南理工高等数学下第11章 无穷级数11-习题课

1、 常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数 一一 般般 项项 级级 数数 正正 项项 级级 数数 幂级数幂级数三角级数三角级数 收收 敛敛 半半 径径 R R 泰勒展开式泰勒展开式 数或函数数或函数函函 数数数数 任任 意意 项项 级级 数数 傅氏展开式傅氏展开式 傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数 0)(xR 为常数为常数 n u)(xuu nn为函数 为函数 满足狄满足狄 氏条件氏条件 0 xx 取取 在收敛在收敛 级数与数级数与数 条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容 n n n uuuuu 321 1 1 1、常数项级数、常数项级数 常常数数项项级级数数收收敛敛( (

2、发发散散) ) n n s lim存存在在( (不不存存在在) ). . n i inn uuuus 1 21 级数的部分和级数的部分和 定义定义 级数的收敛与发散级数的收敛与发散 性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, , 敛散性不变敛散性不变. . 性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. . 性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性散性. 性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和于原来

3、的和. . . 0lim n n u级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: 收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质 常数项级数审敛法常数项级数审敛法 正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数 1. 2. 4.充要条件充要条件 5.比较法比较法 6.比值法比值法 7.根值法根值法 4.绝对收敛绝对收敛 5.交错级数交错级数 (莱布尼茨定理莱布尼茨定理) 3.按基本性质按基本性质; ;,则级数收敛则级数收敛若若SSn ;, 0,则级数发散则级数发散当当 n un 一般项级数一般项级数 4.绝对收敛绝对收敛 定义定义 0, 1 n n n uu .有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛

4、正项级数收敛 n s 2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法 审敛法审敛法 (1) (1) 比较审敛法比较审敛法 若若 1n n u收敛收敛( (发散发散) )且且)( nnnn vuuv , , 则则 1n n v收收敛敛( (发发散散) ). . (2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式 设设 1n n u与与 1n n v都是正项级数都是正项级数,如果如果l v u n n n lim, 则则(1) 当当 l0时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; (2) 当当0 l时，若时，若 1n n v收敛收敛,则则 1n n u收敛收敛; (3) 当当 l时时,

5、 若若 1n n v发散发散,则则 1n n u发散发散; 设设 1n n u为正项级数为正项级数, 如如果果0lim lnun n (或或 n n nulim), 则则级级数数 1n n u发发散散; 如如果果有有1 p, 使使得得 n p n un lim存存在在, 则则级级数数 1n n u收收敛敛. (3) (3) 极限审敛法极限审敛法 (4) (4) 比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 D DAlembertAlembert 判别法判别法) ) 设设 1n n u是是正正项项级级数数,如如果果)(lim 1 数数或或 n n n u u 则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级

6、数发散时级数发散; 1 时失效时失效. (5) (5) 根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) ) 设设 1n n u是正项级数是正项级数, , 如果如果 n n n ulim)( 为数或为数或 , , 则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级数发散; ;1 时失效时失效. . 定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. . n n n n n n uu 11 1 )1()1(或或 莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: : ( () ), 3 , 2 , 1( 1 nuu nn ;(;() )0lim n

7、 n u, ,则则 级数收敛级数收敛, , 且其和且其和 1 us , , 其余 项其余 项 n r的绝对值的绝对值 1 nn ur. . )0( n u其中其中 3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定定理理 若若 1n n u收收敛敛,则则 1n n u收收敛敛. 定义定义: :若若 1n n u收敛收敛, , 则称则称 0n n u为绝对收敛为绝对收敛; ; 若若 1n n u发发散散, ,而而 1n n u收收敛敛, , 则则称称 1n n u为为条条件件收收敛敛. . 4 4、任意项级

8、数及其审敛法、任意项级数及其审敛法 5 5、函数项级数、函数项级数 (1) (1) 定义定义 设设),(,),(),( 21 xuxuxu n 是是定定义义在在RI 上上 的的函函数数, ,则则 )()()( 21 1 xuxuxu n n 称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. . (2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域 如如果果Ix 0 ,数数项项级级数数 1 0 )( n n xu收收敛敛, 则称则称 0 x为级数为级数)( 1 xu n n 的的收敛点收敛点, ,否否则则称称为为发发散散点点. . 所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为

9、发散域发散域. . 函数项级数函数项级数)( 1 xu n n 的所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域, , (3) (3) 和函数和函数 在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数)(xs, , 称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. . (1) (1) 定义定义 形如形如 n n n xxa)( 0 0 的级数称为的级数称为幂级数幂级数. ,0 0 时时当当 x 其其中中 n a为为幂幂级级数数系系数数. 6 6、幂级数、幂级数 n n nx a 0 如如果果级级数数 0n n n xa在在 0 xx 处处发发散散, ,则则它

10、它在在满满足足 不不等等式式 0 xx 的的一一切切x处处发发散散. . 定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) ) 如如果果级级数数 0n n n xa在在)0( 00 xxx处处收收敛敛, ,则则 它它在在满满足足不不等等式式 0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ; (2) (2) 收敛性收敛性 如如果果幂幂级级数数 0n n n xa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也 不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定 的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: : 当当Rx 时时, ,幂幂级级数数

11、绝绝对对收收敛敛; ; 当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散; 当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. . 推论推论 定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间. 定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0n n n xa的的所所有有系系数数0 n a, 设设 n n n a a 1 lim (或或 n n n alim) (1) 则则当当0 时时, 1 R; (3) 当当 时时,0 R. (2) 当当0 时时, R; a.a.代数运算性质代数运算性质: :

12、加减法加减法 00n n n n n n xbxa. 0 n n n xc (其中其中 21, minRRR ) nnn bac RRx, , 21 00 RRxbxa n n n n n n 和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (3)(3)幂级数的运算幂级数的运算 乘法乘法 )()( 00 n n n n n n xbxa. 0 n n n xc RRx, (其中其中 ) 0110 bababac nnnn 除法除法 0 0 n n n n n n xb xa . 0 n n n xc )0( 0 n n n xb收敛域内收敛域内 b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :

13、 幂幂级级数数 0n n nx a的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间 ),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. 幂级数幂级数 0n n nx a的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. 幂级数幂级数 0n n nx a的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次. 7 7、幂级数展开式、幂级数展开式 如果如果)(xf在点在点 0 x处任意阶可导处任意阶可导,则幂级数则幂级数 n n n xx n xf

14、)( ! )( 0 0 0 )( 称为称为)(xf在点在点 0 x的的泰勒级数泰勒级数. n n n x n f 0 )( ! )0( 称为称为)(xf在点在点 0 x的的麦克劳林级数麦克劳林级数. (1) 定义定义 定理定理 )(xf在点在点 0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)( 0 xU 内收内收 敛于敛于)(xf在在)( 0 xU 内内0)(lim xRn n . . (2) 充要条件充要条件 (3) 唯一性唯一性 定理定理 如果函数如果函数)(xf在在)( 0 xU 内内能能展开成展开成)( 0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 n n n xxaxf)()( 0 0 , , 则

15、其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()( ! 1 0 )( nxf n a n n 且展开式是唯一的且展开式是唯一的. . (3) 展开方法展开方法 a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) ) 步骤步骤:; ! )( )1( 0 )( n xf a n n 求求 ,)(0lim)2( )( MxfR n n n 或或讨论讨论 ).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收 b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过 变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积逐项积 分分等方法等方

16、法,求展开式求展开式. ),( ! 1 ! 2 1 1 2 xx n xxe nx )!12( )1( ! 5 1 ! 3 1 sin 12 53 n x xxxx n n ),( x )!2( )1( ! 4 1 ! 2 1 1cos 2 42 n x xxx n n ),( x (4) 常见函数展开式常见函数展开式 )1 , 1( x n x n n xx x ! )1()1( ! 2 )1( 1 )1( 2 )1ln(x n x xxx n n 132 )1( 3 1 2 1 1 , 1( x (5) 应用应用 a.a.近似计算近似计算 b.b.欧拉公式欧拉公式 ,sincosxixe

17、ix , 2 cos itit ee t , 2 sin i ee t itit (1) (1) 三角函数系三角函数系 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx .,上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在 正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx 三角函数系三角函数系 8 8、傅里叶级数、傅里叶级数 nm nm nxdxmx , , 0 sinsin nm nm nxdxmx , , 0 coscos 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中 (2) (2) 傅里叶级数傅里叶级数 1 0 )si

18、ncos( 2n nn nxbnxa a 定义定义三角级数三角级数 其中其中 ), 2 , 1(,sin)( 1 ), 2 , 1 , 0(,cos)( 1 nnxdxxfb nnxdxxfa n n 称为傅里叶级数称为傅里叶级数. 1 0 )sincos( 2n nn nxbnxa a (3) (3) 狄利克雷狄利克雷( (DirichletDirichlet) )充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) ) 设设)(xf是是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数.如如果果它它满满足足 条条件件:在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断 点点,并并且且至

19、至多多只只有有有有限限个个极极值值点点,则则)(xf的的傅傅里里叶叶级级 数数收收敛敛,并并且且 (1) 当当x是是)(xf的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于)(xf; (2) 当当x是是)(xf的间断点时的间断点时, 收敛于收敛于 2 )0()0( xfxf ; (3) 当当x为为端端点点 x时时,收收敛敛于于 2 )0()0( ff . 如果如果)(xf为奇函数为奇函数, 傅氏级数傅氏级数nxb n n sin 1 称为称为正弦级数正弦级数. (4) (4) 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数 当当周周期期为为 2的的奇奇函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶 级级数数时时,它

20、它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ), 2 , 1(sin)( 2 ), 2 , 1 , 0(0 0 nnxdxxfb na n n 当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数 时时,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(0 ), 2 , 1 , 0(cos)( 2 0 nb nnxdxxfa n n 如果如果)(xf为偶函数为偶函数, 傅氏级数傅氏级数nxa a n n cos 21 0 称为称为余弦级数余弦级数. 奇延拓奇延拓: 0)( 00 0)( )( xxf x xxf xF令令 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf .sin)( 1 n

21、 n nxbxf)0( x (5) (5) 周期的延拓周期的延拓 偶延拓偶延拓: 0)( 0)( )( xxf xxf xF令令 的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 1 0 cos 2 )( n n nxa a xf)0( x 式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开的条件的条件 满足收敛定理满足收敛定理的周期函数的周期函数设周期为设周期为 , )(2xfl ),sincos( 2 )( 1 0 l xn b l xn a a xf n n n 式式的周期函数的傅氏展开的周期函数的傅氏展开周期为周期为 l 2)6( ), 2 , 1 , 0(,cos)( 1 ndx l xn xf

22、l a l l n ), 2 , 1(,sin)( 1 ndx l xn xf l b l l n 二、典型例题二、典型例题 ; ) 1 ( )1( : 1 1 n n n n n n n 判断级数敛散性判断级数敛散性例例1 1 解解 n n n n n n nn u ) 1 ( 1 , ) 1 1( 2 1 n n n n n n n n n nn 1 22 ) 1 1(lim) 1 1(lim 2 ; 1 0 e x x n n xn 11 limlim ln 1 limexpx x x 1 limexp x x ; 1 0 e , 01lim n n u 根据级数收敛的必要条件，根据级数

23、收敛的必要条件，原级数收敛原级数收敛 ; 2 3 cos )2( 1 2 n n n n 解解, 22 3 cos 2 nn n n n n u , 2 nn n v 令令 n n v v n n n n n n 2 2 1 limlim 1 1 n n n 2 1 lim , 1 2 1 , 2 1 收敛收敛 n n n 根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛 1 ).0( ) 1 ( )2ln( )3( n n a n a n 解解 n a n u n n n n n 1 )2ln( limlim , )2ln(lim 1 n n n a ,2,2 n enn 时时从而有从而

24、有 ,)2ln(1 n n nn , 1lim n n n由于由于, 1)2ln(lim n n n . 1 lim a u n n n ,1 1 00时时即即当当 a a原级数收敛；原级数收敛； ,1 1 10时时即即当当 a a原级数发散；原级数发散； ,1时时当当 a, ) 1 1( )2ln( 1 n n n n 原级数为原级数为 , ) 1 1( )2ln( lim n n n n 原级数也发散原级数也发散 敛？敛？是条件收敛还是绝对收是条件收敛还是绝对收 敛？如果收敛，敛？如果收敛，是否收是否收判断级数判断级数 1 ln )1( n n nn 例例 解解, 1 ln 1 nnn ,

25、 1 1 发散发散而而 n n , ln 1 ln )1( 11 发散发散 nn n nnnn 即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛 , ln )1( 1 级数级数是交错是交错 n n nn 由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理： x x n n xn ln lim ln lim , 0 1 lim x x , 0 ln 1 1 lim ln 1 lim n n n nn nn ),0(ln)( xxxxf ),1(0 1 1)( x x xf ,), 1(上单增上单增在在, ln 1 单减单减即即 xx ,1 ln 1 时单减时单减当当故故 n nn ),1( )1ln()1( 1 ln 1 1

26、nu nnnn u nn 所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛 .)1)(1( 0 敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 n n xn例例 解解, 1)1)(1( 0 Rxn n n 敛半径为敛半径为的收的收 , 111 x收收敛敛域域为为, 20 x即即 则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs .)1)(1()( 0 n n xnxs 两边逐项积分两边逐项积分 0 1 1 )1( n xn x 0 11 )1)(1()( n x n x dxxndxxs 0 1 )1( n n x )1(1 1 x x , 2 1 x x 求导，得

27、求导，得两边再对两边再对 x ) 2 1 ()( x x xs. )2( 1 2 x . 1lnarctan)( 2 克劳林级数克劳林级数 展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例4 4 解解, 32 )1ln( 32 xx xx ,)1( 32 )1ln( 2 1 64 22 n xxx xx n n )11( x x dx x x 0 2 1 1 arctan又又 x nn dxxxxx 0 2642 )1(1 12 )1( 753 12753 n xxxx x n n )11( x 1 2 1 0 22 2 )1( 2 1 12 )1( 1lnarctan n n n n n n n x n

28、 x xxx故故 0 22 0 22 22 )1( 2 1 12 )1( n n n n n n n x n x . )22)(12( )1( 0 22 n n n nn x )11( x 的幂级数的幂级数成成 的和函数展开的和函数展开将级数将级数 )1( )!12(2 )1( 12 1 1 1 x n x n n n n 例例5 5 解解 设法用已知展开式来解设法用已知展开式来解 的展开式，的展开式，是是分析分析x n x n n n sin )!12( )1( 1 12 1 1 12 1 1 12 1 1 ) 2 ( )!12( )1( 2 )!12(2 )1( n n n n n n n

29、 x nn x 2 sin2 x 2 11 sin2 x 2 1 sin 2 1 cos2 2 1 cos 2 1 sin2 xx 0 12 0 2 ) 2 1 ( )!12( )1( 2 1 cos2 ) 2 1 ( )!2( )1( 2 1 sin2 n n n n n n x n x n 0 12 0 2 )1( )!12(2 )1( 2 1 cos )1( )!2(2 )1( 2 1 sin2 n n n n n n n n x n x n ),( 形形函数，同时画出它的图函数，同时画出它的图 写出该级数的和写出该级数的和的正弦级数并在的正弦级数并在 为周期为周期内展开成以内展开成以在

30、在将将 22 20cos x xx例例6 6 解解 ,cos ),(,sincos 2), 0(cos)( 1 进行奇开拓进行奇开拓内对内对 必须在必须在周期的正弦级数周期的正弦级数 为为内展开成以内展开成以在在要将要将 x nxbx xxf n n ),0 ,(cos , 00 ), 0(cos )( xx x xx xF令令 0 sincos 2 nxdxxbn 0 )1sin()1sin( 1 dxxnxn 1 )1(1 1 )1(1 1 11 nn nn mn n n mno 2, )1( 4 12, 2 )1( n , 0 n a 0 1 2sin 1 xdxb, 0 1 2 )0(

31、.2sin )14( 8 cos m xmx m m x 上级数的和函数为上级数的和函数为在在 22x ),2 ,()0 ,(cos 2, 00 ),2(), 0(,cos )( xx x xx xs 和函数的图形为和函数的图形为 x y o 2 2 的和的和由此求级数由此求级数为周期的付氏级数，并为周期的付氏级数，并以以 内展开成内展开成将函数将函数 1 2 1 2 )11(2)( n n xxxf例例7 7 解解,)11(2)(是是偶偶函函数数 xxxf 1 0 0 )2( 1 2 dxxa, 5 1 0 1 cos)2( 1 2 dx xn xan 1 0 cos2xdxnx 1 0 s

32、in 2 xnxd n 1)1( 2 22 n n 12, 4 2, 0 22 kn n kn ), 2 , 1( k , 0 n b 1 22 )12cos( )12( 4 2 5 2 k xk k x故故 1 22 . )12( )12cos(4 2 5 k k xk )11( x , 0 x取取由上式得由上式得 1 22 , )12( 14 2 5 2 k k 1 2 2 , 8)12( 1 k k 1 2 1 2 1 2 )2( 1 )12( 11 kkn kkn 而而 , 1 4 1 )12( 1 1 2 1 2 kk kk 3 4 8 1 2 1 2 n n . 6 2 时，时，当

33、当证明：证明： 624 cos 22 1 2 xx n n x n 例例8 8 解解, 24 )( 2 xx xf 设设 上展开成余弦级数：上展开成余弦级数：在在将将, 0)( xf 0 2 0 ) 24 ( 2 dx xx a ) 412 ( 2 33 , 3 3 0 2 cos) 24 ( 2 dxn xx an sin) 22 (sin) 24 ( 2 0 0 2 nxdx x nx xx n nxd x n cos) 22 ( 2 0 2 2 2 2 n . 1 2 n )0( cos 624 1 2 22 x n nxx n 故故 624 cos 22 1 2 xx n n n 一一

34、、 选选择择题题: : 1 1、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 1 1 n n ； ( (B B) ) 1 1 n nn ； ( (C C) ) 1 32 1 nn ； ( (D D) ) 1 )1( n n . . 2 2、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 1 1 ) 4 5 ( n n ； ( (B B) ) 1 1 ) 5 4 ( n n ； ( (C C) ) 1 1 1 ) 4 5 ()1( n n n ； ( (D D) ) 1 1 ) 5 4 4 5 ( n n . . 测测 验

35、验 题题 3 3、下列级数中、下列级数中, ,收敛的是收敛的是( )( ) (A) (A) 1 2 2 2 ) !( n n n ； (B) (B) 1 !3 n n n n n ； (C) (C) 2 2 sin 1 n n ； (D) (D) 1 )2( 1 n nn n . . 4 4、部分和数列、部分和数列 n s有界是正项级数有界是正项级数 1n n u收敛的收敛的 ( ( ) ) (A)(A)充分条件；充分条件； (B) (B)必要条件；必要条件； (C)(C)充要条件；充要条件； (D) (D)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 . . 5 5、设、设a为非零常数为非零常数

36、, ,则当则当( )( )时时, ,级数级数 1n n r a 收敛收敛 . . (A) (A)1 r； (B) (B)1 r； (C) (C)ar ； (D) (D)1 r. . 6 6、幂级数、幂级数 1 1 )1( )1( n n n n x 的收敛区间是的收敛区间是( ).( ). (A) (A) )2 , 0(； (B) (B) )2 , 0； (C) (C) 2 , 0(； (D) (D) 2 , 0. . 7 7、若幂级、若幂级 0n n n xa的收敛半径为的收敛半径为: 1 R 1 0R; ; 0n n n xb的收敛半径为的收敛半径为: 2 R 2 0R, ,则幂级数则幂级

37、数 0 )( n n nn xba的收敛半径至少为的收敛半径至少为( )( ) (A)(A) 21 RR ； (B) (B) 21 RR ； (C)(C) 21, maxRR； (D) (D) 21, minRR . . 8 8、当、当0 R时时, ,级数级数 2 1 )1( n nk n n 是是( )( ) (A) (A)条件收敛；条件收敛； (B) (B)绝对收敛；绝对收敛； (C) (C)发散；发散； (D) (D)敛散性与敛散性与值无关值无关k. . 9 9、0lim n n u是是级级数数 1n n u收收敛敛的的( ( ) ) ( (A A) )充充分分条条件件； ( (B B) )必必要要条条件件； ( (C C) )充充要要条条件件； ( (D D) )既既非非充充分分又又非非必必要要条条件件 . . 1 10 0、幂幂级级数数 1 )1( n n xnn的的收收敛敛区区间间是是( (