2020-2021学年数学第二册教案：第4章4.14.1.3　独立性与条件概率的关系含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材数学人教b版选择性必修第二册教案：第4章 4.1 4.1.3独立性与条件概率的关系含解析4。1。3独立性与条件概率的关系学 习 目 标核 心 素 养1.了解独立性与条件概率的关系(难点）2会求相互独立事件同时发生的概率（重点）3综合应用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解题(重点、难点）1通过辨析独立性与条件概率的关系，培养数学抽象素养2借助相互独立事件同时发生的概率公式解题，提升数学运算素养。俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮其中甲、乙、丙能答对某题目的

2、概率分别为50,40%,30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80.比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功问题：该挑战能否成功?事件的独立性（1)事件a与b相互独立的充要条件是p(ab）p（a)p(b）(2）当p(b）0时，a与b独立的充要条件是p（ab)p（a)思考：如果p(a)0，a与b独立,则p（ba）p(b）成立吗？提示成立p(ba)p(b）1思考辨析（正确的打“”，错误的打“”）（1)对于事件a，b，若p（b|a）p（a)，则事件a与b相互独立()（2)事件a，b相互独立,则事件a与也相互独立()(3)若p（)p（）p(),则事件与相互独立(）答案

3、（1）(2)（3)2袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用a1表示第一次摸得白球，a2表示第二次摸得白球，则a1与a2是()a相互独立事件b互斥事件c对立事件d不相互独立事件aa1的发生与否对a2不产生影响，故选a。3（教材p58练习at4改编)已知a与b独立，且p（)0.7，则p（ab)_。0。3p（）0。7，p(a)10。70.3，又a与b独立,所以p（a|b）p(a）0。3.4某人提出问题，甲先答，答对的概率是0。4，如果甲答错，由乙答,答对的概率为0.5，则该问题由乙答对的概率为_0.3由题意可知，甲答错，乙答对，故所求概率p(10.4）0.50.60。50.3。相互独立事

4、件的判断【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件(1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；（2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;（3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点解(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件（2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球的概率为，若这一事件发生了,则“从剩下的7个球

5、中任意取出1个，取出的仍是白球的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见,前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件(3)法一：记a：出现偶数点，b：出现3点或6点，则a2,4,6，b3,6，ab6，p（a)，p（b），p(ab）。p(ab）p(a）p（b),事件a与b相互独立法二:由法一可知p(ba)，又p(b）,p(ba)p（b），事件a与b相互独立判断事件是否相互独立的方法1定义法：事件a,b相互独立p（ab）p（a）p(b）2由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响3条件概率法：当p（a)0时，可用p（ba）p（b)判断一个家庭中有若

6、干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令a一个家庭中既有男孩又有女孩,b一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论a与b的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2)家庭中有三个小孩解法一：（利用定义）(1)有两个小孩的家庭，考虑男孩、女孩的可能情形为(男，男），（男，女）,（女，男）,（女,女）,共有4个元素，由等可能性知概率均为。这时a（男，女）,(女，男)，b（男，男），(男，女)，(女,男),ab（男，女)，(女，男），于是p（a)，p(b），p（ab）.由此可知p（ab)p(a)p(b），所以事件a，b不相互独立（2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为（男，男，男)，（

7、男，男,女)，(男，女，男），（女，男，男），（男,女，女),(女，男，女），(女，女，男)，（女，女,女)，由等可能性知这8个元素的概率均为，这时a中含有6个元素，b中含有4个元素,ab中含有3个元素于是p（a),p(b)，p（ab），显然有p(ab）p（a）p(b）成立从而事件a与b是相互独立的法二：（利用条件概率与独立性的关系)（1）由题意可知p（b|a)，又p(b)，故p(b|a）p(b）所以a与b不相互独立（2)由题意可知p（b|a)，又p（b），故p（ba)p（b），所以a与b相互独立相互独立事件发生的概率【例2】面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有a,b，c三个独

8、立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，。求：(1)他们都研制出疫苗的概率；（2)他们都失败的概率;(3）他们能够研制出疫苗的概率思路点拨解令事件a，b，c分别表示a,b，c三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知,事件a，b,c相互独立，且p（a），p（b）,p（c)。（1)他们都研制出疫苗，即事件a，b，c同时发生,故p（abc)p(a）p(b）p(c）.（2)他们都失败即事件,，同时发生，故p()p(）p()p(）（1p(a)）（1p(b）(1p(c）.（3）“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”,结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率p1p（）

9、1.（变结论）在题设条件不变的条件下，求：（1）只有一个机构研制出疫苗的概率(2）至多有一个机构研制出疫苗的概率解（1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为（cba)，故所求事件的概率为pp(cba）p（）p（)p(c）p()p（b)p（)p(a）p(）p(）（1p(a)）（1p（b)）p(c)（1p(a）)p(b)(1p（c)p（a）（1p(b）(1p（c)）。（2）至多有一机构研制出该疫苗，即事件(abc)发生，故所求事件的概率为p（abc)p()p(a)p（b）p(c)p（)p()p（）p(a）p（）p（)p()p（b)p()p（)p()p(c）。1求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）首

10、先确定各事件之间是相互独立的;（2)确定这些事件可以同时发生；（3）求出每个事件的概率，再求积2使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生利用事件之间的关系求概率探究问题如何区别“相互独立事件”与“互斥事件”?提示相互独立事件互斥事件定义一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即ab概率公式a与b相互独立等价于p(ab)p（a)p（b）若a与b互斥，则p（ab)p(a）p(b），反之不成立【例3】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个

11、开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率思路点拨由题目可获取以下主要信息：3个开关并联；每个开关闭合的概率是0.7，且闭合与否相互独立解答本题可先作出一个线路图，再分情况讨论解如图所示，记这段时间内开关ka，kb，kc能够闭合为事件a,b,c。由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是p(）p(）p()p()1p(a）1p(b)1p（c)（10。7）（10.7)（10。7）0.027。于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是1p()10。0270。973。即这段时间

12、内线路正常工作的概率是0.973。1（变条件)将本例中的“并联”改为“串联”，求相应概率解依题意可知所求事件的概率pp（abc)p（a)p(b）p(c)0.70。70。70。730。343。2(变条件)本例中每个开关与闭合的概率不变,求如图所示的线路正常工作的概率解要使线路能正常工作，则ka与kb至少有一个工作，且kc正常工作,即事件（ab)c发生，故所求事件的概率pp(ab)p(c）1p(）p（c)p(c)p（）p(c)p(c）p（）p()p（c)0。7（10.7）(10。7）0.70。637.解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并联还是串并联混合关系，在此基础上结合事件的相互独立性及互

13、斥事件、对立事件的有关知识，依据“串联通易求，并联断易求的原则，给予解答。1事件a，b之间独立性的判定方式（1)定义法：p（ab)p（a）p（b)；(2）借助条件概率：p（b|a）p(b)或p（ab）p(a）;（3）直接法:看事件a发生对事件b有无影响2求复杂事件的概率一般可分三步进行(1）列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们；（2)理清各事件之间的关系,恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；（3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算3计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法1已知p（a|b)0.6,p（b|a）0。3且a，b相互独立,则

14、p(ab）等于（）a0.18b0。9c0.3d无法求解ap（ab）0.6,p（ba)0.3且a，b相互独立，p(a）0。6，p(b）0。3，p(ab）p(a）p（b）0.60.30。18。2抛掷3枚质地均匀的硬币，a既有正面向上又有反面向上，b至多有一个反面向上，则a与b的关系是（)a互斥事件b对立事件c相互独立事件d不相互独立事件c由已知，有p(a）1，p(b）1,p（ab），满足p（ab)p(a）p（b)，则事件a与事件b相互独立,故选c。3已知a与b相互独立，且p(ab),p（b），则p（b）_.a与b相互独立，p（ab）p（a)p（b）。又p（b），所以p（a）.p（|b）p()1p(a)1.4明天上午李明要参加“青年文明号活动,为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0。90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_0.98设两个闹钟至少有一个准时响的事件为a，则p(a)1(10。80)(10.90）10。200.100。98。5在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准