2017-2018学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 . 双曲线教学案 选修2-1

1、学必求其心得，业必贵于专精3 双_曲_线31双曲线及其标准方程 双曲线的定义2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时,“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1 600 m的“盐城”舰，3秒后也监听到了马达声（声速340 m/s)，用a、b分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置,点m表示快艇的位置问题1：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？提示：|mb|ma34031 020（m）问题2：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保持不变，快

2、艇运动有何特点?提示：始终满足mbma1 020。双曲线的定义定义平面内到两定点f1，f2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于|f1f2|)的点的集合叫作双曲线焦点定点f1,f2叫作双曲线的焦点焦距两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距集合语言pm2a,02a|f1f2|双曲线的标准方程上述问题中,设|ab1 6002c， |ma|mb|1 0202a.问题1：以ab所在直线为x轴，ab的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则点m的轨迹方程是什么？提示：(c2a2）x2a2y2a2（c2a2）问题2:若以ab所在直线为y轴，ab的垂直平分线为x轴,则点m的轨迹方程为什么？提示：(c2a2)y2

3、a2x2a2(c2a2)双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图像标准方程1（a0，b0）1(a0，b0）焦点坐标f1(c,0);f2(c，0)f1（0，c)；f2（0，c）a，b,c的关系c2a2b21双曲线定义中2a(02ab不一定成立c2a2b2与椭圆中的a2b2c2不同 双曲线的标准方程例1根据下列条件求双曲线的标准方程(1）求以椭圆1的短轴的两个端点为焦点，且过点a(4,5)的双曲线的标准方程；（2)已知双曲线通过m（1，1），n（2，5）两点,求双曲线的标准方程思路点拨用待定系数法,根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利

4、用双曲线的定义求解精解详析（1)法一：（待定系数法)由题意知双曲线的两焦点f1（0,3)，f2(0，3）设双曲线的标准方程为1（a0，b0)，将点a（4，5）代入双曲线方程得1,又a2b29，解得a25，b24.双曲线的标准方程为1。法二：（定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为f1(0,3），f2（0，3)且a（4,5)在双曲线上，则2a|af1|af2|2，a,b2c2a2954.即双曲线的标准方程为1.(2）法一：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为1(a0,b0）因为m（1,1),n(2，5）在双曲线上，所以解得若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0）同理有解得(不合题意,

5、舍去）所以所求双曲线的标准方程为1.法二:设所求双曲线的方程为mx2ny21(mn0,b0），所以所以所求的双曲线的标准方程为1.曲线类型的判定例2已知曲线c：1（t0，t1）(1)求t为何值时,曲线c分别为椭圆、双曲线;（2）求证:不论t为何值,曲线c有相同的焦点思路点拨方程ax2by21表示的轨迹是由参数a，b的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对a，b进行讨论精解详析(1）当t1时，t20，t210，且t2t21，曲线c为椭圆；当t1时,t20,t211时，曲线c是椭圆，且t2t21,因此c2a2b2t2（t21)1，焦点为f1（1,0）,f2（1，0)当|t|1时，双曲线c的方程为1，c

6、2a2b2t21t21，焦点为f1（1,0），f2(1,0）综上所述，无论t为何值，曲线c有相同的焦点一点通方程ax2by21(a,b0)表示椭圆的充要条件为a0,b0，且ab；表示双曲线的充要条件为ab0，若a0，b0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若b0,a0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线即双曲线的焦点位置是由x2,y2的系数的正负决定的4已知两定点f1(5,0）,f2(5，0），动点p满足pf1pf22a，则当a3和a5时,p点的轨迹是（)a双曲线和一条直线 b双曲线和一条射线c双曲线的一支和一条射线 d双曲线的一支和一条直线解析：由题意，f1f2|10，当a3时，pf1|pf22a

7、610，此式中没有加绝对值，此时点p的轨迹是双曲线的一支;当a5时,pf1|pf210|f1f2|，点p的轨迹为以f2为端点沿x轴向右的一条射线答案：c5若方程1表示双曲线，则实数m满足(）am1且m3 bm 1cm或m d3m1解析:因为方程1表示双曲线，而m210恒成立,所以m230，解得m或m，故选c。答案：c双曲线的定义及应用例3若f1，f2是双曲线1的两个焦点,p是双曲线上的点，且pf1|pf232,试求f1pf2的面积思路点拨欲求f1pf2的面积，可考虑用|pf1|pf2sinf1pf2求解，只要求出f1pf2的正弦值即可而f1pf2的三边中，|pf1|pf2|6，|f1f210，

8、故可考虑用余弦定理求解精解详析由双曲线方程1，可知a3，b4,c5。由双曲线的定义，得|pf1|pf22a6，将此式两边平方，得pf1|2pf2|22pf1|pf236,|pf12pf2|2362pf1|pf236232100.如图所示，在f1pf2中，由余弦定理，得cosf1pf20，f1pf290，sf1pf2|pf1pf2|3216。一点通双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件|pf1|pf2|2a(02a0）2a1,2c2，a，c1,b2c2a2，双曲线方程为4x21.ab|ac10,x，点a的轨迹方程是4x21.1用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是

9、一支还是两支2用待定系数法求双曲线的标准方程的关键是判断焦点所在的位置 1双曲线1上的点p到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(）a1或21b14或36c2 d21解析：设双曲线的左右焦点分别为f1,f2,不妨设|pf111，根据双曲线的定义知|pf1pf22a10，所以|pf21或|pf2|21，而1ca752，故舍去pf21，所以点p到另一个焦点的距离为21，故选d.答案:d2与椭圆y21共焦点且过点q（2,1）的双曲线方程是（)a.y21 b。y21c.1 dx21解析：c2413,共同焦点坐标为（,0)，设双曲线方程为1(a0,b0），则由解得双曲线方程为y21.答案：a3

10、k2是方程1表示双曲线的（）a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分又不必要条件解析：k2方程1表示双曲线，而方程1表示双曲线(4k)(k2）0k4/ k0)3双曲线的中心、虚轴的一个端点和实轴的一个端点构成一个直角三角形，这个直角三角形的三边满足关系式c2a2b2. 双曲线的简单性质例1求双曲线4x2y24的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程思路点拨先将双曲线的形式化为标准方程,再研究其性质精解详析将双曲线方程4x2y24化为标准方程x21,a1，b2，c。因此顶点为a1（1，0)，a2（1,0）；焦点为f1(,0），f2(，0);实半轴长是a1，虚半

11、轴长是b2;离心率e；渐近线方程为yx2x.一点通由双曲线的标准方程，求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式1，再确定a,b的值(注意它们的分母分别为a2,b2,而不是a，b），进而求出c，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案1(福建高考）双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于（)a。b.c1 d.解析：双曲线x2y21的渐近线为xy0，顶点坐标为（1,0），故顶点到渐近线的距离为，故选b.答案:b2求双曲线16x29y2144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程解：把方程化为1，a4，b3，c5.实半轴长a4，虚半轴长b3，焦点坐标(0，5），（0，5）；离

12、心率e,渐近线方程为yx。利用双曲线的性质求双曲线方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)实轴长为16，离心率为；(2)双曲线c的右焦点为(2，0），右顶点为(，0）思路点拨由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b,c的值精解详析（1)设双曲线的标准方程为1或1(a0,b0)由题意知2a16，,c2a2b2，解得c10，a8，b6,所以双曲线的标准方程为1或1.（2）设双曲线方程为：1(a0，b0）由已知得a，c2,b2c2a21.双曲线的标准方程为:y21.一点通根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时,一般采用待定系数法首先要根据题目中给出的条件,确定焦点所在的位置,然后

13、设出标准方程的形式，找出a，b,c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程3已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且它的离心率为,则该双曲线的方程为()ax2y250 bx2y224cx2y250 dx2y224解析:因为双曲线与椭圆1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，分别为（0,4)和(0,4)，因为双曲线的离心率为，所以，所以a2,b2，所以双曲线的方程为y2x224，即x2y224。答案：d4（1）已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为23，且经过p（,2），求双曲线方程;(2）求焦点在x轴上，离心率为,且经过点m（3,2)的双曲线方程解：(1）设双曲线方程为1(a0，b0)

14、依题意可得故所求双曲线方程为y2x21.（2）设所求双曲线方程为1(a0，b0）e,e21，.1，解得所求的双曲线方程为1。求双曲线的离心率例3已知以双曲线c的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，求双曲线c的离心率思路点拨确定四边形中为60的内角，通过解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率精解详析设双曲线方程为1(a0，b0)，如图所示，由于在双曲线中cb，故在rtof1b2中，只能是of1b230，所以tan 30，cb，所以ab，离心率e。一点通双曲线1（a0，b0)中有三类特殊点:焦点(c,0)、顶点（a,0)、虚轴的两个端点(0，b）求双曲线的离心率的关键是

15、找出双曲线中a，c的关系在用几何图形给出的问题中，要善于利用几何图形的性质分析解决5若双曲线x2ky21的离心率是2,则实数k的值是（)a3 b。c3 d解析：双曲线x2ky21可化为1,故离心率e2，解得k。答案:d6双曲线1（a0，b0)的两个焦点为f1,f2，若p为其上一点，且|pf1|2pf2|,则双曲线离心率的取值范围为（)a（1,3) b(1,3c（3,） d3，）解析：由双曲线的定义知，|pf1|pf2|2a.又|pf12pf2|，pf2|2a，|pf1|4a。pf1|pf2f1f2(当p为双曲线右顶点时取等号)，6a2c.3.又e1,1e3.答案：b7双曲线1(a0,b0）的两

16、个焦点分别为f1，f2，以f1f2为边作等边mf1f2。若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为_解析：如图，点n为mf2的中点,且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解f1n|c,|nf2|c.又nf1|nf2|2a，即cc2a。e1.答案：11由已知双曲线的方程求双曲线的性质时，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点所在的位置,防止将焦点坐标和渐近线方程写错2注意双曲线性质间的联系,尤其是双曲线的渐近线斜率与离心率之间的联系，并注意数形结合，从直观入手3椭圆、双曲线的标准方程都可写成ax2by21的形式，当a0，b0且ab时表示椭圆，当ab0时表示双曲线 1设双曲线

17、1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（)ayxby2xcyx dyx解析：由题意知，2b2,2c2,则b1，c,a;双曲线的渐近线方程为yx。答案:c2双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（）a b4c4 d.解析:双曲线标准方程为：y21，a21,b2。由题意b24a2，4，m.答案：a3双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(）a。1 b。1c.1 d.1解析:由方程组得a2，b2。双曲线的焦点在y轴上，双曲线的标准方程为1。答案：b4双曲线1（a0，b0)的左，右焦点分别为f1，f2，过f1作倾

18、斜角为30的直线交双曲线右支于m点,若mf2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()a。 b。c。 d.解析:由题意，得f1f2|2c，mf2|c，|mf1c。由双曲线定义得|mf1|mf2|c2a，所以e.答案：b5双曲线1的离心率为e，e（1，2），则k的取值范围是_解析:由题意知k0，且a2，c，10，b0)e，2即a2b2。又过点p(3，）有：1,由得:a2b24，双曲线方程为1。若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为1(a0，b0）同理有:a2b2，1,由得a2b24（不合题意，舍去)综上所述，双曲线的标准方程为1.（2）由椭圆方程1,知长半轴a13，短半轴b12，半焦距c1，所以焦点是f1（,0），f2（,0）因此双曲线的焦点也为（,0）和(,0），设双曲线方程为1(a0,b0)由题设条件及双曲线的性质,有解得即双曲线方程为y21。8已知双曲线的中心在原点，焦点f1,f2在坐标轴上,离心率为，且过点p（4，）(1）求双曲线方程；(2）若点m（3，m)在双曲线上，求证：0;（3）在(2）的条件下，求f1mf2的面积解：(1)e，可设双曲线方程为x2y2（0）过点(4,）,161