结构力学(龙驭球)第5章_虚功原理与结构位移计算

1、结构力学结构力学 结构力学结构力学 结构力学结构力学 5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移 计算结构位移的目的：计算结构位移的目的： （1）验算结构的刚度）验算结构的刚度 （2）为超静定结构内力分析打基础）为超静定结构内力分析打基础 产生位移的原因产生位移的原因: （3）制作沉降和制造误差）制作沉降和制造误差 C 1 AB C ab （2）温度变化和材料收缩）温度变化和材料收缩 ds A B 1 t C 2 t C （1）荷载作用）荷载作用 A B q C C B 结构力学结构力学 5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移 C 1 AB C

2、ab 结构内产生位移的同时是否会产生应变呢？结构内产生位移的同时是否会产生应变呢？ （1）静定结构由于支座位移或者温度改变在结构内部）静定结构由于支座位移或者温度改变在结构内部 不产生内力，所以不会产生应变。不产生内力，所以不会产生应变。 ds A B 1 t C 2 t C 刚体体系位移刚体体系位移-有位移，无应有位移，无应 变变 结构力学结构力学 5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移 （2）结构在荷载作用下各点产生线位移，同时，梁内由）结构在荷载作用下各点产生线位移，同时，梁内由 于承受弯矩而产生曲率和应变。于承受弯矩而产生曲率和应变。 A B q C C B

3、变形体体系位移变形体体系位移-有位移，有应变有位移，有应变 结构力学结构力学 5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移 位移计算问题：几何问题位移计算问题：几何问题-几何方法几何方法 A B q C C B C 1 AB C ab C a b 2 2 1 dx wd R k 结构力学结构力学 结构的位移结构的位移 AB q C C B C Cx C Cy Cx C 结构的位移结构的位移 P C -C点的竖向位移 CC -截面B的转角 B Cx -C的水平位移 Cy - C点的竖向位移 C -截面C的转角 Cy 结构力学结构力学 5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚

4、力原理求刚体体系的位移 计算结构位移的思路：计算结构位移的思路： （1）讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。）讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。 -刚体体系的位移计算刚体体系的位移计算 （2）讨论静定结构由于局部变形（局部拉伸、剪切、弯曲）讨论静定结构由于局部变形（局部拉伸、剪切、弯曲 变形，结构其他部分没有变形仍为刚体）引起的位移。变形，结构其他部分没有变形仍为刚体）引起的位移。 -变形体体系位移计算变形体体系位移计算 （3）讨论静定结构由于整体变形（结构中各个杆件的各个）讨论静定结构由于整体变形（结构中各个杆件的各个 微段都产生变形）而引起的位移。微段都产生变形）而引

5、起的位移。 -叠加原理：由局部变形位移计算公式推导整体变形位叠加原理：由局部变形位移计算公式推导整体变形位 移计算公式移计算公式 结构力学结构力学 5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移 计算结构位移的思路：计算结构位移的思路： （1）化整为零：局部变形引起的位移。）化整为零：局部变形引起的位移。 （2）积零为整：叠加原理）积零为整：叠加原理 局部变形位移计算公式局部变形位移计算公式 整体变形位移计算公式整体变形位移计算公式 结构力学结构力学 5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移 位移计算的基本假定和理论基础位移计算的基本假定和理论基础 线

6、弹性变形体系 基本假定: 位移与荷载成正比 条 件:线弹性材料 小变形 叠加原理适用 理论基础: 虚功原理 计算方法: 单位荷载法 结构力学结构力学 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理 处于受力平衡状态受力平衡状态的刚体，当发生符合约束条件的无限小刚体无限小刚体 体系虚位移体系虚位移时，则外力在位移上所作的虚功总和恒等于零虚功总和恒等于零。 0 eii WF 虚功虚功 力的状态力的状态 位移状态位移状态 一个平衡力系 虚设一个位移状态虚设一个位移状态确定真实的未知力确定真实的未知力 虚设一个平衡力系虚设一个平衡力系确定真实的位移确定真实的位移 虚位移原理 虚力原理 结构力学结构力学 刚体体系

7、的虚功原理刚体体系的虚功原理 虚力原理 虚平衡力系 真实位移 1 0 A PR c 确定 C点的竖向位移 1 A R c P A Rb Pa 1 b c a C1 AB C ab AB C P A b RP a AB C 1 a b 假设的力方向和位移 相反 结构力学结构力学 支座移动时位移的计算支座移动时位移的计算 A BC D B C 4l34l AB D C 1P l ? 5 4 0 1 4 B点发生支座移动，求由此引起的 C点竖向位移 由支座移动引起的真实位移 虚设力系 在待求位移点沿位移方向施加单位力单位力 1 求出单位力作用下发生支座移动处的支 座反力 2 3 由虚功原理列虚功方程

8、 10K K R c KK R c 55 ()( ) 44 BB cc 支座移动时的 位移计算公式 结构力学结构力学 支座移动时位移的计算支座移动时位移的计算 支座移动时，静定结构的位移计算步骤：支座移动时，静定结构的位移计算步骤： 在待求位移点沿位移方向施加单位力在待求位移点沿位移方向施加单位力 1 求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力 2 3 令虚设力系在实际位移上做功，由虚功原理列虚功方程令虚设力系在实际位移上做功，由虚功原理列虚功方程 10K K R c KK R c 支座移动时的 位移计算公式 计算出的位移为正值，表明与假设方向一致。计算出

9、的位移为正值，表明与假设方向一致。 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学 支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算 确定B支座的水平位移和B截面的转角例例 A B l B ( ) 结构力学结构力学 支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算 A B l B h l h l 1P 1 A B 1 l 1 l 0 1M A B 确定B截面的转角 确定B支座的水平位移 ()() KK hha R ca ll ) 1 () KK R ca l （ ） 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 n结构位移计算一般属于结构位移计算一般属于变形体变形体体系的位移计算。体系的

10、位移计算。 n变形体体系的位移计算变形体体系的位移计算步骤步骤：先计算：先计算局部变形局部变形时的位移计时的位移计 算公式，再导出算公式，再导出整体变形整体变形时的位移计算公式。时的位移计算公式。 1、局部变形局部变形时静定结构的位移计算举例时静定结构的位移计算举例 当某个微段有当某个微段有局部变形局部变形时静定结构的位移计算问题可时静定结构的位移计算问题可 归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算 问题。对于微段可用虚力原理计算。问题。对于微段可用虚力原理计算。 由于制造误差或者其他原因引起局部由于制造误差或者其他原因引起局部 拉伸

11、、剪切、弯曲变形，结构其他部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部 分没有变形仍为刚体。分没有变形仍为刚体。 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 局部弯曲变形，结构其他部局部弯曲变形，结构其他部 分没有变形仍为刚体。分没有变形仍为刚体。 例例1、图示悬臂梁在、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角处两个相邻截面有相对转角，求，求A点竖点竖 向位移。向位移。 BC aa A aM1 01M M BC A 位移状态位移状态 B A C M 1 虚设力系虚设力系 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 局部剪切变形，结构其他部局部剪切变形

12、，结构其他部 分没有变形仍为刚体。分没有变形仍为刚体。 例例2、图示悬臂梁在、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对剪切位移处两个相邻截面有相对剪切位移 ，求，求 A点竖向位移。点竖向位移。 BCA BC A 位移状态位移状态 B A C 1 虚设力系虚设力系 Q F 1 Q F 01 Q F Q F 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 2、局部变形时位移计算公式、局部变形时位移计算公式 位移状态位移状态 B CA d C d d d B A C1 虚设力系虚设力系 Q F M N F 悬臂梁除微段悬臂梁除微段ds有局部变形外，结构其他部分没有变形。有局部变形外

13、，结构其他部分没有变形。 微段微段ds局部变形包括：局部变形包括： 局部伸长应变局部伸长应变 平均切应变平均切应变0 轴线曲率轴线曲率 0 ,k 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 位移状态位移状态 B CA d C d d d （1）根据微段）根据微段ds的三类变形，求出微段两端截面的三种的三类变形，求出微段两端截面的三种 相对位移：相对位移： kds R ds d dsd dsd 0 相对轴向位移：相对轴向位移： 相对剪切位移：相对剪切位移： 相对转角位移：相对转角位移： 相对位移相对位移 是描述微段总变形是描述微段总变形 的三个基本参数。的三个基本参数

14、。 ddd, 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 位移状态位移状态 B CA d C d d d （2）将微段变形集中化，即）将微段变形集中化，即ds 0 ，但三种相对位移，但三种相对位移 仍存在。仍存在。B截面发生集中变形，其他部分是刚体，不变截面发生集中变形，其他部分是刚体，不变 形。问题转化为刚体体系的位移问题。形。问题转化为刚体体系的位移问题。 （3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移的相对位移 求求A点位移。点位移。 叠加法：叠加法： ddd, dFdFdMd QN 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算

15、的一般公式结构位移计算的一般公式 （3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移的相对位移 求求A点位移。点位移。 叠加法：叠加法： ddd, dFdFdMd QN dsFFkMd QN )( 0 kds R ds d dsd dsd 0 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 dFdFdMd QN dsFFkMd QN )( 0 或者：或者： dsFFkMdFdFdMd QNQN )(1 0 即变形体系的虚功原理即变形体系的虚功原理 QN FFM, 分别为虚设单位荷载在截面分别为虚设单位荷载在截面B引起的弯矩，引起的弯矩，

16、 轴力和剪力。轴力和剪力。 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 3、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式 整个结构的位移是结构各个微段变形的总和。整个结构的位移是结构各个微段变形的总和。 叠加原理：叠加原理： dsFFkMd QN )( 0 dsFFkMd QN )( 0 若整个结构有若干个杆件组成：若整个结构有若干个杆件组成： 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 3、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式 如果结构除

17、各个微段有变形外，支座处还有给定位移：如果结构除各个微段有变形外，支座处还有给定位移： kRKQN cFdsFFkMd )( 0 dsFFkMdcF QNkRK )(1 0 适用条件：小变形适用条件：小变形 位移公式实际为几何方程，给出了已知变形与拟求位移位移公式实际为几何方程，给出了已知变形与拟求位移 之间的几何关系。之间的几何关系。 外虚功外虚功 内虚功内虚功 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 公式的普遍性：公式的普遍性： （1）变形类型：弯曲变形、拉伸变形、剪切变形；）变形类型：弯曲变形、拉伸变形、剪切变形； （2）变形因素：荷载、支座移动；）变形因

18、素：荷载、支座移动； （3）结构类型：梁、桁架、刚架、拱等；）结构类型：梁、桁架、刚架、拱等； （4）材料性质：弹性材料、非弹性材料。）材料性质：弹性材料、非弹性材料。 kRKQN cFdsFFkMd )( 0 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 kRKQN cFdsFFkMd )( 0 弯曲变形：弯曲变形： 拉伸变形：拉伸变形： 剪切变形：剪切变形： 支座移动：支座移动： kdsM k dsFN dsFQ 0 kRKc cF 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 4、结构位移计算的一般步骤：、结构位移计算的一般步骤： kR

19、KQN cFdsFFkMd )( 0 已知结构各个微段的应变已知结构各个微段的应变 、 、0和支座位移和支座位移ck ，求，求 结构某点沿某方向的位移结构某点沿某方向的位移： （1）在某点沿拟求位移）在某点沿拟求位移方向虚设相应单位荷载；方向虚设相应单位荷载； （2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力 和支座反力和支座反力FRK； （3）由下列位移公式求出位移。）由下列位移公式求出位移。 M Q F N F 结构力学结构力学 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 kRKQN cFdsFFkMd )( 0 kRkQN cFF

20、FkM, 0? ? 表示力与变形之间的乘积，当力与变形方向一致时表示力与变形之间的乘积，当力与变形方向一致时 乘积为正。乘积为正。 和和k使纤维同侧受拉时使纤维同侧受拉时 乘积为正。乘积为正。MkM 结构力学结构力学 虚功虚功 WP 力和位移无因果关系力和位移无因果关系 广义力 广义位移 P AB C P M A B C P M Fp1 Fp2 1 2 11 22 A B 对应 结构力学结构力学 广义位移和广义力广义位移和广义力 广义位移广义位移: 某点线位移，某点角位移，某两个截面的相对线位移和角位移某点线位移，某点角位移，某两个截面的相对线位移和角位移 =A+ B- A、B点左右两侧截面间

21、的相对转角点左右两侧截面间的相对转角 MB MA A B q A B C )(11 BABBAA MM - 一对单位力偶一对单位力偶1 BA MM 广义力：与广义位移相对应的荷载广义力：与广义位移相对应的荷载 结构力学结构力学 广义位移和广义力广义位移和广义力 广义力和广义位移广义力和广义位移 PP ABAB 1 2 A B PP MM 1 2 1212 PPPP - 一对水平力力 P - A、B间的水平相对位移 A B 1 2 M- 一对力偶 - C点左右两侧截面间的 相对转角 1212 MMPM 结构力学结构力学 广义位移和广义力广义位移和广义力 虚设力与拟求位移之间应满足虚设力与拟求位移

22、之间应满足共轭关系共轭关系，从做功角度讲：，从做功角度讲： FW F-共轭力共轭力 -共轭位移共轭位移 表表5-1 广义位移和广义荷载示例广义位移和广义荷载示例 结构力学结构力学 5-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 荷载荷载-内力内力-应力应力-应变应变 N P F EA 0 QP F k GA P M EI BA a ds P q 1 R k 1 R k d d ds d ds dds 0 dds dds NP F NP F QP F QP F P M P M 结构力学结构力学 5-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 QP N PP NQ kF FM FdsFdsMd

23、s EAGAEI B NQ A F dF dMd 1、荷载引起的位移计算公式、荷载引起的位移计算公式 B A a ds P q N P F EA 0 QP F k GA P M EI dds 0 dds dds 结构力学结构力学 5-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 , NQ FFM -由单位荷载由单位荷载P=1引起的内力引起的内力 , N PQPP FFM -结构承受的真实荷载引起的内力结构承受的真实荷载引起的内力 （1）写出各杆件在真实荷载作用下的）写出各杆件在真实荷载作用下的Mp、FQp 和和F Np 方程方程； （2）写出各杆件在虚设单位下的）写出各杆件在虚设单位下的M、F

24、Q 和和FN 方程方程； （3）用上述公式计算位移；）用上述公式计算位移； QP N PP NQ kF FM FdsFdsMds EAGAEI （4）轴力以拉为正，剪力使微段顺时针转动者为正，）轴力以拉为正，剪力使微段顺时针转动者为正， 和和 MP使杆件同侧受拉为正；使杆件同侧受拉为正； M 结构力学结构力学 5-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 （1）梁和刚架：）梁和刚架： （2）桁架：）桁架： （3）桁架混合结构：）桁架混合结构： QP N PP NQ kF FM FdsFdsMds EAGAEI （4）拱，当压力线与拱轴接近时：）拱，当压力线与拱轴接近时： ds EI MM

25、P l EA FF ds EA FF ds EA FF NPNNPNNPN l EA FF ds EI MM NPNP ds EA FF EI MM NPNP )( 结构力学结构力学 5-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 例例 x 2 ql MP 图 2 8 ql 2 ql 2 ql FQP 图 x l/2l/2 AB C P=1 1 2 1 2 确定跨中C截面的竖向线位移，并比较由弯曲变形和剪切变形引起的效应。 2 ql AB q C l/2l/2 2 () 2 P q Mlxx (2 ) 2 QP q Flx 1 4 M 1 2 1 2 Q F 1 2 Mx 1 2 Q F 真

26、实力系 虚设力系 2 4 2 0 1 ()() 5 22 2 384 l P M q xlxx MMql dsdx EIEIEI 2 2 0 1 ( )(2 ) 2 2 2 1.20.15 l P Q q lx QQql kdsdx GAGAGA 2 42 0.15 11.52 5 384 Q M ql EI GA qlGAl EI 2 12 Ih A 8 2(1) 3 E G 2 2.56( ) Q M h l 剪切变形引起的位移远 小于弯曲变形引起的 结构力学结构力学 5-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 1 QQP NN PP kF F F FMM dsdsds EAGAEI

27、 , NQ FFM - 虚设单位荷载P=1 引起的内力 , N PQPP FFM - 真实荷载引起的内力 梁和刚架 P MM ds EI 桁架 NN PNN P i F FF F dsl EAEA 桁梁组合结构 NN PP i F FMM lds EAEI 拱 NN PP F FMM dsds EAEI 结构力学结构力学 q P Q P M 1 P i Q i M xl ds EI MM GA QkQ EA NN iPPP ip ii 例例 1：已知图示梁的：已知图示梁的E 、G,求求A点的竖向位移。点的竖向位移。 解：构造虚设单位力状态解：构造虚设单位力状态. 0)( 0)(xNxN Pi

28、)()( 1)(xlqxQxQ Pi 1P x 2/)()( )( 2 xlqxMlxxM Pi l h b q A dx EI xlq GA kxlq l 2 )()( 0 3 )( 82 42 EI ql GA qkl )(5 . 2/,10/1/ , 5/6,12/, 3 钢砼 GElh kbhIbhA GA qkl EI ql QM 2 , 8 : 24 设 2 4 GAl EIk M Q 100 1 M Q 对于细长杆对于细长杆,剪切变形剪切变形 对位移的贡献与弯曲变对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计形相比可略去不计. 5-4 荷载作用下的位移计算举例荷载作用下的位移计算举例 结

29、构力学结构力学 2 P 2 P P mNq/ P 4 ql P 1 1 1 1.5 1.5 -4.74 -4.42 -0.95 4.5 1.5 3.0 P N 1 0.50.5 -1.58-1.58 0 0 1.51.5 N 2P2P 例例2 计算屋架顶点的竖向位移。计算屋架顶点的竖向位移。 0.25l0.25l0.25l0.25l A D C E F G B 5-4 荷载作用下的位移计算举例荷载作用下的位移计算举例 结构力学结构力学 1 1 1 1.5 1.5 -4.74 -4.42 -0.95 4.5 1.5 3.0 P N 1 0.50.5 -1.58-1.58 0 0 1.51.5 N

30、 EA lNN P C AD DC DE 材料 杆件 P NNlA EA lNN P EA lNN P 钢筋砼 钢 CE AE EG ccA E Pl97. 1 cc AE Pl81. 3 ssA E Pl63. 0 ss AE Pl13. 1 sscc C EAEA Pl 13. 181. 3 2 A B C D E F G P74. 458. 1l263. 0 P42. 458. 1 l263. 0 c A c A ccA E Pl84. 1 P95. 00 l088. 0 c A75. 0 0 P50. 1 0 l278. 0 s A 0 P50. 450. 1 l278. 0 s A3

31、 P00. 350. 1 l222. 0 s A2 ssA E Pl50. 0 结构力学结构力学 P P=1 例例3：求图示曲杆（：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移圆弧）顶点的竖向位移。 解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载 虚拟荷载虚拟荷载 3）位移公式为）位移公式为ds=Rd d ds 钢筋混凝土结构钢筋混凝土结构G0.4E 矩形截面矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12 1200 1 D D M N D 400 1 DM Q D 2 = DM N AR I 2 4 1 2 = D D M Q R h GAR EI k 可见剪切变形和轴向变形可见剪切变形和轴向变形 引起的位移与弯

32、曲变形引引起的位移与弯曲变形引 起的位移相比可以忽略不起的位移相比可以忽略不 计。但对于深梁剪切变形计。但对于深梁剪切变形 引起的位移不可忽略引起的位移不可忽略. 2）实际荷载）实际荷载 h 10 1 R 如如 2 12 1 R h sinPRM P cosPQP sinPN P sinRM sinN cosQ ds GA QkQ ds EA NN ds EI MM PPP 2 0 2 2 0 2 3 cossind GA kPR d EA PR EI PR GA kPR EA PR EI PR 444 3 QNM 结构力学结构力学 P l/2l/2 EI AB x1 x2 例例4：求图示等截

33、面梁：求图示等截面梁B端转角。端转角。 解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载 m=1 积分常可用图形相乘来代替 2）MP 须分段写须分段写 ) 2 0( 2 )( l x Px xM P ) 2 ( 2 )( )(lx lxlP xM P )0()(lx l x xM l P B dx EI MM 0 l l l dx EIl xxlP dx EIl xPx 2 2 0 1 )( 2 )(1 )( 2 EI Pl 16 2 结构力学结构力学 确定C点的水平位移 和转角 CH C 例例5 L A C B L EI EI q 解：（解：（1 1）求）求 CH 写出杆件的写出杆件的 方程方程 M

34、P M BCBC杆：杆： 0M 2 1 2 P Mqx A C B FP=1 BABA杆：杆： M x 2 1 2 P MqL 2 4 0 1 2 4 L CH qL x qL dx EIEI 5-4 荷载作用下的位移计算举例荷载作用下的位移计算举例 结构力学结构力学 确定C点的水平位移 和转角 CH C 例例5 L A C B L EI EI q （2 2）求）求 C 写出杆件的写出杆件的 方程方程 M P M BCBC杆：杆： 1M 2 1 2 P Mqx BABA杆：杆： 1M 2 1 2 P MqL 22 3 00 11 ( 1)( 1) 2 22 3 LL C qxqL qL dxd

35、x EIEIEI A C B M=1 5-4 荷载作用下的位移计算举例荷载作用下的位移计算举例 结构力学结构力学 5-5 图乘法图乘法 理论基础:虚功原理 单位荷载法 梁和刚架: P M M ds EI l两种内力函数:( ),( ) P M x Mx l积分: P M M d s E I 麻烦 结构力学结构力学 5-5 图乘法图乘法 补充条件: 直杆 常数 一个弯矩图为直线图形 L p o MM ds EI 图乘法 结构力学结构力学 5-5 图乘法图乘法 y x O A x0 AB y0 x dx AB ( ) P Mx M ( )M x C dA ( )( )tan( ) BB PP AA

36、 M x Mx dxxMx dx tan( ) B P A xMx dx MP的形心 0 Ax 0 ( )( )tan() B P A M x Mx dxAx 0 Ay 0 (tan)A x ( )tanM xx 结构力学结构力学 5-5 图乘法图乘法 0 1 P M M dsAy EIEI 一个弯矩图的图形面积 面积A形心处的另一直线弯矩图上的纵标 注意: u y0必须取自直线直线弯矩图 u 符号规定: 两弯矩图位于杆件的同侧同侧，Ay0 为正正；反之，为负 u 适用条件: 直杆; EI=C; 一个弯矩图为直线 !切莫丢掉切莫丢掉 此项此项 结构力学结构力学 5-5 图乘法图乘法 常用图形的

37、面积和形心 三角形 C ab h l (l+a)/3(l+b)/3 2 lh A l 2l/3l/3 C h 2 lh A 结构力学结构力学 5-5 图乘法图乘法 常用图形的面积和形心 C l/2l/2 h C h l 5l/83l/8 二次抛物线 2 3 Alh 顶点 顶点 l 3l/4l/4 h C 1 3 Alh 顶点 标准抛物线标准抛物线: 图形顶点的斜率必须图形顶点的斜率必须平行于平行于杆轴线杆轴线 2 3 Alh 结构力学结构力学 5-5 图乘法图乘法 图形的分解和叠加 A1 y1 Mk 图 I1 I2 A2 y2 A3 y3 Mi 图 A1 y1 A2 y2 Mk 图 Mi 图

38、分解分解 多段线多段线图形的分解 变刚度变刚度杆的分解 112233 1 () ki M M dxA yA yA y EIEI 1122 12 11 ki M M dxA yA y EIEIEI 结构力学结构力学 5-5 图乘法图乘法 图形的分解和叠加 Mk 图 Mi 图 + + 叠加叠加 1122 1 () ki M M dxA yA y EIEI a b c d A2 A1 y1 y2 1 21 33 ycd 2 12 33 ycd a b c d A1 A2 y1 y2 1122 1 () ki M M dxA yA y EIEI 1 1 () 2 ycd 2 12 33 ycd A B

39、 C D a b c d A1 A2 l y1 y2 1122 1 () ki M M dxA yA y EIEI 1 21 33 ycd 2 12 33 ycd 分解分解 结构力学结构力学 图形的分解和叠加 A A B MA MB B MAMB q MA A B MB MB MA 5-5 图乘法图乘法 M 图 MP 图 y1 y0 分解分解 叠加叠加 0 11 () P MM dxMM dxMM dx EIEI 102100 1 ()A yA yA y EI 0 M图 A1 A2 A0 图 M 结构力学结构力学 4 l 5-5 图乘法图乘法 例例计算下图所示简支梁的跨中挠度 5 84 l 2

40、 8 ql C 2 l 2 l EI 常数 A C AB 1P 真实系统 MP 图 M 图 虚设系统 C点竖向位移 1 P MM dx EI AB q 34 155 2( ) 24 32384 qllql EIEI 结构力学结构力学 l M 图 虚设系统 A B 1P 2 ql A B 5-5 图乘法图乘法 例例 真实系统 MP 图 B点挠度 1 A q 2 ql EI 常数 A B l 2 A 1 y 2 y 确定悬臂梁自由端挠度 23 1 11 22 Al qlql ， ( and ， ( and 1 2 3 yl + - 23 2 211 3812 Alqlql 2 1 2 yl 334

41、 1122 11127 ()()( ) 2312224 BP qllqllql MM dxA yA y EIEIEIEI ！不是标准抛物线 22 1 3 2 1 ql qllA 结构力学结构力学 5-5 图乘法图乘法 例例5-7 23 1 11 22 Al qlql ， A B C l/2l/2 P l/6 计算 C点竖向位移 P AB Pl MP 图 真实系统 P=1 2 l AB M 图 虚设系统 B点挠度 A 0 y 0 11 CP MM dxAy EIEI 4 1155 ()( ) 222648 llql Pl EIEI 结构力学结构力学 P=1 MP ql2/2 l l/2 A B

42、2EIEI l/2 M 确定 B点竖向位移 q ？ ql2/8 l/2 ？ ql2/32 y0 24 1 13 3 248 B qllql l EIEI 2 0 1 1 3 . 2382 B ql l y EI 2 1 13/2 3 8 24 B ql ll EI 2222 10.5 22 2628 22 28 lqlql lql lql ll EI 24 120.517 23 32 22256 ql l llql EIEI 5-5 图乘法图乘法 例例 结构力学结构力学 虚设力系 A BC 1M M 图 ll A B C 2 5-5 图乘法图乘法 例例 真实系统 C截面的转角 23 1 11

43、22 Al qlql ， ( and ， ( 计算 C截面的转角 2 45kNmEI A B C 1 y 2 y 2 A 3kN/m 4m1m 2kN 3 y 3 A 1 A 1 2 3 y 1 1 424 2 A 2 1 2 y 2 2 4616 3 A 3 1 121 2 A 3 1y MP 图 + - + 1122330 111211313 ()(4161)0.096 (rad) 3233 45 AyAyA yA y EIEIEIEI 结构力学结构力学 5-5 图乘法图乘法 例例计算 C 、D两点间的水平相对位移 真实系统 MP 图 M 图 虚设系统 水平相对位移 EI 常数 AB CD

44、 q 2a 2a 2 2 qa 2 6 qa1 A 2 A AB CD 3 A 4 A 1 a 1 y 2 y AB CD a a 3 y 4 y a 23 1 1 4624 qaqa Aa 1 44 55 yaa 23 2 2 63 qaqa Aa 2 ya 2 3 3 22 2 323 qa Aaqa3 ya 112233 333 4 11 (2) 142 2 24533 14 () 15 P MM dxAyA yA y EIEI qaaqaqa aa EI qa EI + - + 结构力学结构力学 5-5 图乘法图乘法 例例 C点竖向位移 确定C点的竖向位移 A B C D 4m 3m

45、3m 6kN 2 3738 10 kNEA 2 3484kN mEI 6kN 真实系统 MP 图 和FNP 图 A B C D 6kN 8kN -10kN 12k Nm 4kN A 4kN 组合结构及其荷载 N MF和图 虚设系统 A B C D 2 3 2 3 4 3 5 3 y 1 1P 2m 0 3 2 1112145 2(3 12)(2)84( 10)()5 2333 48128250 14.11 10 m( ) 34843738 103 PNN PNN P MMF FF F dxlAyl EIEAEIEAEIEA 梁式杆 结构力学结构力学 1 t 2 t ds 5-6 温度改变时的位

46、移计算温度改变时的位移计算 ds A B 1 t C 2 t C d 1 t ds 2 t ds h 假定: l温度沿截面高度h线形线形分布 l发生变形后，截面应变分布仍满足平截面假定. 虚设力系 由温度变化引起的真实位移 A B 1P 0 t dsd 211221 011 ttt ht h tth hh tds 21 ttt 0 dt ds 21 ()tt dds h 00 =N N tt MdsFt dsMdstF ds hh N Q MdF dF d 结构力学结构力学 5-6 温度改变时的位移计算温度改变时的位移计算 静定结构材料自由伸长或压缩 温度改变 变形 不引起内力 0 1 t C

47、 0 2 t C 12 tt 结构力学结构力学 5-6 温度改变时的位移计算温度改变时的位移计算 例例 4ma A B C 0C 0 C 15 C 15 C a a M 图 A B C 1P N F图 确定C点的竖向位移。 真实系统 C A B 1P 虚设系统 0.00001线膨胀系数 40cm 0 12 0 015 7.5 22 tt tC 0 21 15015tttC 0 N C t MdstF ds h 温度变化引起的弯曲变 形方向与虚设力系引起 的相反 0.93( ) C cm 151 ()7.5 () 2 aaaaa h 若既有温度变化若既有温度变化 和（或）支座移和（或）支座移 动

48、，又同时作用动，又同时作用 有荷载？有荷载？ 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 刚体体系的虚功原理中，刚体的应变刚体体系的虚功原理中，刚体的应变=？刚刚 体体系体体系 内力做功内力做功=？ 变形体体系的虚功原理中，变形体变形体体系的虚功原理中，变形体存在应变存在应变 吗？吗？外力做功，外力做功，内力做功吗？内力做功吗？ 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 设变形体在力系作用下处于设变形体在力系作用下处于平衡平衡状态，又设变形体由于其他状态，又设变形体由于其他 原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的原因产生符合约束条件的微小连续

49、变形，则外力在位移上所做的 外力虚功外力虚功We恒等于各个微段的应力合力（即内力）在变形上所做恒等于各个微段的应力合力（即内力）在变形上所做 的的内力虚功内力虚功Wi. ei WW 内力所做的虚功内力所做的虚功外力所做的虚功外力所做的虚功 注意注意: : l变形可以是任意因素引起的变形可以是任意因素引起的 l小变形小变形 l虚功原理对任何结构都适用，无论其是否是弹性体虚功原理对任何结构都适用，无论其是否是弹性体 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 ads 任意原因引起的变形 处于平衡状态的梁 ads BA 1 2 3 BA 1 P 2 P 3 P A R B R eii

50、kk WPR c ds MM ds 1 R k d d ds d N F d B iNQ A WF dF dMd B eiikkNQi A WPR cF dF dMdW ds N F N F ds Q F Q F Q F dMd i dW ds 结构力学结构力学 BA ads 真实的位移状态真实的位移状态 虚力状态 1P BA AR BR 1k ek WR c ds N F N F ds Q F Q F ds MM d 1 R k 1 R k d d ds ds B iNQ A WF dF dMd B NQ A F dF dMd 单位力作用下 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 1 e

51、W ads 如何虚设单如何虚设单 位力？位力？ 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 ei WW 内虚功内虚功外虚功外虚功 应用条件应用条件: : l力系满足平衡条件力系满足平衡条件 l位移满足变形协调条件位移满足变形协调条件 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 MA FQAFQB q x MB A B p FNBFNA M FQ M+dM FQ+dFQ q dx qdx FN+dFN FN pdx 平衡条件平衡条件: 0 0 0 dxFdM qdxdF pdxdF Q Q N 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 变形协调条

52、件变形协调条件: A A AB A B B B dx d dx du dx d 0 dx +d + d +d 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 MA FQAFQB q x MB A B p FNBFNA 平衡力系平衡力系 A A AB A B B B 变形状态变形状态 B A AQAANAAABQBBNBBB dxqpFFMFFMW)()()( 上述平衡力系在变形状态上做功上述平衡力系在变形状态上做功 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 微段两侧截面的应力合力在变形上作的内虚功为微段两侧截面的应力合力在变形上作的内虚功为 M FQ M+dM F

53、Q+dFQ q dx qdx FN+dFN FN pdx dx +d + d +d B A QNi dxFdxFMdW 0 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 ei WW B A QNi dxFdxFMdW 0 B A QN B A AQAANAAABQBBNBBB dxFdxFMd dxqpFFMFFM 0 )()()( B A AQAANAAABQBBNBBBe dxqpFFMFFMW)()()( 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 变形体虚功原理的证明：变形体虚功原理的证明： 0 0 0 dxFdM qdxdF pdxdF Q Q N 0)

54、()()( B A Q B A Q B A N dxFdMqdxdFpdxdF B A Q B A B A QN B A QN dxFdxqpMddFdFMFF0)()()( )()(MddFdFMFFddMdFdF QNQNQN 0)()( B A Q B A QN dxFqpdMdFdF 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 变形体虚功原理的证明：变形体虚功原理的证明： B A Q B A B A QN B A QN dxFdxqpMddFdFMFF0)()()( dxddx ddx 0 )( )()()( MddxFdxF FdxqpMFFMFF Q B A N P B A AAQAANAABBQBBNBB ? 结构力学结构力学 5-8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 推广：推广： 杆件结构中（计入集中荷载所作虚功）：杆件结构中（计入集中荷载所作虚功）： P F )( )()( 0 B A QN P B A B