梯度极小。 边界层内任一截面压力与边界层内任一截面压力与 y 无关而等于主流压力无关而等于主流压力 )(O y p ) 1 (O x p dx dp x p dx du u dx dp 由上式： 2 2 ) y u x p y u v x u u （ )(O y p 可视为边界层的又一特性可视为边界层的又一特性 层流边界层对流换热微分方程组：层流边界

8、层对流换热微分方程组： 0 y v x u 2 2 1 y u dx dp y u v x u u 2 2 y t a y t v x t u dx du u dx dp 00 dx dp dx du ，则若 3个方程、个方程、3个未知量：个未知量： u、v、t 对于外掠平板的层流流动对于外掠平板的层流流动: 2 2 y t a y t v x t u 此时动量方程与能量方程的形式完全一致此时动量方程与能量方程的形式完全一致: 0 , dx dp constu 2 2 y u y u v x u u 动量方程： 表明：表明：此情况下动量传递与热量传递规律相似此情况下动量传递与热量传递规律相似

9、特别地：特别地：对于对于 = a 的流体（的流体（Pr=1），速度场与），速度场与 无量纲温度场将完全相似无量纲温度场将完全相似 并且并且 = t 为了分析与计算的方便，可将方程式写成无量纲形式为了分析与计算的方便，可将方程式写成无量纲形式 wf w tt tt u v V u u U u p P l y Y l x X ; ; ; ; ; 2 0 Y V X U 2 2 Re 1 Y U dX dP Y U V X U U 2 2 PrRe 1 Y Y V X U Pr) Re, , ,(Pr) Re, , , , ,( Re); , ,( Re); , ,( 33 21 YXfVUYXf

10、YXfVYXfU Re 雷诺数雷诺数 Reynolds Pr 普朗特普朗特数数 Prandtl 四、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述四、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述 0 y v x u 2 2 y t a y t v x t u 2 2 y u y u v x u u xw w x y t tt h , 求解的具体过程可参见教科书求解的具体过程可参见教科书 p.337附录附录15 0 y v x u(a) xw w x y t tt h , (d) 2 2 y t a y t v x t u (c) 2 2 y u y u v x u u (b) 求解的基本方法：求解的

11、基本方法：引进引进 3 个无量纲变量个无量纲变量 （ 、f( )、 ） (1) 把偏微分方程把偏微分方程 (b)、(c) 转换为常微分方程转换为常微分方程 (2) 分别求出边界层内的速度场、温度场分别求出边界层内的速度场、温度场 (3) 由式由式 (d) 获得局部表面传热系数获得局部表面传热系数 3 个无量纲变量个无量纲变量 （ 、f( )、 ）: x u y 无量纲离无量纲离 壁距离壁距离 xu f )( 无量纲无量纲 流函数流函数 w w tt tt )( 无量纲温度无量纲温度 3 个无量纲变量个无量纲变量 （ 、f( )、 ）: x u y 无量纲离无量纲离 壁距离壁距离 xu f )(

12、 无量纲无量纲 流函数流函数 w w tt tt )( 无量纲温度无量纲温度 流函数流函数 x v y u ; 动量微分方程与能量微分方程（常微分方程）：动量微分方程与能量微分方程（常微分方程）： )()( 2 1 );( ff x u x vfu y u 2 2 y t a y t v x t u 2 2 y u y u v x u u 0)()( 2 1 )( fff 0)()(Pr 2 1 )( f 经过推导，得：经过推导，得： 0 )( 2 1 0 )( 2 1 0 0 )( de de f u u df df 结果综述：结果综述： 1、从动量方程和连续性方程可解得速度场：、从动量方程

13、和连续性方程可解得速度场： 0.99 =5.0 x u 0 . 5 u x 0 . 5 21 Re0 . 5 x x 注：边界层内注：边界层内v 0 21 , Re332. 0 2 x xf C xu x Re 2 2 ,x ,w u C y u xf 经过推导，得：经过推导，得： de de df df 0 )( 2 Pr 0 )( 2 Pr 0 0 de df 0 )( 2 Pr 0 0 1 2、从能量微分方程可解得不同、从能量微分方程可解得不同 Pr 下的温度下的温度场：场： 0.99 热边界层厚度随热边界层厚度随Pr增大而减小增大而减小 xw w x y t tt h , 10)Pr(

14、0.6 Pr332. 0 31 0 波尔豪森（波尔豪森（1921）：）： xw y , x u y 对长度为对长度为 l 的常壁温平板，通过积分可得平均值：的常壁温平板，通过积分可得平均值： ;PrRe332. 0 3121 xx x h 3121 PrRe332. 0Nu x x x xh ;PrRe664. 0 1 3121 0 l l x l dxh l h 3121 PrRe664. 0Nu l hl number) (Prandtl Pr普朗特数 p c a 流体动量扩散能力与热量扩散能力之比流体动量扩散能力与热量扩散能力之比 反映流体物性对换热的影响反映流体物性对换热的影响 ）努谢

15、尔特数（numberNusslet Nu hl 反映对流换热过程的强度反映对流换热过程的强度 各准则中的物性均采用边界层平均温度作为定性温度各准则中的物性均采用边界层平均温度作为定性温度 2 fw m tt t 3、由上式：流体物性以、由上式：流体物性以 Pr1/3影响换热；被实验证实影响换热；被实验证实 ;PrRe332. 0 3121 xx x h 3121 PrRe332. 0Nu xx ;PrRe664. 0 3121 l l h 3121 PrRe664. 0Nu l 4、对于、对于Pr=1的流体，无量纲速度场和温度场的分布的流体，无量纲速度场和温度场的分布 曲线完全一致；而且曲线完全一致；而且 = t ；对于；对于Pr 1的的流体：流体： 31 Pr t